一、追及問題的核心概念：從生活場景到數(shù)學定義演講人追及問題的核心概念：從生活場景到數(shù)學定義01追及問題的解題策略：從“套公式”到“建模型”02追及問題的常見類型：分類解析與解題步驟03總結(jié)與升華：追及問題的本質(zhì)與數(shù)學思維的成長04目錄2025七年級數(shù)學上冊行程追及問題分析課件各位同學、老師們：大家好！今天我們要共同探討七年級數(shù)學中一個既貼近生活又充滿邏輯趣味的主題——行程追及問題。作為一線數(shù)學教師，我在多年教學中發(fā)現(xiàn)，追及問題是學生從“簡單行程計算”向“動態(tài)關(guān)系分析”跨越的關(guān)鍵內(nèi)容，也是培養(yǎng)邏輯思維和建模能力的重要載體。它像一把鑰匙，能幫我們打開“用數(shù)學解釋生活”的大門。接下來，我們將從概念解析、類型分類、解題策略到拓展應用，循序漸進地揭開追及問題的全貌。01追及問題的核心概念：從生活場景到數(shù)學定義1生活中的追及現(xiàn)象——你我都經(jīng)歷過的“追趕”大家回想一下：早上匆忙上學時，你是否有過“前面同學走得慢，自己加快腳步追上”的經(jīng)歷？體育課上，接力賽中最后一棒隊員是否曾因速度更快，逐漸縮短與對手的距離？甚至動畫片里，灰太狼追喜羊羊的情節(jié)，本質(zhì)也是追及問題。這些場景的共同特征是：兩個運動物體（或人）向同一方向行進，速度快的一方從后方追上速度慢的一方。這就是數(shù)學中“追及問題”的生活原型。2數(shù)學定義與核心要素從數(shù)學角度，追及問題可定義為：兩個物體同方向運動時，速度不同的一方從后方追上另一方的過程，其本質(zhì)是“速度差”對“初始路程差”的彌補。要分析這類問題，必須明確三個核心要素：速度：兩個物體的運動速度（v?、v?，且v?＞v?）；時間：從出發(fā)到追上所用的時間（t）；路程差：初始時兩個物體之間的距離（s?），或因出發(fā)時間不同產(chǎn)生的先行路程（s?）。這三個要素通過一個關(guān)鍵公式關(guān)聯(lián)：追及時間=路程差÷速度差（即t=s?÷(v?-v?)）。這個公式是解決所有追及問題的“基石”，但它是如何推導出來的呢？我們不妨用“相對運動”的思路理解：假設(shè)慢者靜止，快者以“速度差”（v?-v?）靠近慢者，那么需要覆蓋的“路程差”s?，所需時間自然是s?除以速度差。02追及問題的常見類型：分類解析與解題步驟追及問題的常見類型：分類解析與解題步驟追及問題的復雜性源于“初始條件”的差異。根據(jù)出發(fā)時間和出發(fā)地點的不同，可分為兩類典型問題：同地不同時出發(fā)和同時不同地出發(fā)。我們逐一分析。2.1類型一：同地不同時出發(fā)——“先出發(fā)的人，后來者如何追上？”情景描述：兩個物體從同一地點出發(fā)，但其中一個先出發(fā)一段時間，另一物體后出發(fā)（速度更快），最終后者追上前者。關(guān)鍵分析：先出發(fā)的物體在后者出發(fā)前已行進一段路程，這段路程即為“路程差”（s?=v?×t?，其中t?為先出發(fā)的時間）；后者出發(fā)后，兩者的速度差（v?-v?）將逐漸縮小這個路程差，直到追上。例題1：小明早上7:00從家出發(fā)，以50米/分鐘的速度步行上學；7:10媽媽發(fā)現(xiàn)他忘帶課本，騎自行車以200米/分鐘的速度追趕。問媽媽何時能追上小明？追及問題的常見類型：分類解析與解題步驟解題步驟：確定路程差：小明先出發(fā)10分鐘，已走50×10=500米（s?=500米）；確定速度差：媽媽速度200米/分鐘，小明速度50米/分鐘，速度差=200-50=150米/分鐘；計算追及時間：t=500÷150≈3.33分鐘（即3分20秒）；確定追上時刻：媽媽7:10出發(fā)，3分20秒后是7:13:20。易錯提醒：部分同學會誤將“總時間”算成小明的總步行時間（10+3.33=13.33分鐘），但題目問的是“媽媽何時追上”，需從媽媽出發(fā)時間開始計算。追及問題的常見類型：分類解析與解題步驟2.2類型二：同時不同地出發(fā)——“同方向不同起點，快者如何追上？”情景描述：兩個物體同時出發(fā)，但起點不同（快者在后方，慢者在前方），最終快者追上慢者。關(guān)鍵分析：初始時兩者的距離即為“路程差”（s?）；由于同時出發(fā)，追及時間t內(nèi)，快者行進的路程=慢者行進的路程+初始路程差（v?×t=v?×t+s?），整理后即t=s?÷(v?-v?)，與核心公式一致。例題2：甲乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)，同向而行（甲在B地，乙在A地，A在B前方30千米處）。甲車速度60千米/小時，乙車速度45千米/小時，問甲車多久能追上乙車？解題步驟：追及問題的常見類型：分類解析與解題步驟確定路程差：初始時甲在乙后方30千米（s?=30千米）；確定速度差：甲速度60，乙速度45，速度差=60-45=15千米/小時；計算追及時間：t=30÷15=2小時。拓展思考：若兩車反向而行，是否還能“追上”？此時屬于“相遇問題”，需用“速度和”計算相遇時間，但追及問題必須是同方向！03追及問題的解題策略：從“套公式”到“建模型”1解題四步法：理清思路的“導航儀”A通過前兩類問題的分析，我們可以總結(jié)出解決追及問題的通用步驟：B畫示意圖：用線段圖標出兩個物體的初始位置、運動方向、速度和時間，直觀呈現(xiàn)路程差；C確定變量：明確已知量（v?、v?、s?或t?）和未知量（t或s）；D列等式：根據(jù)“快者路程=慢者路程+路程差”建立方程（v?×t=v?×t+s?）；E求解驗證：計算結(jié)果后，代入原題驗證是否符合實際（如時間不能為負，速度差必須為正）。2常見誤區(qū)與應對方法在教學中，我發(fā)現(xiàn)學生常犯以下錯誤，需重點關(guān)注：誤區(qū)1：混淆“路程差”與“總路程”。例如，例題1中，小明7:00到7:10走的500米是路程差，而非總路程；媽媽追上時，小明的總路程是50×(10+3.33)=666.5米，媽媽的路程是200×3.33≈666米（近似值合理），兩者相等，驗證正確。誤區(qū)2：忽略“速度差”的方向性。追及問題中，快者速度必須大于慢者，否則無法追上（速度差為負時，時間為負，無實際意義）。誤區(qū)3：未統(tǒng)一單位。如速度單位是“米/分鐘”，時間單位需用“分鐘”；若速度是“千米/小時”，時間單位用“小時”，避免單位混亂導致錯誤。3動態(tài)思維訓練：從“靜態(tài)計算”到“過程分析”追及問題的核心是“動態(tài)關(guān)系”，需引導學生想象運動過程：快者每分（秒、小時）比慢者多走“速度差”的距離，因此需要“路程差÷速度差”的時間來彌補初始差距。例如，例題2中，甲車每小時比乙車多走15千米，要追上30千米的差距，自然需要2小時——這是“每小時彌補15千米，30千米需要2小時”的直觀理解。四、拓展應用：環(huán)形跑道上的追及問題——“循環(huán)追趕，何時相遇？”1環(huán)形追及的特殊性在直線追及中，路程差是固定的；但在環(huán)形跑道（如400米跑道）上，快者追上慢者時，可能已經(jīng)多跑了一圈、兩圈……因此，環(huán)形追及的路程差是“n倍跑道長度”（n為正整數(shù)），具體取決于追趕次數(shù)。2典型例題與分析例題3：小紅和小明在400米環(huán)形跑道上同地同向跑步，小紅速度3米/秒，小明速度5米/秒。問：（1）第一次追上時，兩人各跑了多少米？（2）第二次追上時，小明跑了多久？解題思路：（1）第一次追上時，小明比小紅多跑1圈（400米），路程差s?=400米，速度差=5-3=2米/秒，追及時間t=400÷2=200秒。此時小紅跑了3×200=600米，小明跑了5×200=1000米（1000-600=400米，符合路程差）。2典型例題與分析（2）第二次追上時，小明比小紅多跑2圈（800米），路程差s?=800米，追及時間t=800÷2=400秒（或理解為第一次追上后，兩人又處于同一起點，再次追上需再跑一圈，故總時間200×2=400秒）。規(guī)律總結(jié)：環(huán)形同地同向追及中，第n次追上時，路程差為n×跑道長度，追及時間t=n×跑道長度÷速度差。04總結(jié)與升華：追及問題的本質(zhì)與數(shù)學思維的成長1追及問題的本質(zhì)：用“相對運動”看世界無論是直線還是環(huán)形追及，其本質(zhì)都是“速度差”對“路程差”的彌補。這種思維方式延伸到物理中，就是“相對速度”的概念——將慢者視為靜止，快者以速度差靠近。它教會我們：觀察問題時，可以通過“參考系轉(zhuǎn)換”簡化復雜運動。2數(shù)學思維的成長：從“解題”到“建?！蓖ㄟ^追及問題的學習，同學們不僅掌握了一個具體題型的解法，更重要的是學會了：抽象建模：將生活場景轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號（v、t、s）；邏輯推理：通過“路程=速度×時間”的基本關(guān)系，推導出追及問題的核心公式；動態(tài)分析：用運動的眼光看待問題，理解“變量之間的依賴關(guān)系”。010302043致同學們：數(shù)學是生活的“解釋器”當你在生活中再次遇到“追趕”場景時，不妨用今天的知識快速計算：爸爸開車送你上學，前面的公交車以40千米/小時行駛，爸爸的車速60千米/小時，兩車相距2千米，多久能追上？答案是2÷(60-40)=0.1小時=6分鐘—