第二十四章解直角三角形重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共23題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．（24-25九年級上·山東濰坊·期中）在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意設(shè)，，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】解：在中，，，∴，設(shè)，，由勾股定理得：，∴，故選：B．2．（24-25九年級上·遼寧鞍山·期中）在中，，若，則的正切值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握直角三角形中各銳角三角函數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，設(shè)，，利用勾股定理得到，最后由三角函數(shù)的定義可得的值．【詳解】解：如圖所示，在中，，，∴設(shè)，，∴∴．故選：A．3．（24-25九年級上·貴州貴陽·階段練習(xí)）在中，，點為邊的中點，連接，若，則的長為（

）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的斜邊中線，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是解題關(guān)鍵．由題意得，，即可求出的長．【詳解】解：在中，，點D為的中點，，，，故選：B．4．（24-25九年級上·山東煙臺·期中）在中，，，，則下列三角函數(shù)值正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形三角函數(shù)關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，∴為直角三角形在中，，，∴，A．，故選項計算錯誤，不符合題意；B．，故選項計算錯誤，不符合題意；C．，故選項計算正確，符合題意；D．，故選項計算錯誤，不符合題意；故選：C．5．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高為的過街天橋，已知為天橋的坡面與地面的夾角，且，則坡面的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出的長即可．【詳解】解：由題意可得：，∵，∴，解得：，即坡面的長度為．故選：C．6．（24-25九年級上·河北石家莊·期中）如圖，在中，，于D，，下列說法正確的個數(shù)是（

）①，②，③，④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)求出，，根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可判斷①；設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理求出，，即可判斷②；再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義判斷③④．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故①正確，符合題意；設(shè)，則，∵，∴（負(fù)值已舍），∴，，∴，故②正確，符合題意；∵，，∴，故③正確，符合題意；∵，∴（負(fù)值已舍），∴，故④錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②③，共3個，故選：C．7．（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，線段，的端點，，，均在正方形網(wǎng)格的格點（網(wǎng)格線的交點）上，與交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．取格點，使得，連接，得到，根據(jù)勾股定理的逆定理可推出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，取格點，使得，連接，，，，，，，，故選：C．8．（2024·浙江金華·一模）如圖，點E從點A出發(fā)沿AB方向運動，點G從點B出發(fā)沿BC方向運動，同時出發(fā)且速度相同，DE=GF<AB（DE長度不變，F(xiàn)在G上方，D在E左邊），當(dāng)點D到達(dá)點B時，點E停止運動．在整個運動過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）

A．一直減小 B．一直不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】B【分析】設(shè)DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分別求出當(dāng)b=0時和當(dāng)b≠0時，陰影部分的面積，由此即可判斷．【詳解】解：設(shè)DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，過F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，F(xiàn)M=BFsinB=asinB；過G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；∴當(dāng)b=0時，陰影部分的面積為三角形BEF的面積，S陰=acsinB；當(dāng)b≠0時，S陰=S△BEF-S△BDG=（a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB=acsinB，∴運動過程中，陰影部分的面積不變，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．9．（24-25九年級上·廣西桂林·期中）西周時期丞相周公旦設(shè)置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表；如圖是一個根據(jù)某市的地理位置設(shè)計的圭表，其中立柱高為a，已知冬至?xí)r某市的正午日光入射角，則立柱頂部與圭表的冬至線的距離（即的長）約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的知識點是解直角三角形的應(yīng)用．根據(jù)題意和圖形，可用含a的式子表示出的長，即可得出答案．【詳解】解：由題意可知，立柱頂部與圭表的冬至線的距離（即的長）約為．故選：B．10．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）為了消防安全，學(xué)校在校園廣場步行梯（折線ABCD）處新建了學(xué)生宿舍安全通道（折線AEF），其剖面示意圖如圖所示，廣場步行梯AB，CD的坡角都是32°，且米，米，水平部分米；新建安全通道中水平部分米，步梯EF的坡度（即坡角的正切值）．新建安全通道頂端點F到廣場步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）A．8.8米 B．9.0米 C．9.4米 D．9.6米【答案】D【分析】過B作BH⊥AE于H，延長BC交DF于M，設(shè)AE交DF于N，則MN＝BH，HN＝BM，BM∥DG，先由銳角三角函數(shù)定義求出DM≈2.12（米），CM≈3.4（米），則HN＝BM＝5.8（米），再由銳角三角函數(shù)定義求出MN＝BH≈3.18（米），AH≈5.1（米），然后由坡度的定義求出FN≈4.34（米），即可求解．【詳解】解：如圖所示：過B作BH⊥AE于H，延長BC交DF于M，設(shè)AE交DF于N，則MN＝BH，HN＝BM，BM∥DG，∴∠DCM＝∠CDG＝32°，在Rt△CDM中，sin∠DCM＝，cos∠DCM＝，∴DM＝CD?sin32°≈4×0.53＝2.12（米），CM＝CD?cos32°≈4×0.85＝3.4（米），∴HN＝BM＝BC＋CM＝2.4＋3.4＝5.8（米），在Rt△ABH中，∠A＝32°，sinA＝，cosA＝，∴MN＝BH＝AB?sin32°≈6×0.53＝3.18（米），AH＝AB?cos32°≈6×0.85＝5.1（米），∴AN＝AH＋HN＝5.1＋5.8＝10.9（米），∴EN＝AN?AE＝10.9?3.9＝7（米），∵步梯EF的坡度i≈0.62＝，∴FN≈0.62×7＝4.34（米），∴DF＝DM＋MN＋FN＝2.12＋3.18＋4.34≈9.6（米），故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．填空題（5小題，每小題2分，共10分）11．（24-25九年級上·山東泰安·期中）．【答案】/0.5【分析】本題考查了特殊角度的三角函數(shù)值計算，代入特殊角度的三角函數(shù)值計算即可，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是關(guān)鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．12．（23-24九年級上·山東煙臺·期中）利用計算器求值時，若按鍵順序為則輸出結(jié)果為．【答案】【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，求一個數(shù)的立方根，根據(jù)題意可得計算的式子為，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由題意得，計算器輸出的結(jié)果為，故答案為：．13．（24-25九年級上·貴州六盤水·期中）如圖，在中，是斜邊的中線，，則的長為．【答案】/10厘米【分析】本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，因為在中，是斜邊的中線，所以，即可作答．【詳解】解：∵在中，是斜邊的中線，，∴，故答案為：．14．（24-25九年級上·河南駐馬店·期中）圖1所示的是某超市入口的雙翼閘門，如圖2，當(dāng)它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機側(cè)立面夾角，則當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度是．【答案】62【分析】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半．過作于，過作于，則可得和的長，依據(jù)端點與之間的距離為，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．【詳解】解：如圖所示，過作于，過作于，，則中，，同理可得，，又點與之間的距離為，通過閘機的物體的最大寬度為，故答案為：62．15．（24-25九年級上·浙江溫州·期中）如圖2是某款臺燈（圖1）的示意圖，處于水平位置的橫桿可以繞著點O轉(zhuǎn)動，當(dāng)分別轉(zhuǎn)到，的位置時，測得，點M，N的高度差為，點N，F(xiàn)的水平距離，點M，F(xiàn)的水平距離，若該臺燈的底座高度，垂直于底座的燈柱長與長度一樣．從N點射出的光線與桌面成60°，則光線所照區(qū)域最大范圍為．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的判定和性質(zhì)．過點N作于點Q，交于點S，R，延長交于點T，證明，，結(jié)合，得到，得到，設(shè)，，求得，得到，得到，得到，即得．【詳解】過點N作于點Q，交于點S，R，延長交于點T，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，設(shè)，，∵，∴，∴，解得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．三、解答題（8小題，共70分）16．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計算．（1）代入特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)二次根式的加減混合運算法則求解即可；（2）代入特殊角三角函數(shù)值，進(jìn)一步計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．17．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）用計算器求圖中的正弦值、余弦值和正切值．【答案】圖（1），，；圖（2），，；圖（3），，【分析】根據(jù)勾股定理求得另外一邊的長度，在利用三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：由圖（1）得，，由勾股定理得：，，由圖（2）得：，由勾股定理得：，，由圖（3）得：，由勾股定理得：，，【點睛】此題考查了三角函數(shù)的定義，涉及了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)定義．18．（24-25九年級上·山東濱州·期中）在中，，．

(1)求的度數(shù)；(2)請寫出邊與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)(2)，見解析【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形對的直角邊對于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可；（2）根據(jù)直角三角形對的直角邊對于斜邊的一半即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，理由如下：，．19．（24-25九年級上·江蘇常州·期中）如圖，直角中，，．點是線段上一點，過點作的垂線，交直線于點，連接，取的中點，連接，．(1)當(dāng)點在線段上時，試寫出與的關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)點在線段外時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請舉出反例；若成立，請畫出圖形，并說明理由．【答案】(1)，理由見詳解(2)成立，理由見詳解【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（1）當(dāng)點在線段上時，觀察知道在直角中，，在直角中，，即可證明出結(jié)果；（2）當(dāng)點在線段外時，（1）中的結(jié)論還成立，畫出圖形同理應(yīng)用第（1）中的方法即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：在直角中，，取的中點，，過點作的垂線，，又在直角中，取的中點，，；（2）解：成立，圖形如下：理由如下：，，，在直角中，取的中點，，過點作的垂線，，又在直角中，取的中點，，．20．（2024·陜西渭南·二模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實踐課上開展了“菱形折疊”研究活動．第一步：每人制作邊長都為7的菱形紙片若干個，四個頂點為A、B、C、D(為保持一致，活動中，小組內(nèi)制作圖形各點名稱命名規(guī)則相同)；第二步∶在邊上分別取點M、N(不含端點)，將四邊形沿翻折，使線段的對應(yīng)線段經(jīng)過頂點D(點A、B分別與點E、F對應(yīng))．操作判斷（1）智慧小組按上述步驟折疊后得到如圖1所示的圖形，若則______．遷移探究（2）縝密小組按上述步驟折疊后如圖2所示，已知求的長；拓展延伸（3）創(chuàng)新小組按上述步驟折疊后，要使是以為直角邊的直角三角形，請你在圖3中幫他們畫出滿足條件的圖形（草圖即可），并求出對應(yīng)的的長．【答案】（1）4；（2）；（3）圖形見解析，BN的長為．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義、菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可解答；（2）如圖2，過D作于G，先說明G是的中點，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，即；設(shè)，則，然后求得ｋ，進(jìn)而求得；（3）分和兩種情況分別根據(jù)折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點分析解答即可．【詳解】解：（1）∵將四邊形沿翻折，使線段的對應(yīng)線段經(jīng)過頂點D(點A、B分別與點E、F對應(yīng))，∴．故答案為：４．（2）如圖2，過D作于G，∵，∴G是的中點，由折疊可得：，∴，

設(shè)，則，∴，解答：，；（3）過點B作于T，，，則，，∴要使是以為直角邊的直角三角形，分兩種情況討論：①當(dāng)時，畫出圖形如圖3所示，延長，交于點H，則，由折疊可得，∴，設(shè)，則，∴．∴，∵，∴，∵，∴，即又∵②當(dāng)時，不合題意．綜上所述，BN的長為．21．（23-24九年級上·海南?？凇て谥校┮环N可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實線所示，底座為，點、、在同一條直線上，測得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，(1)求的距離；(2)求支撐桿上的到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)，，，）【答案】(1)16cm(2)105cm【分析】（1）根據(jù)直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如圖作DG⊥EF，，證明EF=EG+QC+CP，再分別運用解直角三角形求出EG、QC、CP即可．【詳解】（1）∵，，AB=32cm∴(cm)（2）如圖，作DG⊥EF于點G，過點C作，交DG于點Q，交AB于點P，∵DG⊥EF，AF⊥EF，∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，∴四邊形FPQG是矩形，F(xiàn)G=PQ，∴(cm)，(cm)，∵∴∠EDG=75°-60°=15°∴(cm)∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm)故E到地面的距離EF為105cm．【點睛】本題主要考查解直角三角形，作輔助線構(gòu)造相等線段，熟練運用解直角三角形求線段長度是解題關(guān)鍵．22．（2024·寧夏銀川·二模）閱讀、理解、應(yīng)用研究間的角的三角函數(shù)，在初中我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦余弦和正切三種三角函數(shù)，即在圖所示的直角三角形，是銳角，那么，，．為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖），在角α的終邊上任取一點，它的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，終邊可以看作是將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得到的，和原點O0,0的距離為（總是正的）然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，（其中，分別是點的橫、縱坐標(biāo)）我們知道，圖的三個比值的大小與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖中四個比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，三個比值的正、負(fù)取決于角α的終邊所在的象限，而與點在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖與圖，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題．(1)如圖3，若，則角α的三角函數(shù)值α、α、α，其中取正值的是．(2)已知α是鈍角，則下列說法正確的是．．．．α．α>0(3)若角α的終邊與直線重合，則αα．(4)若角α是銳角，其終邊上一點且，試求和α的值．【答案】(1)α(2)A(3)或(4)的值為；α的值為【分析】（1）由點Px,y在第四象限，推出，根據(jù)（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義分析求解即可；（3）分兩種情形討論即可解決問題；（4）根據(jù)α是銳角，終邊上一點在第一象限，，進(jìn)而得，進(jìn)而得解得或（舍去），從而即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴點Px∴，∵，∴，∴取取正值的是，故答案為：；（2）解：α是鈍角，則α的終邊在第二象限，∴，，而>0，∴，故正確；∵，，∴，故不