2025年大學理學（數(shù)學（概率論與數(shù)理統(tǒng)計））試題及答案

（考試時間：90分鐘滿分100分）班級______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個正確答案，請將正確答案填入括號內）1.設隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則隨著σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.單調增大B.單調減小C.保持不變D.增減不定2.已知隨機變量X和Y相互獨立，且它們的分布函數(shù)分別為F_X(x)和F_Y(y)，則Z=max(X,Y)的分布函數(shù)F_Z(z)為（）A.F_X(z)F_Y(z)B.F_X(z)+F_Y(z)C.1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))D.F_X(z)-F_Y(z)3.設總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機樣本，則樣本均值X?的數(shù)學期望E(X?)為（）A.λ/nB.λC.nλD.λ24.設隨機變量X的概率密度為f(x)，且f(-x)=f(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，有（）A.F(-a)=1-∫_0^af(x)dxB.F(-a)=1/2-∫_0^af(x)dxC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-15.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則X的邊緣概率密度f_X(x)為（）A.∫_{-∞}^∞f(x,y)dyB.∫_{-∞}^∞f(x,y)dxC.f(x,y)D.16.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機樣本，樣本方差S2=1/(n-1)∑_{i=1}^n(X_i-X?)2，則(n-1)S2/σ2服從（）A.N(0,1)B.N(μ,σ2)C.χ2(n-1)D.χ2(n)7.設隨機變量X和Y的方差分別為D(X)=2，D(Y)=3，且X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=1，則D(X+Y)為（）A.5B.6C.7D.8E.8.設總體X服從均勻分布U(0,θ)，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機樣本，則θ的矩估計量為（）A.2X?B.X?C.nX?D.X?/29.設隨機變量X服從指數(shù)分布E(λ)，則P{X>E(X)}為（）A.1/eB.1-1/eC.eD.e-110.設二維隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(μ_1,μ_2,σ_12,σ_22,ρ)，則X與Y相互獨立的充要條件是（）A.μ_1=μ_2B.σ_12=σ_22C.ρ=0D.ρ=1二、多項選擇題（總共5題，每題4分，每題至少有兩個正確答案，請將正確答案填入括號內，少選、多選、錯選均不得分）1.在下列關于概率的性質中，正確的有（）A.0≤P(A)≤1B.P(Ω)=1C.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)D.P(A?)=1-P(A)E.若A?B，則P(A)≤P(B)2.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列說法正確的有（）A.F(x)單調遞增B.F(-∞)=0C.F(+∞)=1D.P{X≤x}=F(x)E.P{X>x}=1-F(x)3.對于總體X的參數(shù)估計，下列說法正確的有（）A.點估計是用一個具體的數(shù)值估計總體參數(shù)B.區(qū)間估計是給出總體參數(shù)的一個取值范圍C.無偏估計是指估計量的數(shù)學期望等于被估計的參數(shù)D.有效估計是指在所有無偏估計中，方差最小的估計量E.相合估計是指當樣本容量n趨于無窮大時，估計量依概率收斂于被估計的參數(shù)4.設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布N(0,1)，則下列說法正確的有（）A.X+Y服從正態(tài)分布N(0,2)B.X2+Y2服從χ2(2)分布C.X/Y服從F(1,1)分布D.P{X>0,Y>0}=1/4E.E(XY)=05.在假設檢驗中，下列說法正確的有（）A.原假設H_0和備擇假設H_1是相互對立的B.顯著性水平α是犯第一類錯誤的概率C.拒絕域是使得原假設被拒絕的樣本值的集合D.P值是在原假設成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量出現(xiàn)當前值及更極端值的概率E.當P值小于α時，拒絕原假設三、判斷題（總共10題，每題2分，請判斷下列說法是否正確，正確的打“√”，錯誤的打“×”）1.必然事件的概率為1，概率為1的事件一定是必然事件。（）2.若隨機變量X與Y相互獨立，則它們一定不相關。（）3.總體均值μ的無偏估計量是唯一的。（）4.二維正態(tài)分布的邊緣分布一定是正態(tài)分布。（）5.設X是連續(xù)型隨機變量，則P{X=a}=0，其中a為任意實數(shù)。（）6.樣本容量n越大，樣本均值X?越接近總體均值μ。（）7.若隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布B(n,p)，當n很大，p很小時，X近似服從參數(shù)為np的泊松分布。（）8.對于兩個隨機變量X和Y，若Cov(X,Y)=0，則X與Y相互獨立。（）9.假設檢驗中，當原假設H_0不成立時，作出接受H_0的決策，這是犯了第二類錯誤。（）10.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機樣本，則樣本均值X?與樣本方差S2相互獨立。（）四、簡答題（總共3題，每題10分，請簡要回答下列問題）1.簡述正態(tài)分布的性質及其在實際中的應用。2.說明參數(shù)估計的兩種方法（點估計和區(qū)間估計）的基本思想，并舉例說明如何進行總體均值的點估計和區(qū)間估計。3.闡述假設檢驗的基本步驟，并舉例說明如何進行一個總體均值的假設檢驗。五）綜合題（總共2題，每題15分，請解答下列綜合問題）1.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)={2,0<x<1,0<y<x;0,其他}，求：(1)X的邊緣概率密度f_X(x)；(2)Y的邊緣概率密度f_Y(y)；(3)X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)。2.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X_1,X_2,...,X_n是來自總體X的簡單隨機樣本，樣本均值X?=10，樣本方差S2=4，n=25。(1)求總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間；(2)檢驗假設H_0:μ=9，H_1:μ≠9，顯著性水平α=0.05，寫出檢驗統(tǒng)計量及拒絕域，并判斷是否拒絕原假設。答案：一、選擇題1.C2.C3.B4.B5.A6.C7.C8.A9.A10.C二、多項選擇題1.ABCDE2.ABCDE3.ABCDE4.ABDE5.ABCDE三、判斷題1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.×四、簡答題1.正態(tài)分布性質：關于x=μ對稱，在x=μ處取得最大值等。應用：在自然科學、工程技術、社會科學等諸多領域用于描述大量隨機現(xiàn)象，如測量誤差、產(chǎn)品質量等。2.點估計用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)值，如用樣本均值估計總體均值。區(qū)間估計給出總體參數(shù)取值范圍，如總體均值的區(qū)間估計。以正態(tài)總體均值為例，已知樣本均值、方差等，利用t分布構造置信區(qū)間。3.假設檢驗步驟：提出假設、確定檢驗統(tǒng)計量、確定顯著性水平和拒絕域、計算檢驗統(tǒng)計量值并判斷。如檢驗總體均值，已知樣本數(shù)據(jù)，選合適檢驗統(tǒng)計量，與臨界值比較判斷是否拒絕原假設。五、綜合題1.(1)f_X(x)=∫_0^x2dy=2x,0<x<1，其他為0。(2)f_Y(y)=∫_y^12dx=2(1-y),0<y<1，其他為0。(3)E(X)=∫_0^1x·2xdx=2/3，E(Y)=∫_0^1y·2(1-y)dy=1/3，E(XY)=∫_0^1∫_0^xxy·2dydx=1/4，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/4-2/3×1/3=1/36。2.(1)已知t_{α/2}(n-1)=t_{0.025}(24)=2.064，置信區(qū)間為(X?