概率知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型匯總

一、確定事件：包括必然事件和不可能事件

1、在一定條件下必然要發(fā)生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能發(fā)生的事件，

或者說發(fā)生的可能性是100%；如：從一包紅球中，隨便取出一個(gè)球，一定是紅球。

2、在一定條件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能發(fā)生

的事件，或者說發(fā)生的可能性是0,如：太陽從西邊出來。這是不可能事件。

3、必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0

二、隨機(jī)事件

在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。

一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能

不同.

一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小用概率來表示。

三、例題：指出以下事件中，哪些是必然事件，哪些是隨機(jī)事件，哪些是不可能事件，

哪些是確定事件？

①一個(gè)玻璃杯從一座高樓的第10層樓落到水泥地面上會(huì)摔破；

②明天太陽從西方升起；③擲一枚硬幣，正面朝上；

④某人買彩票，連續(xù)兩次中獎(jiǎng)；⑤今天天氣不好，飛時(shí)機(jī)晚些到達(dá).

解：必然事件是①；隨機(jī)事件是③④⑤；不可能事件是②.確定事件是①②

三、概率

1、一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A

發(fā)生的概率，記為P(A).

(1)一個(gè)事件在屢次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，反映這個(gè)可能性大小的數(shù)值叫做這個(gè)事件

發(fā)生的概率。(2〕概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個(gè)數(shù)值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的

可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-.

n

(1)一般地，所有情況的總概率之和為lo(2)在一次實(shí)驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有限

多個(gè).

(3)在一次實(shí)驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

(4)概率從數(shù)量上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，

那么它的概率越接近1;反之，事件發(fā)生的可能性越小，那么它的概率越接近0。

(5)一個(gè)事件的概率取值：OWP(A)<1

當(dāng)這個(gè)事件為必然事件時(shí)，必然事件的概率為1,即P(必然事件)=1

不可能事件的概率為0,即P(不可能事件)=0

隨機(jī)事件的概率：如果A為隨機(jī)事件，那么OVP(A)<1

(6)可能性與概率的關(guān)系

事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近丁1,事件發(fā)生的可能性越小，那么它的概率

越接近0.

3、求概率的步驟：

（1）列舉出一次試驗(yàn)中的所有結(jié)果（n個(gè)）；

（2）找出其中事件A發(fā)生的結(jié)果（m個(gè)）；

（3）運(yùn)用公式求事件A的概率：P（A）=-.

n

5、在求概率時(shí)，一定要是發(fā)生的可能性是相等的，即等可能性事件

等可能性事件的兩種特征：

（1）出現(xiàn)的結(jié)果有限多個(gè)；（2）各結(jié)果發(fā)生的可能性相等；

例I：圖1指針在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，轉(zhuǎn)到各區(qū)域的可能性相等，圖3中的第一個(gè)圖，指針

在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，轉(zhuǎn)到各區(qū)域的可能性不相等，

由上圖可知，在求概率時(shí)，一定是出現(xiàn)的可能性相等，反映到圖上來說，一定是等分

的。

例2、以下事件哪些是等可能性事件？哪些不是？

（1）拋擲一枚圖釘，釘尖朝上或釘帽朝上或橫臥。不是

（2）某運(yùn)發(fā)動(dòng)射擊一次中靶心或不中靶心。不是

（3）從分別寫有1,3,5,7中的一個(gè)數(shù)的四張卡片中任抽一張結(jié)果是1,或3或5

或7。是

6、古典概率模型

在一次實(shí)驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個(gè)，每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等。將具有以

上兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型成為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型。

例題：（1）從標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的5個(gè)小球（小球之間只有號(hào)碼不同，其他均相

同）中摸出一球，求摸出號(hào)碼是2的概率.

（2）從標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3,4,5的6個(gè)小球（小球之間只有號(hào)碼不同，其他均相同）

中摸出一球，求摸出號(hào)碼是2的概率.

此題考查概率的求法：如果一個(gè)試驗(yàn)有n種等可能的結(jié)果，事件A包含其中的m種結(jié)果,

那么事件A的概率P（A）號(hào),解題時(shí)注意對(duì)概率意義的理解.

在（1）這次摸球?qū)嶒?yàn)中，共有5中可能的結(jié)果，事件A〔摸出號(hào)碼2這件事）包含其中

的一種結(jié)果，那么摸出號(hào)碼是2的概率.為1/5.

在（2）這次摸球?qū)嶒?yàn)中，共有6中可能的結(jié)果，事件A（摸出號(hào)碼2這件事）包含其中

的二種結(jié)果，那么摸出號(hào)碼是2的概率.為263.

7、求概率的通用方法：

在一次試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等,

那么我們可以通過列舉試驗(yàn)結(jié)果的方法，求出隨機(jī)事件發(fā)生的概率，這種求概率的方法叫

列舉法.

列舉法包括枚舉法、列表法、樹狀圖法

(1)枚舉法(列舉法)：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比擬少時(shí)，我們可以把所

有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時(shí)使用。等可能性事件

的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。

(2)列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素(例如擲兩個(gè)骰子)，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果

數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。

(3)列樹形圖法：當(dāng)一個(gè)實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素(例如從3個(gè)口袋中取球)時(shí),

列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。

四、頻率與概率

1、頻數(shù)：在屢次試驗(yàn)中，某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)

2、頻率：某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比，叫做這個(gè)事件出現(xiàn)的頻率

3、一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率-會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附

n

近，那么，這個(gè)常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P(A)=Po

五、概率公式中m、n之間的數(shù)量關(guān)系，P(A)的取值范圍。

在概率公式P(A)二”中m、n取何值，m、n之間的數(shù)量關(guān)系，P(A)的取值范圍。

n

()WmWn,m>n為自然數(shù)

VOW—W1,AO^P(A)Wl.

n

當(dāng)m=n時(shí),A為必然事件，概率P(A)=1,

當(dāng)m=0時(shí),A為不可能事件，概率P(A)=O.

OWP(A)

六、幾何概率

1、如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么

稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型。

(1)幾何概型的特點(diǎn)：

1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(根本領(lǐng)件)有無限多個(gè).2)每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性

相等.

(2)在幾何概型中，事件A的概率的沖算公式如下：

七、例題匯總

(一)確定三事件

例1以下事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不確定事件？哪些是

確定事件？，分析其發(fā)生概率的大小

(1)拋擲一枚均勻的骰子，6點(diǎn)朝上；(2)367人中有2人的出生日期相同；

(3)1+3>2；(4)太陽從西邊升起.

解析：根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.(1)拋擲一枚均勻的骰

子，1,2,3,4,5,6點(diǎn)都有可能朝上，故6點(diǎn)不一定朝上；(2)一年有3651或366)

天，故367人中必然有2人的出生日期相同；(3)1+3肯定大于2；(4)太陽不可能從西

邊升起.由以上分析知：

(1)是不確定事件，(2)(3)是必然事件，(4)是不可能事件.

(2)(3)(4)是確定事件

發(fā)生概率的大小判斷，首先需要理解必然事件、不可能事件、不確定事件的意義.必

然事件是指一定會(huì)發(fā)生的事件，發(fā)生的概率是1:不可能事件是指不可能發(fā)生的事件，發(fā)

生的概率是0；不確定事件是指可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率介于0和1之

間.

例2、以下事件屬于必然事件的是()

A.翻開電視，正在播放新聞B.我們班的同學(xué)將會(huì)有人成為航天員

C.實(shí)數(shù)aVO,那么2aV0D.新疆的冬天不下雪

解析：A是隨機(jī)事件，因?yàn)榭赡苁遣バ侣勔部赡苁瞧渌娨暪?jié)目；B為隨機(jī)事件，一

個(gè)班有幾十個(gè)學(xué)生當(dāng)然有可能成為航天員；D是不可能事件，因?yàn)樾陆畾鉁氐停磕甓紩?huì)

下雪.應(yīng)選C

例3、［福建龍巖)以下事件：①在足球賽中，弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì)；②拋擲一枚硬幣，落

地后正面朝上；③任取兩個(gè)正整數(shù)，其和大于1；④長(zhǎng)分別為3、5、9厘米的三條線段能

圍成一個(gè)三角形.其中確定事件的個(gè)數(shù)是().

A.1B.2C.3D.4

B解析：③④是確定事件

(二)概率意義的理解

例1、某商場(chǎng)舉辦購物有獎(jiǎng)活動(dòng)，在商場(chǎng)購滿價(jià)值50元的商品可抽獎(jiǎng)一次，麗麗在商場(chǎng)購

物共花費(fèi)120元，按規(guī)定抽了兩張獎(jiǎng)券，結(jié)果其中一張中了獎(jiǎng)，能不能說商場(chǎng)的抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獎(jiǎng)

率為50%?為什么？

解析：因?yàn)橹歇?jiǎng)是不確定事件，而計(jì)算中獎(jiǎng)率應(yīng)該是以中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券數(shù)除以獎(jiǎng)券的總數(shù)，但

這些數(shù)據(jù)在此題中沒有給出，所以不能計(jì)算出這次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率，所以不能說商場(chǎng)的抽獎(jiǎng)

活動(dòng)中獎(jiǎng)率為50%.

點(diǎn)評(píng)：概率是在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一

個(gè)固定常數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示一定的穩(wěn)定性，它是大量試驗(yàn)的結(jié)論.隨機(jī)事件每次發(fā)生的結(jié)果

是不可以預(yù)見的，但每次發(fā)生的概率是不變的.

例2、以下說法正確的選項(xiàng)是()

A.某市“明天降雨的概率是75%〃，表示明天有75%的時(shí)間會(huì)降雨

B.隨機(jī)拋擲一枚均勻的硬幣，落地后正面一定朝上

1

C.在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，"中獎(jiǎng)的概率是10?！ū硎境楠?jiǎng)100次就一定會(huì)中獎(jiǎng)

D.在平面內(nèi)，平行四邊形的兩條對(duì)角線一定相交

解析：明天降雨的概率是75%是說明明天有75%的可能性會(huì)降雨，而不是說明天有75%

的時(shí)間在下雨；拋一枚硬幣正面朝上的概率是0.5,說的是在做大量的拋一枚硬幣的試驗(yàn)中，

有一半的可能性出現(xiàn)正面朝上，而隨機(jī)拋一格硬幣落地后正面不一定朝上；抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)

的概率為一二，指的是每抽獎(jiǎng)一次都有的可能性中獎(jiǎng)；故A、B、C都錯(cuò)，因而選D.

100100

(三)利用簡(jiǎn)單枚舉法求概率

例1某小商店開展購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)，聲明：購物時(shí)每消費(fèi)2元可獲得一次摸獎(jiǎng)時(shí)機(jī)，每次摸

獎(jiǎng)時(shí)，購物者從標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的5個(gè)小球(小球之間只有號(hào)碼不同，其他均相同)

中摸出一球，假設(shè)號(hào)碼是2就中獎(jiǎng)，獎(jiǎng)品為一張精美圖片.

(1)摸獎(jiǎng)一次得到一張精美圖片的概率是多少？

(2)一次，小聰購置了10元錢的物品，前4次摸獎(jiǎng)都沒有摸中，他想：“第5次摸獎(jiǎng)我一

定能摸中“，你同意他的想法嗎？說說你的想法.

解析：(1)每次摸獎(jiǎng)時(shí)，有5種情況，只有摸到號(hào)碼是2的球才中獎(jiǎng)，于是得到一張精

美圖片的概率是P=1;

(2)不同意，因?yàn)樾÷數(shù)?次得到一張精美圖片的概率仍是去所以他第5次不一定中獎(jiǎng).

點(diǎn)評(píng)：此題考查概率的求法：如果一個(gè)試驗(yàn)有n種等可能的結(jié)果，事件A包含其中的m

種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)號(hào)，解題時(shí)注意對(duì)概率意義的理解.

例2、隨意地拋一粒豆子，恰好落在圖中的方格中〔每個(gè)方格除顏色外完全一樣)，那么

這粒豆子停在黑色方格中的概率是.

解析：1、這粒豆子落在每一個(gè)方格中的可能性是一樣的，因此這粒豆子停在方格中的可

能性共有12種，黑色方格的可能性有四種，所以黑色方格中的概率等于巴二,

123

2、黑色方格中的概率等于黑色方格的面積與所有方格的面積比.設(shè)每個(gè)方格的面積是1,

那么P(這粒豆子停在黑色方格)=-=1.

123

點(diǎn)評(píng)：概率的大小與面積大小有關(guān).事件發(fā)生的概率等于此事件所有可能結(jié)果所組成的圖

形面積除以所有可能結(jié)果組成的圖形面積.

例3、擲兩枚硬幣，求以下事件的概率

(1)兩枚硬幣正面全部朝上；(2)兩枚硬幣反面全部朝上

(3)一枚硬幣正面朝上，一枚硬幣反面朝上。

解：用枚舉法(列舉法)列出可能的結(jié)果是：正正、正反、反正、反反。所有結(jié)果共有4

種。并且這四個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。

用列表法：解:其中一枚硬幣為A,另一枚硬幣為B,那么所有可能結(jié)果如表所示：

正反

正(正，正)(正，反)

反(反，正)(反，反)

(1)所有的結(jié)果中，滿足兩枚硬幣全部正面朝上(記為事件A)的結(jié)果只有一個(gè)，即“正

正”所以P(A)=1/4

(2)所有的結(jié)果中，滿足兩枚硬幣全部反面朝上(記為事件B)的結(jié)果只有一個(gè)，即“反

反”所以P(B)=1/4

(3)所有的結(jié)果中，滿足一枚硬幣正面朝上，一枚硬幣反面朝上(記為事件C)的結(jié)果共

有2個(gè)，即“正反”“反正”所以P(C)=2/4=1/2

例4、一口袋中裝有四根長(zhǎng)度分別為1cm,3cm,4cm和5cm的細(xì)木棒，小明手中有一根

長(zhǎng)度為3cm的細(xì)木棒，現(xiàn)隨機(jī)從袋內(nèi)取出兩根細(xì)木棒與小明手中的細(xì)木棒放在一起，答復(fù)以下

問題：

(1)求這三根細(xì)木棒能構(gòu)成三角形的概率；

(2)求這三根細(xì)木棒能構(gòu)成直角三角形的概率；

(3)求這三根細(xì)木棒能構(gòu)成等腰三角形的概率.

解析：從四根木棒中任選兩根，共有以下六種情況：［1,3)、(1,4)、(1,5)、(3,

4)、(3,5)、(4,5),其中與3cm長(zhǎng)的線段構(gòu)成三隹形的有(1,3,3)、(3,3,4)、

(3,3,5)、(3,4,5)四種；構(gòu)成直角三角形的有(3,4,5)一種；構(gòu)成等腰三角形的

有(I,3,3)、(3,3,4)、(3,3,5)三種，所以有：

4_2

(1)P(構(gòu)成三角形)二%一'(2)P(構(gòu)成直角三角形)=6；

3__1_

(3)P(構(gòu)成等腰三角形)=7一5.

（四）列表法求概率

當(dāng)試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素（例如兩個(gè)轉(zhuǎn)盤）并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出

所有的結(jié)果，通常采用“列表法”。

例1、如圖，袋中裝有兩個(gè)完全相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字“1”和“2”

.小明設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲:

游戲者每次從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，并自由轉(zhuǎn)動(dòng)圖中的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被分成相等的三個(gè)扇形）.

游戲規(guī)則是:如果所摸球上的數(shù)字與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為2,那么游戲者獲勝.求游戲者獲勝的

概率.

解:每次游戲時(shí),所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

11(1,1)2(1,2)3(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

總共有6種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,而所考

2的結(jié)果只有一種因此游戲者獲勝的概率為1/6.

例2、如圖，甲轉(zhuǎn)盤的三個(gè)等分區(qū)域分別寫有數(shù)字1、2、3,乙轉(zhuǎn)盤的四個(gè)等分區(qū)域分別

寫有數(shù)字4、5、6、70現(xiàn)分別轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，求指針?biāo)笖?shù)字之和為偶數(shù)的概率。

解：列表

4567

1(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)

2(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)今十

3(3,4)[3,5)(3,6)(3,7)

共有12種不同結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中數(shù)字和為偶數(shù)的有16）種

AP（數(shù)字和為偶數(shù)）=6/12=1/2

例3、例、同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，計(jì)算以下事件的概率：

⑴兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同

⑵兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和是9

（3）至少有一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為2

分析：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素（例如擲兩個(gè)骰子）并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),

為不重不漏地列出所有可能結(jié)果，通常采用列表法。

解：兩枚骰子分別記為第1枚和第2枚.列出所有可能的結(jié)果:

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(13)(2,3)(，3)(43)(53)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1$)(2,5)(3,5)(4,5)(5⑸(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

由表可看出，同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種，它們出現(xiàn)的可能性相等。

(1)滿足兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)相同(記為事件A)的結(jié)果有6種，P(A)=6/36=l/6

(2)滿足兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和為9(記為事件B)的結(jié)果有4種，P(B)=4/36=l/9

(3)滿足至少有一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為2(記為事件C)的結(jié)果有11種，P(C)=ll/36

思考題：如果把剛剛這個(gè)例題中的“同時(shí)擲兩個(gè)骰子”改為“把一個(gè)骰子擲兩次”，所得

的結(jié)果有變化嗎？沒有變化

(五)樹形圖法求概率

當(dāng)一個(gè)實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素〔例如從3個(gè)口袋中取球)時(shí)，列表就不方便了，

為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。

1、現(xiàn)有一項(xiàng)“抖空竹”的表演.有塑料、木質(zhì)兩種空竹，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨

機(jī)選用其中的一種空竹.求甲、乙、丙三名學(xué)生恰好選擇同一種空竹的概率.

解：甲、乙、丙三名學(xué)生恰好選擇同一種空竹為事件M.塑料一A木質(zhì)一B

方法方法2：

幺A仇必9丙"卜東仲要?jiǎng)e裝有大小、蝌相必的卡g假胡，甲盒中裝有2張卡片,

分別寫有字母A和氏乙盒中裝有3張卡狀分咦有契和E；丙盒中裝有2張卡

片，界諭寫用浮母牛軸耍從3個(gè)盒怖MKJ'1,科/?、求

(1)取出的3張卡片中恰好有1個(gè)，△個(gè)？力個(gè)號(hào)杓通孕母的概率各是多少？

(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率是多少？

.我便寸形圖'

人得少吉果有宕果出現(xiàn)的可能性相等.

一個(gè)?^懈喙兩5

(1

丙盒12

承工蹲字爵埠喈*

全部為元音字母的結(jié)果有1個(gè)，所以p(三個(gè)元音)=n；

⑵全是輔音字母的結(jié)果有2個(gè).所以p(三個(gè)輔音)=2=].

126

3、小穎為學(xué)校聯(lián)歡會(huì)設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”的游戲：圖1是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,

每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形。游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了紅色,

轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么他就贏了，因?yàn)榧t色和藍(lán)色在一起配成了紫色。

（I）利用樹狀圖或列表的方法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。

（2）游戲者獲勝的概率是多少？

解析：（1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果可用表1或圖2表示。

表1

X黃藍(lán)綠

紅（紅，黃）（紅，藍(lán)）（紅，綠）

白（白，黃）（白，藍(lán)）（白，綠）

（2）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，配成紫色的結(jié)果只有1種，故游戲獲勝的概率為

1

-0

6

這道題為兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率計(jì)算，采用的方法是樹狀圖法和列表法。接

下來仍然以“配紫色”為主要情景進(jìn)行游戲：，讓同學(xué)們進(jìn)一步經(jīng)歷用樹狀圖法和列表法

解決概率問題的過程。

用圖3所示的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行“配紫色”游戲。

小穎制作了圖4,并據(jù)此求出游戲者獲勝的概率為《。

小亮那么先把左邊轉(zhuǎn)盤的紅色區(qū)域等分成2份，分別記作“紅色1”“紅色2”，然后

制作了表2,據(jù)此求出游戲者獲勝的概率也是

2

紅色藍(lán)色

紅色1（紅1,紅）（紅1,藍(lán)）

紅色2（紅2,紅）（紅2,藍(lán)）

藍(lán)色（藍(lán)，紅）（藍(lán)，藍(lán)）

你認(rèn)為誰做得對(duì)？說說你的理由。

解析：因?yàn)樽筮叺霓D(zhuǎn)盤中紅色局部和藍(lán)色局部的面積不同，因而指針落在這兩個(gè)區(qū)域

的可能性不同，故小穎的做法不正確，而小亮的方法則是解決這一類問題的一種常用方fe

o

4、小明與父母從廣州乘火車回北京，他們買到的火車票是同一排相鄰的三

個(gè)座位，那么小明恰好坐在父母中間的概率是多少？

解：為了方便起見，我們不妨設(shè)三個(gè)坐位號(hào)為1,2,3c可以看出坐在2

號(hào)位上，那么為中間位置。畫出樹狀圖如圖4或圖5或圖6。

開始

從圖中可以看出，不管小明第

幾個(gè)坐，所有的可能能是6種，而

父親母親123

公明坐2號(hào)位置的情況有2種（記AAA

父親231312

為事件A）,所以小明恰好坐在父母親I\ni

母中間的概率是小明小明32312

圖5圖6

P（A）=-=-

（六）概63率與方程

1、（2011廣西防城港23,8分）一個(gè)不透明的紙盒中裝有大小相同的黑、白兩種顏

色的圍棋，其中白色棋子3個(gè)（分別用白A、白B、白C表示），假設(shè)從中任意摸出一個(gè)

棋子，是白色棋子的概率為之.（1）求紙盒中黑色棋子的個(gè)數(shù)；

4

（2）第一次任意摸出一個(gè)棋子（不放回），第二次再摸出一個(gè)棋子，請(qǐng)用樹狀圖或列

表的方法，求兩次摸到相同顏色棋子的概率.

解答：⑴???3：3—3=1???黑色棋子有1個(gè).

4

白A白6白C里

白A（A，B）(A,C)（A,黑）

白B(B.A)(B,C)(B,黑)

\

白C(C.A)(C.B)（C,黑）

黑（隔4）（黑，B）(用.C)

，共12種情況，有6種情況兩次摸到相同顏色棋子，所以概率嗎.

另外，此題還可以用樹狀圖解答如下:

因?yàn)橛缮厦鏄錉顖D可知：共12種情況，有6種情況兩次摸到相同顏色棋子，所以概率為2.

2

2、湘潭是我家，保護(hù)靠大家〃.自我市開展整治〃六亂〃行動(dòng)以來，我市學(xué)生更加自

覺遵守交通規(guī)則.某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時(shí)都要經(jīng)過一個(gè)十字路口，該十字路

11

口有紅、黃、綠三色交通信號(hào)燈，他在路口遇到紅燈的概率為］,遇到黃燈的概率為5,

I245

那么他遇到綠燈的概率為（）A.3B.3C.9D.9

解:遇到綠燈的概率為1-1/34/9=5/9

【點(diǎn)評(píng)】所有情況的概率之和為1,用1減去其它情況的概率就是遇到綠燈的概率。

3、（2014?武威模擬）袋子里有10個(gè)紅球和假設(shè)干個(gè)藍(lán)球，小明從袋子里有放回地任意

摸球，共摸100次，其中摸到紅球次數(shù)是25次，那么袋子里藍(lán)球大約有（）

A.20B.30C.40D.50

251

【解析】???共摸100次，其中摸到紅球次數(shù)是25次，.??摸到紅球的概率為誣二工

10工

???袋子里有10個(gè)紅球和假設(shè)干個(gè)藍(lán)球，，設(shè)籃球有X個(gè)，那么麗=4解得：x=30,應(yīng)

選B.

4、（2010鐵嶺）將紅、黃、藍(lán)三種除顏色不同外，其余都相同的球，放在不透明的紙箱

里，其中紅球4個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，黃球假設(shè)干個(gè).假設(shè)每次只摸一球（摸出后放回），摸出紅球

的概率是2,那么黃球有個(gè).

5

解析：設(shè)黃球有/個(gè)，那么摸出紅球的概率為4=2,解得x=3

4+3+x5

5、（2010湖南衡陽）在不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的卡片，這些卡片

陵顏色外都相同，其中紅色卡片2張，黃色卡片1張，現(xiàn)從中任意抽出一張是紅色卡片的

概率為上

⑴試求箱子里藍(lán)色卡片的張數(shù).

⑵第一次隨機(jī)抽取一張卡片[不放回），第二次再隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格的方

法，求兩次抽到的都是紅色卡片的概率.

分析：（1）設(shè)箱子里藍(lán)色卡片的張數(shù)為x張，由々打色）=工]那么上1=—9--,解關(guān)于x的方程即可求

222+1+x

出箱子里藍(lán)色卡片的張數(shù).（2）要注意題目中的條件，第一次油取后不放回.

解：（1）設(shè)箱子里有x張藍(lán)色卡片，那么有一--=-,解得：x=l.

2+1+x2

（2）

從樹狀圖圖可知，一共有12種結(jié)果，兩次抽到的都是紅色的有兩種.

21

:.P（兩次抽到都是紅色卡片）

126

6、（2010湖北隨州）甲、乙兩同學(xué)投擲一枚骰子，用字母p、g分別表示兩人各投擲一

次的點(diǎn)數(shù).（1）求滿足關(guān)于X的方程1+/*+4=0有實(shí)數(shù)解的概率.

12）求（1）中方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率.

分析:通過列表或畫樹狀圖，可以求出p、q的各種可能的取值；方程/+/>+4=0有實(shí)數(shù)

解的條件是判別式//-WK）；方程，+px+,/=o有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的條件是判別式〃2一叼

=0.

解:通過列表或畫樹狀圖可得，兩人投擲骰子后P、夕的取值共有36種等可能情況，其中滿

足p2-4Q0的有卜=2、卜=3、卜=4、/=5、.p=61p=31p=4Jp=51p=6

、<、<、<、<、

4=1=1〔9=1匕=1q=\lq=2H=2(<7=2[<7=2

〃=4Jp=5|/?=6/〃=4]〃=5[p=6〃=5J〃=6、]〃=5Jp=6以上?種

q=3[<?=3[<7=3[g=4[</=4[g=4q=5[g=5[<7=6|q=6

情況，，方程/+仆+夕=0有實(shí)數(shù)解的概率為12；其中滿足〃2一4“=0的有!”=2、1°=4以上2

36W=1[9=4

9?

種情況，，方程，+/求+4=0有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率為1=《.

3618

7、（2010茂名）一只紙箱中裝有除顏色外完全相同的紅色、黃色、藍(lán)色乒乓球共100個(gè).從紙箱

中任意摸出一球，摸到紅色球、黃色球的概率分別是0.2、0.3.

（1）試求出紙箱中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)；

（2）假設(shè)向紙箱中再放進(jìn)紅色球x個(gè)，這時(shí)從紙箱中任意取出一個(gè)球是紅色球的概率為05試求x的

值.

解：（1）由得紙箱中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)為:100x（1-0.2-0.3）=50（個(gè)）

（2）方法一：根據(jù)題意得：

及±主二0.5,解得：x=60（個(gè)）.

100+x

方法二：由得紅色球20個(gè)、黃色球30個(gè)，藍(lán)色球50個(gè)，為使任意取出一個(gè)球是紅色球的概率為0.5,

所以紙箱中紅色球的個(gè)數(shù)等于黃色球與藍(lán)色球個(gè)數(shù)之和，得：

x-20=30+50,解得：x=60（人）.

（七）幾何概率

1、在一次促銷活動(dòng)中，某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如下圖，

轉(zhuǎn)盤被平均分成16份），并規(guī)定：顧客每購置1（）0元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的時(shí)

機(jī)，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得

50元、30元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場(chǎng)繼續(xù)購物，如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,

那么可以直接獲得購物券10元。

（1）求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲50元購物券的概率（2）求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲30元購物券

的概率

（3）求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲20元購物券的概率（4）求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券的概率

（5）求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤不獲購物券的概率（6）求每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均

數(shù)；

（7）如果你在該商場(chǎng)消費(fèi)125元，你會(huì)選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤還是直接獲得購物券？說明理由。

解：（1）每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲50元購物券的概率為：1/16

（2）每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲30元購物券的概率為：2/16=1/8

（3）每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲20元購物券的概率為：4/16=1/4

（4）每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16

（5）每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤不獲購物券的概率：1-7/16=9/16（或者是空白區(qū)域除以16）

2A

[6]50x16+30x16+20x16=11.875〔元〕;⑺?「50.875元＞10元,二.選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤。

2、某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖9所示），并規(guī)定：顧客每購置100

元的商品，可轉(zhuǎn)動(dòng)兩次轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，看指針指向的數(shù).獲獎(jiǎng)方法是：①指針兩次都指向3時(shí)，顧客

可以獲得100元購物券；②指針兩次中有一次指向8時(shí)，顧客可以獲得50元購物券；③指針兩次都不指向8,

且所指兩數(shù)之和又大于8時(shí)，顧客可以獲得所指兩數(shù)之和與8的差的10倍的購物券[如，獲40元購物券）：

④其氽情況無獎(jiǎng).（1）試用樹狀圖或列表的方法，給出兩次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)锌赡苤赶虻慕Y(jié)果；（2）試求

顧客可獲得100元購物券的概率；（3）試求顧客無獎(jiǎng)的概率.

解：m列表得:

2468

2

(2,2)(2,4)(2,6)(2,8)

4

(4,2)(4,4)(4,6)(4,8)

6

(6,2)(6,4)[6,6)(6,8)

8

(8,2)(8,4)[8,6)(8,8)

（2）因?yàn)閮纱无D(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)锌赡艿慕Y(jié)果共有16種，其中兩次指針指向8的情況有一

種，所以所求概率為1/16

（3）因?yàn)閮纱无D(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)锌赡艿慕Y(jié)果共有16種，其中無獎(jiǎng)的情況有6種，所以所

求概率為6/16=3/8

3、公共汽車在0?5分鐘內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車站，求汽車在1?3分鐘之間到達(dá)的概率。

分析：將0?5分鐘這段時(shí)間看作是一段長(zhǎng)度為5個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，那么1?3分鐘是這

一線段中的2個(gè)單位長(zhǎng)度。

解：設(shè)“汽車在1?3分鐘之間到達(dá)”為事件A,那么P（A）=（3-l）/5=2/5

所以“汽車在1?3分鐘之間到達(dá)”的概率為2/5

4、取一根長(zhǎng)為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于1米的概率

有多大？

解：記“剪得兩段繩子長(zhǎng)都不小于1m”為事件A,把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在

中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生。由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩子長(zhǎng)的三分之一，所以事件A發(fā)生的

概率P概）=1/3。

5、在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM小于AC的概率。

分析：點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的線段AC'

上時(shí)，AMVAC,故線段AC'即為區(qū)域d。

解：在AB上截取AC'=AC,于是

P（AMVAC）=P（AM<AC,）=AC'/AB=AC/AB=A/2/2

那么AM小于AC的概率為72/2

6、取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓（如圖），隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入

圓內(nèi)的概率.

解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,那么

P（A）=圓的面積/正方形面積二冗a2/4a2=冗/4

7、在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,求：（°的概率.（2）

ZAPB<90°的概率

解：如圖，以正方形的邊AB為直徑作圓，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，那么有當(dāng)點(diǎn)P在

圓周上時(shí)，NAPB=90°,而點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，NAPB>90°,當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，NAPBV90。

設(shè)AB二a,那么正方形的面積為a2

所以，/APB>90。的概率p=(r*(a/2)2/2)4-a2=n/8

ZAPB<90°的概率為l-n/8

8、一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30nb寬20nl的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于

2m的概率.

解：設(shè)事件A“海豚嘴尖離岸邊小于2m”(見陰影局部)

P(A)=(30X20-26X16)+30X20=0.31

9、射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為

金色.金色靶心叫“黃心”“奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm,運(yùn)發(fā)動(dòng)在

70nl外射.假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶而內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，二二外中靶心的概率有

多大？

P(A)=(1/4JiX12.22)4-(1/4X1222]=0.01

JT20m

10、某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了，他翻開收音機(jī),想聽丁

10分鐘的概率.

J:T11

解：設(shè)A=(等待的時(shí)間不多于10分鐘｝.我們所關(guān)心的事件A恰好是翻開收音機(jī)的時(shí)刻位于

[50,60]時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的求概率的公式得

P(A)=10/60=1/6(八)設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則

例1有一個(gè)小正方體，正方體的每個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字.現(xiàn)在有

甲、乙兩位同學(xué)做游戲，游戲規(guī)則是：任意擲出正方體后，如果朝上的數(shù)字是6,甲是勝利

者；如果朝上的數(shù)字不是6,乙是勝利者.你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平嗎？為什

么？如果不公平，你打算怎樣修改才能使游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平？

解析：看游戲是否公平，主要看雙方是否具有均等的獲勝時(shí)機(jī)，如果時(shí)機(jī)是均等的，那

就公平，否在，那么不公平；可以改變條件，使游戲?qū)﹄p方獲得的時(shí)機(jī)是均等的就可以了.

(1)這個(gè)游戲不公平.因?yàn)檎襟w的每個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字，其

中數(shù)字6只有1個(gè)，也就是甲勝利的概率是點(diǎn)不是6的數(shù)字有5個(gè)，也就是說乙勝利的概率

,雙方的勝利的時(shí)機(jī)不是均等的，所以說這個(gè)游戲不公平.

(2)可以把游戲規(guī)則改為：任意擲出正方體后，如果朝上的數(shù)字是奇數(shù)(1,3,5),

甲是勝利者；如果朝上的數(shù)字是偶數(shù)(2,4,6),乙是勝利者，按這樣的游戲規(guī)則就公平

了.

點(diǎn)評(píng)：此題考查游戲公平性的判斷，判斷游戲規(guī)則是否公平，就要計(jì)笄每個(gè)參與者取勝

的概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

(九)概率的實(shí)際應(yīng)用

例1某同學(xué)午覺醒來發(fā)現(xiàn)鐘表停了，他翻開收音機(jī)想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，那么他等待的時(shí)間

不超過15分鐘的概率是()

A.1B.1C.ID.-

2345

解析：電臺(tái)每小時(shí)報(bào)時(shí)一次時(shí)間，此人翻開收音機(jī)時(shí)處于兩次報(bào)時(shí)之間.例如在13：()0

至14：0()之間，而且取各點(diǎn)的可能性一樣.要等待的時(shí)間不超過15分鐘，只有當(dāng)他翻開收音

機(jī)的時(shí)間處于13：45至14：00之間才有可能，因此相應(yīng)的概率應(yīng)是此題選C.

4

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來說，它發(fā)生可能性大小的度量是由它們自身決定的，并且是客

觀存在的，就如同一塊土地有面積一樣.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件

自身的一個(gè)屬性.

誤區(qū)點(diǎn)撥

一、根本概念的理解有誤

例1有以下說法：①隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值；②任意事件A發(fā)生的概率P

(A)滿足0<P(A)<1；③假設(shè)事件A發(fā)生的概率為().()()()()01,那么事件A是不可能事件,其

中正確的有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

錯(cuò)解：選D.

剖析：此題致錯(cuò)原因是不理解一些根本概念.頻率是較少數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，是一種具體的趨

勢(shì)和規(guī)律.在大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，頻率具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)

次數(shù)的不斷增加，這種擺動(dòng)幅度越來越小，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)事件的概率.隨機(jī)事件A發(fā)生的

概率是頻率的穩(wěn)定值，①正確；由于必然事件發(fā)生的概率為1,不可能事件發(fā)生的概率