天津市和平區(qū)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列滿足且，則的值是（）A.1 B.4C.－3 D.62．設(shè)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為A. B.C. D.3．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A B.C. D.4．在四面體中，點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.5．已知空間向量，則（）A. B.C. D.6．直線的傾斜角是A. B.C. D.7．設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定8．已知圓的方程為，直線：恒過(guò)定點(diǎn)，若一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后到達(dá)圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.69．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值為24C.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線D.在C上存在點(diǎn)M，使得10．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.11．如圖所示的程序框圖，閱讀下面的程序框圖，則輸出的S=（）A.14 B.20C.30 D.5512．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角為_(kāi)__________.14．點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且與圓相切的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則雙曲線的離心率___________.16．設(shè)為三角形的一個(gè)內(nèi)角，已知曲線：，則可能是___________.（寫(xiě)出不同曲線的名稱，盡可能多.注：在一些問(wèn)題情景中，直線可以理解成是特殊的曲線）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在三角形ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，且D為AC的中點(diǎn).（1）求三角形ABC的外接圓M方程；（2）求直線BD與外接圓M相交產(chǎn)生的相交弦的長(zhǎng)度.18．（12分）已知圓的方程為（1）求圓的圓心及半徑；（2）是否存在直線滿足：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)；條件②：被圓所截得的弦長(zhǎng)最短；條件③：被圓所截得的弦長(zhǎng)為注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分19．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其外接圓半徑為，已知（1）求角；（2）若邊的長(zhǎng)是該邊上高的倍，求20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軌跡C分別交于點(diǎn)M、N，與直線交于點(diǎn)Q，求證：.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項(xiàng)和為，令，求證：.22．（10分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱為“天文愛(ài)好者”，否則稱為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女203050男351550合計(jì)5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意，由于，可知數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列，則可知d=-3,由于=，故選A2、C【解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線的之間的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.3、D【解析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D4、B【解析】結(jié)合重心的知識(shí)以及空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，.故選：B5、C【解析】A利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實(shí)數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可判斷；D利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可.【詳解】因?yàn)椋訟不正確：因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)使，所以B不正確；因?yàn)?，故，所以C正確；因?yàn)椋?，所以D不正確故選：C6、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為所以其傾斜角為故選：D7、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a、雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關(guān)于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a2+m2=2c2，再根據(jù)離心率的定義求解【詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡(jiǎn)得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C8、B【解析】求得定點(diǎn)，然后得到關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，然后可得，計(jì)算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則由,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為4.故選:B.9、C【解析】根據(jù)題意可求出C的方程為，即可根據(jù)題意判斷各選項(xiàng)的真假【詳解】對(duì)A，由可得，化簡(jiǎn)得，即，A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，點(diǎn)到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)?，所以射線是的角平分線，C正確；對(duì)D，設(shè)，由可得點(diǎn)的軌跡方程為，而圓與圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含，所以這樣的點(diǎn)不存在，D錯(cuò)誤故選：C10、C【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；故選：C11、C【解析】經(jīng)分析為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行執(zhí)行，當(dāng)滿足跳出的條件時(shí)即可輸出值【詳解】解：第一次循環(huán)S=1，i=2；第二次循環(huán)S=1+22=5，i=3；第三次循環(huán)S=5+32=14，i=4；第四次循環(huán)S=14+42=30，i=5；此時(shí)5>4，跳出循環(huán)，故輸出的值為30故選：C.12、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂直.由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線長(zhǎng)為.設(shè)正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式得到斜率，再根據(jù)斜率確定傾斜角大小即可.【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式得：，所以直線的傾斜角為：.故答案為：14、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計(jì)算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可【詳解】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時(shí)，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是綜合性題目15、2【解析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)，可得，在中，利用余弦定理構(gòu)造齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，∴，∵為中點(diǎn)，則為中位線，∴，，中，，，，∴.故答案為：2.16、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，兩條直線.【解析】討論，和三種情況，進(jìn)而根據(jù)曲線方程的特征得到答案.【詳解】若，則曲線：，而，曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；若，則曲線：或，曲線表示兩條直線；若，則曲線：，而，曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.故答案為：焦點(diǎn)在y軸上橢圓，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，兩條直線.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離，以及弦長(zhǎng)公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，易知是以BC為斜邊的直角三角形，故外接圓圓心是B，C的中點(diǎn)，半徑為BC長(zhǎng)度的一半為，故三角形ABC的外接圓M方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以易求.故直線BD的方程為，圓心到直線的距離，故相交弦的長(zhǎng)度為.18、（1）圓心為，半徑為；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）寫(xiě)出圓標(biāo)準(zhǔn)方程即得解；（2）選擇條件①：直線應(yīng)過(guò)圓心即直線過(guò)點(diǎn)和，即得解；選擇條件②：直線應(yīng)與垂直，求出直線的方程即得解；選擇條件③：不存在滿足條件的直線.【小問(wèn)1詳解】解：由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.小問(wèn)2詳解】選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線應(yīng)過(guò)圓心即直線過(guò)點(diǎn)和，所以直線的斜率為，則直線的方程為.選擇條件②：若直線過(guò)點(diǎn)被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，則直線應(yīng)與垂直.又，所以.故直線方程為.選擇條件③：經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦長(zhǎng)，由于，所以不存在滿足條件的直線.19、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，記，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，最后根據(jù)，利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由已知條件，所以，所以所以，，由余弦定理可得，而，于是（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，則，，，所以，由余弦定理得，在中，記，則，，所以20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)已知得點(diǎn)M的軌跡C為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得方程；（2）直線的方程設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及線段長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由橢圓定義得，點(diǎn)M的軌跡C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，設(shè)此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則由題意得，所以C方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)為，則直線的方程可設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理知，所以，，又因?yàn)椋杂钟深}知，所以，所以，所以，得證.21、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)利用累加法求通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系可求的通項(xiàng)公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題可知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則.22、（1）有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽