2025-2026學(xué)年上海市浦東新區(qū)建平康梧中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷考試注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準(zhǔn)考證號、姓名等信息．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效．3．作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑．一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）若△與△的相似比為，則△與△的周長比為A． B． C． D．2．（4分）如果線段是線段、的比例中項(xiàng)，，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．3．（4分）已知，下列說法中，錯誤的是A． B． C． D．與方向相同4．（4分）如圖，在三角形紙片中，，，．沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△相似的是A． B． C． D．5．（4分）在△中，，如果，，那么等于A． B． C． D．6．（4分）如圖，矩形中，點(diǎn)在對角線上，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，，．如果，那么的長是A．2 B．3 C． D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．8．（4分）計(jì)算：．9．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的值為．10．（4分）第七屆中國國際進(jìn)口博覽會（同稱“進(jìn)博會”于2024年11月5日至10日在國家會展中心（上海）隆重舉辦．以“新時(shí)代、共享未來”為主題，是世界上首個(gè)以進(jìn)口為主題的國家級博覽會．小海在地圖上（如圖）測量他家與國家會展中心（上海）的距離為2.6厘米．那么請幫小海計(jì)算出他家與國家會展中心（上海）的實(shí)際距離為千米．11．（4分）如圖，，相交于點(diǎn)，，，，是△的中位線，且，則的長為．12．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第二象限內(nèi)，若與軸負(fù)半軸的夾角的正切值為，則的值為．13．（4分）在梯形中，，，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)，用、的式子表示向量．14．（4分）如圖，長方形的邊在△的邊上，頂點(diǎn)、分別在、上．已知△的邊長，高為，且長方形的長是寬的2倍，那么的長度是．15．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)是重心，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如果，那么．16．（4分）如圖，在△中，，，將△折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，為折痕．若，．17．（4分）已知點(diǎn)是△內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則點(diǎn)叫△的費(fèi)馬點(diǎn)，已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于的△中，當(dāng)時(shí)，就是△的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)是邊長為6的等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，則．18．（4分）在等腰△中，，是邊上的高，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，且，如果△與△相似，那么的值為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）如圖，已知點(diǎn)為中邊上的一點(diǎn)，且，設(shè)，．（1）請用，表示向量；（2）在圖中畫出向量分別在，方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）21．（10分）如圖，直線、、分別交兩條直線于點(diǎn)，，，，，，且，，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．22．（10分）材料閱讀：光從空氣中射入水中時(shí)，傳播方向發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折射，我們把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比稱為折射率，即，已知光線從空氣進(jìn)入水中時(shí)的折射率為問題解答：如圖，矩形為盛滿水的水槽、一束光線從點(diǎn)射向水面上的點(diǎn)，折射后照到水槽底部的點(diǎn)．測得，，若，，三點(diǎn)在同一條直線上，請依據(jù)相關(guān)材料回答以下問題：（1）求的正弦值；（2）求的長（參考數(shù)據(jù)；．23．（12分）已知：如圖，點(diǎn)、分別在△的、邊上，，，聯(lián)結(jié)．（1）求證：△△；（2）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，求證：．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．（1）分別求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在第三象限內(nèi)的點(diǎn)右側(cè)的反比例函數(shù)圖象上取一點(diǎn)，連接，，且滿足．求點(diǎn)的坐標(biāo)；過點(diǎn)作直線，在直線上取一點(diǎn)，且點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)，連結(jié)，試問：能否與相似？若能，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．25．（14分）如圖，矩形中，，點(diǎn)為對角線上一點(diǎn)，射線交線段于點(diǎn)，射線交線段于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長度；（2）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖，連接，交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)到線段的距離．

參考答案一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）若△與△的相似比為，則△與△的周長比為A． B． C． D．解：相似△與△的相似比為，△與△的周長比為，故選：．2．（4分）如果線段是線段、的比例中項(xiàng)，，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．解：由題意可得：，，，即，；故選：．3．（4分）已知，下列說法中，錯誤的是A． B． C． D．與方向相同解：、由知，兩向量方向相同，所以，說法正確，不符合題意；、，原說法不正確，符合題意；、由知，兩向量的模相等，即，說法正確，不符合題意；、由知，兩向量方向相同，說法正確，不符合題意．故選：．4．（4分）如圖，在三角形紙片中，，，．沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△相似的是A． B． C． D．解：在三角形紙片中，，，．、，對應(yīng)邊，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△不相似，故此選項(xiàng)錯誤；、，對應(yīng)邊，即：，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△相似，故此選項(xiàng)正確；、，對應(yīng)邊，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△不相似，故此選項(xiàng)錯誤；、，，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△不相似，故此選項(xiàng)錯誤；故選：．5．（4分）在△中，，如果，，那么等于A． B． C． D．解：，，．故選：．6．（4分）如圖，矩形中，點(diǎn)在對角線上，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，，．如果，那么的長是A．2 B．3 C． D．解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，矩形中，，，，，，即，，在△中，，，，，又，△△，，即，，，又，，又，△△，，，設(shè)，則，，解得：，在△中，，的長是，故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．解：，，．故答案為：．8．（4分）計(jì)算：．解：．故答案為：．9．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，若，則的值為．解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，，故答案為：．10．（4分）第七屆中國國際進(jìn)口博覽會（同稱“進(jìn)博會”于2024年11月5日至10日在國家會展中心（上海）隆重舉辦．以“新時(shí)代、共享未來”為主題，是世界上首個(gè)以進(jìn)口為主題的國家級博覽會．小海在地圖上（如圖）測量他家與國家會展中心（上海）的距離為2.6厘米．那么請幫小海計(jì)算出他家與國家會展中心（上海）的實(shí)際距離為52千米．解：設(shè)小海家與國家會展中心（上海）的實(shí)際距離為千米，，，答：小海家與國家會展中心（上海）的實(shí)際距離為52千米．故答案為：52．11．（4分）如圖，，相交于點(diǎn)，，，，是△的中位線，且，則的長為2．解：是△的中位線，，．，相交于點(diǎn)，，，，△△，，即，解得：．故答案為：2．12．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第二象限內(nèi)，若與軸負(fù)半軸的夾角的正切值為，則的值為．解：過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，在中，，，，，即的值為，故答案為：．13．（4分）在梯形中，，，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)，用、的式子表示向量．解：如圖，，，△△，，即，，，，故答案為：．14．（4分）如圖，長方形的邊在△的邊上，頂點(diǎn)、分別在、上．已知△的邊長，高為，且長方形的長是寬的2倍，那么的長度是．解：設(shè)交于點(diǎn)，矩形的邊在△的邊上，頂點(diǎn)、分別在、上，，，△△，矩形的長是寬的2倍，，是△的高，，，，，，，，，，，，，解得，的長度是，故答案為：．15．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)是重心，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如果，那么18．解：如圖，連接并延長，交于點(diǎn)，點(diǎn)是△的重心，，，△△，，，且，，，，，，是中線，，，故答案為：18．16．（4分）如圖，在△中，，，將△折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，為折痕．若，．解：設(shè)，，，，，，，將△折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，為折痕，，，，，，，故答案為：．17．（4分）已知點(diǎn)是△內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則點(diǎn)叫△的費(fèi)馬點(diǎn)，已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于的△中，當(dāng)時(shí)，就是△的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)是邊長為6的等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，則．解：等邊三角形的性質(zhì)可知等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)與三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心重合，且滿足，，故答案為：．18．（4分）在等腰△中，，是邊上的高，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，且，如果△與△相似，那么的值為．解：由題意得：只能△△，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，，，，，，，，，△△，，，，，故答案為：．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．解：原式．20．（10分）如圖，已知點(diǎn)為中邊上的一點(diǎn)，且，設(shè)，．（1）請用，表示向量；（2）在圖中畫出向量分別在，方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）解：（1），，，，，，（2），即為向量分別在，方向上的分向量，如圖所示：21．（10分）如圖，直線、、分別交兩條直線于點(diǎn)，，，，，，且，，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，，即，四邊形是平行四邊形，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，．（2）解：，，，△△，，，，，，，，，，，的長為10．22．（10分）材料閱讀：光從空氣中射入水中時(shí)，傳播方向發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折射，我們把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比稱為折射率，即，已知光線從空氣進(jìn)入水中時(shí)的折射率為問題解答：如圖，矩形為盛滿水的水槽、一束光線從點(diǎn)射向水面上的點(diǎn)，折射后照到水槽底部的點(diǎn)．測得，，若，，三點(diǎn)在同一條直線上，請依據(jù)相關(guān)材料回答以下問題：（1）求的正弦值；（2）求的長（參考數(shù)據(jù)；．解：（1）在△中，，，，折射率，，；（2），，在△中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得：，，，答：的長約為．23．（12分）已知：如圖，點(diǎn)、分別在△的、邊上，，，聯(lián)結(jié)．（1）求證：△△；（2）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，求證：．【解答】證明：（1），，，，，，△△．（2）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，則，，，，，△△，，△△，，，．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．（1）分別求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在第三象限內(nèi)的點(diǎn)右側(cè)的反比例函數(shù)圖象上取一點(diǎn)，連接，，且滿足．求點(diǎn)的坐標(biāo)；過點(diǎn)作直線，在直線上取一點(diǎn)，且點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)，連結(jié)，試問：能否與相似？若能，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．解：（1）把代入，得：，解得：，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，，，把，代入，得，解得：，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，即，解得：或（舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為；存在點(diǎn)，使與相似．設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，直線，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)，其中，如圖，過點(diǎn)作軸，軸，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，則，，，，，，，、、都是等腰直角三角形，，，，當(dāng)時(shí)，則，，即，解得：，；當(dāng)時(shí)，則，即，解得：，，；