Ⅰ學(xué)院本科畢業(yè)論文1題目函數(shù)單調(diào)性的判定及應(yīng)用摘要函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要工具.本論文采用文獻研究法、內(nèi)容分析法以及調(diào)查法，從函數(shù)單調(diào)性的概念與定義入手，主要介紹了函數(shù)單調(diào)性的若干性質(zhì)和判別方法，然后深入探討和總結(jié)了單調(diào)性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)應(yīng)用，并將單調(diào)性應(yīng)用在解決實際問題中，歸納出函數(shù)單調(diào)性所適用的條件及應(yīng)用的范圍.因此，不論是從理論來講，還是實際應(yīng)用來講，研究函數(shù)的單調(diào)性都具有重要的理論意義和現(xiàn)實意義.關(guān)鍵詞：函數(shù)；單調(diào)性；判定方法；應(yīng)用ⅡAbstractFunctionmonotonicityisoneoftheimportantpropertiesoffunction,istheimportanttooltosolvetheproblemofmanymathematical.Thisthesisstartswiththeconceptanddefinitionoffunctionmonotonicity,mainlyintroducedthecertainpropertiesoffunctionalmonotonicityanddiscriminantmethod,thendiscussesandsummarizesthemonotonicityrelatedapplicationsinthefieldofmathematics,whichinturnandappliesmonotonicityinsolvingpracticalproblems,soastoinducefunctionmonotonicitytheapplicablecondition,thescopeofapplication,etc.Asaresult,bothfromtheory,andthepracticalapplication,thefunctionofthemonotonicityhasimportanttheoreticalsignificanceandrealisticsignificance.Keywords:Function;Monotonicity;DeterminationMethod;ApplicationⅢ目錄第1章緒論 第1章緒論1.1研究背景單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要紐帶.研究函數(shù)在無限變化中的變化趨勢，從有限認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變，都要用到函數(shù)的單調(diào)性.它的引入為解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，為研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式、求解方程、比較大小等方面提供了有力的工具.所以，無論是從研究教學(xué)來講，還是實際應(yīng)用來講，研究函數(shù)的單調(diào)性都具有極其重要的意義.本文將對函數(shù)單調(diào)性的判定及應(yīng)用進行研究1.2研究現(xiàn)狀目前關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的系統(tǒng)研究文獻較少，所查到的部分文獻也僅僅只是將函數(shù)單調(diào)性的一些簡單的應(yīng)用羅列出來，但是對于怎樣思考到運用函數(shù)單調(diào)性去解決問題這一過程并沒有做出詳細(xì)的闡述.比如：許多文獻僅僅只是給出了具體的解題方案，但沒有對選擇解題方案的原因做出詳細(xì)的說明.李秀萍在《高中函數(shù)單調(diào)性教學(xué)研究》中對高校高一學(xué)生函數(shù)單調(diào)性定義認(rèn)知情況進行了調(diào)查，結(jié)果顯示：大多數(shù)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性定義涉及“記憶”方面的得分較高，涉及“理解”、“應(yīng)用”、“分析”、“綜合”等方面的試題得分較低.同時對教高三的幾位數(shù)學(xué)教師進行訪談后所顯示的結(jié)果表明：學(xué)生利用函數(shù)的單調(diào)性知識解決不等式、方程、含參數(shù)取值范圍、零點、極值、最值等綜合問題的情況較困難.對此只給出了個別教學(xué)案例，未做出其他的說明【1】.劉海武在《高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性在解題中的巧妙應(yīng)用》中對函數(shù)的單調(diào)性的解題方法進行了系統(tǒng)性地研究，但依然沒有具體去說明是怎樣思考到某種方法的，以及這種方法比較于其他方法的優(yōu)勢在哪里【2】.許雷波則在《函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性整合中的幾個問題》中只是就函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)列的單調(diào)性進行了研究，略顯單一化【3】.房軍在《高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性解題方法的探討》中認(rèn)為我們可從不同方面對單調(diào)性進行求解，例如運用函數(shù)的對稱性或圖像以及函數(shù)的其他性質(zhì)對函數(shù)的單調(diào)性這一問題進行求解.可是，既然有這么多不同的方法，為什么許多學(xué)生依然在做題時沒有思路呢【4】.在國內(nèi)許多文獻都提到了利用函數(shù)的單調(diào)性去解決常見的題型，比如施永新的《巧用函數(shù)單調(diào)性解題例說》中談到巧用函數(shù)單調(diào)性妙解各類數(shù)學(xué)題【5】、馮國宏的《函數(shù)單調(diào)性在解題中的應(yīng)用策略》也提及了函數(shù)單調(diào)性如何在解題中發(fā)揮作用【6】，盡管如此，仍然未能很具體的去說明針對不同類型的題應(yīng)采取哪種解題方法.綜上所述，本文以函數(shù)的單調(diào)性的判定及其應(yīng)用作為研究的課題，在前人的研究基礎(chǔ)上對函數(shù)的單調(diào)性做出較全面的總結(jié)和歸納，并且如何應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性準(zhǔn)確又快速的解決遇到的問題.1.3研究內(nèi)容本文采用文獻研究法、內(nèi)容分析法、調(diào)查法.主要介紹函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，為此，將做出如下安排：第1章介紹了緒論；第2章給出了函數(shù)單調(diào)性的基本概念及判定方法；第3章較為系統(tǒng)地討論了函數(shù)單調(diào)性在不同方面的應(yīng)用；第4章總結(jié)了本文的主要觀點，并對未來的展望.通過對函數(shù)單調(diào)性的概念，以及與之相關(guān)的一些概念、性質(zhì)、定理和有用結(jié)論進行詳細(xì)闡述.同時闡述了一些常見函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，并將這些方法應(yīng)用到具體的題目和實際生活中去，擬解決以下幾個問題：①判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有哪些，哪些函數(shù)可以直接判斷其單調(diào)性.②對于一些看似與函數(shù)單調(diào)性“無關(guān)”的題目，如何去構(gòu)造單調(diào)函數(shù).③函數(shù)單調(diào)性在理論和實際中的應(yīng)用具體有哪些.第2章函數(shù)單調(diào)性的基本理論及判定方法本章主要介紹函數(shù)單調(diào)性的基本理論及判定方法，基本理論包括函數(shù)的概念、單調(diào)性的定義、單調(diào)性的幾何意義及其相關(guān)性質(zhì)，除此之外，本章還對單調(diào)性的判定方法做了詳述，主要包括定義法、直接判斷法、等價定義法、復(fù)合函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)法.2.1函數(shù)單調(diào)性的基本理論本節(jié)主要講述函數(shù)的單調(diào)性及其性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，因此學(xué)好單調(diào)性是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵，所以我們就要從函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的概念和性質(zhì)入手，以及通過對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號對概念及內(nèi)容加以詮釋.2.1.1函數(shù)的概念本小節(jié)主要介紹函數(shù)的概念和函數(shù)的三要素.針對不同資料版本對函數(shù)的定義有所差異，本文對函數(shù)給出如下定義：設(shè)是非空數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系,使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)，那么就稱：為從集合到集合的一個函數(shù)，記作，其中叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值得集合叫做函數(shù)的值域【7】.函數(shù)的三要素是：自變量（定義域）、因變量（值域）、對應(yīng)關(guān)系.如何確定函數(shù)的定義域是解決所有函數(shù)問題的首要問題.函數(shù)的概念是函數(shù)所有性質(zhì)的基礎(chǔ)，只有掌握函數(shù)的概念才能更加深入的理解函數(shù)和學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì).2.1.2函數(shù)單調(diào)性的定義本小節(jié)主要介紹函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和有關(guān)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意的問題.結(jié)合不同的材料，函數(shù)的單調(diào)性也叫做函數(shù)的增減性，可以定性描述在一個指定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值變化與自變量變化的關(guān)系.當(dāng)函數(shù)的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大（或減?。r，函數(shù)值也隨著增大（或減小），則稱該函數(shù)為在該區(qū)間上具有單調(diào)性（單調(diào)增減或單調(diào)減少）.在集合論中，在有序集合之間的函數(shù)，如果它們保持給定的次序，是具有單調(diào)性的.一般地，設(shè)這一連續(xù)函數(shù)的定義域為,則如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值且，都有，即在上具有單調(diào)性且單調(diào)增加，那么就說在這個區(qū)間上是增函數(shù).相反地，如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量且，都有，即在上具有單調(diào)性且單調(diào)減少，那么就說在這個區(qū)間上是減函數(shù).則增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)【8】.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：單調(diào)區(qū)間：是指函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值，隨自變量的值增大而增大（或減?。┖愠闪?或函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性值得注意的問題：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)，并且只能在函數(shù)的定義域內(nèi)進行討論，用單調(diào)性來審視一個函數(shù)，一般有三種情形：1.函數(shù)在整個定義域內(nèi)具有單調(diào)性.例如：在整個定義域上是增函數(shù).2.函數(shù)在定義域內(nèi)某些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上減函數(shù)，及單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間.例如：在定義域上不具有單調(diào)性，但在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)【9】.3.函數(shù)不具有單調(diào)性，或者函數(shù)的定義域根本就不是區(qū)間.2.1.3函數(shù)單調(diào)性的幾何意義本小節(jié)主要介紹函數(shù)單調(diào)性的幾何意義并給出了相關(guān)的圖像.函數(shù)的單調(diào)性是從高中的高一階段進行引入的，教材中借助二次函數(shù)來說明：的圖像在軸的左側(cè)是下降的，在軸的右側(cè)是上升的.這是為了讓我們從感性上更加深入地對增減函數(shù)進行理解：對于給定區(qū)間上的函數(shù)，如果函數(shù)的圖像自左向右是逐漸下降的，則稱它在這個區(qū)間上是減函數(shù)；如果函數(shù)的圖像自左向右是逐漸上升的，則稱它在這個區(qū)間上是增函數(shù).其實，我們只需要把握當(dāng)函數(shù)的自變量發(fā)生變化時，因變量函數(shù)值也在變，辨別是同向變化還是反向變化就可以輕松理解函數(shù)的單調(diào)性.關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的幾何意義如下圖2-1表示：圖2-1函數(shù)單調(diào)性的幾何意義2.1.4函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì)本小節(jié)主要介紹了關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì).1.和在區(qū)間上的單調(diào)性相反，即若是區(qū)間上的減函數(shù)(增函數(shù)）則是區(qū)間上的增函數(shù)（減函數(shù)）.2.和在區(qū)間上的單調(diào)性相同.3.當(dāng)時，和單調(diào)性相同；當(dāng)時，和單調(diào)性相反.4.當(dāng)在同一區(qū)間上都是增（減）函數(shù)時，也是增（減）函數(shù)，但無法判斷.5.當(dāng)都是增（減）函數(shù)時，若兩者都恒大于零，則也都是增（減）函數(shù)；若兩者都恒小于零，則是減（增）函數(shù).6.若是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可通過同增異減的法則進行運用.以上是基于函數(shù)單調(diào)性的基本理論對單調(diào)性相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論進行了總結(jié)和歸納，便于后面直接進行運用.2.2函數(shù)單調(diào)性的判定方法通過前面的描述我們已經(jīng)了解到可以通過定義法來判斷函數(shù)的單調(diào)性，其實除此之外函數(shù)的單調(diào)性還有許多可以進行判定的方法，本節(jié)將為定義法、直接判斷法、等價定義法復(fù)合函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)法做出具體總結(jié).2.2.1定義法在上節(jié)中，已經(jīng)具體地給出了函數(shù)單調(diào)性的定義，在本小節(jié)中將只闡述用定義證明的幾個步驟.利用定義來證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：（1）設(shè)元，任取,且；（2）作差，；（3）變形，（通常是進行配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等）；（4）斷號，（即判斷差與0的大?。唬?）定論，（即指出函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)性）；用定義法判定函數(shù)單調(diào)性比較適用于那種對于定義域內(nèi)任意兩個數(shù)當(dāng)時，容易得出與大小關(guān)系的函數(shù).在解決問題時，定義法是最直接的方法，也是我們首先考慮的方法，雖然這種方法思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣.2.2.2函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法是用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.通常與我們常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合起來使用.對于一些常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性如下表：表3-1常見簡單函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)函數(shù)表達式單調(diào)區(qū)間特殊函數(shù)圖像一次函數(shù)當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).二次函數(shù)當(dāng)時，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減反比例函數(shù)且當(dāng)時，在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞減；當(dāng)時，在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).對數(shù)函數(shù)當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù). 冪函數(shù)當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.續(xù)表3-1正弦函數(shù)當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減.余弦函數(shù)當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.函數(shù)性質(zhì)法只能借助于我們熟悉的單調(diào)函數(shù)去判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，因此首先把函數(shù)等價地轉(zhuǎn)化成我們熟悉的單調(diào)函數(shù)的四則混合運算的形式，然后利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去判斷，但有些函數(shù)不能化成簡單單調(diào)函數(shù)四則混合運算形式就不能采用這種方法.2.2.3圖像法用函數(shù)圖像來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法叫圖像法.根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖像特征，若函數(shù)的圖像在區(qū)間上從左往右逐漸上升則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；若函數(shù)圖像在區(qū)間上從左往右逐漸下降則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).用函數(shù)圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性比較直觀，函數(shù)圖像能夠形象的表示出隨著自變量的增加，相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢，但作圖通常較煩.對于較容易作出圖像的函數(shù)用圖像法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來大致畫出圖像.而對于不易作圖的函數(shù)就不太適用了.但如果我們借助于相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件去作函數(shù)的圖像.那么用圖像法判斷函數(shù)單調(diào)性是非常簡單方便的.2.2.4復(fù)合函數(shù)法定理1若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，在內(nèi)單調(diào)，且集合.（1）若是增函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是增（減）函數(shù).（2）若是減函數(shù)是增（減）函數(shù)，則是減（增）函數(shù).歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減（同增異減）.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的四種情形可列表如下：表3-2復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的情形情形函數(shù)單調(diào)性第1種情形第2種情形第3種情形第4種情形內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)顯然對于大于2次的復(fù)合函數(shù)此法也成立.推論若函數(shù)是個單調(diào)函數(shù)復(fù)合而成其中有個減函數(shù).①當(dāng)時，則是減函數(shù)；②當(dāng)時，則是增函數(shù).判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：（1）合理地分解成兩個基本初等函數(shù)，；（2）分別解出兩個基本初等函數(shù)的定義域；（3）分別確定單調(diào)區(qū)間；（4）若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是同時單調(diào)遞增或同時單調(diào)遞減，則為增函數(shù)，若為一增一減，則為減函數(shù)（同增異減）；（5）求出相應(yīng)區(qū)間的交集，即是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.以上步驟可以用八個字簡記“一分”，“二求”,“三定”，“四交”.利用“八字”求法可以解決一些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題.2.2.5導(dǎo)數(shù)法（1）在區(qū)間內(nèi)，若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù)；若，則為常函數(shù)；（2）在區(qū)間內(nèi)，若為增函數(shù)，則；若為減函數(shù)，則；若為常函數(shù)，則；（3）特別要注意什么時候可以等于0，什么時候不能等于0.利用導(dǎo)數(shù)判斷證明函數(shù)單調(diào)性時需注意的問題：1.“定義域優(yōu)先”原則，所以先算出函數(shù)的定義域，如果一眼能看出定義域則可以不計算.2.計算出，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，為單調(diào)遞減函數(shù)；特別提醒，不管哪種情況都不能等于0.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的具體步驟：①優(yōu)先計算的定義域；②利用導(dǎo)數(shù)的計算方法，計算導(dǎo)數(shù)；③解和；④定義域內(nèi)滿足的區(qū)間為增區(qū)間，定義域內(nèi)滿足的區(qū)間為減區(qū)間.特別注意：定義域內(nèi)區(qū)間大小的影響.本章從單調(diào)性的定義入手，總結(jié)了有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的基本理論，以及對5種單調(diào)性的判斷方法進行了講述和分析，當(dāng)我們在后面遇到有關(guān)單調(diào)性的題時，可直接進行運用，且能較容易的將具體函數(shù)的單調(diào)性判斷出來.第3章函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用在函數(shù)眾多性質(zhì)中，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用尤其廣泛，其應(yīng)用體現(xiàn)了構(gòu)造思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想等.對于一些復(fù)雜的問題，如果換種角度，從函數(shù)單調(diào)性出發(fā)，有時能使其形式明了，結(jié)構(gòu)簡單.本章主要介紹單調(diào)性在極值、最值、不等式、解方程、化簡求值、比大小以及在實際問題中的應(yīng)用.3.1單調(diào)性在極值、最值中的應(yīng)用在考題中，對函數(shù)單調(diào)性的考查方式多種多樣，尤其以其他內(nèi)容為載體來考察單調(diào)性，本節(jié)主要介紹函數(shù)單調(diào)性在極值、最值方面中的應(yīng)用.1.函數(shù)的極值極值定義一般地，若函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)對于一切有，則稱函數(shù)在點取得極大值，是極大值點.函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)對一切有，則稱函數(shù)在點取得極小值，是極小值點.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.例3.1.1設(shè)函數(shù),已知是奇函數(shù).（1）求的值.（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值.解（1），從而.即是一個奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（2）由（1）知從而，令，解的，由，解得或，，解的.由此可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是；進而得在時，取得極大值為，在時，取得極大值為，在時，取得極小值為.評析根據(jù)題意先求出的導(dǎo)數(shù)，從而求出，通過奇函數(shù)的性質(zhì)，最終求出的值，令求出該函數(shù)的極點值，從而能夠得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間最終求出函數(shù)的極值.2.函數(shù)的最值函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的.如果是函數(shù)得極值點，那只就附近的一個局部范圍來說，是的一個最大值；如果就的整個定義來說，不一定是最大值.關(guān)于極小值也類似.所以在求函數(shù)最值時，一般在求出各個駐點的值后還要求出邊界上的值.設(shè)在上連續(xù)，那么在上一定取的最大值和最小值及相應(yīng)的最大值與最小值.例3.1.2已知為實數(shù)，.若，求在上的最大值和最小值.解有原式得（3.1），所以，由得，此時有.由得或.當(dāng)在變化時，的變化如下表+-0+遞增極大值遞減極小值遞增在上的最大值為，最小值為.評析首先求出的解，即求的駐點；算出在這些點的函數(shù)值；求出.最后比較所有這些函數(shù)值，最大者為最大值，最小者為最小值..3.2單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用本節(jié)主要介紹函數(shù)單調(diào)性在證明不等式中的應(yīng)用，并通過例題加以分析.設(shè)函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，如果在定義區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加，入鍋在定義區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.這是函數(shù)的單調(diào)性，也是應(yīng)用在函數(shù)不等式解題中最基本的性質(zhì).結(jié)論，設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且滿足以下條件：（1）時，則有；（2）時，則有.例3.2.1求證證明令，函數(shù)的定義域是.（3.2），令，解的.當(dāng)時，，當(dāng)時，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，最大值是.所以，即.評析不等式問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的很有用的內(nèi)容，對于學(xué)生也是比較難解決的問題.像解決本道題這樣的問題時，函數(shù)單調(diào)性是一個特別有用的工具.通過構(gòu)造一些函數(shù)，并利用構(gòu)造成的函數(shù)的單調(diào)性去求解未知函數(shù)，是證明不等式的常見方法.例3.2.2已知，且，求證（3.3）.證明令，則所以在上是遞增函數(shù).又，所以.評析此題如果直接從問題的正面出發(fā)不易證明，可如果能巧妙地構(gòu)造一個新的函數(shù)，而且這個新函數(shù)的單調(diào)性較易證明，那這個問題的解答就簡單多了.3.3單調(diào)性在解方程中的應(yīng)用本節(jié)主要介紹函數(shù)單調(diào)性在方程求解中的應(yīng)用.通過構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性的性質(zhì)便可輕松解出問題.利用函數(shù)單調(diào)性解方程，關(guān)鍵是合理變形，其中蘊含著很多數(shù)學(xué)思想，有換元思想、構(gòu)造函數(shù)思想，通過方程兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征觀察以構(gòu)造.例3.3.1求解方程解令，因為是在上的單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，且有，即在上只有一個根.又把代入時，即原方程只有一個根.評析合理利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖像能夠直觀地研究圖像的交點，假若能將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，這類問題便可以輕松獲解.一個關(guān)于的對數(shù)方程，不同的是兩邊的底數(shù)，真數(shù)是由一些根式組成的，直接來換底去求解方程是比較困難的，可以試通過換元解決這類問題，在換元的過程中，體現(xiàn)著換元思想和構(gòu)造函數(shù)的思想，這是值得注意的.例3.3.2解方程（3.4）.解首先對此方程通過換元，設(shè)則，原式變?yōu)?，即，即，?gòu)造函數(shù)：.易知在上是單調(diào)減函數(shù).當(dāng)時，當(dāng)時，，所以，此時，經(jīng)檢驗，原方程解為.評析此題通過換元，變式，構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性最終確定該方程的結(jié)果.所以遇到此類題時，合理構(gòu)造函數(shù)是極其重要的【10】.3.4單調(diào)性在化簡求值方面的應(yīng)用本節(jié)主要介紹函數(shù)單調(diào)性在化簡求值中的應(yīng)用，例如求代數(shù)值的應(yīng)用.對于求代數(shù)式的值，可視為相應(yīng)函數(shù)的一個特殊值，再利用該函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的相等轉(zhuǎn)化為自變量的相等，有時能巧妙獲解.例3.4.1設(shè)實數(shù)滿足條件求的值.解設(shè)，有，因為即，即，同理可知，又，令即為單調(diào)函數(shù)且為奇函數(shù)，所以，即有.評析用一般的方法，解兩個方程求解,但這樣做不僅浪費時間，又麻煩.不妨我們先考慮函數(shù)的單調(diào)性.觀察這兩個式子，形式類同，對他們進行合理適當(dāng)?shù)刈兓瘡亩O(shè)函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性最終求得結(jié)果.3.5單調(diào)性在比大小方面的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性用于比較大小一般性原則：在同一個函數(shù)中有，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)時有；當(dāng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)時有.例3.5.1設(shè)且，比較.解因為，所以，即有因為，設(shè)，在上單調(diào)遞增，則，所以，即.評析函數(shù)單調(diào)性運用于比較大小的一般做法，首先運用導(dǎo)數(shù)等方法判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后利用以上性質(zhì)在嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較大小【11】.函數(shù)的“構(gòu)造法”更多地融入了創(chuàng)造性思維，對已知信息提煉、加工、抽象，然后進行創(chuàng)造性的組合，體現(xiàn)了思維的廣闊性和靈活性，下面通過一道經(jīng)典型題目進行解析說明.例3.5.2已知（3.5），比較與的大小.解要比較與的大小，即比較與的大小，令，，對有恒成立，在上遞增，又，則，即，故有.評析結(jié)合題目要求，與中有變量，變形即得與的大小，細(xì)心觀察易得其共同的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造出函數(shù)，利用其單調(diào)性加以大小比較.通過以上幾個方面的應(yīng)用我們發(fā)現(xiàn)，在具體解題過程中，若能根據(jù)題目的特點構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性揭示函數(shù)值的變化特征，則可使問題在函數(shù)觀點下巧妙獲解【12】.3.6函數(shù)單調(diào)性在實際問題中的應(yīng)用本節(jié)主要介紹函數(shù)單調(diào)性在實際中的應(yīng)用，主要反映在最值（極值）上，如材料優(yōu)化、路徑選擇等.具體如何解決一些生活中的實際問題，一般步驟是：（1）把生活實際問題抽象成對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，列出函數(shù)關(guān)系式；（2）求的導(dǎo)數(shù)，并解方程；（3）把的兩個端點和上一步中所求的所有極點值，放在一起比較它們函數(shù)值的大小，從而得出函數(shù)的最值；（4）根據(jù)實際問題的意義給出答案.1.單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用在生活中例如我們經(jīng)常喝飲料的易拉罐，生產(chǎn)商是怎樣運用最少的材料來制造出合理的易拉罐保證利潤的最大化，這就要運用到函數(shù)單調(diào)性求得最小值進行解決.例3.6.1圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取使所用材料最省？解設(shè)金屬飲料罐高h(yuǎn),底面半徑為R，材料最省即是表面積最小，且表面積是關(guān)于和的二元函數(shù)，則（3.6）,有常數(shù)（定值）得則(為常數(shù)).令,則得,當(dāng).所以當(dāng)時，最小，此時.所以當(dāng)高是底面半徑的倍時，金屬飲料罐所用材料最省.評析此題將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把金屬飲料罐的表面積構(gòu)造成函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，求得最小值，最終計算出在高為時表面積最小.2.單調(diào)性在優(yōu)化路徑中的應(yīng)用隨著社會的發(fā)展，為了給人們的生活帶來便利，交通運輸方式也變得多種多樣，既經(jīng)濟又高效的交通工具才是人們所追求的，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，利用函數(shù)單調(diào)性在最值方面的應(yīng)用，便能得到最優(yōu)化的路徑.例3.6.2工廠到鐵路線的垂直距離為,垂足為，鐵路線上距離為處有一原料供應(yīng)站，現(xiàn)要在鐵路之間某處修建一個原料中轉(zhuǎn)站，再由車站向工廠修一條公路，如果已知每千米鐵路運費與公路運費之比為，那么應(yīng)該建在何處，才能是原料供應(yīng)站運貨到所需運費最??？圖4-1路線平面圖解設(shè)之間的距離為，則有（3.7），如果公路費用為元/,那么鐵路運費為,故原材料供應(yīng)站途徑中轉(zhuǎn)站到工廠所需總費用為求導(dǎo)得，令，即得，解得（舍），且是函數(shù)定義域內(nèi)唯一駐點，所以是函數(shù)的最小值.由此可知，車站建于之間并且與相距處時，運費最省.評析此題將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把路徑和路費結(jié)合起來列出函數(shù)表達式，通過求導(dǎo)，算出該函數(shù)的最值，最終解決了建在何處的問題.通過以上各例，解決一些生活實際問題時有一些策略：要想用單調(diào)性解決實際問題，首先得對已知條件進行整體分析、整理與抽象，并與已學(xué)習(xí)的函數(shù)模型相比較，確定合適的函數(shù)模型的種類，從而把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型.本章總結(jié)了函數(shù)單調(diào)性在各個方面的應(yīng)用，無論是解題中或?qū)嶋H生活中都會頻繁的涉及到關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的知識，所以通過轉(zhuǎn)化思想學(xué)會合理的構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性去解決各類問題，許多問題就會迎刃而解.20第4章總結(jié)4.1結(jié)論本論文先通過介紹函數(shù)單調(diào)性的定義、意義，同時也對單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì)做出了歸納，其次給出了判定函數(shù)單調(diào)性的方法，對于不同方法的適用情況以及解題模式做出了具體的闡述.給學(xué)生在如何選擇最合適的方法進行判斷和解題提供了思路.最后對函數(shù)單調(diào)性在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進行了分類總結(jié)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行解題時，是有規(guī)律和套路可尋的，學(xué)生只需多做題多總結(jié)，運到問題時不要只從題目給的已知條件去考慮，有時還需要根據(jù)求證的問題去構(gòu)造函數(shù)，從而復(fù)雜的題目也能迎刃而解.學(xué)會把做題模式轉(zhuǎn)化為自己的經(jīng)驗.除此之外，本文也深入地列舉了函數(shù)單調(diào)性在解決實際問題中的應(yīng)用.例如：材料優(yōu)化、路徑選擇等.因此，學(xué)好函數(shù)的單調(diào)性并學(xué)會合理運用是非常重要的.由于自己的專業(yè)能力欠缺以及時間方面限制，本論文仍存在很多的不足，首先對函數(shù)單調(diào)性教學(xué)現(xiàn)狀的研究是通過前人的研究成果進行總結(jié)的，并沒有進行實地考察，樣本容量不夠大，還不能完全反映函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)情況，其次在應(yīng)用方面探究的依然不夠廣泛，單調(diào)