章末復(fù)習(xí)提升

廠知識(shí)網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建

髓H任意角的概念I(lǐng)角度制？弧度制）―

（單位冏、三角鹿硒卜

―（正弦函數(shù)卜-

卜百三角函數(shù)）-T余弦函數(shù)）一

三角函數(shù)的—Qfg｛誘導(dǎo)公式）

簡單應(yīng)用

―（正切—數(shù)）一

〔任意角三角函數(shù)的圖像｝任意用三角函數(shù)的性質(zhì)

[

圖

像-S3

的

變--CWI

換

一T碉

函數(shù)產(chǎn)Asin(a?x+⑴(AX),32)的圖像

F要點(diǎn)歸納主干梳理

i.三角函數(shù)的概念：重點(diǎn)掌握以下兩方面內(nèi)容：①理解任意角的概念和弧度的意義，能正確

迅速地進(jìn)行弧度與角度的換算.②掌握任意的角a的正弦、余弦和正切的定義，能正確快速

利用三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)解題，能求三角函數(shù)的定義域和一些簡單三角函數(shù)的值域.

2.誘導(dǎo)公式：能用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，利用“奇變偶不變，符

號(hào)看象限”牢記所有誘導(dǎo)公式.

善于將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式結(jié)合起來使用，通過這些公式進(jìn)行化簡、求值,

達(dá)到培養(yǎng)推理運(yùn)算能力和邏輯思維能力提高的目的.

3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖像

母乳加X司7潸

定義域RR

(&Z)

值域[-U][-1J](—8,4-00)

x=2E+]

x=2kn

(AGZ)時(shí)，(火￡Z)時(shí)，

Jmax=1；ymax=1；無最大值、

最值1

…兀X=2E+TT最小值

x=

(&WZ)時(shí)，

(依Z)時(shí),

=

1ymin11

Jmin=-1

周期性周期T=2E(攵￡Z)周期T=2kn(k^Z)周期T=k4kGZ)

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2女1一看2E+微

在[2桁一加，2E](k￡Z)在區(qū)間(女兀甘，kit

(2￡Z)上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；

單調(diào)性+今(MZ)上是增

在2履+①2E+,在⑵bt,2kn+n](kEZ)

上是減函數(shù)函數(shù)

(k￡Z)上是減函數(shù)

軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸方程

軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸方

是“=布，k三Z；中心對(duì)中心對(duì)稱圖形，對(duì)

程是x=E+5,LWZ；

稱圖形，對(duì)稱中心

對(duì)稱性稱中心修,0)

中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中(E+5,0)

("WZ)

心(E,O)(A￡Z)

(右Z)

4.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用

(1)重點(diǎn)掌握“五點(diǎn)法”，會(huì)進(jìn)行三角函數(shù)圖像的變換，能從圖像中獲取盡可能多的信息，如

周期、半個(gè)周期、四分之一個(gè)周期等，如軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等，如最高點(diǎn)、最低點(diǎn)與對(duì)稱中

心之間位置關(guān)系等.能從一角函數(shù)的圖像歸納出函數(shù)的性質(zhì).

(2)牢固掌握三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性.在運(yùn)用三角函數(shù)

性質(zhì)解題時(shí)，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想將綜合性較強(qiáng)的試題

完整準(zhǔn)確地進(jìn)行解答.

尹題型探究重點(diǎn)突破

題型一任意角三角函數(shù)的定義

掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及三角函數(shù)線，能夠利用三角函數(shù)的定義求一角函數(shù)

值，利用三角函數(shù)線判斷三角函數(shù)的符號(hào)，借助三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域.

例1日知cus〃="7,求sin〃，land的值.

反思與感悟已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值為字母時(shí)，注點(diǎn)對(duì)字母是否為0、±1及分象限作討

論，討論標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一.在三角函數(shù)部分，有不少題目都涉及到分類討論的思想.

跟蹤訓(xùn)練1已知角0的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(一小,⑼(〃后0)且sin〃=乎加，試判斷角0所在的象

限,并求cos0和tan6的值.

題型二三角函數(shù)的圖像及變換

三角函數(shù)的圖像是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn).在平時(shí)的考查

中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖像的變換和解析式的確定，以及通過對(duì)圖像的描繪、觀察來討論

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).具體要求；

⑴用“五點(diǎn)法”作y=Asin(s+e)的圖像時(shí)，確定五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的方法是分別令sx+°=0,壬

3?！?/p>

兀,工",271.

⑵對(duì)于y=Asin(cox+0)+6的圖像變換，應(yīng)注意先“平移”后“伸縮”與先“伸縮”后“平

移”的區(qū)別.

(3)由已知函數(shù)圖像求函數(shù)y=Asin(s+0)(A>(),Q>0)的解析式時(shí)，常用的解題方法是待定系

jrIT

跟蹤訓(xùn)練3已知。＞0,函數(shù)＜x)=-2asin(2x+w)+2a+〃，當(dāng)0，5時(shí)，-5W/(x)Wl.

⑴求常數(shù)小b的值;

⑵設(shè)四)=/6+習(xí)且lgg(.r)＞0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

「課堂小結(jié)------------------------------------1

1.三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想把圖像與性質(zhì)結(jié)

合起來，即利用圖像的直觀性得到函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓中三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)值

來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也能利用函數(shù)的性質(zhì)來描述函數(shù)的圖像，這樣既有利于掌握函數(shù)的

圖像與性質(zhì)，又能熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

2.在解決有關(guān)三角畫數(shù)的問題時(shí)，還應(yīng)注意分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

答案精析

題型探究

例1解⑴當(dāng)機(jī)=0時(shí)，0=2E±多&ez；

jr

當(dāng)e=2E+］時(shí)，sin0=1,tan。不存在;

當(dāng)。=2E—，時(shí)，sin0=—1,lanJ不存在.

(2)當(dāng)〃?=1時(shí)，J=2E,k?Z,sintan^=0.

當(dāng)〃?=—1時(shí)，夕=2火兀+兀，kQZ,sin<9=tan^=0.

（3）當(dāng)〃在第一、二象限時(shí),

112

sin0=yl\—m2,tan

（4）當(dāng)。在第三、四象限時(shí),

.ylI—in2

sin0=—yl1~m2,tan0=—~~—.

跟蹤訓(xùn)練1解由題意，得「=后力,

所以sinj力.

因?yàn)闄C(jī)￥0,所以〃?=4，故角0是第二或第三象限角.

當(dāng)機(jī)=小時(shí)，r=2巾，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一小,?。?，角。是第二象限角,

所以35吟=卷=一坐,

V小

3；

當(dāng)機(jī)=一小時(shí)，r=2啦，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（一小，一小），角夕是第三象限角，所以cos。=：=

2巾=4，

例2解（1）A=3,秒=|（4兀一"

=5冗，

冗2

又刷〈夏，故）=亍

由1/U)=3sin(|x+Q)過e，0)得sin儒+q)

=0.

又期＜看故3=一合，

故7U)=3sinGx一片，

⑵由yu+〃?)=3sin[m%+〃[)一行

=3sin&+|/〃-%)

為偶函數(shù)（加＞0）,

知皆一張=火兀+界￡Z）,

即〃?=*n+當(dāng)(&￡Z).

???〃?＞（）,.??/〃min=^.故至少把兒6的圖像向左平移千個(gè)到位長度，才能使得到的圖像對(duì)應(yīng)的

函數(shù)是偶函數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2C［由圖像知周期丁=4兀，則排除B.D；由,*0）=1,可排除A.］

例3證明：/5+2）="t）,

，y=/U）的周期為2.

???危）在與［-3,—2］上的單調(diào)性相同.

...心）在上單調(diào)遞減.

???府）是偶函數(shù),

?.JU）在［0,1］上的單調(diào)性與［-1,0］上的單調(diào)性相反.

???m）在［0」］上單調(diào)遞增.①

,/?,夕是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，

.,.a+價(jià)全

,a吟—尸，且a￡（0,9,三―0￡（0,3

又，.j，=sinx在（0,與）上單調(diào)遞增，

sina＞sin（j—/^=cosB，即sina＞cos△②

由①②,得.“sina）Mcos0）.

TT

跟蹤訓(xùn)