2025-2026學(xué)年湘教版數(shù)學(xué)九年級上冊第1章

反比例函數(shù)章末復(fù)習(xí)1.反比例函數(shù)的概念定義：形如_______(k

為常數(shù)，k

≠

0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中

x

是自變量，y

是

x

的函數(shù)，k

是比例系數(shù).三種表達(dá)式：或xy＝k或

y＝kx－1(k

≠

0)．防錯提醒：(1)

k

≠

0；(2)

自變量

x

≠

0；(3)

函數(shù)值

y

≠

0.#人教版九年級數(shù)學(xué)《第1章

反比例函數(shù)》章末復(fù)習(xí)教學(xué)資源包（含復(fù)習(xí)流程、知識梳理、典型例題、分層習(xí)題，無教學(xué)目標(biāo)/作業(yè)）##一、復(fù)習(xí)流程（45分鐘）###（一）知識回顧與體系構(gòu)建（10分鐘）1.提問引導(dǎo)（師生互動）：-什么是反比例函數(shù)？其三種表達(dá)式是什么？（$y=\frac{k}{x}$，$xy=k$，$y=kx^{-1}$，$k≠0$）-反比例函數(shù)的圖象是什么形狀？它有哪些性質(zhì)？（雙曲線，分布象限、增減性、對稱性）-如何根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)解析式并解決問題？2.體系構(gòu)建：板書“反比例函數(shù)”知識框架圖（核心概念→圖象性質(zhì)→實(shí)際應(yīng)用），串聯(lián)本章核心知識點(diǎn)，幫助學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)。###（二）核心知識點(diǎn)精講（15分鐘）####1.反比例函數(shù)的定義與解析式-強(qiáng)調(diào)：①$k≠0$；②

自變量$x≠0$，函數(shù)值$y≠0$；③

三種表達(dá)式的靈活轉(zhuǎn)換（如由$xy=6$得$y=\frac{6}{x}$）。-快速辨析：下列函數(shù)中哪些是反比例函數(shù)？并指出$k$值：-$y=\frac{3}{x}$（是，$k=3$）；$y=\frac{x}{2}$（否，正比例函數(shù)）；$y=-\frac{5}{x}$（是，$k=-5$）；$y=2x+1$（否，一次函數(shù)）。####2.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（結(jié)合圖象板書）|核心性質(zhì)|具體內(nèi)容||----------------|--------------------------------------------------------------------------||圖象形狀|雙曲線（關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于直線$y=x$和$y=-x$對稱）||分布象限|$k>0$→第一、三象限；$k<0$→第二、四象限||增減性|$k>0$→每個象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而減?。?k<0$→每個象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而增大（強(qiáng)調(diào)“每個象限內(nèi)”）||過定點(diǎn)|若$k=mn$，則函數(shù)過點(diǎn)$(m,n)$、$(-m,-n)$（如$y=\frac{6}{x}$過$(1,6)$、$(2,3)$等）|####3.反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-核心步驟：①

設(shè)反比例函數(shù)解析式$y=\frac{k}{x}$；②

代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求$k$；③

利用解析式解決實(shí)際問題（注意自變量取值范圍）。###（三）典型例題精練（12分鐘）####例1：反比例函數(shù)的定義與解析式（基礎(chǔ)型）-題目：已知函數(shù)$y=(m+2)x^{m^2-5}$是反比例函數(shù)，求$m$的值及函數(shù)解析式。-解答：1.由反比例函數(shù)定義得：$\begin{cases}m^2-5=-1\\m+2≠0\end{cases}$；2.解得：$m^2=4$→$m=2$或$m=-2$，又$m≠-2$，故$m=2$；3.函數(shù)解析式：$y=\frac{4}{x}$。-小結(jié)：緊扣反比例函數(shù)定義，注意$k≠0$的隱含條件。####例2：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（提升型）-題目：已知反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k$為常數(shù)，$k≠0$）的圖象經(jīng)過點(diǎn)$A(2,3)$。

（1）求$k$的值及圖象分布的象限；

（2）判斷點(diǎn)$B(-3,-2)$、$C(1,6)$是否在該圖象上；

（3）若點(diǎn)$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$在該圖象上，且$x_1<0<x_2$，比較$y_1$與$y_2$的大小。-解答：1.代入$A(2,3)$得$k=2×3=6>0$，圖象分布在第一、三象限；2.驗(yàn)證：$B(-3)×(-2)=6=k$（在），$C(1×6=6=k)$（在）；3.$x_1<0$→$y_1<0$，$x_2>0$→$y_2>0$，故$y_1<y_2$。-小結(jié)：利用“$xy=k$”判斷點(diǎn)是否在圖象上，結(jié)合象限性質(zhì)比較函數(shù)值大小。####例3：反比例函數(shù)與實(shí)際問題（綜合型）-題目：某工廠加工一批零件，若每天加工的零件數(shù)為$x$（個），完成任務(wù)所需的時間為$y$（天），且$y$與$x$成反比例關(guān)系，已知當(dāng)$x=50$時，$y=20$。

（1）求$y$與$x$的函數(shù)解析式；

（2）若要在10天內(nèi)完成任務(wù)，每天至少需要加工多少個零件？-解答：1.設(shè)$y=\frac{k}{x}$，代入$x=50$，$y=20$得$k=50×20=1000$，故$y=\frac{1000}{x}$（$x>0$）；2.當(dāng)$y=10$時，$10=\frac{1000}{x}$→$x=100$，故每天至少加工100個。-小結(jié)：實(shí)際問題中注意自變量的取值范圍（正數(shù)），結(jié)合題意分析“至少”“最多”等關(guān)鍵詞。###（四）分層練習(xí)與反饋（5分鐘）1.基礎(chǔ)題（全員必做）：-反比例函數(shù)$y=-\frac{4}{x}$的圖象分布在第____象限，在每個象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而____（答案：二、四；增大）；-已知點(diǎn)$(3,-2)$在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象上，則$k=$____（答案：-6）。2.提升題（選做）：-若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k<0$）的圖象上有兩點(diǎn)$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$，且$x_1<x_2<0$，則$y_1$與$y_2$的大小關(guān)系是（

）（答案：$y_1<y_2$）A.$y_1>y_2$B.$y_1<y_2$C.$y_1=y_2$D.無法確定3.反饋：快速批改基礎(chǔ)題，針對共性錯誤（如增減性忽略“每個象限”）重點(diǎn)講解。###（五）課堂小結(jié)與拓展（3分鐘）1.小結(jié)：本章核心知識點(diǎn)（定義、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用）及易錯點(diǎn)（$k≠0$、增減性條件、實(shí)際問題取值范圍）；2.拓展：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題預(yù)告（如求$y=\frac{6}{x}$與$y=2x+1$的交點(diǎn)坐標(biāo)），為后續(xù)綜合復(fù)習(xí)鋪墊。##二、PPT分頁內(nèi)容（共10頁，簡潔直觀，突出重點(diǎn)）|頁面序號|頁面標(biāo)題|核心內(nèi)容||----------|----------------|--------------------------------------------------------------------------||1|章末復(fù)習(xí)導(dǎo)入|課題“第1章

反比例函數(shù)

章末復(fù)習(xí)”+知識框架圖（核心概念→圖象性質(zhì)→實(shí)際應(yīng)用）||2|核心概念回顧|反比例函數(shù)三種表達(dá)式+注意事項(xiàng)（$k≠0$、$x≠0$、$y≠0$）+辨析題||3|圖象與性質(zhì)（1）|圖象形狀（雙曲線）+分布象限（$k>0$、$k<0$對比圖）||4|圖象與性質(zhì)（2）|增減性（分$k>0$、$k<0$說明，強(qiáng)調(diào)“每個象限”）+對稱性（原點(diǎn)、直線$y=±x$）||5|例題1（定義與解析式）|題目+分步解答+小結(jié)（緊扣定義，注意$k≠0$）||6|例題2（圖象與性質(zhì)）|題目+圖象輔助分析+分步解答+小結(jié)（利用$xy=k$和象限性質(zhì)）||7|例題3（實(shí)際應(yīng)用）|題目+解題步驟（設(shè)→求→解）+小結(jié)（注意自變量取值范圍）||8|分層練習(xí)題|基礎(chǔ)題2道+提升題1道（留白供書寫，標(biāo)注“必做”“選做”）||9|易錯點(diǎn)總結(jié)|1.忽略$k≠0$；2.增減性漏說“每個象限”；3.實(shí)際問題未考慮自變量正數(shù)范圍（配反例）||10|課堂小結(jié)與拓展|核心知識點(diǎn)清單+拓展預(yù)告（反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題）|##三、典型例題補(bǔ)充（拓展型）1.**反比例函數(shù)與幾何圖形面積問題**：-題目：如圖，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k>0$）的圖象經(jīng)過矩形$OABC$的頂點(diǎn)$A$，矩形$OABC$的邊$OA$在$x$軸上，邊$OC$在$y$軸上，若矩形$OABC$的面積為6，求$k$的值。-解答：設(shè)$A(a,0)$，$C(0,b)$，則$B(a,b)$，矩形面積$ab=6$；又$A(a,b)$在$y=\frac{k}{x}$上，故$b=\frac{k}{a}$→$k=ab=6$。-小結(jié)：反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為$|k|$，三角形面積為$\frac{1}{2}|k|$。2.**反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題**：-題目：已知一次函數(shù)$y=2x+1$與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)$P(1,m)$。

（1）求$k$和$m$的值；

（2）求兩函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)。-解答：

（1）代入$P(1,m)$到一次函數(shù)得$m=3$，故$P(1,3)$，代入反比例函數(shù)得$k=3$；

（2）聯(lián)立$\begin{cases}y=2x+1\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$，解得$2x+1=\frac{3}{x}$→$2x2+x-3=0$→$x=1$或$x=-\frac{3}{2}$，故另一個交點(diǎn)為$(-\frac{3}{2},-2)$。##四、教學(xué)使用建議1.PPT使用：圖象部分采用動態(tài)展示（如$k$值變化時雙曲線的移動），例題解答分步呈現(xiàn)，易錯點(diǎn)頁面用“正確表述vs錯誤表述”對比，強(qiáng)化記憶。2.課堂互動：知識回顧環(huán)節(jié)采用“提問搶答”形式，練習(xí)環(huán)節(jié)讓學(xué)生上臺講解解題思路，重點(diǎn)點(diǎn)評易錯點(diǎn)和解題技巧。3.分層教學(xué)：基礎(chǔ)薄弱學(xué)生重點(diǎn)掌握定義、基本性質(zhì)和基礎(chǔ)題，能力較強(qiáng)學(xué)生可嘗試補(bǔ)充的拓展型例題（幾何面積、一次函數(shù)綜合），教師針對性點(diǎn)撥解題方法。4.工具準(zhǔn)備：提前讓學(xué)生準(zhǔn)備本章錯題本，復(fù)習(xí)時結(jié)合錯題本進(jìn)行針對性鞏固，提高復(fù)習(xí)效率。2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)反比例函數(shù)的圖象：反比例函數(shù)(k≠0)

的圖象是

，它是軸對稱圖形，兩條對稱軸

為直線

和

.雙曲線y=xy=-x(2)反比例函數(shù)的性質(zhì)

圖象所在象限性質(zhì)(k≠0)k＞0一、三象限(x，y同號)在每個象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小k＜0二、四象限(x，y異號)在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大xyoxyo(3)反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義

反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)(x，y)具有兩坐標(biāo)之積(xy＝k)為常數(shù)這一特點(diǎn)，即過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為常數(shù)|k|.推論：過雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，一條垂線與坐標(biāo)軸、原點(diǎn)所圍成的三角形的面積為常數(shù).3.反比例函數(shù)的應(yīng)用?利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)：①根據(jù)兩變量之間的反比例關(guān)系，設(shè)；②代入圖象上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，即x、y的一對對應(yīng)值，求出k的值；③寫出表達(dá)式.?反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的求法求直線y＝k1x＋b(k1

≠

0)和雙曲線(k2≠0)的交點(diǎn)坐標(biāo)就是解這兩個函數(shù)表達(dá)式組成的方程組.?利用反比例函數(shù)相關(guān)知識解決實(shí)際問題過程：分析實(shí)際情境→建立函數(shù)模型→明確數(shù)學(xué)問題注意：實(shí)際問題中的兩個變量往往都只能取非負(fù)值.考點(diǎn)一反比例函數(shù)的概念針對訓(xùn)練1.下列函數(shù)中哪些是正比例函數(shù)？哪些是反比例函數(shù)?

①y=3x－1②y=2x2⑤y=3x③④⑥⑦⑧2.已知點(diǎn)P(1，－3)在反比例函數(shù)的圖象上，則

k的值是(

)A.3

B.－3

C.D.B3.若是反比例函數(shù)，則a的值為(

)A.1

B.－1

C.±1D.任意實(shí)數(shù)A解析：方法①分別把各點(diǎn)代入反比例函數(shù)求出

y1，y2，y3

的值，再比較出其大小即可；方法②：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較．考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1

已知點(diǎn)A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函數(shù)的圖象上，則

y1，y2，y3

的大小關(guān)系是(

)

A.y3＜y1＜y2B.y1＜y2＜y3

C.y2＜y1＜y3D.y3＜y2＜y1D

方法總結(jié)：比較反比例函數(shù)值的大小，在同一個象限內(nèi)可根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比較，在不同的象限內(nèi)不能按其性質(zhì)比較，可根據(jù)其正負(fù)來確定大?。?/p>

已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜0＜x2)都在反比例函數(shù)(k＜0)的圖象上，則y1與y2的大小關(guān)系(從大到小)為

.y1＞y2針對訓(xùn)練考點(diǎn)三與反比例系數(shù)k有關(guān)的問題例2

如圖，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA

⊥x軸于點(diǎn)

A，交

C2

于點(diǎn)

B，則

△POB

的面積為

.1針對訓(xùn)練

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數(shù)(x＞0)

和(x＞0)的圖象交于

P，Q

兩點(diǎn)，若S△POQ

=

14，則k的值為

.-20考點(diǎn)四

反比例函數(shù)的應(yīng)用例3

如圖，已知A

(－4，)，B(－1，2)是一次函數(shù)y=

kx

+

b與反比例函數(shù)(m＜0)

圖象的兩個交點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D．(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；OBAxyCD解：當(dāng)

－4＜x＜－1

時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.(2)求一次函數(shù)表達(dá)式及m的值；解：把

A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得－4k+b=，－k+b=2，解得k=，b=.所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+.把

B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2.

(3)P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA

和

△PDB面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t

+)，則

P

點(diǎn)到直線AC的距離為t－(－4)，P點(diǎn)到直線BD的距離為

2－(t

+)．∵△PCA

面積和

△PDB

面積相等，∴AC·[t－(－4)]=BD·[2－(

t

+)]，解得

t=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．OBAxyCDP方法總結(jié)：此類一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二元一次方程組，三角形面積等知識的綜合題，關(guān)鍵是理清解題思路.在平面直角坐標(biāo)系中，求三角形或四邊形面積時，要選取合適的底邊和高，正確利用坐標(biāo)算出線段長度.針對訓(xùn)練如圖，設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為(k＞0)．(1)若該反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=

2x的圖象有一個交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，求k的值；Oyx解：由題意知點(diǎn)P

在正比例函數(shù)y=

2x上，把P

的縱坐標(biāo)2代入該表達(dá)式，得

P

(1，2)，把P

(1，2)代入，得到P2(2)若該反比例函數(shù)的圖象與過點(diǎn)M(-2，0)的直線l：y

=

kx

+

b交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)△ABO

的面積為時，求直線l的表達(dá)式；解：把M(-2，0)代入y=kx+b，得b

=2k，∴

y=kx

+

2k.OAyBxMlN解得x1

=

-3，x2

=1.y=kx

+

2k，

∴∴B(-3，-k)，A(1，3k).∵△ABO

的面積為∴

×2×3k

+

×2k

=解得∴直線l的表達(dá)式為y=x+．OyxMlNA(1，3k)B(-3，-k)(3)在第(2)題的條件下，當(dāng)x取何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k)解：當(dāng)x＜－3或0＜x＜1時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.例4

病人按規(guī)定的劑量服用某種藥物，測得服藥后2小時，每毫升血液中的含藥量達(dá)到最大值為4毫克.已知服藥后，2小時前每毫升血液中的含藥量y(單位：毫克)與時間x(單位：小時)成正比例；2小時后y與x成反比例(如圖).根據(jù)以上信息解答下列問題：(1)求當(dāng)0≤x≤2時，y與x的函數(shù)表達(dá)式；解：當(dāng)0≤x≤2時，y與x成正比例函數(shù)關(guān)系．設(shè)y＝kx，由于點(diǎn)(2，4)在線段上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.Oy/毫克x/小時24(2)求當(dāng)x

＞

2時，y與x的函數(shù)表達(dá)式；解：當(dāng)x＞2

時，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)解得k＝8.由于點(diǎn)(2，4)在反比例函數(shù)的圖象上，所以即Oy/毫克x/小時24(3)若每毫升血液中的含藥量不低于2毫克時治療有效，則服藥一次，治療疾病的有效時間是多長？解：當(dāng)0≤x≤2時，含藥量不低于2毫克，即2x≥2，解得

x≥1，∴1≤x≤2；當(dāng)x＞2時，含藥量不低于2毫克，即≥2，解得x≤4.∴

2＜x≤4.所以服藥一次，治療疾病的有效時間是1＋2＝3(小時)．Oy/毫克x/小時24

如圖所示，制作某種食品的同時需將原材料加熱，設(shè)該材料溫度為