第4章正態(tài)分布

1(1股Z?N(O,1)求P{ZW1.24},P{1.24<Z42.37}zP{-2.37<Z<-1.24}；

(2)設(shè)Z~N(O,1)，且P{ZWa}=0.9147,P{ZN。=0.0526,求a,b。

解：(1)P(Z<\.24)=0(1.24)=0.8925,

P{L24<Z<2.37}=P{Z<2.37}-P{Z<1.24)=0(2.37)-0(1.24)=0.9911-0.8925=0.0986

產(chǎn){一2.37<Z<-1.24}=0(-1.24)-0(-237)=[1-7(1.24)]—[1—6(2.37)]=0.0986

(2)P{Z<tz}=0.9147=0(1.37),所以a=1.37；

P{Z>b}=0.0526=l-P[Z<b]，所以P{Z</?}=0.9474=6(1.62)，即「=1.62。

2,設(shè)X?N(3,16),求P{4vX￡8},P{0<X<5)o

解：因為X?N(3,16),所以與口~mi)o

4

4-3V_a

P{4<X<8}=P[--<——-<--}=①(1.25)-0(0.25)=0.8944-0.5987=0.2957

444

5-3()-3

P{0<X<5}=①(二上)-0(--)=0.6915-(1-0.7734)=0.4649

44o

3,(1)設(shè)X~N(25,36),試確定C,使得P{|X-25|VC}=0.9544。

(2)設(shè)X~N(3,4),試確定C,使得P{X>C}20.95。

解(1)因為。{以-25|工。}二尸{-0W乂—25工。}二中(》—中(-$=2中(§-1

所以得到①§)=0.9772,即§=2.0,C=12.0o

66

(2)因為與3?M0J),所以片、>。}=1-中(甘)20.95,即

中(^^)?0.05,或者①之0.95,從而^^之1.645,C4-0.29。

222

4,已知美國新生兒的體重（以g計）X~2（3315,5752）。

（1）求P{2587.75<X<4390.25）；

（2）在新生兒中獨立地選25個，以Y表示25個新生兒的體重

小于2719的個數(shù)，求P{Y4}。

解：根據(jù)題意可得~N(0,l)e

(1)P{2587.75<X<4390.25)=①(例。；；；3315)_、(2587募3315)

=(P(1.87)-中(—1.2648)工0.9693-(1-0.8962)=0.8655(或

0.8673)

7719—3315

(2)P{X<2719}=<P(---------^^)=1-0(1.04)=0.1492,

575

根據(jù)題意丫~8(25,0.1492),所以

P{r<4)=^C^5x0.1492卜x0.850825d之0.6664o

Jl=0

5,設(shè)洗衣機(jī)的壽命（以年計）X?M642.3）,一洗衣機(jī)已使用了5

年，求其壽命至少為8年的條件概率。

解：所要求的概率為

,$/8-6.4、

l-O(-y=)

P{X>8}1-0)(1.06)1-0.8554

〃{X>8|X>5}==0.1761

P{X>5}.,5—6.41-中(-0.92)-08212

1-0(-=-)

V23

6,一電路要求裝兩只設(shè)計值為12歐的電阻器，而實際上裝的電

阻器的電阻值（以歐計）服從均值為11.9歐，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2歐的

正態(tài)分布。求（1）兩只電阻器的電阻值都在11.7歐和12.3歐之

間的概率；(2)至少有一只電阻器大于12.4歐的概率(設(shè)兩電阻

器的電阻值相互獨立)

解：設(shè)兩個電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量XX則

X~N(11.9,0.04),y~N(11.9,0.04)

(1)P{11.7<X<123,11.7<r<12.3)=P{11.7<X<12.3)P{11.7<Y<12.3}

——12

=一①9)=[①(2)-0(-1)]2=0.81852=0.6699；

(2)至少有一只電阻器大于12.4歐的概率為

124-119

1-P{X<12.4,Y<12.4}=1-P{X<\2A]P{Y<12.4}=1-(D(————)

0?2

2

=l-0.9938?0.0124o

7,一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命X(以小時計)服從均值〃=16(),

均方差為。的正態(tài)分布，若要求尸{12()<*<2()()}20.8(),允許。最大

為多少？

解：根據(jù)題意，甚二??N(0,l)。所以有

a

P{\20<X<200}=①J。。-160)_①J20160)=2①(竺)-1>0.80,

aaa

即，O(—)>0.9?0)(1.28)z從而竺N1.28,a<31.25o

aa

故允許。最大不超過31.25。

8,將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定

在，液體的溫度X(以。C計)是一個隨機(jī)變量，且X~N(d,0.52),

(1)若4=9(),求X小于89的概率；

(2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問d

至少為多少？

解：因為X~NS0.52),所以黑~N(0,l)。

(1)P{X<89}=O(89-9Q)=0(-2)=1-0(2)=0.0228；

(2)若要求P[X>80)>0.99,那么就有P{X>80}=1-6(嚓N0.99,

即①(牛[)<0.01或者中(4當(dāng)之0.99=6(2.326),從而展222.326,

最后得到公81.163,即“至少應(yīng)為81.163。

9,設(shè)x,y相互獨立，且x服從數(shù)學(xué)期望為150,方差為9的正態(tài)

分布，卜服從數(shù)學(xué)期望為100,方差為16的正態(tài)分布。

(1)求％=x+y,w2=-2X+Y,嗎=(x+y)/2的分布;

(2)求P{X+y<242.6},P{|(X+r)/2-125|>5)o

解：根據(jù)題意x~N(150,9),Y~N(100,16)。

(1)根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布(本書101頁定理

2)的性質(zhì)，立刻得到

25

叱?N(250,25),%?N(—200,52),%?N(125,[)

(2)因為叱?M250,25),明?"(125,弓),所以

X+-25。?(X+Y)/2-⑵?

55/2

因止匕P{X+丫<242.6}=①6；50)=1.O(148)=0.0694,

P{|(X+r)/2-125|>5}=l-P{-5<(X+y)/2-125<5}

=1-①(2)一①(一2)

2.52.5

=2—26(2)

=0.0456

10,(1)某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑(以mm計)

22

x?N(IOA2),墊圈直徑(以mm計)丫?/v(io.5,o.2)zx,y相互獨

立。隨機(jī)地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。

(2)在(1)中若X~N(10,0.22),y~N(10.5,b2),問控制b至多為

多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。

解：(1)根據(jù)題意可得X-y?N(_0.5,0.08)。螺栓能裝入墊圈的概率

為P{Xvy}=P{X-y<0}=J(-(一(5)]=①(1,77)=0.9616。

[VO08)

(2)x-y~NH)50.Q4+b2),所以若要控制

/\

P{X<y)=P{X-/<())=O-(，5)>0.90=0(1.282),

U0.04+(T2)

即要求亍^^=之1.282，計算可得屋0.3348。表明0至多為0.3348

VO.O4+0-2

才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90o

11,設(shè)某地區(qū)女子的身高(以m計)W~N(1.63,0.0252),男子身高(以

m計)M~N(L73O052)。設(shè)各人身高相互獨立。(1)在這一地區(qū)隨

機(jī)選一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；(2)在這一地

區(qū)隨機(jī)選5名女子,求至少有4名的身高大于1.60的概率;(3)

在這一地區(qū)隨機(jī)選50名女子求這50名女子的平均身高達(dá)于1.60

的概率。

解：(1)因為M-W~7V(0.1,0.003125),所以

QJ

P[W>M}=P{M-W<0}=0(°-r)=0(-1.79)=1-0.9633=0.0367；

V0.003125

(2)隨機(jī)選擇的女子身高達(dá)于1.60的概率為

P{W>1.60)=1-0(1，60~1,63)=0(1.2)=0.8849,

0.025

隨機(jī)選擇的5名女子，身高大于1.60的人數(shù)服從二項分布

3(5.0.8849),所以至少有4名的身高大于1.60的概率為

C；X0.88494x(l-0.8849)+或x0.88495=0.8955

(3)設(shè)這50名女子的身高分別記為隨機(jī)變量”，…明。，

W=^-fwiO則沖=Ai>「N(1.63,暇)，所以這5。名女子的平

JUj=]DU

均身高達(dá)于1.60的概率為

1.60-1.63

P{W>1.60}=1-0()=①(8.49)x1

0.025/V50

12,(1)設(shè)隨機(jī)變量X~N(〃.02),已知P{X<16}=0.20,

P{X<20}=0.90,求〃和。；

(2)x,y,z相互獨立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求P{3X+2y<6Z-7}。

解：(1)由2a<16)=①(■立上)=0.20=①(-0.84),得到16-〃=-o.84b；

(T

P{X<20}=①(^^)=0.90=①(1.282),得至l」20—"=1.282cr；

(y

聯(lián)立16—〃=-0.8鉆和20—〃=1.282。，計算得至！=17.5834,。=1.8850。

(2)由X/,Z相互獨立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,得到

3X+2y-6Z~N(0,49)。

故所以

P{3X+27<6Z-7}=P{3X+2K-6Z<-7]=0(-)=1-0)(l)=0.1587

13,一食品廠用紙質(zhì)容器灌裝飲料，容器的重量為30g,灌裝時

將容器放在臺秤上，將飲料注入直到秤上刻度指到〃心)時結(jié)束。以

Z(g)記容器中飲料的重量。設(shè)臺秤的誤差為X~N(0.7.5。，X以g

計。(此處約定臺秤顯示值大于真值時誤差為正)

(1)寫出z,x,〃的關(guān)系式;

(2)求z的分布；

(3)確定,〃使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95。

解：(1)根據(jù)題意Z,x,m有關(guān)系式吁Z+30+X或者Z=〃L30-X；

(2)因為X~N(0,7.52),所以Z~N(〃Z-30,7.52)；

(3)要使得RZN450}之0.95,即要

P{Z>450)=1-①產(chǎn)0n0)]2095,

V7.5>

480

所以要求①卜一卜。95=①(1.645)，即“—4802]645〃〃之492.3375。

(7.5,7.5

所以，要使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95,加至

少為492.4g。

14,在上題中若容器的重量y(g)也是一個隨機(jī)變量，y?N(30,9),設(shè)

x,y相互獨立。

(1)求z的分布；

(2)確定小使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.90。

解：(1)此時Z=.-y-X,根據(jù)入N(30,9),X?N(0752),可得

Z~N⑺—30,65.25)。

(2)p{Z"50}=1-①(如之寸4=①(竿學(xué)2bo.90=6(1.282),

【J65.25)\765.25)

可得喀里”1次，即利＞490.36。

J65.25

15,某種電子元件的壽命x(以年計)服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)

分布，各元件的壽命相互獨立。隨機(jī)取100只元件，求這100只

元件的壽命之和大于180的概率。

解：設(shè)這100只元件的壽命分別記為隨機(jī)變量x“..X3,

1!00

又=焉^>,。則￡(區(qū))=2，D(X)=0.04e根據(jù)獨立同分布的中心極

1UU；=i

限定理可得

loo_X-7.18—21Q_7

P(^X.>18O)=P{X>1.8}=P{--------->----------}工1-<D(--------)=0(1)=0.8413

；_10.20.20.2

16,以X...X.記100袋額定重量為25(kg)的袋裝肥料的真實

的凈重，E(X)=25(kg),O(XJ=l,z=1,2,…100.X1,…X10G月員從同一分布，

1100

且相互獨立。，求儀24.750不￡25.25}的近似值。

,=1

解：根據(jù)題意可得￡(區(qū))=25(依)，。(幻=擊。由獨立同分布的中心

極限定理可得

P{24.75<X<25.25)=。產(chǎn)乃-25工X-25工25.25-25之①(2.5)—①(—2.5)

().10.10.1

=2①(2.5)—1=0.9876

17,有400個數(shù)據(jù)相加，在相加之前，每個數(shù)據(jù)被舍入到最接近

它的數(shù)，其末位為IO。設(shè)舍入誤差相互獨立，且在區(qū)間

(-0.5x10-7,0.5x10-7)服從均勻分布。求誤差總和的絕對值小于

().5xio、的概率。(例如45.345678419舍入到45.3456784)

解：以雙記這400個數(shù)據(jù)的舍入誤差，x=-i1-E400x則

4UU,=]/o

￡(%)=0,。(又)=黯。利用獨立同分布的中心極限定理可得

400

P[XXj<0.5x10_6}=P{-0.125X10_8<X<0.125xl0-8}

/=1

“①(0.25JU)-①(—0.25Jil)

=20(0.866)-1=0.6156

18,據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的電話機(jī)，(1)若

在該地區(qū)安裝1000部電話機(jī)記需要安裝白色電話機(jī)的部數(shù)為x,

求P{170WXW185},P{X>190),P{XH180}；(2)問至少需要安裝多

少部電話，才能使其中含有白色電話機(jī)的部數(shù)不少于50部的概率

大于0.95。

解：(1)根據(jù)題意，X~5(1000,0.2),且E(X)=200,0(X)=160。

由DeMoivre-Laplace定理，計算得

185+0.5-200170-0.5-200

P{170<X《185}出①()-0()

7160V160

X①(一1.15)-①(一2.41)=(1-0.8749)-(1-0.9920)=0.1171；

190-0.5-200

P{X>190}?1-0()=1-0)(-0.83)=0.7967

V160

180+

P{X<180}?0)(^2?-)?(p(-1.54)=1-0.9382=0.0618。

<160

(2)設(shè)要安裝〃部電話。則要使得

?_,.,.50—0.5—0.2/7.49.5—0.2z??

>50A|?1-0(-----..-)=1-0)(—...)>0.9A5

A/0.16/2

就要求中(喀().95=中(1.645),即°2"49.5>］函,從而

JO.16〃V0.16/?

0.04/z2-20.232964n+2450.25>0,解出〃>304.95或者n<201(舍去\

所以最少要安裝305部電話。

19,一射手射擊一次的得分X是一個隨機(jī)變量，具有分布律

Ix8910

0.010.29

凡

0.70

(1)求獨立射擊10次總得分小于等于96的概率。

(2)求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概

率。

2

解：心艮據(jù)題意，￡(X)=9.69,D(X)=94.13-9.69=0.2339o

(1)以…X1。分別記10次射擊的得分，則

10

XX,-96.9

P{YX.<96}=P{i=],<,}x①(1)=①(—0.59)=0.2776

rrf>/2339V233972339

(2)設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量y,則

y?8(900,0.01)。由DeMoivre-Laplace定理，計算得

P{y>6}?l-①(6；0.5-900x0.01)i一①(_]*)=0.8790。

V900X0.01x0.99

第四章解答完畢

第5章樣本及抽樣分布

L設(shè)總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，X1,X2，x3,x’是來自總體的

容量為4的樣本，求

(1)X”X2，X3，X,的聯(lián)合概率密度；(2)P{0.5<X1<l,0.7<X2<1.2)；

；^IX,(X-O.5)2J；

(3)E(X),D(X)(4)E(X,X2),2(5)D(X]X2)O

解：因為X的概率密度為/(x)=2e-2x,x>0,所以

(1)聯(lián)合概率密度為8(%，％2?3，%4)=/(%1)/。2)/(X3)/。4)

=16￡一2(西+工2+與+%)，(X1,X2，X3，X4>0)

(2)x；x2的聯(lián)合概率密度為2H2但+”)，所以

I1.2I1.2

2x2x2

P{0.5<X,<1,0.7<X2<1.2}=jj4?辦-2叼公妙？=J2e-'朗J2e-dx2

0.50.70.50.7

=(e'l-e-2)(e'L4-e-2A)

(3)蛻)4學(xué)⑺=；,D(x)=lp(x,.)4x(lp!；

(4)E(XiX2)=E(Xl)E(X2)=^,(由獨立性)

)2.2121121

E[XI(X2-0.5)]=￡(X,)E[(X2-0.5)]=-E[X2-X2+-]=-[E(X2)-E(X2)+-]

乙I乙?

2222

(5)D(X1X2)=EI(X1X2)]-E(X1X2)=E(X)E(X2)-^-J

=0%)+爐(乂)][0(匕)+爐(匕)]一務(wù)(卜：)(冷)qq。

2,設(shè)總體X-N(75J00),X1,X2，X：是來自X的容量為3的樣本,求

(1)P{max(X1,X2,X3)<85),(2)P{(60<X,<80)u(75<X3<90)},

222

(3)E(X1X2X3)r(4)D(X,X2X3)zD(2Xl-3X2-X3),

(5)P[X]+X2<M8}e

P{max(<85,X?<85,X)<85}=

解：(1)XI,X2,X3)<85}=P{X1

(v—75RS—75

3

尸&<85}P{X2<85}P{X3<85}=(P{X,<85})=P{^—<}

\1U1V//

=[O(1)]3=0,84133=0.5955;

(2)P{(60<X,<80)u(75<X3<90)}=P(60<X,<80)+P(75<<90)

｛等＜甯＜*)+哈夫三

60-75X,-7580-75,75-75X-7590-75

-------<----------}Po[r---------<--------<----------

1010101010

=[0(0.5)-6(一0.5)]+[①(1.5)-0(0)]-[0(0.5)-0(-0.5)][0(1.5)-0(0)]

=[20(0.5)-1]+[0.9332-0.5]-[20(0.5)-1][0.9332-0.5]=().383+0.4332一().383x0.4332=0.6503

(本題與答案不符)

2222222323

(3)E(X1X2X3)=F(X1)E(X2)E(X3)=[ZXXI)+E(XI)]=[100+75]

=1.8764x10"；

226

(4)￡)(X1X2X3)=E[(X,X2X3)]-E(X,X2X3)=1.8764x10"-E(X,)

=1.8764x10"-756=9.662xlO9;

D(2X,-3X2-X3)=4D(X,)+9D(X2)+D(X3)=1400；

(5)因為X1+X2~N(150,200),所以

148-150

P{X,+X,W148}=中(一1=^)=1-

=1-0.5557=0.4443o

'V200

3,設(shè)總體x~雙5),X.X2，X3是來自x的容量為3的樣本，求

(1)P{X1=1,X2=2,X3=3}；(2)P{X,+X2=1}O

解：(1)因為4相互獨立，所以

-5104/>一：

-5

P{X,=1,X,=2,x3=3)=P{X,=1}P{X,=2}P{X3=3}=5^X^—x^-

26

=15625e"=0.000398;

12

(2)P[XX+x2=1}=p{x.=0,x2=I}+p{x.=i,x2=0}

=e~5x+5e一$xe'5=\Oe-10

4,(1)設(shè)總體X~N(52,6.32),X「X2,…,X%是來自X的容量為36的

樣本,求尸{5().8<又<53.8}；

(2)設(shè)總體X?N(12,4),看多,…冬是來自X的容量為5的樣本,

求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率。

解：(1)根據(jù)題意得》~N(52,6.32/36),所以

50.8-52X-5253.8-5253.8-5250.8-52

P{50.8<X<53.8)=P{<}=皿)一中(

6.3/6<6.3/66.3/66.3/66.3/6

=0)(1.7143)43)x0.9564-(1-0.8729)=0.8293；

(2)因為又~N(12,4/5),P{|X-12|<1)=P{11<X<13}

11-12Y-1413-12

=P[-^=-<=<P(1.118)-0)(-1.118)=0.8686-(1-0.8686)=0.7372

AOV0470^8

所以P{|X-12|>1}=1-P{|X-12|<1)=1-0.7372=0.2628o

5，求總體N(20,3)的容量分別為10和15的兩獨立樣本均值差的絕對

值大于03的概率。

解：設(shè)容量分別為10和15的兩獨立樣本的樣本均值分別記為京和

y,

則》?N(20,0.3),Y~^(20,0.2),所以X-Y-N(0,0.5),

P{|X-Y\>0.3}=\-P[\X-Y\<0.3}=1-尸{-0.3<X-Y<0.3}=1—[①(提一①(一

2-2x0(0.42)=0.6744o

6,下面給出了50個學(xué)生概率論課程的一次考試成績，試求樣本均

值和樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差并作出頻率直方鼠將區(qū)間35.5,105.5)

分為7等份I

501502

解：易得元=￡茗=74.92,52=——y(x-x)=201.5037,s=14.1952,

仁〃T普z

處理數(shù)據(jù)得到以下表格

組限頻數(shù)力頻率力/〃

35.5-45.520.04

45.5-55.530.06

55.5-65.560.12

65.5-75.5140.28

75.5~85.5110.22

85.5-95.5120.24

95.5-105.520.04

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫出直方圖(略)

7,設(shè)總體X?N(764383),X"X2,…,X,是來自X的容量為4的樣本,

s?是樣本方差。(1)問(/=￡2音2，卬=￡好二分別服從什

/=i,=]3o3

么分布，并求。(S2)。(2)求產(chǎn){0.711vU47.779},4{0.352vW46.251}

解：(1)因為黃…。，"

RX,-76.42

所以，U二浮噌攵=Z~/(4)

IV383J

而根據(jù)定理2,w=寸與三

/=!333383383

q2

因為。(卬)-D(三)-6,所以。(1)-6x3832/9-293378/3。

383

(2)P{0.7I\<U<7.779}=P{U<7.779)-P[U<0.711}=(1-().1)-(1-0.95)

=0.85(第二步查表)

產(chǎn){0.352<W<6.25\}=P{W<6.251}-P{W<0.352}=(l-0.1)-(l-0.95)=0.85

8,已知X?/(〃)，求證X2~F(\,n)o

證明：因為X?/(〃),所以存在隨機(jī)變量丫~N(0,l),Z~z2(n)

使得*=占，也即X?=；,

y/Z/nZ/〃

而根據(jù)定義，所以X2="~R1,〃)，證畢。

Z/n

(第5章習(xí)題解答完畢)

第6章參數(shù)估計

17設(shè)總體X?U(0,b),B>0未知，X],X2,…,招是來自X的樣本°求。的

矩估計量。今測得一個樣本值0.5,0.6,0.1,1.3,0.9,1.6,0.7,

0.9,1.0,求b的矩估計值。

解：因為總體X?，所以總體矩E(X)=b/2。根據(jù)容量為9的樣

本得到的樣本矩又令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：E(X)=X,

得到〃的矩估計量為5=2限

把樣本值代入得到力的矩估計值為5=1.69。

__O<x<0

2,設(shè)總體x具有概率密度八。)=儼(”其他，參數(shù)。未知,

x「X2,…,X”是來自x的樣本，求。的矩估計量。

解：總體X的數(shù)學(xué)期望為4X)=玲(07)公=/令E(X)“可得。的

矩估計量為。=3又。

3，設(shè)總體X?倒九p),參數(shù)〃z,p(0<p<l)未知，X],X2,…,X”是來自X的

樣本，求n〃的矩估計量(對于具體樣本值，若求得的而不是整數(shù)，

則取與應(yīng)最接近的整數(shù)作為〃?的估計值\

解：總體X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=mp,D(X)=mp(l-p),

二階原點矩為E(X2)=D(X)+[E(X)]2=mp5P-p+1)。

令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：

22

E(X)=X,E(X)=A2=-X^

得至V?！餕

4,(1)設(shè)總體X~>0未知，X],X2,…,X”是來自X的樣本,

%,看,％是相應(yīng)的樣本值。求4的矩估計量，求力的最大似然估計值。

(2)元素碳-14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計數(shù)器的粒子數(shù)x?乃(㈤，下

面是x的一個樣本：

6496101163710

求2的最大似然估計值。

解：(1)因為總體的數(shù)學(xué)期望為義，所以矩估計量為4=又。

n

似然函數(shù)為"%)/*=與d,相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為

InL(A)=(in4)Zx-nA-Inn(x.)0

i/=,f

,=iLJ

令對數(shù)似然函數(shù)對屈勺一階導(dǎo)數(shù)為零，得到人的最大似然估計值為

才='￡七二元。

〃日

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論，丸的最大似然估計值為時天=7.2。

5,(1)設(shè)x服從參數(shù)為p(o<p<D的幾何分布，其分布律為

A-,

P{X=x)=(l-p)p,x=l,2,.?o參數(shù)p未知。設(shè)再,%2,…，x”是一個樣本值,

求〃的最大似然估計值。

(2)一個運動員，投籃的命中率為〃(0<〃<1,未知)，以x表示他投籃

直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃5次得到x的觀察值為

51749

求〃的最大似然估計值。

n

解：(1)似然函數(shù)為心)=如1-p)5p]=(l，相應(yīng)的對數(shù)

似然函數(shù)為

InL(p)=*凡一〃Jln(l_p)+〃Inpo

令對數(shù)似然函數(shù)對P的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到P的最大似然估計值為

-n1

p=---=—o

V元

i=\

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論，〃的最大似然估計值為力，=巳

x26

6,(1)設(shè)總體X~NO，/),參數(shù)二已知,〃(-8<〃<00)未知，

M，々，…多是來自X一個樣本值。求〃的最大似然估計值。

(2)設(shè)總體x~Na。?)，參數(shù)〃已知，/(/>0)未知，西，々，…，X”

為一相應(yīng)的樣本值。求，的最大似然估計值。

?一川2

解：(1)似然函數(shù)為Mz/)=n房L‘相應(yīng)

的對數(shù)似然函數(shù)為

3-號-皿'。

令對數(shù)似然函數(shù)對"的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到〃的最大似然估計值為

n

A/=1

4=x

no

〃IW卬I____

(2)似然函數(shù)為,相應(yīng)的

心瘍。J")5

對數(shù)似然函數(shù)為

Z("〃)2

2=1

令對數(shù)似然函數(shù)對，的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到/的最大似然估計值為

7，設(shè)K,x,,…,x”是總體x的一個樣本，為，工,，…，匕為一相應(yīng)的樣本值。

總體X的概率

X-x/0x>0、，

密度函數(shù)為fM=10-其他，。〈夕<8，求參數(shù)。的最

大似然估計量和估計值。

總體X的概率

X-X/0

密度函數(shù)為/“)=<2。3。其他，0<。<8,求參數(shù)。的最

大似然估計值。

(3)設(shè)

x~BQn,P),〃?已知，0<pv1未知,求p的最大似然估計值。

nm

ItyUIX：—X//0

解：(1)似然函數(shù)為他=n條e"。，相應(yīng)的對數(shù)似

i=l0~0

然函數(shù)為

InL(0)=Vin匹一2〃In。-2匕/?！?/p>

i-li=l

令對數(shù)似然函數(shù)對。的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到。的最大似然估計值為

相應(yīng)的最大似然估計量為0=工

2

「2在2"

(2)似然函數(shù)為=n&力=烹,相應(yīng)的對數(shù)似然

1-1￡,028

函數(shù)為

InL(O)=V21n七一3nln(2〃)一g七/0。

i-li=i

令對數(shù)似然函數(shù)對。的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到。的最大似然估計值為

(3)因為X~&九〃),其分布律為P{X=x}=C/'(l-P)"E，X=0,1,2,-m

nn

￡r-X-

所以，似然函數(shù)為Up)=首Hp"(I-p)F=nc：；xp苛x(i-p)n*,

r=lZ=1

相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為

L(p)=(in-+"加一￡七ln(1-p)+ZInC；。

i=lV?=l)j=[

令對數(shù)似然函數(shù)對P的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到〃的最大似然估計值為

8,設(shè)總體x具有分布律

xl23

2

PkO26(1-夕)(I-。)？

其中參數(shù)。(0＜。＜1沫知。已知取得樣本值內(nèi)=1,々=2,5=1，試求。的

最大似然估計值。

解：根據(jù)題意，可寫出似然函數(shù)為

L(0}=nP{X=X,.)=6＞2X2/9(1-O)xO2=2O5(1-0),

1=1

相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為

InL(0)=In2+5In6?+ln(1-^)o

令對數(shù)似然函數(shù)對。的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到。的最大似然估計值為

3=5/6。

9,設(shè)總體X~NQ+P，1),Y~N(a-,%尸未知，o?已知,

乂“2「”〃和耳名,，.?,匕分別是總體乂和丫的樣本，設(shè)兩樣本獨立。試

求最大似然估計量。

解：根據(jù)題意，寫出對應(yīng)于總體X和y的似然函數(shù)分別為

.

n11±__;-

L(a+Z?)=Il.——e2b=----------------e

氣后。j(岳°)”

相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為

工區(qū)一…)?

ln(V2^-(T)

InL(a+/)=i=l

2a2

翅—a+而

InL(a-/3)=---——；-------InN27VoJ,

2b

令對數(shù)似然函數(shù)分別對a+〃和"夕的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到

a+p=X

a-P=Y'

算出a4最大似然估計量分別為人”,B=胃。

10,(1)驗證均勻分布u(o,e)中的未知參數(shù)。的矩估計量是無偏估計

量。

(2)設(shè)某種小型計算機(jī)一星期中的故障次數(shù)丫?/⑷，設(shè)耳心,…力是

來自總體y的樣本。①驗證「是丸的無偏估計量。②設(shè)一星期中故障

維修費用為Z=3Y+y2,求￡(Z)。

(3)驗證。=3八］￡匕2是E(Z)的無偏估計量。

n/=>

解：(1)均勻分布uoe)中的未知參數(shù)。的矩估計量為

0=2又。

由于E@=2E(R=2xg=e,所以3=2區(qū)是。的無偏估計量。

(2)①因為可"」￡石⑺='咸="所以F是2的無偏估計量。

〃閆〃

(2)E(Z)=3E(y)+E(y2)=3/1+(4+萬)=42+矛。

(3)E(U)=3E(y)+-yE(y^2)=32+-Xn(X+22)=4A+=E(Z),

所以，u是E(Z)的無偏估計量。

11,已知X「X2，X3，X4是來自均值為。的指數(shù)分布總體的樣本，其中e

未知。設(shè)有估計量

7；=1(X1+X2)+1(X3+X4),

63

T2=(X1+2X,+3X3+4X4)/5,

7；=(XI+X2+X3+X4)/4O

(1)指出小心西中

哪幾個是。的無偏估計量。

(2)在上述。的無

偏估計量中哪一個較為有效？

解：(1)因為

E(