第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、選擇題

1.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是

(A)8(B)16(C)28(D)44

2.若隨機(jī)變量x和y的協(xié)方差an，(x,y)=o,則以下結(jié)論正確的是()

(A)X與y相互獨(dú)立(B)D(X+Y尸DX+DY(QD(X-Y尸DX-DY(D)D(XY)=DXDY

3.設(shè)隨機(jī)變笊X和y相互獨(dú)立，且XN(M，b；),yN(任,H),則Z=X+2Y-()

(A)N(M+〃2。；+2。；)<B)N(M+〃2H；+b：)

(C)N(〃|+2〃2，。；+4。；)(D)-2/z2H-

4.設(shè)一維班機(jī)變量(X,Y)檄從.維正念分化，則的機(jī)變量4=X+Ynn=X-Y不相關(guān)的充要條

件為

(A)EX=EY(B)E(X2)-(EX)2=E(Y2)-(EY)2

(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X：)+(EX)2=E(Y2)+(EY)2

5.設(shè)X、丫是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從于N(O,l),則2=113*(￡丫)的數(shù)學(xué)

期里￡(Z)=<)(A)-TU(B)0(C)-j=(D)-4=

7?元。乃2-7-7

6.設(shè)X、y是相互獨(dú)立且在(0.8)上服從于均勻分布的隨機(jī)變法，則E[min(X,y)]-()

0^00

(A)-(B)0(C)-(D)-

234

7.設(shè)隨機(jī)變量X和y的方差存在且不等于0,則D(X+Y尸DX+DY是X和Y()

(A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件(B)獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件

(C)不相關(guān)的充分必要條件(D)獨(dú)立的充分必要條件

8.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P\X=(一1)"2}=￡(〃=1,2,)，則E(X)=()

(A)2(B)0(C)In2(D)不存在

9.將一枚硬幣重且擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相

關(guān)系數(shù)等于

(A)-1(B)0<C)1(D)I

10.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，具有方差。2>0,則隨機(jī)變量U=X+Y和V=X-Y

<A)獨(dú)立(B)不獨(dú)立(C)相關(guān)(D)不相關(guān)

11.隨機(jī)變量X的方差存在，且E(X)=R則對(duì)于任意常數(shù)C,必有。

<A)E(X-C)2=E(X?)-C(B)E(：(-€)2=E(X-g)2

(C)E(X-C)2<E(X-爐(D)E(X-C)2^E(X-g)2

12.設(shè)*~11(仆),￡5尸323)=」，則段1<*<3)=()

3

(A)0(B)-(C)-(D)

432

二、填空題

1.設(shè)X表示10次獨(dú)立重更射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為0.4,則

軟'2)---------

2.設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為〃，進(jìn)行了100次獨(dú)立重身試驗(yàn)，當(dāng)〃=時(shí)，成功的

次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為批注[cl]:注意是標(biāo)準(zhǔn)差還是方差!

1X>0批注[c2]:是方差不是期旅!

3.設(shè)隨機(jī)變量x在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量y={ox=o,則y的方差

-ix<o

DY=________

4.D(X)=4.o(y)=9,0x>=o$則。(x—y)=，D(X+Y)=

5.設(shè)隨機(jī)變量X服從于參數(shù)為％的泊松分布，且已知E[(X-l)(X-2)]=l,則

2=________

6.設(shè)(X.Y)的概率分布為：

-101

03.070.180.15

13.080.320.2

則cov(x2,y2)=。批注|c3|:E(XA2*YA2)=0.28!

X2Y2不獨(dú)立!

7.已知P(X=Z)=3(k=1.23),則E(X)=_________

k

8.X~N(g,a2),Y~N(p.<y2),X與Y相互獨(dú)立，則Ccv(X+Y,X-Y)=

9.隨機(jī)變量X1.X2K3相互獨(dú)立,11.都服從均勻分布U(0.2),令X=3XLX2+2X3,則

E(X)=.D(X)=。

10.設(shè)PXY=0.9,Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為

11.設(shè)隨機(jī)變用X”獨(dú)立同分布，EX產(chǎn)2,則行列式

YVV

Y=?，….2"的數(shù)學(xué)期弱EY=.

X”X“2…X.

三、簡(jiǎn)答題

1.從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的再件是相互獨(dú)

立的，并且概率都是〃設(shè)X為問種遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分化但、分在函數(shù)和

數(shù)學(xué)期望。

批注小燈：好的基砒題!

2.已知隨機(jī)變量(x,y)服從二維正態(tài)分布，H.X與y分別服從正態(tài)分布N(I3)與

1vV

N(0,42),它們的相關(guān)系數(shù)0xy=-/，令2=彳+5,⑴求Z的數(shù)學(xué)期望EZ與方差OZ

(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)「總。

3.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有

3件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求

(I)乙箱中次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望：(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。

4.游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個(gè)整點(diǎn)的笫5分鐘、25分鐘和55分鐘從

底層起行。假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在［0,60］上均勻分布，求

該游客等候時(shí)間Y的數(shù)學(xué)期望。

5.一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量X與顧客對(duì)某種商品的需求成Y坦相互獨(dú)立的隨

機(jī)變量，且都服從區(qū)間［10.20］上的均勻分布。商店沒售出一堆位商品可得利澗1000元：若需

求量超過了供貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品獲利潤為500元，試計(jì)算

此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值.

6.兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障二作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先開動(dòng)其中一

臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另?臺(tái)自行開動(dòng).試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T的概率

密度f(l)、數(shù)學(xué)期望和方差。批注設(shè)司：使用公式更簡(jiǎn)單!

7.某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(Ovpvl),各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一

個(gè)不合格品時(shí)即停機(jī)檢修。設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已牛.產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期

望和方差。

8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=對(duì)X獨(dú)立地重熨觀察4次，用

0,其他.

Y表示觀察值大丁也的次數(shù)，求產(chǎn)的數(shù)學(xué)期望。

3

9.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，旦都服從均值為0,方差為1/2的正態(tài)分布，乘隨機(jī)變量|X-Y|

的方差。批注k6)：用定義!

10.假設(shè)二維隨機(jī)變量(X.Y)在矩形G={(x.y)|OSxWl,OWyWl)上服從均勻分布。記

,,(0.X<y；fo.X<2Y;

[l,X>Y,[\,X>2Y,

(I)求(U,V)的概率分布；(2)求U和V的相關(guān)系數(shù)r°

11.假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間?2,2]上服從均勻分布,隨機(jī)變量

X」L…;yJl,U>l;

t-1.U<-\f-1.L'<1,

試求(1)X和Y的聯(lián)合概率分布；(2)D(X+Y)。

12.設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件；隨機(jī)變量

〃[I,若A出現(xiàn)；?I,若B出現(xiàn)；

1-1.若A不出現(xiàn)，[-I,若3不出現(xiàn)

試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充要條件是A與B相互獨(dú)立。

參考答案

一、選擇題

1.D2.B3.C4.B5.C6.C7.C8.D9.A10.D11.D12.D

二、填空題

I.18.42.1/2,53.8794.7.195.I6.-0.027.18/118.0

9.4,14/310.0.9II.0

三、簡(jiǎn)答題

2

I.解：X服從二項(xiàng)分布8(3,1),其分布律為

X0123

p27/12554/12536/1258/125

其分布函數(shù)為

0,x<0,

27/125,0<%<1,

戶3=<81/125,l<x<2,

117/125,2Mx<3,

1,x>3.

X的數(shù)學(xué)期型為EX=3x]=《.

IVYII1

2.解：⑴因XN(L3)yN(0,4)O.=一一,Z=2+2.故有￡Z=-￡X+-￡y=-,

232323

cov(X,y)=VoxVoypv),=-ix3x4=-6,

YVIII1I42

DZ=D(y+y)=-DX+2x-x-cov(X.r)+-DF=y+2x-x(-6)+—=3

vVI|72i

(2)cov(X,Z)=cov(X,—+—)=-DX+-cov(X,K)=—+—x(-6)=0.pxz=0

323232

3.解：(I)由題意知，X股從超幾何分布，故EX=3x±=2：

62

<2)又全概率公式，可得p=4x」+GXG+C；xC：xJ.=1。

C：6C；6c：64

5-X,0<X<5,

25-X,5<X<25,

4.解：布F題意，Y=g(X)=

55-X,25<X<55,

60-X+5,55<X460.

因此

EY=Eg(X)=:=g(x)dt

=60"(5-『(25—x)dx+j；(55—x)dx+((65—x)tlx)=11.67.

5.解：設(shè)Z表示商店每周所得的利潤，則

io(x)y,r<x,

z=g(x,y)=《...........

1000X+5(xxY-X\=5()(xX+X),Y>X,

所以￡Z=%(X,Y)=￡￡g(x,y)f(xty)d^y

<-202O12Ov1

=||flOOOvx—<￡rJv+ff[r5OXA+y)x—6hz/v=l4I66.67o

Jh)Jy-100-加樂?100

6.解：以X和Y表示先后開動(dòng)的記錄儀無故障工作的時(shí)間,則丁=乂+丫，從而有

“八廠r/、■j251e"Z-5"TZG=25M”，r>0.

/(/)=fx(x)/r(/-x)dx=Jo

J*0,t<0,

由已知，EX=EY=-,DX=DY=—,

525

2?

從而有：ET=EX+EY=-.DT=DX+DY=—.

525

7.解：X服從幾何分布，P(X=i)=qilp,i=1.2....

EX=力〃尸"=p￡(/>=p(￡q'Y=P(7^-)f=—:

r=li=lr=l1-9P

EX2=之i'(r'p=P(士d—i)，T+Xiqi)=pq(￡q'廣+—=,+—=^~r:

pppp

DX=EX2-(EX)2=上4

P'

8.解：設(shè)A表示X的觀察值大于￡,故P(A)=P(X>工)=「-cos-fh=-:由題意可知,

33入”222

Y~B(4,l/2)：故EX=Oy+(EY)2=4x4x1+(4x2)2=5。

222

9.解:有獨(dú)立正態(tài)分布的性質(zhì),X?Y~N(0.1),先求

叩一止舄*包合

再求Eix-y|2=i+o=i