第十四章全等三角形·培優(yōu)卷【滬科版2024】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25七年級(jí)下·上海·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．形狀相同的兩個(gè)三角形全等 B．能夠完全重合的兩個(gè)三角形全等C．面積相等的兩個(gè)三角形全等 D．兩個(gè)等邊三角形全等【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、形狀相同的兩個(gè)三角形不一定全等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，應(yīng)該是形狀相同且大小也相同的兩個(gè)圖形全等，故不符合題意；B、能夠完全重合的兩個(gè)三角形全等，說(shuō)法正確，符合題意；C、面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、兩個(gè)等邊三角形不一定全等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．2．（3分）（2025·貴州銅仁·三模）木工是古代社會(huì)中一種很重要的手工業(yè)，木工師傅積累的許多經(jīng)驗(yàn)可以用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋．如畫角平分線：如圖，在已知的∠AOB的兩邊分別取OM=ON，將無(wú)彈性的繩子對(duì)折標(biāo)記折痕（即繩子中點(diǎn)P），將繩子兩端分別固定在點(diǎn)M、N處，從折痕點(diǎn)P處拉直繩子，點(diǎn)P在平面∠AOB內(nèi)，則OP平分∠AOBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】根據(jù)題意，得OM=ON，PM=PN，結(jié)合OP=本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得OM=ON，∵OM=∴△PMO∴∠AOP故選：A．3．（3分）（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期末）已知△ABC和△DBE按如圖所示的位置放置，已知∠C=90°，DE⊥AB，且AB=DB，A．130° B．110° C．100° D．120°【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)列式計(jì)算得∠ABC=55°，結(jié)合∠DEB=∠C=90°，AB=【詳解】解：∵∠A=35°，∴∠∵DE⊥∴∠DEB∵AB=DB，∴△ABC∴∠ABC即∠CBD故選：B．4．（3分）（24-25七年級(jí)下·山西晉中·期末）據(jù)史書(shū)記載，最早的風(fēng)箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥(niǎo)，稱為“木鳶”．后來(lái)隨著造紙術(shù)的發(fā)明，人們開(kāi)始用紙張和竹條制作風(fēng)箏，使其更加輕便、易于放飛．在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中，AB=AD、∠BAE=∠DACA．ΔADG?ΔC．ΔAFC?Δ【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)圖形分析利用手拉手模型解決是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件，分析△ABC和△ADE，易得【詳解】解：∵∠BAE∴∠BAC在△ABC和△AB=∴△ABC故選B．5．（3分）（24-25八年級(jí)下·湖南株洲·期末）如圖，EC⊥BD，垂足為C，A是EC上一點(diǎn)，且AC=CD，連接AB、ED，AB=DE．若AC=3.5A．5.5 B．2.5 C．3 D．2【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．證明Rt△ABC≌Rt△【詳解】解：∵EC∴∠ACB在Rt△ABC和AB=∴Rt∴AC=CD∵AC=3.5，∴CE故選：A．6．（3分）（2025·遼寧葫蘆島·一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=EF，F(xiàn)C∥AB，若BD=1，A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用“AAS”證明△AED≌△CEF，得到AD【詳解】解：∵FC∴∠F=∠ADE∵DE∴△AED∴AD∵BD∴AB故選：B．7．（3分）（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，添加下列條件后不能判定△ACE與A．AD=BE B．∠ADC=∠AEB C【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判斷．【詳解】解：∵△ABC∴∠B=∠ACBA、由AD=BE，AB=BC得到BD=CE，由SAS判定B、由∠ADC=∠AEB，得到∠BDC=∠AEC，由AAS判定C、由ASA判定△ACE≌△CBD，故D、∠B和∠ACE分別是CD和AE的對(duì)角，不能判定△ACE≌△故選：D．8．（3分）（24-25七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的3個(gè)格點(diǎn)上．若在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上有一點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，B，C重合），使得△DBC與△ABCA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查利用三角形全等的判定作圖，熟記三角形全等的判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．以BC為公共邊，結(jié)合兩個(gè)三角形全等的判定定理SSS，使所作的三角形另外兩條邊分別與△ABC【詳解】解：如圖所示：∴在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上有一點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，B，C重合），使得△DBC與△ABC全等，則這樣的三角形有3故選：B．9．（3分）（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．點(diǎn)E是AC下方一點(diǎn)，連接BE，CE．BD平分∠ABE，CE∥AB，若CE=3，BE=7A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】連接ED并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，在BD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使DH=DB，連接FH，證明△ADF≌△CDEASA，得AF=CE=3此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，理解角平分線的定義，線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，正確地添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接ED并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，在BD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使DH=DB，連接∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，CE=3，BE∴AD=∵CE∥AB∴∠A=∠又∵∠ADF∴△ADF∴AF=∵DE=DF∴△DHF∴HF=∵BD平分∠ABE∴∠DBE∴∠H∴BF=∴AB=故選：B．10．（3分）（24-25八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分線AE交CD于E，連接BE，且BE平分∠ABC，得到如下結(jié)論：①∠AEB=90°；②AB-AD=BC；③AD=DE；④A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】在AB上取一點(diǎn)F，使AF=AD，延長(zhǎng)AE,【詳解】解：∵AD∠ABC+∠∵AE,BE∴∠ABE∴∠ABE∴∠AEB=90°，故在AB上取一點(diǎn)F，使AF=∵∠BAE∴△ADE∴∠AFE∴∠AFE∵∠AFE∴∠BFE又∵∠FBE∴△BFE∴BF∴AB∴AB-AD∵AD∴AD=DE不一定成立，故延長(zhǎng)AE,BC交于∵∠CBE△ABE∴AE=HE∵AD∴∠DAE∵∠AED∴△ADE∴CE∵CE∴BE=12如上圖，AB=∴AB∴0<AH<2x∴0<AE<x綜上，結(jié)論①②⑤正確,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)、角平分線定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造輔助線證三角形全等是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25七年級(jí)下·陜西漢中·期末）如圖，點(diǎn)F,A,D,C在同一直線上，EF∥BC，且EF=【答案】8.5【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，線段的和與差．掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意易證明△BAC≌△EDFAAS，得出AC=DF，從而可證CD=AF，結(jié)合【詳解】解：∵EF∥BC，∴∠C=∠F又∵EF=∴△BAC∴AC=∴AC-AD∵AD=4，CF∴CD=∴AC=故答案為：8.5．12．（3分）（24-25八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的塊帶去，就能配一塊大小和形狀與原來(lái)都一樣的三角形．【答案】2【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證．【詳解】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故答案為：2．13．（3分）已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點(diǎn)，那么圖中共有對(duì)全等三角形．【答案】3【分析】由已知條件，結(jié)合圖形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3對(duì)．找尋時(shí)要由易到難，逐個(gè)驗(yàn)證．【詳解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB；∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．∴圖中共有3對(duì)全等三角形．故答案為3．14．（3分）如圖，在△PAB中，∠A=∠B，M、N、K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=

【答案】100°/100度【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，利用條件判定△AMK≌△BKN是解題的關(guān)鍵．由條件可證明△AMK≌△【詳解】解：在△AMK和△AM=∴△AMK∴∠AMK∵∠A∴∠A∴∠P故答案為：100°．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEF，延長(zhǎng)BC交EF于點(diǎn)D，若BD＝5，BC＝4，則DE＝．

【答案】3【分析】如圖，連接AD．證明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AD．

在Rt△ADF和Rt△ADC中，AD=∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16．（3分）（24-25七年級(jí)下·陜西漢中·期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,AD=6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=3，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)【答案】1或13【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，若BP=CE=3；當(dāng)點(diǎn)P在AD【詳解】解：在長(zhǎng)方形ABCD中，∠A=∠B∴∠DCE=90°=∠當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，若BP=∵AB=CD，∠DCE∴△ABP此時(shí)t=3÷3=1當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，若AP=∵AB=CD，∠DCE∴△ABP此時(shí)t=綜上所述，當(dāng)t的值為1或133秒時(shí)，△ABP和故答案為：1或133第Ⅱ卷三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，(1)求證：△AEC(2)若∠A=45°，∠ECD【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)∠【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握全等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠D（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠E=∠F【詳解】（1）證明：∵AE∥DF∴∠A=∠∵AB=∴AB+∴AC=在△AEC和△AC=∴△AEC（2）解：由（1）得△AEC∴∠E∵∠ECD=∠A+∠E∴∠E∴∠F18．（6分）（24-25七年級(jí)下·四川成都·期末）如圖所示，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF=ED(1)求證：CF∥(2)若BE⊥AC，BD=2，CF【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）可證明△AED≌△CEF得到∠（2）證明△ABE≌△CBE得到BC=AB【詳解】（1）證明：∵E為AC中點(diǎn)，∴AE=又∵EF=ED，∴△AED∴∠A∴CF∥（2）解；∵BE⊥∴∠BEA又∵BE=∴△ABE∴BC=∵△AED∴AD=∵BD=2∴AB=∴BC=519．（8分）（24-25七年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期末）【主題】：軍事訓(xùn)練中的距離測(cè)量問(wèn)題：【素材】：在某次重要的軍事訓(xùn)練任務(wù)中，士兵小王肩負(fù)著一項(xiàng)關(guān)鍵使命：精準(zhǔn)測(cè)量我方陣地（點(diǎn)A）與對(duì)岸目標(biāo)（點(diǎn)B）之間的距離．然而，擺在小王面前的是諸多棘手難題，河流湍急無(wú)法直接過(guò)河，且身處野外環(huán)境沒(méi)有攜帶任何專業(yè)測(cè)量工具．但小王憑借著扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和冷靜的頭腦，巧妙地運(yùn)用了以下方法來(lái)解決這一難題．【實(shí)踐操作】：如圖所示：步驟1：面向點(diǎn)B豎直站立，調(diào)整目視高度，使視線恰好經(jīng)過(guò)帽檐到達(dá)點(diǎn)B；步驟2：保持身體姿態(tài)不變，原地轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，標(biāo)記此時(shí)視線落在河岸的點(diǎn)C；步驟3：步測(cè)得AC=28米，已知小王身高為AO，帽頂O到眼睛D的垂直距離為OD【問(wèn)題解決】：(1)由上面實(shí)踐操作可以知道AB距離是______米；(2)請(qǐng)用你所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，說(shuō)明（1）中所填結(jié)論的正確性．【答案】(1)28(2)見(jiàn)解析【分析】1根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解；2根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解．本題考查了全等三角形的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由上面實(shí)踐操作可以知道AB距離是28米；故答案為：28；（2）解：在△BAD和△∠BAD∴△BAD≌△∴AB20．（8分）（24-25八年級(jí)下·廣西來(lái)賓·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，點(diǎn)B、C在DE的兩側(cè)，BD⊥DE于D，CE(1)求證：AB⊥(2)若CE=7，BD=4，請(qǐng)求出【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出∠ADB=∠AEC=90°，再由全等三角形的判定得出（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD⊥DE∴∠ADB在Rt△ABD和∵AB∴Rt∴∠DAB=∠ECA∵∠CAE∴∠CAE+∠BAD∴AB（2）解：由（1）得，Rt△∴BD∵AD而DE=AD-AE，∴DE答：DE的長(zhǎng)為3．21．（10分）（24-25七年級(jí)下·上?！て谀┤鐖D，△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD=AB，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB且CE=BC，連接DE并延長(zhǎng)，分別交AC(1)試說(shuō)明：∠A(2)若∠B=50°，∠【答案】(1)見(jiàn)解析(2)80°【分析】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明△ABC（1）由CE∥AB，得∠DCE=∠B，而AB=（2）由∠B=50°，∠A=【詳解】（1）解：∵D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE∥∴∠DCE在△ABC和△AB=∴△ABC∴∠A（2）解：∵∠B=50°∴∠A=∠∴∠AFG∴∠AFG的度數(shù)是80°22．（10分）（24-25八年級(jí)上·四川自貢·期末）已知，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC(1)如圖1，連接BD．若∠BAD=90°，求證：(2)如圖2，點(diǎn)P，Q分別在線段AD，DC上，且滿足PQ=AP+(3)若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，連接BP，BQ，PQ，仍然滿足PQ=AP+CQ．請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，根據(jù)圖形直接寫出∠PBQ與∠ADC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)圖見(jiàn)解析，∠【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）證明Rt△（2）延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=AP，連接BK，分別證明△BPA（3）在CD延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接BK，分別證明△BPA≌△BCK【詳解】（1）證明：∵∠ABC∴∠BCD∵∠BAD∴∠BCD在Rt△BAD和BD=∴∴AD（2）證明：延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=AP，連接BK，如圖∵∠ABC+∠∴∠BAD∵∠BCD∴∠BAD在△BPA和△AB=∴△∴∠ABP=∠CBK∵PQ=AP∴在△PBQ和ΔBP=∴△∴∠PBQ（3）解：如圖3，∠PBQ理由如下：在CD延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接∵∠ABC+∠∴∠BAD∵∠BAD∴∠PAB在△BPA和△AP∴△∴∠ABP=∠CBK∴∠PBK∵PQ∴PQ在△PBQ和△BP=∴△∴∠PBQ∴2∠PBQ∴2∠PBQ∴∠PBQ23．（12分）（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，連接BD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC，連接DE，點(diǎn)F是(1)請(qǐng)說(shuō)明線段AE與線段DG平行嗎？并說(shuō)明理由．(2)請(qǐng)說(shuō)明△AEF與△(3)請(qǐng)說(shuō)明線段CD與線段DG的關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】(1)線段AE與線段DG平行，理由見(jiàn)解解析(2)△AEF與△(3)CD⊥【分析】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)AE⊥AC，DG⊥（2）根據(jù)AE∥DG得∠FEA=∠FDG，∠FAE=∠（3）根據(jù)DG⊥AD得CD⊥DG，由等腰直角三角形性質(zhì)得∠BAC=∠BCA=45°，進(jìn)而得∠BAE=∠BCD=135°，證明∠ABE=∠CBD【詳解】（1）線段AE與線段DG平行，理由：∵AE⊥AC，DG⊥∴A