自由曲線造型設(shè)計中Bézier曲線概述目錄TOC\o"1-3"\h\u23631自由曲線造型設(shè)計中Bézier曲線概述 1310221.1自由曲線 1101731.2Bézier曲線 3154841.2.4、Bézier曲線的性質(zhì) 6197491.2.5Bézier曲線的幾何作圖法 8240441.2.6、Bézier曲線的遞歸分割算法 853801.2.7Bézier曲線的升階降階 9241611.2.8Bézier曲線的光滑拼接 12在自由曲線造型設(shè)計中，設(shè)計者對所要構(gòu)造的產(chǎn)品外形僅有一個大致概念。為得到目標曲線外形，設(shè)計者要選擇合適的端點以確定曲線的模糊形狀，按需要不斷修改控制頂點位置，同時確保曲線某些部位的切矢與曲率符合要求。為滿足這些條件，Bézier曲線作為一種重要的自由曲線被廣泛應(yīng)用。1.1自由曲線1.1.1Hermite曲線已知曲線端點、以及曲線端點的切矢、可確定一條曲線，由公式表示為（2-1-1）其中（2-1-2）可得到Hermite曲線表達式為，（2-1-3）寫成矩陣形式為，（2-1-4）其中，，，。Hermite曲線初始條件簡單，只與首、末端點處的矢量有關(guān)，對于不同的初始條件，G不同，曲線也不同；但Hermite曲線也有不足：曲線內(nèi)部形狀只能根據(jù)端點的位置、端點處的切矢大小、方向改變，得到的曲線形狀不直觀不精確，且難以控制。Hermite曲線1.1.2B樣條曲線已知有一點列（）被一曲線段序列，，擬合靠近，每段曲線的形狀由點列（）中個順序排列的點控制，即為第段次B樣條曲線，表達方式如下：（2-1-5）式中是對應(yīng)與頂點的基函數(shù)。又設(shè)每個基函數(shù)是參數(shù)的次多項式，且具有形式：，（2-1-6）式中為多項式的系數(shù)。上式中，、與均為待定參數(shù)。由曲線段序列公式可知，每段曲線的形狀由個控制點和相同數(shù)量的基函數(shù)確定；由基函數(shù)公式可知，每個基函數(shù)包括個未知系數(shù)，為了確定待定系數(shù)、和這些未知系數(shù)的值，需對各曲線段施加必要的約束條件，且在曲線連續(xù)拼接時，連續(xù)性每提高一階，各曲線段的約束條件也要相應(yīng)增加。在此以三次均勻B樣條曲線為例。三次均勻B樣條曲線由特征多邊形上一組4個相鄰節(jié)點所控制，每增加一條曲線只需要增加一個相鄰控制點，同時，該曲線又增加一段，但本質(zhì)上還是三次均勻B樣條曲線。表達式如下：（2-1-7）式中為控制該曲線段的特征多邊形的頂點。為參數(shù)，；為基函數(shù)。三次均勻B樣條曲線段與控制它的特征多邊形頂點的關(guān)系如下圖所示，如果特征多邊形具有更多頂點，則曲線段相應(yīng)增加，連續(xù)的各段B樣條曲線可完整拼接為一條平滑的B樣條曲線。B樣條曲線為曲線對應(yīng)的特征多邊形每條邊上的三等分點，根據(jù)三次均勻B樣條曲線的定義，連接線，的中點作為曲線段的起點和終點，且起點與終點的切矢分別為，。由特征多邊形頂點、、、定義的三次均勻B樣條曲線可被認為是由控制頂點、、、定義的三次Bézier曲線，二者等價。B樣條曲線具有局部支柱性這一優(yōu)良性質(zhì)，是與Bézier曲線的主要差別。即①、第段次B樣條曲線僅由共個頂點所控制，與其他頂點無關(guān)；②、修改其中一個頂點，也只會修改與該頂點有關(guān)的段曲線。這個性質(zhì)可以對相應(yīng)的曲線外形進行較為精確的控制。雖然B樣條曲線具有局部支柱性，但在設(shè)計多個控制頂點對應(yīng)的曲線時，每個控制點不止涉及一條光滑曲線，所以每個點的數(shù)值設(shè)定較為復(fù)雜，且曲線未知系數(shù)太多，計算較為繁瑣。1.2Bézier曲線貝塞爾曲線(Béziercurve)，又稱貝茲曲線，是二維圖形應(yīng)用研究中一種被廣泛使用的數(shù)學(xué)曲線，主要是由\t"/item/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF/_blank"線段與\t"/item/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF/_blank"節(jié)點組成。它是依據(jù)任意控制頂點在多個位置的坐標繪制出的\t"/item/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF/_blank"一種平滑曲線。Bézier曲線不要求給出任意位置的導(dǎo)數(shù)，只需曲線對應(yīng)的特征多邊形頂點間的相對位置數(shù)據(jù)即可表示，且曲線次數(shù)嚴格服從于確定該曲線的頂點個數(shù)。具體表示方法如下：（2-2-1）=（2-2-2）其中，是特征多邊形首點位置的向量，為特征多邊形各邊位置的向量；為Bézier曲線基函數(shù)。由于初始形式較難理解，也不便應(yīng)用，所以后來Bézier本人將其改寫，使用Bernstein基函數(shù)表示Bézier曲線。2.1.1Bernstein-Bézier曲線（2-2-3）其中為特征多邊形的頂點，為Bernstein多項式。可從直線段的角度出發(fā)對基函數(shù)進行推導(dǎo)（2-2-3）：給定矢點和，可定義一直線段：（2-2-4）該直線段起點為，終點為。給定三個矢點構(gòu)造、和，可定義一段二次曲線：（2-2-5）該直線段起點為，終點為，且和特征多邊形的兩邊均相切。若給定四個矢點、、和，可定義一條三次曲線：（2-2-6）該直線段起點為，終點為，且和特征多邊形的首邊、末邊均相切。由此可推導(dǎo)，一段次曲線可表達為（2-2-7）式中為給定多邊形頂點，。曲線方程（2-2-3）可以改寫為（2-2-8）其中為Bernstein基函數(shù)。曲線方程（2-2-8）所表示的曲線稱為特征多邊形定義的Bernstein—Bézier曲線，簡稱Bézier曲線。該曲線的起點、終點分別經(jīng)過設(shè)計者給定的初始特征多邊形的首、末頂點和，貼近特征多邊形，并與特征多邊形的首邊和末邊相切。式（2-2-3）也可改寫為矩陣形式（2-2-9）：，（2-2-9）Bernstein—Bézier曲線的特點是：控制頂點間的相對位置與計算得到的曲線形狀之間關(guān)系明確，設(shè)計人員可以比較直觀地確定初始條件與設(shè)計出的曲線之間的關(guān)系。1.2.2Bernstein多項式函數(shù)和二者存在如下關(guān)系：，（2-2-10），（2-2-11）1.2.3Bernstein多項式的性質(zhì)（1）正性正性亦稱非負性，可表示為（2-2-12）和（2-2-13）即。（2）混合性混合性也稱權(quán)性，指Bernstein基函數(shù)之和恒為1，表示如下：（2-2-14）（3）對稱性（2-2-15）（4）導(dǎo)函數(shù)（2-2-16）（5）最大值當參數(shù)時，達到最大值。（6）遞推性（2-2-17）（7）升階（2-2-18）1.2.4、Bézier曲線的性質(zhì)（1）端點性Bézier曲線起點與特征多邊形首點重合，終點與特征多邊形末點重合，即（2-2-19）Bézier曲線的起點與終點位置分別和特征多邊形的首邊、末邊相切，起點終點的切矢模長分別是首、末邊邊長的倍，即（2-2-20）式中為Bézier曲線的冪次。一般地，在首端處的階導(dǎo)矢為（2-2-21）即僅與等個頂點有關(guān)。在末端處的階導(dǎo)矢為（2-2-22）即僅與等個頂點有關(guān)。反之，我們也可以用特征多項式頂點處的相應(yīng)導(dǎo)矢表示頂點：（2-2-23）=（2-2-24）當按曲線連續(xù)性要求拼接Bézier曲線時，需要用到上述關(guān)系式。（2）對稱性給定的特征多邊形，可以將作為起點構(gòu)造Bézier曲線，也可以將作為起點反向構(gòu)造Bézier曲線，得到的兩條Bézier曲線形狀完全相同，但參數(shù)方向相反，這種性質(zhì)稱為對稱性。由此可知，由相同特征多邊形（控制頂點間的相對位置相同）定義的Bézier曲線形狀是唯一的。（3）凸包性根據(jù)Bernstein多項式的正性與混合性，可以推導(dǎo)出Bézier曲線具有凸包性。即對任意給定參數(shù)，Bézier曲線都是特征多邊形頂點的加權(quán)平均，其權(quán)因子為Bernstein基函數(shù)。凸包性的幾何意義為：Bézier曲線完全存在于對應(yīng)特征多邊形形成的凸包內(nèi)部。如圖：Bézier曲線的凸包性（4）幾何不變性曲線方程（2-2-3）為矢函數(shù)，故Bézier曲線的形狀僅取決于頂點間的相對位置，即特征多邊形形狀，與坐標系的選取無關(guān)。1.2.5Bézier曲線的幾何作圖法根據(jù)給定的參數(shù)值，在特征多邊形的每一條邊上確定一分割點，以為起點，為終點，與的線段比為。得到分割點的點矢為（2-2-25）式中，上標1表示特征多邊形的第一次分割，第一次分割后，得到n個分割點，即n-1邊特征多邊形；同理再對新特征多邊形的各條邊進行分割，得到n-1個分割點，再次得到一個新特征多邊形；按照相同的過程將不斷產(chǎn)生的新特征多邊形分割n-1次后，得到最終的兩個頂點和。對線段再進行最后一次分割，得到點，這個點經(jīng)過Bézier曲線，是Bézier曲線上與參數(shù)相對應(yīng)的點，為Bézier曲線在點處的切線。三次Bézier曲線（控制點為A,B,C,D,E,F,G,H,I，曲線為AID）在構(gòu)造自由曲線時，可不斷修改特征多邊形頂點位置調(diào)整Bézier曲線形狀，直至得到滿意的結(jié)果。1.2.6、Bézier曲線的遞歸分割算法在Bézier曲線的幾何構(gòu)造中，可以使用deCasteljau算法的遞歸式：（2-2-26）由此遞歸式可求得。經(jīng)過遞歸分割后，原Bézier曲線段被分割為兩段Bézier曲線，其分別由和定義。1.2.7Bézier曲線的升階降階應(yīng)用Bézier曲線進行曲線構(gòu)造時，可以通過調(diào)整控制頂點位置對曲線進行修改。但當曲線的冪次較低，即控制點較少時，這種修改曲線的功能就很有限。（1）、升階為提高曲線靈活性，可以通過增加曲線控制頂點個數(shù)，提高曲線的冪次，這種方法稱為升階。對于Bézier本人提出的升階算法能同時增加個控制點，將次Bézier曲線升階為次Bézier曲線，但算法較為復(fù)雜；在此選擇另一種升階算法，該方法基于Bernstein基函數(shù)，對于升階為次Bézier曲線，每次只升階一次，升階后的控制點表示為（2-2-27）式中為曲線在升階前的冪次，該曲線通過遞歸分割計算，每次只增加一個頂點（即升一階），相較一次直接升階次的計算更穩(wěn)定，故應(yīng)用較廣泛。對已知Bézier曲線進行升階：原Bézier曲線圖像升1階后Bézier曲線圖像升4階后Bézier曲線圖像升階前后曲線對比（原曲線、升1階、升4階）可以看出，曲線通過升階增加了控制點數(shù)量。曲線冪次升高，但形狀基本不變，升階后的曲線具有更多的控制點，曲線靈活性增加。（2）、降階Bézier曲線降階目前沒有特定公式，所以通過升階公式進行反推得到降階公式：（2-2-28）對已知Bézier曲線進行降階原曲線降1階降階前后曲線對比（原曲線、降1階）但最終得到的降階曲線與降階前曲線相差較大，所以高階Bézier曲線不能用低階Bézier曲線精確表示，且Bézier曲線降階并沒有特定的公式，所以降階法不如升階法應(yīng)用廣泛。在自由曲線拼接時，冪次太高的曲線也不利于控制拼接后的形狀，也體現(xiàn)了分段曲線拼接在曲線造型設(shè)計中的重要性。1.2.8Bézier曲線的光滑拼接在設(shè)計復(fù)雜的自由曲線時，人們經(jīng)常使用分段曲線光滑拼接的方法，一般在連接點處滿足特定的連續(xù)性要求，即端點（G0）、切矢（G1）、曲率（G2）連續(xù)。設(shè)置兩段Bézier曲線和，其中由控制點定義，由控制點定義，關(guān)系式分別為（2-2-29）（2-2-30）現(xiàn)對將曲線的末端與的首段進行拼接。1）端點連續(xù)（G0連續(xù)）曲線光滑拼接的最終結(jié)果是得到的曲線為單一的、無間斷、無跳躍、沒有無限逼近的振蕩等情況的曲線。曲線光滑拼接首先應(yīng)該滿足兩曲線具有公共的連接點。即（2-2-31）這時如果需要的話，需將兩條曲線中的一條的控制頂點重新排列。G0拼接2）切矢連續(xù)（G1連續(xù)）切矢是在曲線某個點上一個描述切線的方向、大小的矢量。在實際中構(gòu)造飛機輪船外形與內(nèi)部結(jié)構(gòu)要求，制件間隙與厚度半徑問題，均是等距面問題[2]，即自由曲線曲面問題。欲構(gòu)造等距面，必須計算切矢法矢且要求兩者必須達到曲率相同。在此先單純研究曲線的拼接，所以暫時只考慮切矢。兩曲線在公共連接點處一階連續(xù)，如果需要的話，要將其中一條的特征多邊形頂點重新排列。曲線在末端的一階導(dǎo)矢為（2-2-32）曲線在首端的一階導(dǎo)矢為（2-2-33）為使曲線與拼接時在連接點處達到一階連續(xù)，兩曲線在連接點處的切矢方向必須相同，即（2-2-34）其中為正常數(shù)。將式（2-2-32）與式（2-2-33）代入式（2-2-34）得到（2-2-35）將其改寫為（2-2-36）式中，，，和均為正常數(shù)。式（2-2-36）的幾何意義為，兩條Bézier曲線在拼接點處達到一階連續(xù)，控制頂點，（=）和必須共線且依次排列。G1拼接3）曲率連續(xù)（G2連續(xù)）曲率是指曲線上某點的切矢相對于\t"/item/%E6%9B%B2%E7%8E%87/_blank"弧長的導(dǎo)數(shù)微分，表示曲線在該點\t"/item/%E6%9B%B2%E7%8E%87/_blank"偏離直線的程度，此處的直線是指該點的切矢所在的直線。曲率越大，曲線在該點的彎曲程度就越大。根據(jù)Bézier曲線的幾何作圖法，在曲線拼接處確定曲率連續(xù)能夠有效地提高拼接效果與匹配效果。兩曲線拼接點在滿足上述兩個條件的前提下，還需要達到曲率相等且主法線方向一致；即G2連續(xù)。對于拼接點的曲率連續(xù)問題，我們需要計算已滿足拼接點一階連續(xù)的曲線和在拼接點的二階導(dǎo)矢和。由式（2-2-22）得到（2-2-36）式中，。由式（2-2-21）得到（2-2-37）當要求兩條曲線在連接點達到二階連續(xù)時，必須滿足式（2-2-38）所表示的關(guān)系：（2-2-38）式中為一正常數(shù)。若要求曲率連續(xù)時，則,,和四者應(yīng)滿足下列關(guān)系：（2-2-39）將式（2-2-39）展開并化簡，可得到兩條Bézier曲線在拼接點處達到曲率連續(xù)的必要條件：