8.6.2.2直線與平面所成的角直線和平面所成角1)斜線:

2)斜足:

3)斜線在平面內(nèi)的射影:和平面相交,但不垂直的直線叫做平面的斜線斜線和平面相交的交點(diǎn)過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線,過(guò)垂足和斜足的直線稱為斜線在平面內(nèi)的射影.☆平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做直線和平面所成的角.規(guī)定:①若直線垂直平面，則直線和平面所成的角為90°②若直線與平面平行或在平面內(nèi)，則直線和平面所成的角為0°☆直線和平面所成角的取值范圍為αPlAO新知講解直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任意一條直線所成角的最小角.

如果AB是平面α內(nèi)的任意一條不與直線AO重合的直線，那么直線PA與直線AB所成的角和直線PA與這個(gè)平面所成的角的大小關(guān)系是什么？PA與直線AB所成的角大于直線PA與這個(gè)平面所成的角．最小角定理:直線與平面所成的角是該直線與平面內(nèi)任意一條直線所成的角中最小的角例1

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面BB1C1C所成的角（2）A1B與面A1B1CD所成的角典例解析（4）30o（3）45oO典例解析O例1（2）A1B與面A1B1CD所成的角解：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1O.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1內(nèi)的射影.∴∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.∴A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.∴BO=A1B，∠BA1O=30°.在Rt△A1BO中，

A1B=a，BO=a.

求斜線和平面所成的角的一般步驟：1．作：在斜線上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足

和垂足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線和其射影所成的角，即為

斜線和平面所成的角；2．證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；

（注：關(guān)鍵證明線面垂直，即證得斜線在面內(nèi)的射影）3．求：通過(guò)解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小

4.

下結(jié)論

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.O

aAP已知PO、PA分別是平面

的垂線、斜線，AO是PO在平面

上的射影。a

，a⊥AO.求證：a⊥pA

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面

的垂線和斜線，AO是PO在平面

的射影,a

,a

⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理【練習(xí)】過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，1．若PA=PB=PC，則點(diǎn)O為△ABC的

心；2．若PA=PB=PC，∠C=90°，則點(diǎn)O是AB邊的

點(diǎn)；3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O為△ABC的

心．