三角函數(shù)5.1.1任意角——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點(diǎn)理清式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．了解任意角的概念，能區(qū)分正角、負(fù)角與零角．了解象限角的概念，理解并掌握終邊相同的角的概念．2．能寫出終邊相同的角所組成的集合．利用象限角和終邊相同的角的概念解決簡單的問題．逐點(diǎn)清(一)任意角[多維理解]1．角的定義角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形角的表示①始邊：射線的起始位置OA.②終邊：射線的終止位置OB.③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”2．角的分類名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角3．角的運(yùn)算設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．[微點(diǎn)練明]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)小于90°的角都是銳角．()(2)終邊與始邊重合的角為零角．()(3)大于90°的角都是鈍角．()(4)相等的角終邊相同．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.如圖是清代的時(shí)辰醒鐘，此醒鐘直徑12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宮廷鐘表處制造，以中國傳統(tǒng)的一日十二個(gè)時(shí)辰為表盤顯示，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與普通機(jī)械鐘表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似．則丑時(shí)與午時(shí)的夾角是()A．120°B．135°C．150°D．165°解析：選C一日十二個(gè)時(shí)辰，則一個(gè)時(shí)辰所對應(yīng)的圓心角為eq\f(360°,12)＝30°，丑時(shí)與午時(shí)相差5個(gè)時(shí)辰，故丑時(shí)與午時(shí)的夾角為30°×5＝150°.3．經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是()A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°解析：選B鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的，而eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.4.如圖，射線OA先繞端點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則β＝________.解析：因?yàn)椤螦OC＝60°＋(－820°)＝－760°，所以β＝－(760°－720°)＝－40°.答案：－40°逐點(diǎn)清(二)象限角[多維理解]把角放在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與eq\a\vs4\al(x)軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．|微|點(diǎn)|助|解|(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標(biāo)軸上，它不屬于任何一個(gè)象限；正確區(qū)分銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．銳角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、負(fù)角)．(2)每一個(gè)象限都有正角和負(fù)角．[微點(diǎn)練明]1．(多選)下列各角是第二象限角的是()A．160°B．480°C．－960°D．1530°解析：選ABC160°很顯然是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．2．90°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．不屬于任何象限解析：選D因?yàn)?0°角的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上，所以90°角不屬于任何象限．3．下列敘述正確的是()A．三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角B．鈍角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角解析：選B直角不屬于任何一個(gè)象限，故A不正確；鈍角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正確；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正確；由于零角和負(fù)角也小于180°，故D不正確．逐點(diǎn)清(三)終邊相同的角[多維理解]1．終邊相同角的概念所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．|微|點(diǎn)|助|解|(1)角α為任意角，“k∈Z”不能省略．k有三層含義：①特殊性：對k每賦一個(gè)整數(shù)值就有一個(gè)具體對應(yīng)的角．②一般性：表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身)．③從幾何意義上看，k表示角的終邊按一定的方向轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)．k取正整數(shù)時(shí)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；k取負(fù)整數(shù)時(shí)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；k＝0時(shí)，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)．(2)k·360°與α中間要用“＋”連接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)當(dāng)角的始邊相同時(shí)：相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍；終邊不同則表示的角一定不同．2．象限角與軸線角的集合表示(1)象限角象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}[微點(diǎn)練明]1．將－885°化為α＋k·360°(0≤α<360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)·360°B．195°＋(－3)·360°C．195°＋(－2)·360°D．－195°＋(－3)·360°解析：選B∵－885°＋1080°＝195°，∴－885°＝195°＋(－1080°)＝195°＋(－3)·360°.2．(多選)在－360°～360°范圍內(nèi)，與－410°角終邊相同的角是()A．－50° B．－40°C．310° D．320°解析：選AC因?yàn)椋?0°＝－410°＋360°，310°＝－410°＋2×360°，所以與－410°角終邊相同的角是－50°和310°.3．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊落在()A．x軸的非負(fù)半軸上 B．x軸的非正半軸上C．x軸上 D．y軸的非負(fù)半軸上解析：選A因?yàn)榻铅粒碌慕K邊相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的終邊落在x軸的非負(fù)半軸上．4．已知－990°＜α＜－630°，且α與120°角的終邊相同，則α＝________.解析：因?yàn)棣僚c120°角終邊相同，所以α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1110°＜k·360°＜－750°，故取k＝－3，則α＝－3×360°＋120°＝－960°.答案：－960°逐點(diǎn)清(四)終邊相同角的應(yīng)用[例1]如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}解析：選C陰影部分的角從－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整數(shù)倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.[例2]已知角α是第三象限角，則角eq\f(α,2)是()A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角解析：選D因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，所以k·180°＋90°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋135°(k∈Z)．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°＋90°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋135°(n∈Z)，所以eq\f(α,2)是第二象限角；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋270°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋315°(n∈Z)，所以eq\f(α,2)是第四象限角．|思|維|建|模|1．關(guān)于角nα或eq\f(α,n)象限的確定(1)由α的范圍，表示出nα，eq\f(α,n)的范圍，由n的取值確定象限．(2)特別地，求eq\f(α,n)所在象限時(shí)，可以把每個(gè)象限等分為n份，在每一份中按順序標(biāo)記一、二、三、四，找到原象限數(shù)字即可．2．表示區(qū)域角的三個(gè)步驟(1)先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.(3)起始、終止邊界對應(yīng)的角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．[針對訓(xùn)練]1．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z))，則角α的終邊落在的陰影部分是()解析：選B令k＝0，得45°≤α≤90°.則B選項(xiàng)中的陰影部分區(qū)域符合題意．2．若α是第二象限角，那么eq\f(α,2)和2α都不是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選B由α是第二象限角可知eq\f(α,2)是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸負(fù)半軸上的角，所以eq\f(α,2)和2α都不是第二象限角．3．終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角α的集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·180°＋30°，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·180°＋60°，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋30°，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋60°，k∈Z))解析：選B易得y＝eq\r(3)x的傾斜角為60°.當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，α＝60°＋k·360°，k∈Z；當(dāng)終邊在第三象限時(shí)，α＝240°＋k·360°，k∈Z.所以角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·180°＋60°，k∈Z)))).[課時(shí)跟蹤檢測](滿分100分，選填小題每題5分)1．下列說法正確的是()A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是負(fù)的 D．角可以是任意大小答案：D2．將－880°化為α＋k×360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是()A．160°＋(－3)×360° B．200°＋(－2)×360°C．160°＋(－2)×360° D．200°＋(－3)×360°解析：選D－880°＝200°＋(－3)×360°.3．“α是銳角”是“α是第一象限角”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)椤唉潦卿J角”能推出“α是第一象限角”，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是銳角，所以“α是銳角”是“α是第一象限角”的充分不必要條件．4.已知角α在直角坐標(biāo)系中，如圖所示，其中射線OA與y軸正半軸的夾角為30°，則α的值為()A．－480° B．－240°C．150° D．480°解析：選D由角α的終邊繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，可知α為正角．又旋轉(zhuǎn)量為480°，∴α＝480°.5．下面各組角中，終邊相同的是()A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°解析：選B因?yàn)椋?30°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°與750°終邊相同．6．在0°≤α＜360°中，與－510°角的終邊相同的角為()A．150° B．210°C．30° D．330°解析：選B與－510°角終邊相同的角可表示為β＝－510°＋k·360°，k∈Z.當(dāng)k＝2時(shí)，β＝210°.7．(多選)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的終邊可能落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選AC當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時(shí)，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α為第三象限角；當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，α＝m·360°＋45°，故α為第一象限角．故α的終邊在第一或第三象限．8．若α為第二象限角，則k·180°＋α(k∈Z)的終邊所在的象限是()A．第二象限 B．第一或第二象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限解析：選D因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，則2n·180°＋90°<α<2n·180°＋180°，n∈Z，因此(2n＋k)·180°＋90°<k·180°＋α<(2n＋k)·180°＋180°，n，k∈Z，而2n為偶數(shù)，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，2n＋k為奇數(shù)，則k·180°＋α(k∈Z)為第四象限角，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，2n＋k為偶數(shù)，則k·180°＋α(k∈Z)為第二象限角，所以k·180°＋α(k∈Z)的終邊所在的象限是第二或第四象限．9．(多選)如圖，若角α的終邊落在陰影部分，則角eq\f(α,2)的終邊可能在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選AC依題意，得k·360°＋40°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z，所以k·180°＋20°≤eq\f(α,2)≤k·180°＋50°，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在第三象限．10．如果角α與角x＋45°具有相同的終邊，角β與角x－45°具有相同的終邊，那么α與β之間的關(guān)系是()A．α＋β＝0°B．α－β＝90°C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)解析：選D利用終邊相同的角的關(guān)系，得α＝n·360°＋x＋45°(n∈Z)，β＝m·360°＋x－45°(m∈Z)．則α＋β＝(m＋n)·360°＋2x(n∈Z，m∈Z)，與x有關(guān)，故A、C錯(cuò)誤．因?yàn)棣粒拢?n－m)·360°＋90°(n∈Z，m∈Z)，又m，n是整數(shù)，所以n－m也是整數(shù)，用k(k∈Z)表示，所以α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．故B錯(cuò)誤，D正確．11．若α＝2024°，則與α有相同終邊的最小正角β＝________.解析：因?yàn)?024°＝360°×5＋224°，所以與2024°終邊相同的最小正角是224°.答案：224°12．在0°～360°范圍內(nèi)，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為____________．解析：與角－60°的終邊在同一條直線上的角可表示為β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范圍內(nèi)，∴0°≤－60°＋k·180°＜360°，解得eq\f(1,3)≤k＜eq\f(7,3)，k∈Z.∴k＝1或2.當(dāng)k＝1時(shí)，β＝120°；當(dāng)k＝2時(shí)，β＝300°.答案：120°，300°13.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是____________________．解析：觀察題圖可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．答案：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}14．(10分)若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊與終邊，求角α的值．解：∵角5α與α具有相同的始邊與終邊，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°，解得2<k<4，又k∈Z，∴k＝3.∴當(dāng)k＝3時(shí)，α＝270°.15．(12分)已知α＝－1910°.(1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限的角；(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ<0°.解：(1)設(shè)α＝β＋k·360°(k∈Z)，則β＝－1910°－k·360°(k∈Z)．令－1910°－k·360°≥0°，解得k≤－eq\f(191,36)，k的最大整數(shù)解為k＝－6，求出相應(yīng)的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.16．(13分)如圖，一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)半徑為1的圓上爬動(dòng)，若兩只螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A(1,0)按逆時(shí)針方向勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14秒回到A點(diǎn)，并且在第2秒時(shí)均位于第二象限，求α，β的值．解：根據(jù)題意可知14α，14β均為360°的整數(shù)倍，故可設(shè)14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z.由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，又兩只螞蟻在第2秒時(shí)均位于第二象限，∴2α，2β都是鈍角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，∴45°<α＝eq\f(m,7)·180°<90°，45°<β＝eq\f(n,7)·180°<90°，∴eq\f(7,4)<m<eq\f(7,2)，eq\f(7,4)<n<eq\f(7,2).∵α<β，∴m<n，又m，n∈Z，∴m＝2，n＝3，∴α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,7)))°，β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(540,7)))°.5.1.2弧度制(教學(xué)方式：基本概念課—逐點(diǎn)理清式教學(xué)) [課時(shí)目標(biāo)]1．了解弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系．2．明確圓周角度數(shù)和弧度數(shù)，有助于熟練掌握角度與弧度的互化．3．掌握弧長公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數(shù)．逐點(diǎn)清(一)弧度制的概念[多維理解]1．弧度的角我們規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．2．弧度數(shù)與弧度數(shù)的計(jì)算|微|點(diǎn)|助|解|角度制與弧度制是兩種不同的度量單位，在表示角時(shí)，二者不可混用.角度制用度作為單位來度量角的單位制角的大小與半徑無關(guān)單位“°”不能省略角的正負(fù)與方向有關(guān)六十進(jìn)制弧度制用弧度作為單位來度量角的單位制角的大小與半徑無關(guān)單位“rad”可以省略角的正負(fù)與方向有關(guān)十進(jìn)制[微點(diǎn)練明]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位．()(2)用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)．()(3)1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π).()(4)1rad的角比1°的角要大．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．下列說法正確的是()A．1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C．所有圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角解析：選A對于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對于C，只有在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是相等的，故C錯(cuò)誤；對于D，用弧度表示的角也可以是負(fù)角或零角，故D錯(cuò)誤．3．時(shí)針經(jīng)過四個(gè)小時(shí)，轉(zhuǎn)過了()A.eq\f(2π,3)rad B．－eq\f(2π,3)radC.eq\f(5π,6)rad D．－eq\f(5π,6)rad解析：選B因?yàn)闀r(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過一圈(12小時(shí))的角度為－2πrad，所以時(shí)針經(jīng)過四個(gè)小時(shí)，轉(zhuǎn)過了eq\f(4,12)·(－2π)rad＝－eq\f(2π,3)rad.4.二十四節(jié)氣是中國古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶．從立春起的二十四節(jié)氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四節(jié)氣的對應(yīng)圖如圖所示，從谷雨節(jié)氣到大雪節(jié)氣圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧所對圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(3π,4) B．πC.eq\f(5π,4) D.eq\f(3π,2)解析：選C由題意，二十四節(jié)氣將一個(gè)圓24等分，所以每相鄰的兩個(gè)節(jié)氣對應(yīng)的弧度數(shù)為eq\f(2π,24)＝eq\f(π,12)，則從谷雨到大雪，二十四節(jié)氣圓盤需要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15個(gè)節(jié)氣，所以轉(zhuǎn)過的弧所對的圓心角的弧度數(shù)為15×eq\f(π,12)＝eq\f(5π,4).逐點(diǎn)清(二)角度制與弧度制的互化[多維理解]角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)|微|點(diǎn)|助|解|角度與弧度互化的原則和方法(1)原則：牢記180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f(π,180)rad,1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°進(jìn)行換算．(2)方法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α·\f(180,π)))°；n°＝n·eq\f(π,180)rad.[微點(diǎn)練明]1．若α＝－2rad，則α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C∵－π<－2<－eq\f(π,2)，∴α是第三象限角．故選C.2．(多選)下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是()A．72°化成弧度是eq\f(2π,5)B．－eq\f(10,3)π化成角度是－660°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πD.eq\f(π,12)化成角度是15°解析：選AD因?yàn)?2°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)，所以A正確．因?yàn)椋璭q\f(10,3)πrad＝－600°，所以B不正確．因?yàn)椋?50°＝－eq\f(5π,6)rad，所以C不正確．因?yàn)閑q\f(π,12)rad＝15°，所以D正確．3．時(shí)鐘的分針在8點(diǎn)到10點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π解析：選B分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，則分針在8點(diǎn)到10點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過度數(shù)為－6°×(2×60＋20)＝－840°，∴－840×eq\f(π,180)＝－eq\f(14,3)π，故選B.4．將下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°______120°135°150°______360°弧度_________eq\f(π,3)eq\f(π,2)_________πeq\f(3π,2)___答案：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π逐點(diǎn)清(三)用弧度制表示終邊相同的角[典例]將－1125°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.判斷它是第幾象限角．解：－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).因?yàn)閑q\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，所以eq\f(7π,4)是第四象限角．所以－1125°是第四象限角．[變式拓展]若本例條件不變，在[－4π，4π]范圍內(nèi)找出與α終邊相同的角的集合．解：依題意，與α終邊相同的角為eq\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z.由－4π≤eq\f(7π,4)＋2kπ≤4π，k∈Z，知k＝－2，－1,0,1.所以所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)，－\f(π,4)，\f(7π,4)，\f(15π,4))).|思|維|建|模|1．弧度制下與角α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．2．用弧度表示角的注意點(diǎn)(1)注意角度與弧度不能混用．(2)各終邊相同的角需加2kπ，k∈Z.(3)求兩個(gè)角的集合的交集時(shí)，注意應(yīng)用數(shù)軸直觀確定，可對k進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值．[針對訓(xùn)練]1．下列各角中，終邊相同的角是()A．eq\f(2,3)π和240° B．－eq\f(π,5)和314°C．－eq\f(7,9)π和eq\f(29,9)π D．3和3°解析：選C對于A選項(xiàng)，eq\f(2π,3)＝120°，不合題意；對于B選項(xiàng)，－eq\f(π,5)＝－36°，314°－(－36°)＝350°，不合題意；對于C選項(xiàng)，eq\f(29,9)π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)π))＝4π，符合題意；對于D選項(xiàng)，3≈3×57.30°＝171.90°，171.90°－3°＝168.90°，不合題意．2．α的終邊與eq\f(π,6)的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，則α的取值集合為________．解析：α的終邊與eq\f(π,6)的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，所以α的終邊與eq\f(π,3)的終邊相同，所以α的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))) 逐點(diǎn)清(四)弧長公式與扇形面積公式[多維理解]設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αr.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2.|微|點(diǎn)|助|解|1．扇形弧長、面積公式的變形運(yùn)用(1)l＝|α|·r?|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|).(2)S＝eq\f(1,2)|α|r2?|α|＝eq\f(2S,r2).2．謹(jǐn)記兩個(gè)注意點(diǎn)(1)在弧度制中，弧長公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負(fù)．(2)運(yùn)用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是α是弧度．[微點(diǎn)練明]1．已知弧長為π的扇形面積也為π，則該扇形的圓心角(正角)為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(\r(2)π,2) D.eq\f(π,2)解析：選D設(shè)該扇形的圓心角為α，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(αr＝π，,\f(πr,2)＝π，))解得r＝2，α＝eq\f(π,2).2．(多選)若扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼?倍，半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則()A．扇形的面積不變B．扇形的圓心角不變C．扇形的面積變?yōu)樵瓉淼?倍D．扇形的圓心角變?yōu)樵瓉淼?倍解析：選BC設(shè)原扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，則原扇形的面積為S1＝eq\f(1,2)lr.扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼?倍，半徑變?yōu)樵瓉淼?倍后，其面積為S2＝eq\f(1,2)·2l·2r＝2lr，故S2＝4S1，故A錯(cuò)誤，C正確；由α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2l,2r)，可知扇形的圓心角不變，故B正確，D錯(cuò)誤．3．已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長最小值為()A．2 B．4C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：選D設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，所以扇形的面積為eq\f(1,2)·l·r＝3.所以lr＝6.又扇形的周長為l＋2r，所以l＋2r≥2eq\r(l·2r)＝4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2r，,lr＝6，))即l＝2r＝2eq\r(3)時(shí)，取等號(hào)．4.《九章算術(shù)》是一部中國古代的數(shù)學(xué)專著．第一章《方田》主要講各種形狀的田地面積的計(jì)算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形田地稱為“環(huán)田”(注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝)，書中提到如圖所示的一塊“環(huán)田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圓心角大小為5(單位：弧度)，則該“環(huán)田”的面積為()A．600平方步 B．640平方步C．660平方步 D．700平方步解析：選C設(shè)中周的半徑是R1，外周的半徑是R2，圓心角為α＝5，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(αR1＝5R1＝95，,αR2＝5R2＝125，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R1＝19，,R2＝25，))則該“環(huán)田”的面積為S＝eq\f(1,2)αReq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)αReq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×5×(252－192)＝660平方步．[課時(shí)跟蹤檢測](滿分90分，選填小題每題5分)1．把eq\f(π,5)化成角度制是()A．36°B．30°C．24°D．12°解析：選A由角度制與弧度制的互化知，πrad＝180°.所以eq\f(π,5)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)×\f(180,π)))°＝36°.2．時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，轉(zhuǎn)過了()A.eq\f(π,6)rad B．－eq\f(π,6)radC.eq\f(π,12)rad D．－eq\f(π,12)rad解析：選B時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，轉(zhuǎn)過－30°，－30°＝－eq\f(π,6)rad.3．用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋kπ，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))解析：選D因?yàn)?50°＝150×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,6)，所以與150°角的終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).4．自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5)C.eq\f(5π,22)D.eq\f(22π,5)解析：選B由題意知，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過eq\f(88,20)周，則小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是eq\f(88,20)×2π＝eq\f(44π,5).5．(多選)下列命題正確的是()A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．5弧度的角是第四象限角C．α是第一象限角，則eq\f(π,2)－α也是第一象限角D．－1弧度角是銳角解析：選BCA選項(xiàng)，1弧度的角就是弧長為半徑的弧所對的圓心角，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．B選項(xiàng)，因?yàn)閑q\f(3π,2)<5<2π，所以5弧度的角是第四象限角．B選項(xiàng)正確．C選項(xiàng)，因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵?kπ<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以－2kπ－eq\f(π,2)<－α<－2kπ，k∈Z，－2kπ<eq\f(π,2)－α<－2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.所以eq\f(π,2)－α也是第一象限角．C選項(xiàng)正確．D選項(xiàng)，因?yàn)椋?弧度角是負(fù)角，所以不是銳角．D選項(xiàng)錯(cuò)誤．6．一段圓弧的長度等于其所在圓的圓內(nèi)接正方形的邊長，則這段圓弧所對的圓心角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：選C如圖，設(shè)圓的半徑為R，則正方形邊長為eq\r(2)R，∴弧長l＝eq\r(2)R，∴圓心角α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\r(2)R,R)＝eq\r(2).7．(多選)已知α與β是終邊相同的角，且β＝－eq\f(1,3)π，那么eq\f(α,2)可能是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選BDα與β是終邊相同的角，且β＝－eq\f(π,3)，故α＝－eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.故eq\f(α,2)＝－eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，eq\f(α,2)＝－eq\f(π,6)＋2nπ，n∈Z，是第四象限角；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，eq\f(α,2)＝eq\f(5π,6)＋2nπ，n∈Z，是第二象限角．綜上所述，eq\f(α,2)可能是第二或第四象限角．8．密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角，在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7密位寫成“0－07”，478密位寫成“4－78”．如果一個(gè)半徑為4的扇形，其圓心角用密位制表示為6－25，則該扇形的面積為()A.eq\f(10π,3) B．2πC.eq\f(5π,3) D.eq\f(5π,6)解析：選C依題意，該扇形的圓心角為α＝eq\f(625,6000)×2π＝eq\f(5π,24)，故所求扇形的面積為S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,24)×42＝eq\f(5π,3).9．(多選)下列命題正確的是()eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝90°＋kπ，k∈Z))))A．終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ，k∈Z))))B．終邊落在y軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝90°＋kπ，k∈Z))))C．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°D．第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))解析：選AC終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ，k∈Z))，故A正確；由于角度制和弧度制不能混用，故B錯(cuò)誤；所有與45°角終邊相同的角可以表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝45°＋k·360°，k∈Z))，則在－720°～0°范圍內(nèi)，取k＝－2，－1，得α＝－675°，α＝－315°，故C正確；第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故D錯(cuò)誤．10．寫出一個(gè)與－1130°終邊相同的正角α＝________.(用弧度數(shù)表示)解析：因?yàn)椋?130°＋360°×4＝310°＝eq\f(31π,18)，所以與－1130°終邊相同的正角為eq\f(31π,18)＋2kπ，k∈N，寫出一個(gè)即可為eq\f(31π,18).答案：eq\f(31π,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝\f(31π,18)＋2kπ，k∈N寫出一個(gè)即可))11．扇形的半徑是eq\r(6)，圓心角是60°，則該扇形的弧長為________，面積為________．解析：因?yàn)?0°＝eq\f(π,3)，所以扇形的弧長為l＝|α|·r＝eq\f(π,3)×eq\r(6)＝eq\f(\r(6),3)π，面積為S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)π×eq\r(6)＝π.答案：eq\f(\r(6),3)ππ12．填寫下表α的度數(shù)－570°375°α的弧度數(shù)eq\f(4π,5)－eq\f(45π,4)α所在的象限在(－4π，π)內(nèi)與α終邊相同的角答案：α的度數(shù)－570°375°144°－2025°α的弧度數(shù)－eq\f(19π,6)eq\f(25π,12)eq\f(4π,5)－eq\f(45π,4)α所在的象限二一二二在(－4π，π)內(nèi)與α終邊相同的角－eq\f(7π,6)，eq\f(5π,6)eq\f(π,12)，－eq\f(23π,12)，－eq\f(47π,12)－eq\f(6π,5)，－eq\f(16π,5)－eq\f(13π,4)，－eq\f(5π,4)，eq\f(3π,4)13.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑為4m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是________m2(精確到1m2)．解析：eq\f(2π,3)＝120°，根據(jù)題意，弦＝2×4sineq\f(120°,2)＝4eq\r(3)(m)，矢＝4－4coseq\f(120°,2)＝2(m)，因此弧田面積＝eq\f(1,2)×(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(m2)．答案：914．(12分)(1)已知扇形的周長為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．(2)已知一扇形的周長為4，當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時(shí)，扇形的面積最大？最大值是多少？解：(1)設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長為lcm，半徑為Rcm，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2R＝10，①,\f(1,2)lR＝4.②))①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R＝1或R＝4.當(dāng)R＝1時(shí)，l＝8，此時(shí)，θ＝8rad>2πrad舍去．當(dāng)R＝4時(shí)，l＝2，此時(shí)，θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為eq\f(1,2)rad.(2)設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長為l，半徑為r，面積為S，則l＋2r＝4，所以l＝4－2req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π＋1)<r<2))，所以S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，所以當(dāng)r＝1時(shí)，S最大，且Smax＝1，此時(shí)θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(4－2×1,1)＝2(rad)．15．(13分)中國最早用土和石片刻制成“土圭”與“日晷”兩種計(jì)時(shí)工具．銅器時(shí)代，使用青銅制的“漏壺”，東漢元初四年張衡發(fā)明了世界第一架“水運(yùn)渾象”，元初郭守敬、明初詹希元?jiǎng)?chuàng)制“大明燈漏”與“五輪沙漏”，一直到現(xiàn)代的鐘表、手表等．現(xiàn)在有人研究鐘的時(shí)針和分針一天內(nèi)重合的次數(shù)，從午夜零時(shí)算起，假設(shè)分針走了tmin會(huì)與時(shí)針重合，一天內(nèi)分針和時(shí)針重合n次．(1)建立t關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系；(2)求一天內(nèi)分針和時(shí)針重合的次數(shù)n.解：(1)設(shè)經(jīng)過tmin分針就與時(shí)針重合，n為兩針一天內(nèi)重合的次數(shù)．因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的角速度為eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)(rad/min)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度為eq\f(2π,12×60)＝eq\f(π,360)(rad/min)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)－\f(π,360)))t＝2πn，即t＝eq\f(720,11)n.(2)因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為24×60＝1440(min)，所以eq\f(720,11)n≤1440，于是n≤22，故時(shí)針與分針一天內(nèi)只重合22次．5．2．1三角函數(shù)的概念第1課時(shí)三角函數(shù)的概念(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義，能利用定義求三角函數(shù)值及參數(shù)值．1．三角函數(shù)的定義條件如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦函數(shù)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y＝sin_α余弦函數(shù)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x＝cos_α正切函數(shù)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即eq\f(y,x)＝tan_α(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)2．三角函數(shù)定義的推廣設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)O重合，r＝OP＝eq\r(x2＋y2)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．|微|點(diǎn)|助|解|(1)在任意角的三角函數(shù)的定義中，應(yīng)該明確：α是一個(gè)任意角，其范圍是使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)集．(2)三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小與點(diǎn)P在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．3．三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)解析式定義域正弦函數(shù)y＝sinxR余弦函數(shù)y＝cosxR正切函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若α的終邊與x軸負(fù)半軸重合，則tanα不存在．()(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝－eq\f(x,\r(x2＋y2)).()(3)若α為三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0.()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，則tanα＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)答案：B3．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cosα等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)解析：選D因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5.所以cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5).題型(一)已知角的終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)值[例1]已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，y))，則sinα＝()A．－eq\f(\r(3),6) B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(1,2) D．±eq\f(3,2)解析：選C由題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2＋y2＝1，∴y＝±eq\f(1,2)，∴sinα＝y(tǒng)＝±eq\f(1,2).故選C.[例2]已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5m,12m)，其中m≠0，求sinα，cosα，tanα的值．解：令x＝5m，y＝12m，則r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(5m2＋12m2)＝13|m|，①當(dāng)m>0時(shí)，r＝13m，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(12m,13m)＝eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(5m,13m)＝eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(12,5)；②當(dāng)m<0時(shí)，r＝－13m，sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(12m,13m)＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(5m,13m)＝－eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(12,5).|思|維|建|模|利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值的策略(1)若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出各三角函數(shù)值．(2)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x，y)(x≠0)是單位圓上一點(diǎn)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(3)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x，y)不是單位圓上一點(diǎn)，則先求r＝eq\r(x2＋y2)，再求sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).(4)若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論．[針對訓(xùn)練]1．已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．若角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，則sinαtanα＝________.解析：由Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).則sinα＝eq\f(y,\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\r(3).故sinαtanα＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)2．已知α＝eq\f(2π,3)，則sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.解析：在直角坐標(biāo)系中，作∠AOB＝eq\f(2π,3)(如圖)．易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).答案：eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)－eq\r(3)題型(二)已知角的終邊所在直線求三角函數(shù)值[例3]已知角α的終邊落在射線y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．解：法一設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(5),5)，,y＝－\f(2\r(5),5)，))即點(diǎn)P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))時(shí)，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))時(shí)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.法二①若α的終邊在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(a,2a)(a>0)是其終邊上任意一點(diǎn)，因?yàn)閞＝|OP|＝eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)a，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,\r(5)a)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.②若α的終邊在第三象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P(a,2a)(a<0)是其終邊上任意一點(diǎn)，因?yàn)閞＝|OP|＝eq\r(a2＋4a2)＝－eq\r(5)a(a<0)，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,－\r(5)a)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,－\r(5)a)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.|思|維|建|模|解決有關(guān)角的終邊在直線上的三角函數(shù)值的策略(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．(2)在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r＞0)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．[針對訓(xùn)練]3．(多選)已知角α的終邊落在直線2eq\r(2)x＋y＝0上，則()A．sinα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝2eq\r(2)B．sinα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝－2eq\r(2)C．sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，cosα＝eq\f(1,3)D．cosα＝－eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2)解析：選BCD直線2eq\r(2)x＋y＝0，即y＝－2eq\r(2)x，經(jīng)過第二、第四象限．在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，2eq\r(2))，則r＝eq\r(－12＋2\r(2)2)＝3.所以sinα＝eq\f(2\r(2),3)，cosα＝－eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2).在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－2eq\r(2))，則r＝eq\r(12＋－2\r(2)2)＝3.所以sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，cosα＝eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2).題型(三)利用三角函數(shù)定義求點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)值[例4]已知角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－8m，－6cos60°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：選A由點(diǎn)P的坐標(biāo)可化為(－8m，－3)，得r＝eq\r(－8m2＋－32)＝eq\r(64m2＋9).由三角函數(shù)的定義知，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5).即100m2＝64m2＋9，解得m＝±eq\f(1,2).當(dāng)m＝－eq\f(1,2)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，－3)，則cosα為正，不符合題意．故m＝eq\f(1,2).|思|維|建|模|當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．[針對訓(xùn)練]4．已知點(diǎn)P(－eq\r(5)，y)為角β終邊上的一點(diǎn)，且sinβ＝eq\f(\r(13),13)，則y的值為________．解析：由三角函數(shù)的定義，得sinβ＝eq\f(y,\r(－\r(5)2＋y2))＝eq\f(y,\r(5＋y2))＝eq\f(\r(13),13).則y>0，且eq\f(y2,5＋y2)＝eq\f(1,13)，整理，得13y2＝5＋y2.解得y＝eq\f(\r(15),6).答案：eq\f(\r(15),6)5．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P，OP＝25，且sinα＝－eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π<α<\f(3π,2)))，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，r＝OP＝25.∵π<α<eq\f(3π,2)，∴x<0，y<0.∵sinα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,25)＝－eq\f(4,5)，解得y＝－20.∵r＝OP＝25，∴eq\r(x2＋y2)＝25，即eq\r(x2＋－202)＝25.又x<0，解得x＝－15.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－15，－20)．[課時(shí)跟蹤檢測](滿分100分，A級(jí)選填小題每題5分，B級(jí)選填小題每題6分)A級(jí)——達(dá)標(biāo)評價(jià)1．若角α的終邊上有一點(diǎn)P(0,3)，則下列式子無意義的是()A．tanα B．sinαC．cosα D．都有意義解析：選A由三角函數(shù)的定義sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，可知tanα無意義．2．已知sinα＝eq\f(5,13)，cosα＝－eq\f(12,13)，則角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)，－\f(12,13))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)，\f(12,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13)))解析：選D設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，則y＝sinα＝eq\f(5,13)，x＝cosα＝－eq\f(12,13)，∴點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13))).3．平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊是x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m,1)，若tanα＝－2，則m＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．2解析：選B由題意，tanα＝eq\f(1,m)＝－2，解得m＝－eq\f(1,2).4．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(1，－2)，則sinα－cosα的值為()A.eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5) D．－eq\f(3\r(5),5)解析：選D因?yàn)閟inα＝eq\f(－2,\r(1＋4))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(1＋4))＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(3\r(5),5).5．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(1，－3)，若角α與θ的終邊關(guān)于y軸對稱，則2sinθ－cosθ＝()A．－eq\f(\r(10),2)B.eq\f(\r(10),2)C．－eq\f(7\r(10),10)D.eq\f(7\r(10),10)解析：選A∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(1，－3)，角α與θ的終邊關(guān)于y軸對稱，∴角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－1，－3)，∴sinθ＝－eq\f(3,\r(10))＝－eq\f(3\r(10),10)，cosθ＝－eq\f(1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，∴2sinθ－cosθ＝－eq\f(6\r(10),10)＋eq\f(\r(10),10)＝－eq\f(\r(10),2).6．若α的終邊與x軸負(fù)半軸重合，則sinα＝________，cosα＝_______，tanα＝______.解析：當(dāng)α的終邊與x軸負(fù)半軸重合時(shí)，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，故sinα＝0，cosα＝－1，tanα＝0.答案：0－107．已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)A(1，a)(a∈Z)在角θ終邊上，且|OA|≤3，則tanθ的值可以是________．(寫出一個(gè)即可)解析：由|OA|≤3，即1＋a2≤9，解得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2)，又a∈Z，故a的值可為－2，－1,0,1,2，則tanθ＝eq\f(a,1)＝a，即tanθ的值可以是0或±1或±2.答案：1(0，±1，±2均可)8．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2a＋1，a－2)，且cosα＝－eq\f(3,5)，則實(shí)數(shù)a的值是________．解析：∵r＝eq\r(2a＋12＋a－22)＝eq\r(5a2＋1)，cosα＝eq\f(2a＋1,\r(5a2＋1))＝－eq\f(3,5)，∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2.又2a＋1<0，解得a＝－2.答案：－29．(8分)已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα.解：因?yàn)閞＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|.①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1.②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1.綜上，2sinα＋cosα＝±1.10．(8分)已知θ終邊上一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.解：由題意知r＝OP＝eq\r(x2＋9).由三角函數(shù)定義，得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又因?yàn)閏osθ＝eq\f(\r(10),10)x，所以eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.因?yàn)閤≠0，所以x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，P(1,3)，此時(shí)sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,1)＝3；當(dāng)x＝－1時(shí)，P(－1,3)，此時(shí)sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,－1)＝－3.B級(jí)——重點(diǎn)培優(yōu)11．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，tanα－7)，則tanα＝()A．－7 B．7C．－eq\f(1,7) D.eq\f(1,7)解析：選A由角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，tanα－7)，得tanα＝eq\f(tanα－7,2)，解得tanα＝－7.12．我們學(xué)過度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種度量角的制度，叫做面度制．在面度制下，若角α的面度數(shù)為eq\f(5π,12)，則角α的正弦值是()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)解析：選D設(shè)角α所在的扇形的半徑為r，面積為S，則由題意可得eq\f(S,r2)＝eq\f(\f(1,2)r2α,r2)＝eq\f(5π,12)，解得α＝eq\f(5π,6)，所以sinα＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，故選D.13．(多選)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存在兩點(diǎn)A(－1，a)，B(b，1)且sinα＝eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)＝－eq\f(\r(2),4) B．b＝－2eq\r(2)C．cosα＝－eq\f(2\r(2),3) D．tanα＝－eq\f(\r(2),4)解析：選BCD因?yàn)榻铅恋捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存在兩點(diǎn)A(－1，a)，B(b,1)且sinα＝eq\f(1,3)，所以eq\f(a,\r(1＋a2))＝eq\f(1,\r(b2＋1))＝eq\f(1,3)，所以a2＝eq\f(1,8)，b2＝8，由eq\f(a,\r(1＋a2))＝eq\f(1,3)，可知a>0，所以角α為第二象限的角，所以b<0，所以a＝eq\f(\r(2),4)，b＝－2eq\r(2)，所以A錯(cuò)誤，B正確；所以cosα＝eq\f(b,\r(b2＋1))＝eq\f(－2\r(2),3)，tanα＝eq\f(1,b)＝－eq\f(1,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),4)，所以C、D正確．故選BCD.14．已知函數(shù)f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在角α的終邊OP上(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則tanα＝________.解析：由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)易知函數(shù)f(x)＝loga(x－2)＋1過定點(diǎn)A(3,1)，點(diǎn)A在角α的終邊OP上，由三角函數(shù)定義可得tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(1,3)，所以tanα＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．(10分)已知角α的終邊上的點(diǎn)P與點(diǎn)A(a，b)關(guān)于x軸對稱(a≠0，b≠0)，角β的終邊上的點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x對稱，求eq\f(sinα,cosβ)＋eq\f(tanα,tanβ)＋eq\f(1,cosαsinβ)的值．解：由題意可知點(diǎn)P(a，－b)，則sinα＝eq\f(－b,\r(a2＋－b2))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－b2))，tanα＝－eq\f(b,a)；由題意可知點(diǎn)