立體幾何知識(shí)點(diǎn)

一、空間幾何體

1.多面體：由假設(shè)干個(gè)多邊形圍成的兒何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做

多面體的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體

的頂點(diǎn).

2.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都平

行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫做底面，其余各面叫

做側(cè)面.

3.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的

多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，旦各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正

棱錐。

正棱錐的性質(zhì)，各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面

正多邊形的中心。

4.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部叫做棱臺(tái)。由正棱錐

截得

的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。

正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底

面的截面是相似的正多邊形

5.旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線

叫做旋轉(zhuǎn)體的釉，

6.圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的

腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面用圍成的兒何體分別叫做圓柱、圓錐、

圓臺(tái)。

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過軸的截面（軸截面）分別是全等

的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖問題時(shí),

經(jīng)常用到弧長公式/=

7.球：以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球

體（簡稱球）

8.簡單空間圖形的三視圖：一個(gè)投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的

圖形叫做俯視圖。一個(gè)投影面放置在正前方，這個(gè)投影面叫做直立投影面，投影到這個(gè)平

面內(nèi)的圖形叫做主視圖（正視圖）。和直立、水平兩個(gè)投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影

面，通常把這個(gè)平面放在直立投影面的右面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖（側(cè)視

圖）。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物

體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。

（1）,三視圖畫法規(guī)則:

高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊

長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等

（2）.空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）;

側(cè)視圖（從左向右的正投影）;側(cè)視

俯視圖1從上向下正投影）.

例題1.某四棱錐底面為直角梯形,

一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示,

用么其體積為

例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐,

其中棱PA垂直于底面，它的三視圖正確的選項(xiàng)是（

A

BCD

（3）.空間幾何體的直觀圖一斜二測畫法特點(diǎn):

①斜二測坐標(biāo)系的y軸與x軸正方向成45。角；②原來與x軸平行的線段仍然與x平行，長

度不變；③原來與），軸平行的線段仍然與平行，長度為原來的一半.

常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面枳之比為2五：1.

例.如果個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是?個(gè)底角為45°,腰和上底均為1的

等腰梯形，那么原平面圖形的面積是().

1+V2「2+V2

A.2+拉B.——D.I+V2

22

9.特殊幾何體外表積公式(c為底面周長，h為高,〃為斜高，/為母線):

S直樓柱側(cè)面枳=chS|?i柱側(cè)=2mS正極錐側(cè)面積=~c"

S圓錐側(cè)而積=

c

S止枝介苗面積=+2用S圓臺(tái)惻面枳=(r+RMS網(wǎng)住表

S陽推發(fā)=m*(r+/)

S閱白表=從/+rl+R/+片)S球面二4一

10.柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式：

2

%=S/2ym=Sh=7rrh

J

2

K.=-(S4-77s+S)h%臺(tái)=；(S++S)h=g戒戶+rR+R)h

33

例題3:某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖1或稱主視圖)是一個(gè)底邊長為8、高

為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形.

(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S

⑵『二64.........7分(3)S=40+24&.....12分

例4.各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,那么這個(gè)球的外表積是()

A.16萬B.20乃C.24萬D.32%

例5.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，那么它的體積為____.

練習(xí)：

1.一個(gè)幾何體的三視圖及其大小如圖1,這個(gè)幾何體的體積V=()

A.127rB.16%C.18%D.647r

2.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積是

俯視正〔主〕視圖側(cè)〔左［視

A.32/c3.16〃C.12/iD.8%

3.某幾何體的三視圖如下圖，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑-------4-------

側(cè)（左）視圖

組成的圖形，那么此幾何體的體積是（）

A.—71B6元C

3*

un.一16n

3

4.一個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)邊長為1的正方形和對角線,

如下圖，那么此幾何體的體積為（）

|5

A.6B.3c.6D.1

-2T

5.一個(gè)空間幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖標(biāo)出的尺匚,可得這個(gè)幾何體左視圖

的體積為（）

A.4B.8C.12D.24

6.假設(shè)一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如以下圖所示，那么這個(gè)棱

柱的體積為（)

A.1273B.6C.27GD.36A/3

7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，假設(shè)它的體積是3百，那么

a=()

2

俯視圖

A.&B.*C.A/3D.'

8.某幾何體的三視圖如下圖（俯視圖是正方形,正視圖和左視圖是兩個(gè)全等等腰三角形）根

據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù),可得這個(gè)幾何體的外表積為（）

A.4+4>/3B.4+44C.-D.12

3

9.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為（）

10.某幾何體的三視圖如右,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：?！ǎ?俯視圖

可得這個(gè)幾何體的體積是)

A.4B.那C.2cWD.4cW

3

二、立體幾何點(diǎn)線面的位置關(guān)系正視圖側(cè)視圖

平行與垂宜關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化

—2—第5題圖

俯視圖

平行關(guān)系垂直關(guān)系

1.a_La,bna"b

2.aYa,a〃b=b工a

平面幾何知識(shí)平面幾何知識(shí)

3.a_L±ft=all[i

4.all0,ci工a=a1./3

5.aHB，yIct=yI。

線線平行線線垂直

判定判定推論

性質(zhì)面面唾義

_判定判定

線面平行面面平行線面垂直面面垂直

例1.如圖，在正四棱柱A3CO-AMGA中，E、F分別是44、BG的

中點(diǎn)，那么以下結(jié)論中不成立的是（）

A.EF與BB1垂直B.E/與直

C.E/7與CD異面D.七廠與A?異而

例2./〃,〃是兩條不同直線，為〃,7是三個(gè)不同平面，以下命題中正確的選項(xiàng)是（）

A.若m/a,nIIa,典\m1/nB.若a_L_Ly,則。〃/

C.若〃7〃a,，〃〃尸，則a〃/D.若〃?-a,〃_La,則/〃〃〃

例3.平面a_L平面B,QAB=/,點(diǎn)A￡a,A〃，苣線AB〃/,直線AC_U,直線m〃

a,m〃B,那么以下匹種位置關(guān)系中，不?一?定?成立的是()

A.AB〃機(jī)B.AC_LmC.AB〃BD.AC_LB

練習(xí)：

1.設(shè)直線〃，與平面a相交但*不垂直，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是()

A.在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線〃，垂直B.過直線機(jī)有且只有一個(gè)平面與平面a

垂直

C.與直線團(tuán)垂直的直線不?可能與平面。平行D.與直線〃?平行的平面不?可能與平面a垂

直

2.設(shè)“，方為兩條直線,a,夕為兩個(gè)平面，以下四個(gè)命題中，正確的命題是()

A.假設(shè)a6與a所成的角相等，那么B.假設(shè)a〃a,b//p,a〃B,那么

a//b

C.假設(shè)aua,bu。,a//b,那么a〃/D.假設(shè)a_La,bA./3,a1/3,那么a_L〃

3.給出以下四個(gè)命題：

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.

③假設(shè)直線44與同一平面所成的角相等，那么44互相平行.

④假設(shè)直線44是異面直線,那么與4%都相交的兩條直線是異面直線.

其中假命題的個(gè)數(shù)是()

(A)l(B)2(03(D)4

4.設(shè)a、B、y為平面，/小〃、/為直線，那么〃?_!_夕的一個(gè)充分條件是()

(A)a±p.aop=Ijn±/(B)ar\y=m.a±/,y7±/

(C)aLy.pLy.mLa(D)n±a,n±/?,m±a

5.設(shè)，〃、〃是不同的直線，a、葭y是不同的平面，有以下四個(gè)命題：

①假設(shè)a〃/Aa〃八那么夕〃/②假設(shè)a_L￡,那么〃

③假設(shè)"2~La,“2〃4，那么aJ■尸④假設(shè)，〃〃幾〃ua,那么〃7〃々

其中真命題的序號是（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

6.對于平面。和直線〃7,〃，以下命題中假命您的個(gè)數(shù)是（）

①假設(shè)mla,加_L〃，那么nila;②假設(shè)mHa,nlla,那么mHn;③假設(shè)mHa,

〃ua,那么機(jī)〃〃：④假設(shè)機(jī)〃〃，〃〃a,那么"〃/a

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.假設(shè)/,〃?，〃是互不相同的空間直線，?,夕是不重合的平面，那么以下命題中為真命題的是（）

A.假設(shè)a〃夕，/Ua,〃U小那么/〃〃B.假設(shè)a_Lp,/Ca,那么/_!_//

C.假設(shè)LL〃，"讓〃，那么/〃mD.假設(shè)LLa,l/邛，那么夕

8.知〃、〃是兩條不重合的直線，a、小了是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出以下四個(gè)命題：

①假設(shè)〃_La,a邛,那么a〃/假設(shè)a_Ly,^_Ly?那么a〃尸

③假設(shè)a〃少，〃Ua,bU°,那么假設(shè)a〃夕，aC》=a,￡Cy=b,那么?！?/p>

其中正確命題的序號有

1、線線平行的判斷：

⑴平行于同一直線的兩直線平行。

（2）如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條

直線和交線平行。

13）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

（4）垂直于同一平面的兩直線平行。

2、線面平行的判斷：

（1）如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平

行。

（2）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

例1、（三角形中位線定理）如圖，在正方體ABC。-AMCQ中，E是AR的中點(diǎn)，求證：

AC〃平面瓦汨。

證明：連接4c交8。于。，連接E0,

為AR的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)

???石。為三角形A4C的中位線I.EO//A.C

C

又在平面BDE內(nèi)，A。在平面BDE外

二年〃平面BOE。

例2、(證明是平行四邊形)正方體ABC。-A4G〃，。是底A8CO對角線的交點(diǎn).求證：C\O

〃面A8A；

證明：⑴連結(jié)AG，設(shè)產(chǎn)氣連結(jié)

VABC。-ABCA是正方體A4CG是平行四邊形

，AiG〃AC且AG=AC

又。I，O分別是AG，AC的中點(diǎn)，???OCI〃AO且=4。

.?.AOGQ是平行四邊形

'G°〃A°"aU面叫〃，C0U面ABQi.?.CiO〃面A8Q

3、面面平行的判斷:

(1)一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。

(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

例4、如圖，在正方體A8CD-A4G。中，E、F、G分別是

AB.AD.的中點(diǎn).求證：平面RE/〃平面BOG.

證明：YE、尸分別是AB、AO的中點(diǎn)，E/〃

又反2平面BDG，BDu平面BDGEF〃平面BDG

,:Dfi里EB四邊形D、GBE為平行四邊形，DXE//GB

又REB平面A￡)G,GBuT7而3￡>G「.〃平面.平面口右尸〃平

面3OG

4、線線垂直的判斷:

假設(shè)一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。

補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。

例5、矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA_L平面ABCD,E、F分別是AB、PC的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面PAD；(2)求證：EF1CD；

5、線面垂直的判斷:

(1)如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。

(2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。

(3)一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。

(4)如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面。

例6、(線線線面相互轉(zhuǎn)化)MBC中ZACB=90,SA_L而ABC,AD±SC,求證：4)J,面SBC.

證明：???46=90°：,BCA.AC

又54_1面43c:.SA±BC.二3。_1面WC

BC1AD又SC工AD,SCcBC=C,J_面SBC

例7、(構(gòu)造直角三角形)四面體A8CQ中，47=&),石/分別

為AD3C的中點(diǎn)，.日上尸二變4。，

2

NBDC=9b,求證：BD_L平面ACO

證明：取CO的中點(diǎn)G,連結(jié)EGMG,???￡下分別為AD/C的中點(diǎn)，

：.EGU-AC

2

FGU-BD,又AC=8Q,?,?尸G='AC,

二在AER7中，EG2+FG2=-AC2=EF2

2

AEG1FG,：.BD1AC,又NBDC=90,即8Z)_LC。，ACcCO=C.?.3。，平面AC。

例8、如圖2,在三棱錐力一〃切中，BC=A3AD=BD,作.BE[CD,E為垂足，蚱A/LLBE

于，.

求證：平面改力.

證明：取48的中點(diǎn)尸，連結(jié)6EDF.

VAC=BC,：.CF_AB.

?：AD=BD,：.DFLAB.

又CF「DF=F,平面。9g

TCDu平面如；/.CD1AI3.

又CD工BE,BEcAB=B,

???COJ.平面1朦，CD±AH.VAH.LCD,AH上BE,CDcRE=E,.?.x/f

BCD.

例9、（三垂線定理）證明：在正方體ABCD—AIBIGDI中，AiCJ_平面BCiD

證明：連結(jié)AC

VBD1ACAC為AC在平面AC上的射影

BD1A.C

,nA。平面3Go

同理可證AC_L3C[

6、面面垂直的判斷:

一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。

例10、如圖，空間四邊形ABCO中，BC=AC,AD=BDE是48的中點(diǎn)。

求證：（1）平面CDE;（2）平面。￡>七_(dá)1_平面43。。

BC=AC}

證明：⑴[=>CE1AB

AE=BE

AD=BD

同理，y^>DE±AB

AE=BE

又?.?CEcDE=EAB_L平面CDE

（2）由（1）有45_L平面CQE

又?.?ABn平面ABC,.?.平面CDEJL平面ABC

練習(xí)

1.如圖：梯形A〃C￡>和正△Q4B所在平面互相垂直，其中A4〃Z)C,AD^CD^-AI3,

2

且。為A6中點(diǎn).(I)求證：6c〃平面POD；(II)求證：ACA.PD.

2.如圖，菱形的邊長為6,ZBAD=60,ACC8D=O.將菱形A8CO沿對角線AC折

起，得到三棱錐8-ACO,點(diǎn)/是棱8c的中點(diǎn)，DM=3血.

(I)求證：OM〃平面ABD；

(II)求證：平面A3C_L平面用DO；

(III)求三棱錐M-A3。的體積.4

3.如圖，在四棱錐P-A8CZ)中，底面A8CD為直角梯形，AD//BC,

/AOC=90。，BC=-ADPA=PD。為AO的中點(diǎn).

2ft

(I)求證：AO_L平面P8Q(II)假設(shè)點(diǎn)M在棱尸C上，

設(shè)PM二也C,試確定，的值，使得以〃平面8MQ.

4.四棱錐0的底面是菱形.PB=PD,E為PA的中點(diǎn).

(I)求證：PC〃平面8OE；

(II)求證：平面尸4C_L平面

5,直三棱柱的所有棱長都相等，且。,￡尸分別為3C,叫,。的中點(diǎn).

(T)求證：平面片“7/平面E4O：(TT)求證：3GL平面E4D*曰---------

6.正方形A8CD與直角梯形AOEF所在平面互相垂直，ZAZ)E=90,AF//DE,

。石="=24尸=2.(I)求證：AC_L平面BDE；(II)求證：AC//

平面麻尸；1HI)求四面體8力￡1b的體積.

7.如圖，在四棱錐尸—A5CD中，平面PADJ_平面ABCD,AB二AD,NBAD=60°,E、F

分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：(1)直線EF〃平面PCD；(2)平面BEFJ_平面PAD.

(第7題圖)

8.如圖，四邊形ABC。為正方形，QA_L平面48CD,PD//QA,QA=AB=-PD.(I)證明:

2

PQ_L平面。CQ；(II)求棱錐Q—A5c。的的體積與棱錐尸一OCQ的體積的比值.

9.如圖，在AABC中，ZABi>45°,ZBAC=90°,AD是BC上的高，沿AD把a(bǔ)ABD折起，

便NBDO90°o(1)證明：平面ADB_L平面BDC；(2)設(shè)BD=1,求三棱錐D—AB

C的外表積。

10、如圖，在正方體-AqGR中，￡是4A的中點(diǎn).

(1)求證：AC〃平面8OE；(2)求證：平面AAC_L平面

三、線線、線面和面面的成角問題

1、兩異面直線及所成的角：不在同一個(gè)平面的兩條直線，

叫做異面直線，異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)0作直線〃'〃。,力'〃/我們把。'與勿所成的

銳角(或直角)叫做異面直線”與〃所成的角(或夾角).如果兩條異面直線所成的角是直角，我

們就說這兩條直線互相垂直.

2、直線和平面所成的角：一條直線PA和一個(gè)平面a相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直

線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面

引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影。

平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的攝影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。一

條直線垂直于平面，我們就說它們所成的角是直角。一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，

我們說它們所成的角是0°.

3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。在二面角/一，一夕的

棱/上任取一點(diǎn)0,以點(diǎn)0為垂足，在半平面a和B內(nèi)分別作垂直于棱/的射線0A和0B,

那么射線0A和0B構(gòu)成的/A0B叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角

是多少度。

常見角的取值范圍：

①異面直線所成的角0,］直線與平面所成的角畤二面角的取值范圍依次

[0,乃]

②直線的傾斜角［0,乃）、到?2的角［0,4）、與的夾角的取值范圍依次是

③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是［-［。㈤.（-三，）.

2222

點(diǎn)到平面距離：求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的亙線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在

平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.

例1.在棱長為1的正方體A8CO—AiBCiQi中，E、尸分別為棱AAi、

的中點(diǎn)，G為棱48上的一點(diǎn)，且AiG=/l那么

點(diǎn)G到平面口的距離為（D）

A.V3B.—C.—D.—

235

例2、A8C￡＞是矩形，PAJL平面ABC。，AB=2,PA=AD=4,E

為8C的中點(diǎn).

（1）求證：。石_L平面AAf;（2）求直線OP與平面E4E所成的角.

證明：在A4OE中，AD2=AE2+DE\AE.LDE

?；Q4_L平面A5CO,DEu平面A8CO,/.PA±DE

又B4cAE=A,.?.￡>￡，平面QAE

(2)NOPE為DP與平面融石所成的角

在.RMAD,PD=472,在RTAOCE中，?！?2近

在RfADEP中,PD=2DE,，DPE=3N

練習(xí)：

1、四邊形A3C￡＞是空間四邊形，E,RG,“分別是邊AB,BC,CDD4的中點(diǎn)V

(1)求證：EFGH是平行四邊形..........夕D

(2)假設(shè)BD=2x/J,AC=2,EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角際「入

Ic

證明：在AABD中，E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)EH〃BD,EH=-BD

2

同理，F(xiàn)G//BD,FG=-BD：.EH//FG,EH=QG,四邊形EFGH是平行四邊形。

2

(2)90°30°

2、如圖，在四棱錐P—A8CD中，平面Q4O_L平面A6CO,43〃。。，△小￡)是等邊三

角形，BD=2AD=S,AB=2DC=4y[5.

(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面平面PAO；

(II)求四棱錐P-A3C。的體積.

(I)證明：在△A8Q中，由于4)=4,3。=8,AB=A后,

所以A。?+BD2=AB2.故4D_L.

又平面小。_L平面A8CQ,平面PA。Q平面ABC。=4),

8Ou平面ABC。，p

所以30_L平面PAO,又BDu平面"蛆，/PAK

故平面用3DJ_平面B4O.\\

(II)解:過P作PO_LA。交AD于0,/

由于平面24。JL平面ABC。，所以尸O_L平面A5CQ.A//、'、'、R

因此P0為四棱錐尸-A9CO的高，

又△Q4O是邊長為4的等邊三角形.因此P0=2義4=20.

2

在底面四邊形A8C。中，AB〃DC,AB=2DC,

所以四邊形A3CD是梯形，在RCAOB中，斜邊A3邊上的高為華叵,

4加5

此即為梯形ABC。的高,

所以四邊形ABCD的面積為S=2石+4石)述=24.

25

=*4x26=16".

3、如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面A8CO是NDW=60。且邊長為〃的菱形，側(cè)面PAO

是等邊三角形，且平面24。垂直于底面A8CO.p

(1)假設(shè)G為A。的中點(diǎn)，求證：3G_L平面PA。：

(2)求證：ADA.PB；/

(3)求二面角A-AC-P的大小./C

證明：(1)AA3O為等邊三角形且G為AO的中點(diǎn)，3G_LA。,人、\/

又平面Q43_L平面43c。，.?.8G1平面PAOA---------------

(2)PA。是等邊三角形且G為A。的中點(diǎn)，AO_LPG

且A0_L5G,PGcBG二G,「.加，平面23G,

尸5u平面P8G,/.ADLPB

(3)由4OJ.PB,AD//BC,BCVPB

又8G_LAO,AD//BC,BGtBC

.??NPBG為二面角A-BC-P的平面角

在R他PBG中,PG=BG,ZPBG=45(,

4.如圖，在四棱錐O—ABCQ中，底面A5CO是邊長為1的菱形，ZABC=-,

4

OA_L底面ABC。，O4=2,M為0A的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)。

(I)證明：直線〃平面OCO；(II)求異面直線AB與MD所成角的大小;

(III)求點(diǎn)B到平面OCD的距離。

解：方法一(綜合法)

(1)取OB中點(diǎn)E,連接ME,NE

vMEIIAB,ABHCD,MEIICD

又?.他〃0。,.二平面“7石/平面00.?.MN〃平面OCO

(2)CD"AB,???NMOC為異面直線45與MD所成的角(或其補(bǔ)角)

M

作AP±CD于尸,連接MP?/OAJL平面ABCD,CD±MP

D

B

丁NADP=DP=—MD=\/MA2+AD2=啦,

42

???cosZMDP=—=-.ZMDC=ZMDP=-

MD23

所以AB與MQ所成角的大小為工

3

(3)TAB〃平面在〃，點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點(diǎn)A作

AQ1OP于點(diǎn)Q,???4。_1,。。,04_1。。,???81.平面04。,???4。_1。。

又丁AQ1。0,???AQ1平面OCQ,線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面OCD的距離

?/OP=\JOD2-DP2=yj0A2^AD2-DP2AP=DP=也

2

2&

OA^AP所以點(diǎn)到平面的距離為

???AQ=BOCD2

0P~372"3'3

2

高考訓(xùn)練:

1,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱邛J_底面ABCD,PD=DC,E是PC的

中點(diǎn)，作EF_LPB交PB于點(diǎn)F.⑴證明PA〃平面EDB；(2)證明PBJL平

面EFD；

2,(2013?潮州模擬)如圖1,四邊形ABCD為矩形,AD_L平面ABE,AE=EB=BC=2,F為

C三上的點(diǎn)，且BF_L平面ACE,ACGBD=G.(1)求證：AE_平面BCE；(2)求證：AE〃平面BFD：

⑶求三棱錐C—BGF的體積.

A'

3、(2013?廣州質(zhì)檢)如圖4,四邊形ABCD是矩形,平面ABCDJ_平面BCE,BE1EC.

(1)求證：平面AEC_L平面ABE；(2)點(diǎn)F在BE上.假設(shè)DE〃平面ACF,求”的值.

234、（2013?佛山質(zhì)檢）在直角梯形ABCD中,AD〃BC,AB=1,AD=，5,AB±BC,CD±BD,

如圖6(1).把AABD沿BD翻折,使得平面

A'BD_L平面BCD,如圖⑵.

(1)求證：CD±AZB；

⑵求三棱錐A'—BDC的體積;

⑶在線段BC上是否存在點(diǎn)N,

請說明理由.

5、（2013深圳一模）如圖甲，0O的直徑4?=2,圓上兩點(diǎn)C、。在直徑的兩側(cè)，使NCW=?,

ZDAB=~.沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），尸為8c的中點(diǎn)，E為40的

3

中點(diǎn).根據(jù)圖乙解答以下各題：（1）求三棱錐。-40。的體積：［2）求證：CB工DE；

（3）在3。上是否存在一點(diǎn)G,使得尸G〃平面AC。？假設(shè)存在，試確定點(diǎn)G的位置；假設(shè)不存在，請說

DG

（圖甲）

（圖乙）

立體幾何知識(shí)點(diǎn)

一、空間幾何體

1.多面體：由假設(shè)干個(gè)多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做

多面體的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多而體的棱,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體

的頂點(diǎn).

2.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其氽各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都平

行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫做底面，其余各面叫

做側(cè)面.

3.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的

多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正

棱錐。

正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面

正多邊形的中心。

4.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部叫做棱臺(tái)。由正棱錐

截得

的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)。

正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底

面的截面是相似的正多邊形

5.旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線

叫做旋轉(zhuǎn)體的軸，

6.圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的

腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、

圓臺(tái)。

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過軸的截面（軸截面）分別是全等

的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖問題時(shí),

經(jīng)常用到弧長公式/=加

7.球：以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面.球面所圍成的兒何體叫做球

體（簡稱球）

8.簡單空間圖形的三視圖：一個(gè)投影而水平放置，叫做水平投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的

圖形叫做俯視圖。一個(gè)投影面放置在正前方，這個(gè)投影面叫做直立投影面，投影到這個(gè)平

面內(nèi)的圖形叫做主視圖（正視圖）。和直立、水平兩個(gè)投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影

面，通常把這個(gè)平面放在直立投影面的右面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖（側(cè)視

圖）。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物

體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。

（1）,三視圖畫法規(guī)則:

高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊

長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等

（2）,空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）;

側(cè)視圖（從左向右的正投影）；側(cè)視

俯視圖（從上向下正投影）.

例題1.某四棱錐底面為直角梯形，

一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，

那么其體積為.

~2

例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐,

其中棱PA垂直于底面，它的三視圖正確的選項(xiàng)是（B

D

（3）.空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法特點(diǎn):

①斜二測坐標(biāo)系的y軸與x軸正方向成45。角；②原來與x軸平行的線段仍然與x平行，長

度不變；③原來與），軸平行的線段仍然與），平行，長度為原來的一半.

常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為2亞：1.

例.如果一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底均為1的

等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（A）.

1+V22+后

A.2+V2rD.1+V2

■2

9.特殊幾何體外表積公式(c為底面周長，〃為高，/?為斜高，/為母線):

S直棱柱側(cè)而積=chS圓柱側(cè)=271rhS正棱惟惻而積=2ch'

S[M|雄側(cè)面枳=刀”

S正枝臺(tái)傀面枳=~(G+c2)”S圓臺(tái)側(cè)面積=(r+R)7dS圓柱表=2療(廠+/)

s版推表=+/)

SM臺(tái)表=疝/+W+M+簫)S球面=4萬2

10.柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式:

監(jiān)=S/?vm=Sh=7vrh%=取

%=%+VF?+S)〃

%臺(tái)=:（S+卮+S）h=g虱/+rR+R2）hV球=3〃

333

例題3:某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖[或稱主視圖)是一個(gè)底邊長為8、高

為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形.

(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S

(2)V=64.........7分(3)5=40+2472.....12分

例4.各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,那么這個(gè)球的外表積是(C)

A.164B.207rC.247rD.32〃

例5.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，那么它的體積為旦球.

一24

練習(xí)：

1.一個(gè)幾何體的三視圖及其大小如圖1,這個(gè)幾何體的體積V=(B)

A.127B.16乃C.184D.64不

2.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積是(C)

A.32乃

3.某幾何體的三視圖如下圖，其俯視圖是由個(gè)半圓與其直徑

組成的圖形，那么此幾何體的體積是（C）

A201016

A.—nDR6rxCr—71Dn.—兀

3,33

4?一個(gè)兒何體的三視圖是三個(gè)邊長為1的正方形和對角線,

如下圖，那么此幾何體的體積為（C）

2I5

A.6B.3c.1D.1

5.一個(gè)空間幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖標(biāo)出的尺可得這個(gè)幾何體的體積為（A）

A.4B.8C.12D.24

—2T

6.假設(shè)一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如以下左視圖

圖所示,那么這個(gè)棱柱的體積為

A.126B.6C.27GD.366

7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，假設(shè)它的體積是3百，那么a=（C）

A.>/2B.—C.y/3D.—

22

8.某幾何體的三視圖如下圖（俯視圖是正方形,正視圖和左視圖是兩個(gè)

全等等腰三角形）根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)，可得這個(gè)幾何體的外表積

為（B）

A.4+46B.4+4百C.-D.12

3

9.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為（A）

第4題圖

俯視圖

33

A.—,B.—

26

a}

C.D.

1218

10.某幾何體的三視圖如右?，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：c〃z）,

可得這個(gè)幾何體的體積是（B）

48

A.—cMB.—anC.2cMD.Acm'

33

二、立體幾何點(diǎn)線面的位置關(guān)系

例2.如圖，在正四棱柱48。。-44€；烏中，E、F分別是4耳、Bq的

中點(diǎn)，那么以下結(jié)論中不成立的是（D）

A.E/與湮直B.EF與BD垂直

C.EF與CD異面D.石尸與A￡異面

例2.人〃是兩條不同直線，內(nèi)方,/是三個(gè)不同平面，以下命題中正確的選項(xiàng)是（D）

A.若m"a,n/a,W\m，nB.若a_L_Ly,則a〃

C.若mHa,mH0型aII。D.若m__La,則加〃〃

例3.平面a_L平面B,（10[3=1,點(diǎn)人￡。，21,直線AB〃/,直線AC_LZ,直線m〃

a,m〃B,那么以下匹種位置關(guān)系中，不?一?定?成立的是（D）

A.AB〃機(jī)B.ACJ_〃zC.AB〃BD.AC±P

練習(xí)：

L設(shè)直線〃，與平面。相交但不*垂直，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是(B)

A.在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線〃，垂直B.過直線〃?有且只有一個(gè)平面與平面a

垂直

C.與直線〃，垂直的直線不可能與平面a平行D.與直線〃平行的平面不可能與平面a垂

直

2.設(shè)”，b為兩條直線,內(nèi)尸為兩個(gè)平面，以下四個(gè)命題中，正確的命題是(D)

A.假設(shè)a,Z?與a所成的角相等，那么B.假設(shè)a〃a,b//P,a〃/，那么

a//b

C.假設(shè)aua,bu(3,a//b,那么a〃/?D.假設(shè)。_La,b1/3,a1(3,那么〃_LZ?

3.給出以下四個(gè)命題：

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.

③假設(shè)直線44與同一平面所成的角相等，那么44互相平行.

④假設(shè)直線412是異面直線,那么與《兒都相交的兩條直線是異面直線.

其中假*命題的個(gè)數(shù)是(D)

(A)l(B)2(C)3(D)4

4.設(shè)a、0、7為平面，"2、山/為直線，那么〃?J■〃的一個(gè)充分條件是(D)

(A)a1/3,ac0=l,m1I(B)aoy=m.a±/,/?±y

(C)aLy,pLy.mLa(D)n_La,〃J_/?,機(jī)_La

5.設(shè)"z、〃是不同的直線，a、FTN/是不同的平面,有以下四個(gè)命題：

①假設(shè)a〃/?,a〃八那么②假設(shè)a1J3,mHa,那么m1p

③假設(shè)以〃夕，那么aJL夕④假設(shè)mHn,〃ua,那么mHa

其中真命題的序號是(D)

A.①④B.②③C.②④D