第一章隨機(jī)事件及其概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實(shí)世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科,

20世紀(jì)以來，廣泛應(yīng)用于工業(yè)、國防、國民經(jīng)濟(jì)及工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域.本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中

最基本、最重要的概念之一.

【教學(xué)目的與要求】

通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解隨機(jī)事件和樣本空間的概念；熟練掌握事件間的關(guān)系與基本運(yùn)算。理解事件

頻率的概念；了解隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。知道概率的公理化定義；理解古典概型的概念；了解

幾何概率；掌握概率的基本性質(zhì)（特別是加法定理），會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算。理解條件概

率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式，并會(huì)應(yīng)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算。理解事件

獨(dú)立性的概念，會(huì)應(yīng)用事件的獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。掌握貝努里概型及有關(guān)事件概率的計(jì)算。

【教學(xué)重點(diǎn)】

事件的關(guān)系與運(yùn)算；概率的公理化體系；古典概型的計(jì)算；概率的加法公式、乘法公式與全概率公式；條

件概率與事件的獨(dú)立性。貝努里概型。

【教學(xué)難點(diǎn)】

古典概率的計(jì)算；全概公式與貝葉斯公式的應(yīng)用；

【計(jì)劃課時(shí)】8

【教學(xué)內(nèi)容】

第一節(jié)隨機(jī)事件

一.隨機(jī)現(xiàn)象

從亞里士多德時(shí)代開始，哲學(xué)家們就已經(jīng)認(rèn)識到隨機(jī)性在生活中的伶用.但直到20世紀(jì)初.人們才認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象

亦可以通過數(shù)量化方法來進(jìn)行研究.概率論就是以數(shù)最化方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.而我們

已學(xué)過的微積分等課程則是研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科.

二.隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知.初看似乎亳無規(guī)律.然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí).其每種

可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性.從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性.人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所

表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.

為了對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察.我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)

試驗(yàn).并簡稱為試驗(yàn)，記為.例如.觀察某射手對固定目標(biāo)進(jìn)行射擊.拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).記錄某

市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗(yàn).

隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：

I.可重復(fù)性.試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；

2.可觀察性.試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的；

3.不確定性.每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.

三,樣本空間

盡管一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的.但其所有可能結(jié)果是明確的.我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果

稱為一個(gè)樣本點(diǎn).記為（或）;它們的全體稱為樣本空間.記為（或）.

基本事件的稱謂是相對觀察目的而言它們是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它們復(fù)合而成,

一般地，我們稱由基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件.

四.事件的集合表示

按定義.樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果（樣本點(diǎn)）的全體.故樣本空間就是所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合.每一個(gè)樣

本點(diǎn)是該集合的元素.一個(gè)事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結(jié)果所構(gòu)成的.所以一個(gè)事件對應(yīng)于中

具有相應(yīng)特征的樣本點(diǎn)(元素)構(gòu)成的集合.它是的一個(gè)子集.于是.任何一個(gè)事件都可以用的某一子集來表示，常

用字母等表示.

五.事件的關(guān)系與運(yùn)算

因?yàn)槭录菢颖究臻g的一個(gè)集合，故事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可按集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來處理.

六,事件的運(yùn)算規(guī)律

事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的，為了方便，給出下列對

昭表.

表1.1

例題選講：

例1在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示選出的是男生，事件8表示選出的是三年級學(xué)生，事件C表

示該生是運(yùn)動(dòng)員.

(1)敘述事件4^e的意義；(2)在什么條件下AAC=C成立？

(3)什么條件下CuB?(4)什么條件下X=8成立？

例2考察某一位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)考試中的成績，分別用4,B,C,D,P,尸表示下列各事件(括號中表示成績所處

的范圍):A—優(yōu)秀([90,100]),8—良好([80,90)),

則是兩兩不相容事件與是互為對立事件，即有均為的子事件，且有

例3甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來

分別表示下列各事件：

(I)“甲未中靶”：⑵“甲中靶而乙未中靶”：

(3)“三人中只有丙未中靶"(4)“三人中恰好有一人中靶”：

(5)“三人中至少有一人中靶"AUBUC(6)“三人中至少有一人未中靶”WU后US或而心

(7)“三人中恰有閑人中靶"ABeUA豆CUW8C;(8)“三人中至少雨人中靶"ABUACUBC;

(9)“三人均未中靶”ABC;(10)“三人中至多一人中靶A耳不方CUN后G；

(11)“三人中至多雨人中靶”痂;或WU再U彳；

注：用其他事件的運(yùn)算來表示一個(gè)事件，方法往往不惟一，如上例中的⑹和(H)實(shí)際上是同一事件，讀者應(yīng)學(xué)會(huì)

用不同方法表達(dá)同一事件，特別在解決具體問題時(shí)，往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?

例4指出下碼各等式命題是否成立，并說明理由：

(1)=(2)AB=AUB;

(3)7U5nC=A§C;(4)(AB)(AB)=0;

⑸如果Au8,貝Ij4=4及(6)如果A6=0,且CuA,則8C=0;

(7)如果Au3,那么看uW;(8)如果那么4U4=A

例5化曾下列事件：(1)(2)

思考題

1.設(shè)當(dāng)事件與同時(shí)發(fā)生時(shí)也發(fā)生.…).

(A)AU8是。的子事件；(B)48C;或一U百U髭;

(C)45是C的子事件；(D)C是45的子事件.

2.設(shè)事件｛甲種產(chǎn)品暢銷.乙種產(chǎn)品滯銷｝.則的對立事件...).

(A)甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；(B)甲種產(chǎn)品滯銷；

(C)甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；(D)甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.

第二節(jié)隨機(jī)事件的概率

對一個(gè)隨機(jī)事件，在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，它是否會(huì)發(fā)生，事先不能確定.但我們可以問，在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生

的可能性有多大？并希望找到一個(gè)合適的數(shù)來表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.為此，本節(jié)首先引

入頻率，它描述了事件發(fā)生的頻繁程度，進(jìn)而引出表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)…-概率.

一.頻率及其性質(zhì)

定義.若在相同條件卜進(jìn)行次試驗(yàn).其中事件發(fā)生的次數(shù)為.貝J稱為事件發(fā)生的頻率.易見.頻率具有卜述

基本性質(zhì)..1.…2…3.設(shè)是兩兩互不相容的事件.則

2

力,(AU&U??*U4i(A)+/〃(A2)+??"(4).

二,概率的統(tǒng)計(jì)定義

定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，若事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)

(附近擺動(dòng)，則稱為事件的概率.記為.

頻率的穩(wěn)定值是概率的外在表現(xiàn).并非概率的本質(zhì).據(jù)此確定某事件的概率是困難的，但當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)

時(shí)，頻率會(huì)接近穩(wěn)定值.因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往是用試驗(yàn)次數(shù)足夠大的頻率來估計(jì)概率的大小.且隨著試驗(yàn)次數(shù)

的增加.估計(jì)的精度會(huì)越來越高。

三,概率的公理化定義

任何?個(gè)數(shù)學(xué)概念都是對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，這種抽象使得其具有廣泛的適用性.概率的頻率解釋為概率提供了經(jīng)

驗(yàn)基礎(chǔ).但是不能作為一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.從概率論有關(guān)問題的研究算起.經(jīng)過近三個(gè)世紀(jì)的漫長探索歷程.人們

才真正完整地解決了概率的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義.1933年.前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫.在他的“概率論的基本概

念”一書中給出了現(xiàn)在已被廣泛接受的概率公理化體系.第一次將概率論建立在嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上.

定義3設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間,對于石的每一個(gè)事件A賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),若P(A)滿足下

列三個(gè)條件：

1.非負(fù)性：對每一個(gè)事件，..…2.完備性：；

3.可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有

則稱P(A)為事件A的概率.

四.概率的性質(zhì)

性質(zhì)I-性質(zhì)

例題選講：

頻率及其性質(zhì)

例..圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).我國數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位,這個(gè)記錄保持了

1000多年.以后有人不斷把它算得更精確.1873年.英國學(xué)者沈克士公布了一個(gè)的數(shù)值.它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共

有707位之多.但幾十年后.曼徹斯特的費(fèi)林生對它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計(jì)了的608位小數(shù).得到了下表：

你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎？

因?yàn)槭且粋€(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，所以.理論上每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1,

但7出現(xiàn)的頻率過小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.

概率的統(tǒng)計(jì)定義

例2檢查某工廠一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中分別抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件檢查,

檢查結(jié)果及次品頻列入表1-21

由表I看出.在抽出的n件產(chǎn)品中.次品數(shù)隨著n的不同而取不同值.從而次品頻率僅在0.05附近有微小變化.

所以0.05是次品頻率的穩(wěn)定值.

例..從某魚池中取100條魚.做上記號后再放入該魚池中.現(xiàn)從該池中任意捉來40條魚.發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號.問池

內(nèi)大約有多少條魚？

概率的性質(zhì)_

例4己知P(彳)=0.5,P(A豆)=0.2,P(8)=0.4,求

(1)P(AB);(2)P(A-B);(3)P(AuB);(4)P(AB).

例5觀察某地區(qū)未來5天的天氣情況，記片為事件：“有，?天不下雨"，已知P(4)=iP(A)),i=l,2,3,4,5.求

下列各事件的概率：

(I)天均下雨；(2)至少一天不下雨；(2)至少一天不下雨；

例.某城市中發(fā)行2種報(bào)紙A.B.經(jīng)調(diào)查,在這2種報(bào)紙的訂戶中.訂閱A報(bào)的有45%,訂閱B報(bào)的有35%.同時(shí)訂閱

2種報(bào)紙A.B的有10%.求只訂一種強(qiáng)紙的概率

講解注意：

思考題

1.設(shè)A8=0,P(A)=0.6,P(AU8)=0.8,求事件4的逆事件的概率.

2.設(shè)P(A)=0.4,P(8)=0.3,夕(AU8)=0.6,求P(A—3).

3.設(shè)A8都出現(xiàn)的概率與A8都不出現(xiàn)的概率相等，且P(A)=〃，求P(4).

3

第三節(jié)古典概型與幾何概型

引.一個(gè)紙桶中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號為1一10.把球攪勻.蒙上眼睛從中任取一球.因?yàn)槌?/p>

取時(shí)這些球被抽到的可能性是完全平等的.所以我們沒有理由認(rèn)為這10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易抽得.

也就是說，這10個(gè)球中的任一個(gè)被抽取的可能性均為.

這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)是一類最簡單的概率模型.它曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期主要的研究對象.

一、古典概型

我們稱具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判汀?.隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果；

2.每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同因而古典概型又稱為等可能概型.在概率論的產(chǎn)生和發(fā)展過參程中，它是

最早的研究對象，且在實(shí)際中也最常用的一種概率模型。它在數(shù)學(xué)上可表述為：在古典概型的假設(shè)下，我們來推導(dǎo)

事件概率的計(jì)算公式.設(shè)事件包含其樣本空間中個(gè)基本事件.即則事件發(fā)生的概率

稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.這就把求古典概率的問題轉(zhuǎn)化為對基本事件的計(jì)數(shù)問

題.

二、計(jì)算古典概率的方法

基本計(jì)數(shù)原理：

1.加法原理：設(shè)完成一件事有種方式，其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，……，第種方式有

種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事的方法總數(shù)為.

2.乘法原理：設(shè)完成一件事有個(gè)步驟，其中第一個(gè)步驟有種方法，第二個(gè)步驟有種方法，……，第個(gè)步驟有

種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)..

3.排冽組合方法：排列公式：(2.組合公式.(3.二項(xiàng)式公式.

三、幾何概型

古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型.這里我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或

空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型一幾何概型.

(a)設(shè)樣本空間是平面上某個(gè)區(qū)域.它的面積記為；(b)向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含

義是指該點(diǎn)落入內(nèi)任何部分區(qū)域的可能性只與區(qū)域的面積成比例.而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān).向區(qū)域

上隨機(jī)投擲一點(diǎn).該點(diǎn)落在區(qū)域的的事件仍記為，則概率為.其中為常數(shù)，而，于是得，從而事件的

概率為..幾何概....

注：若樣本空間S為一線段或一空間立體，則向S“投點(diǎn)”的相應(yīng)概率仍可用(*)式確定，但〃。應(yīng)理解為長度或

體積.

例題選講：

例1一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球，求

(I)從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑球的概率；

(2)從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率.

例2將標(biāo)號為1,2,3,4的四個(gè)球隨意地排成一行，求下列各事件的概率：

(I)各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的順序；

(2)第1號球排在最右邊或最左邊；

(3)第I號球與第2號球相鄰；

(4)第1號球排在第2號球的右邊(不一定相鄰).

例3將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，問杯子中球的個(gè)數(shù)最多為1,2,3的概率各是多少？

例4將15名新生(其中有3名優(yōu)秀生)隨機(jī)地分配到三個(gè)班級中，其中一班4名，二班5名，三班6名，求：

(I)每一個(gè)班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率；

(2)3名優(yōu)秀生被分配到一個(gè)班級的概率.

例5在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，間取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

例6一個(gè)袋子中裝有個(gè)球，其中個(gè)黑球，個(gè)白球,隨意的每次從中取出一個(gè)球(不放回)，求下列各事

件的概率：

(1)第，次取到的是黑球；

(2)第，次才取到黑球；

(3)前，次中能取到黑球.

幾何概型

4

例7某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報(bào)時(shí)，設(shè)電臺每正點(diǎn)是報(bào)時(shí)一次，求他(她)等待時(shí)間短于

10分鐘的概率.

例8會(huì)面問題.甲、乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面.先到者等候另一人20分鐘,過時(shí)就離開.如果每個(gè)

人可在指定的一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá).試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率.

思考題

I.設(shè)有件產(chǎn)品.其中有件次品.現(xiàn)從中任取件.求其中有件次品的概率.

第四節(jié)條件概率

先由一個(gè)簡單的例子引入條件概率的概念.

一、條件概率的概念

在解決許多概率問題時(shí),往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件發(fā)生的條件下，求事件發(fā)

生的條件概率，記作.

定義1設(shè)是兩個(gè)事件，且，則稱(1)為在事件發(fā)生的條件下，事件的條件概率.相應(yīng)地，把稱為無條件

概率。一般地..

注.1.用維恩圖表達(dá)(1)式.若事件已發(fā)生，則為使也發(fā)生，試驗(yàn)結(jié)果必須是既在中又在中的樣本點(diǎn)，即此點(diǎn)必屬

于.因已知己發(fā)生，故成為計(jì)算條件概率新的樣本空間.2.計(jì)算條件概率有兩種方法:：a.在縮減的樣本空間

中求事件的概率，就得到；b.在樣本空間中，先求事件和，再按定義計(jì)算。

二、乘法公式

由條件概率的定義立即得到:P(A8)=P(A)P(8|A)(P(A)>0)(2)

注意到45二胸，及A8的對稱性可得到:P(人B)=P(8)P(A|8)(P(4)>0)(3)

(2)和(3)式都稱為乘法公式，利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率.

三、全概率公式

全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式。它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題，可化為在不同情況或不同原因

或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。

定理1設(shè)44,…，4,…是一個(gè)完備事件組，且尸(4)>0,i=1,2,…，則對任一事件—有

注：全概率公式可用「計(jì)算較復(fù)雜事件的概率，公式指出：在復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(或不易時(shí)，可根據(jù)具體情況

構(gòu)造一組完備事件{4},使事件4發(fā)生的概率是各事件4?=12…)發(fā)生條件下引起事件4發(fā)生的概率的總和.

四、貝葉斯公式

利用全概率公式，可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發(fā)生的概率.下面

給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題，即，一事件已經(jīng)發(fā)生，要考察該事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的

可能性.例如，有三個(gè)放有不同數(shù)量和顏色的球的箱子，現(xiàn)從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號

箱的概率.或問:該球取自哪號箱的可能性最大？

定理2設(shè)…,4,…是一完備事件組廁對任一事件&P(3)>0,有

i=l,2,…，貝葉斯公式

注.公式中，和分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件是否發(fā)生)的情況下諸

事件發(fā)生的概率.當(dāng)獲得新的信息(知道發(fā)生)，人們對諸事件發(fā)生的概率有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻

劃了這種變化.特別地，若取，并記.則，于是公式成為

例題選講：

條件概率

例I一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球，先后兩次從袋中各取一球(不放回)

(1)已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；

(2)已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率.

例.袋中有5個(gè)球.其中3個(gè)紅球2個(gè)白球.現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè).己知第一次取得紅球時(shí).求第二次取得白球

的概率.

5

乘法公式

例3一袋中裝10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放I可)，求兩次取到的均為黑球

的概率.

分析：這一概率.我們曾用古典概型方法計(jì)算過.這里我們使用乘法公式來計(jì)算.在本例中.問題本身提供了兩步完

成一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu).這恰恰與乘法公式的形式相應(yīng).合理地利用問題本身的結(jié)構(gòu)來使用乘法公式往往是使問題得

到簡化的關(guān)鍵.

例4設(shè)袋中裝有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球.觀察其顏色然后放回.并再放入只與所取出的那只球

同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次.試求第一.二次取到紅球且第三.四次取到白球的概率.

例5設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡.第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破.第二次落下打破的概率為

7/10.若前兩次落下未打破.第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.

例6)已知，試求

例7一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，求第二次取到的是黑球

的概率.

全概率公式

例8人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化.往往會(huì)去分析影響股票價(jià)格的基本因素.比如利率的變化.

現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%.利率不變的概率為4。％.根據(jù)經(jīng)驗(yàn).人們估計(jì).在利率下調(diào)的情況下.

該支股票價(jià)格上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下.其價(jià)格上漲的概率為40%.求該支股票將上漲的概率.

例9某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個(gè)，廢品率為0.06,乙廠每

箱裝120個(gè)，廢品率為0.05,求：(1)任取一箱,從中任取一個(gè)為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一

個(gè)為廢品的概率.

例1.在例7中，我們將“第二次取到的球?yàn)楹谇颉边@一事件分解為兩種情況下發(fā)生，那里利用全概率公式算得“第

二次取到的球?yàn)楹谇颉钡母怕?現(xiàn)在的問題是，假設(shè)我們已經(jīng)觀察到“第二次取到的球?yàn)楹谇颉?，但我們不知道?/p>

在第一次取到的球?yàn)楹谇虻那闆r下第二次取的是黑球的可能性大，還是在第一次取到的球?yàn)榘浊虻那闆r下第二

次取到的是黑球的可能性大，現(xiàn)求“第一次取到的是黑球”這種“情況”發(fā)生的概率.

例11對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明.當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí).產(chǎn)品的合格率為98%.而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí).其合格率為

55%.每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí).機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí).機(jī)器調(diào)整得良好

的概率是多少？

例12設(shè)某批產(chǎn)品中，甲，乙，丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%,

現(xiàn)從中任取?件,(1)求取到的是次品的概率;(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.

例13根據(jù)以上的臨床記錄，某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以表

示事件“被診斷者患有癌癥”，則有

現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)備試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)=0.005,試求

思考題

1.設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8.活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物.它能活

到25歲以上的概率是多少？

第五節(jié)事件的獨(dú)立性

一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性

定義若兩事件4,3滿足aA8)=P(A)P(5)⑴則稱43獨(dú)立，或稱A.B相互獨(dú)立.

注.當(dāng)，時(shí).，相互獨(dú)立與，互不相容不能同時(shí)成立.但與既相互獨(dú)立又互不相容(自證).

定理.設(shè)，是兩事件.且，若，相互獨(dú)立.則?反之亦然.

定理2設(shè)事件A,3相互獨(dú)立，則下列各對事件也相互獨(dú)立：A與瓦彳與&彳與后.

二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性

定義：為三個(gè)事件.若滿足等式則稱事件相互獨(dú)立.

對〃個(gè)事件的獨(dú)立性，可類似寫出其定義：

定義設(shè)A，4,…,4是〃個(gè)事件，若其中任意兩個(gè)事件之間均相互獨(dú)立，則稱4,…,4兩兩獨(dú)立.

三、相互獨(dú)立性的性質(zhì)

6

性質(zhì)1若事件A，…,4。此2）相互獨(dú)立，則其中任意以1＜心〃）個(gè)事件也相互獨(dú)立;

由獨(dú)立性定義可直接推出.

性質(zhì)2若個(gè)事件相互獨(dú)立，則將中任意個(gè)事件換成它們的對立事件，所得的個(gè)事件仍相互獨(dú)立；對

時(shí)，定理2已作證明，一般情況可利用數(shù)學(xué)歸納法證之，此處略.

性質(zhì)3設(shè)是個(gè)隨機(jī)事件，則相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立。即相互獨(dú)立性是比兩兩獨(dú)立性更強(qiáng)的性質(zhì)，

四、伯努利概型

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果.事件發(fā)生（記為..事件不發(fā)生1記為）.則稱這樣的試驗(yàn)為伯努利（Bcrmourlli）

試驗(yàn).設(shè)將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次.稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn).或簡稱為伯努利概型.

注：〃重伯努利試驗(yàn)是?種很重要的數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用.其特點(diǎn)是:事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)

生的概率均為〃，且不受共他各次試照中A是否發(fā)生的影響.

定理3（伯努利定理）設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為則在〃重貝努里試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)

生攵次的概率為片X=%｝=p&Q-p尸,（k=0,1,…

推論設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為同。＜〃＜1），則在〃重貝努里試驗(yàn)中，事件A在第攵次試驗(yàn)中的才

首次發(fā)生的概率為p（l-p產(chǎn)，（攵=0,1,…

注意到“事件A第k次試驗(yàn)才首次發(fā)生”等價(jià)于在前々次試驗(yàn)組成的火重伯努利試驗(yàn)中”事件A在前攵-1次試驗(yàn)

中均不發(fā)生而第k次試驗(yàn)中事件A發(fā)生”，再由伯努利定理即推得.

例題選講：

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記4=｛抽到K｝,8=｛抽到的牌是黑色的｝,問事件A、8是否獨(dú)

立？

注：從例1可見.判斷事件的獨(dú)立性.可利用定義或通過計(jì)算條件概率來判斷.但在實(shí)際應(yīng)用中.常根據(jù)問題的實(shí)際

意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

相互獨(dú)立性的性質(zhì)

例.已知甲、乙兩袋中分別裝有編號為L2.3.4的四個(gè)球.今從甲、乙兩袋中各取出一球.設(shè)｛從甲袋中取出的是偶

數(shù)號球｝.｛從乙袋中取出的是奇數(shù)號球｝.｛從兩袋中取出的都是偃數(shù)號球或都是奇數(shù)號球｝.試證兩兩獨(dú)立但不

相互獨(dú)立.

例3和工某一零件共需經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是2%,3%,5%,3%,假定各道工

序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率.

例4如圖是一個(gè)串并聯(lián)電路系統(tǒng).都是電路中的元件.它們下方的數(shù)字是它們各自正常工作的概率.求電路系統(tǒng)的

可靠性.

例5甲.乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽.每局甲勝的概率為p,p2l/2.問對甲而言，采用三局二勝制有利.還是采用五局三勝

制有利.設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.

例6某種小數(shù)移栽后的成活率為90%,一居民小區(qū)移栽了20棵，求能成活18的概率.

伯努利概型

例7一條自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品，次品率為4%,求解以下兩個(gè)問題：

（I）從中任取10件，求至少有兩件次品的概率；

（2）一次取1件，無放回地抽取，求當(dāng)取到第二件次品時(shí)，之前已取到8件正品的概率.

例8一個(gè)醫(yī)生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25.為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用.且規(guī)定

若10個(gè)病人中至少有四個(gè)治好則認(rèn)為這種藥有效.反之則認(rèn)為無效.求

（1）雖然新藥有效，且把痊愈率提高到0.35,但通過實(shí)驗(yàn)卻被否定的概率.

（2）新藥完全無效，但通過實(shí)驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概率.

例9一個(gè)袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球，每次從中隨意取出一球，取后放回.

（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.

（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球?yàn)橹?，求恰好要?次黑球的概率.

例10一輛飛機(jī)場的交通車載有25名乘客途經(jīng)9個(gè)站，每位乘客都等可能在這9站中任意一站下車（且不受其

7

他乘客下車與否的影響)，交通車只在有乘客下車時(shí)才停車，求交通車在第站停車的概率以及在第站不停車

的條件下第站的概率，并判斷“第站停車”與“第站停車”兩個(gè)事件是否獨(dú)立.

例11某型號高炮，每門炮發(fā)射?發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為06現(xiàn)若干門炮同時(shí)各射一發(fā),(1)問:欲以99%的把握擊

中一架來犯的敵機(jī)至少需配置幾門炮？(2)現(xiàn)有3門炮，欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機(jī)，問:每門炮的命中率應(yīng)

提高到多少？

思考題：1.某工人一天出廢品的概率為0.2.求在4天中：

(1)都不出廢品的概率；(2)至少有一天出廢品的概率；

(3)僅有一天出廢品的概率；(4)最多有一天出廢品的概率；

(5)第一天出廢品，其余各天不出廢品的概率.

第二章隨機(jī)變量及其分布

在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除對某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個(gè)與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果相聯(lián)系的變量.

由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量.與普通的變量不同，對于隨機(jī)變量，人們無法事

先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分

布.

【教學(xué)目的與要求】

通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解隨機(jī)變量的概念；理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；掌握離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量

的描述方法；理解分布律與概率密度的概念和性質(zhì)。熟練掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)

分布；會(huì)利用概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率。會(huì)求簡單的隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布；

【教學(xué)重點(diǎn)】

離散型隨機(jī)變量的分布律與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的概念和性質(zhì)；二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指

數(shù)分布和正態(tài)分布；隨機(jī)變量的函數(shù)的分布。

【教學(xué)難點(diǎn)】

連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布；

【計(jì)劃課時(shí)】7

【教學(xué)內(nèi)容】

第一節(jié)隨機(jī)變量的概念

一、隨機(jī)變量概念的引入

為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)

數(shù)對應(yīng)起來.1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中.試臉的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中.試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)

量無關(guān)，但可以指定一個(gè)數(shù)量來表示之.

二、隨機(jī)變量的定義

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，稱定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.

隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較：

(1)都是實(shí)值函數(shù)，但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值；

(2)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，故前者取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.

三、引入隨機(jī)變量的意義

隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.由此可見，隨機(jī)事件這個(gè)概

念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量

則以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的

重大尋件.引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值

規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.

8

隨機(jī)變量因其取值方式不同.通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變

量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.

例題選講：

例1在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時(shí)，若規(guī)定出現(xiàn)正面時(shí)拋擲者贏I元錢，出現(xiàn)反面時(shí)輸I元錢，則其樣本空間為

S={正面，反面},記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量X,則X作為樣本空間S的實(shí)值函數(shù)定義為X（e）=11'""

-1,e=反面.

例2在將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面”、反面下出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中，其樣本空間

S={HHH,HHT,H7T,THT,7TH,777};記每次試臉出現(xiàn)正面H的總次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X作為樣

本空間S上的函數(shù)定義為

易見，使取值為的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為故類似地，有

例3在測試燈泡壽命的試驗(yàn)中，每一個(gè)燈泡的實(shí)際使用壽命可能是中任何一個(gè)實(shí)數(shù)，若用表示燈泡的壽命

（小時(shí)），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，即，是隨機(jī)變量.

思考題：.一報(bào)童賣報(bào),每份0.15元，其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào),并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退

回.設(shè)為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù).試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.

第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布

定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為七=…），稱P{X=xJ=Pj,i=l,2,…

為X的概率分布或分布律，也稱概率函數(shù).

常用表格形式來表示X的概率分布：x再%…&…

PiP\Pi……

二、常用離散分布

退化分布兩點(diǎn)分布〃個(gè)點(diǎn)上的均勻分布二項(xiàng)分布幾何分布超幾何分布

泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.實(shí)際問題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.

三、二項(xiàng)分布的泊松近似

定理1（泊松定理）在〃重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為〃〃（注意這與試驗(yàn)的次數(shù)〃有關(guān)），如

果〃->8時(shí)，，%（2>0為常數(shù)），則對任意給定的女,有

iimb（k,n,/??）=—e”.

"T8k!

例題選講：

離散型隨機(jī)變量及其概率分布

例1其籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是09求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.

例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為:P{X=K}="E,k=0,1,2,…，4>0.確定常數(shù)〃.

&!

二項(xiàng)分布

例3已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放I可地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的

概率.

例4英人進(jìn)行射擊，每次射擊的命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率.

例5有80臺同類型設(shè)備.各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0?01.且一臺設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理,考

慮兩種配備維修工人的方法.其一由4人維護(hù).每人負(fù)責(zé)20臺.其二由3人共同維護(hù)80臺.試比較這兩種方法在設(shè)

備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.

幾何分布

例6英射手連續(xù)向?目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是〃，求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率分布.

泊松分布

例7某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)4=0.8的泊松分布.求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的

9

概率.

一項(xiàng)分布的泊松近似

例8某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為O.OL問現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5

的概率是多少？

例9一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)2=5的泊松分布

來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？

例10自1875年至1955年中的某63年間，上海市夏季(5—9月)共發(fā)生大暴雨180次，試建立上海市夏季暴雨發(fā)

生次數(shù)的概率分布模型.

思考題

1.某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有?個(gè)壞了的概率.

2.一汽車沿一街道行駛.需要通過三人均設(shè)有紅綠信號燈的路口.每個(gè)信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互

獨(dú)立.且紅綠兩種信號燈顯示的時(shí)間相等.以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù).求的概率分布.

第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

要描述一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，不僅要說明它能夠取哪%值，而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣、才能真正完整

地刻畫一個(gè)隨機(jī)變量.為此，我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.

一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱/(x)=Q(XWx)(-oo<x<+8)為X的分布函數(shù).有時(shí)記作X~F(x)或&*)?

分布函數(shù)的性質(zhì)：1.單調(diào)非減.若?則；

2...3.右連續(xù)性.即

二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X|*馬…%…

PiPlPl…Pn…

則乂的分布函數(shù)為尸")=尸(乂-)=工尸。=七)=28.

例題選講：

隨機(jī)變量的分布函數(shù)

例1等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間僅，句上投點(diǎn)，記X為落點(diǎn)的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo))，求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).

0,x<—2,

(1)F(x)=^1/2,-2<x<0,

1,x20;

0,x<0,

例2判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)(2)F(x)=?sinx,04%<乃，

I,x>n\

0,x<0,

(3)F(K)=<X+【/2,0<.r<l/2,

1,x>1/2.

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

Y012

例3設(shè)一,求尸(勸.

Pi1/31/61/2

例4X具有離散均勻分布，即2。=玉)=1/〃"=1,2「、〃,求乂的分布函數(shù).

0,xv1,

9/19,

例5設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=,求X的概率分布.

15/19,2<x<3,

I,x>3.

思考題

1.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，求的的分布函數(shù)。

1()

第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

定義如果對隨機(jī)變量X的分布函數(shù)尸。),存在非負(fù)可積函數(shù)/*),使得對于任意實(shí)數(shù)上有

F(x)=P{X<x}=￡則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱/(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概辛密咬或'密度函

數(shù).

關(guān)于概率密度的說明：1.對一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若已知其密度函數(shù)，則根據(jù)定義，可求得其分布函數(shù).同時(shí).還

可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率：

;2.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0；3.若在點(diǎn)交連續(xù).則…..…(1)

二、常用連續(xù)型分布

均勻分布

定義若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為/(?=則稱X在區(qū)間(。,與上服從均勻分布，記為

(0,其它

X?U(42).

指數(shù)分布

x>0,

定義若隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=<A>0則稱X服從參數(shù)為4的指數(shù)分布.簡記為

0,其它.

X~?2).

正態(tài)分布

1

定義若隨機(jī)變量X的概率密度為=-8<x<8.

其中和都是常數(shù).則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.記為

注：正態(tài)分布是概率中最重要的連續(xù)型分布，19世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，又稱高斯分布.

一般來說，一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作用(作用微小)，則它

服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如.產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo).元件的尺寸.某地區(qū)成年男子的

身高、體重.測量誤差.射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差.信號噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等.都服從或近似服從止態(tài)分布.

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

正態(tài)分布當(dāng)〃=0,b=l時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時(shí)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用0。)和中(外表

不:(p(x)—①(幻=力標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一股的正態(tài)分布都可以通

過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

定理設(shè)x~則Y=上幺~mi).

(7

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：(1)表中給出了時(shí)的數(shù)值，當(dāng)時(shí)，利用正態(tài)分布的對稱性，易見有(2)若則

(3)若X~N(〃,/),則y=Az2￡~N(0,l),

(T

故X的分布函數(shù)F(X)=P{XWX}=P[33W±W]=4七W];

IbbJl。J

例題選講：

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

例1沒隨機(jī)變量X的密度困數(shù)為/&)=乃"’■求其分布困數(shù)尸(X).

0,其它

11

kx、0<x<3,

例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f[x}=h-3<x<4,

0,其它.

0,x<0

2

例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=-x,0<A<I

1,1<x

求(1)概率P{0.3vX〈0.7};(2)X的密度函數(shù).

常用連續(xù)型分布

均勻分布

例4某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即7:00,7:15,7:30,7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客

到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量，試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.

指數(shù)分布

例5某元件的壽命服從指數(shù)分布，已知其平均壽命為1000小時(shí)，求3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)，至少己有

一個(gè)損壞的概率.

正態(tài)分布

例6設(shè)X?N(l,4),求產(chǎn)(5),P{0<X^1.6),P{|X-1|<2}.

例7設(shè)某項(xiàng)競賽成績(65,100),若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎(jiǎng)，問獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線應(yīng)

定為多少？

例8將一溫度調(diào)節(jié)器放置在內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在°C,液體的溫度(以C計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量，且(1)若

求小于89c的概率；

(2)若要求保持液體的溫度至少為80C的概率不低于0.99,問至少為多少？

例9某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工，其中正式工280人?臨時(shí)工20人.報(bào)考的人數(shù)是1657人.考試滿分

是400分.考試后得知.考試總平均成績.即分.360分以上的高分考生31人.某考生B得256分.問他能否被錄取.

能否被聘為正式工？

例10在電源電壓不超過200伏，在200~240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1,

0.001和0.2.假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布(220,25),試求：

(1)該電子元件損壞的概率；(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240伏的概率.

思考題

1.已知，求(1)(2);

(3)P{|X-8|<1};(4)P{|X-9|<0.5}.

2.某種型號電池的壽命X近似服從正態(tài)分布N(〃Q2),已知其壽命在250小時(shí)以上的概率和壽命不超過350小時(shí)

的概率均為92.36%,為使其壽命在//-X和之間的概率不小于09%至少為多少？

第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一、隨機(jī)變量的函數(shù)

定義如果存在一個(gè)函數(shù)g(x),使得隨機(jī)變量x,y滿足y=g(x),則稱隨機(jī)變量y是隨機(jī)變量x的函數(shù).

注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征，例如:導(dǎo)數(shù)、枳分等.而在概率論

中，我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征，即由自變量x的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性出發(fā)研究因變量yiKj統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.

一般地,對任意區(qū)間/,令C=*|g(x)c/},則{Yw/}={g(x)c/}={XcC},

注：隨機(jī)變量丫與x的函數(shù)關(guān)系確定，為從x的分布出發(fā)導(dǎo)出丫的分布提供了可能.

二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量x的概率分布為P{x=xj=p,,i=i2…易見，x的函數(shù)y=g(x)顯然還是離散型隨機(jī)變

量。

如何白的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布？其一般方法是：先根據(jù)自變量的可能取值