北師大五年數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.下列哪個(gè)數(shù)學(xué)家被稱為“數(shù)學(xué)王子”？

A.高斯

B.歐拉

C.羅素

D.康托爾

2.數(shù)學(xué)中的“極限’概念最早由哪位數(shù)學(xué)家提出？

A.萊布尼茨

B.歐拉

C.牛頓

D.高斯

3.下列哪個(gè)數(shù)學(xué)分支主要研究圖形的形狀、大小和位置？

A.幾何學(xué)

B.代數(shù)學(xué)

C.概率論

D.統(tǒng)計(jì)學(xué)

4.在數(shù)學(xué)中，下列哪個(gè)數(shù)被稱為“無(wú)理數(shù)”？

A.2.25

B.3.14159

C.1/3

D.72

5.下列哪個(gè)數(shù)學(xué)分支主要研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)？

A.幾何學(xué)

B.代數(shù)學(xué)

C.概率論

D.統(tǒng)計(jì)學(xué)

6.在數(shù)學(xué)中，下列哪個(gè)數(shù)被稱為“有理數(shù)”？

A.2.25

B.3.14159

C.1/3

D.V2

7.下列哪個(gè)數(shù)學(xué)分支主要研究數(shù)學(xué)對(duì)象的分類(lèi)和結(jié)構(gòu)？

A.幾何學(xué)

B.代數(shù)學(xué)

C.概率論

D.統(tǒng)計(jì)學(xué)

8.在數(shù)學(xué)中，下列哪個(gè)數(shù)被稱為“虛數(shù)”？

A.2.25

B.3.14159

C.1/3

D.弋-1

9.下列哪個(gè)數(shù)學(xué)分支主要研究數(shù)學(xué)模型的建立和求解？

A.幾何學(xué)

B.代數(shù)學(xué)

C.概率論

D.統(tǒng)計(jì)學(xué)

10.下列哪個(gè)數(shù)學(xué)分支主要研究數(shù)學(xué)對(duì)象在空間中的關(guān)系和變換？

A.幾何學(xué)

B.代數(shù)學(xué)

C.概率論

D.統(tǒng)計(jì)學(xué)

二、判斷題

1.歐幾里得的《幾何原本》是歷史上第一本系統(tǒng)地闡述幾何學(xué)原理的著作。

（）

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和一定是有理數(shù)。（）

3.概率論中的大數(shù)定律指出，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率將趨近于

其概率。（）

4.在微積分中，導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)在某一點(diǎn)處變化率的一個(gè)量。（）

5.拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一個(gè)特殊情況。（）

三、填空題

1.在歐幾里得幾何中，一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)，有條直線與已知直

線平行。

2.二項(xiàng)式定理中，二項(xiàng)式（a+b『n的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式是。

3.在概率論中，如果一個(gè)隨機(jī)事件的概率為0,那么這個(gè)事件在理論上被認(rèn)為

\end{cases}

\]

六、案例分析題

1.案例分析題：某公司在進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研時(shí)，收集了100位顧客對(duì)某產(chǎn)品的滿意

度評(píng)分，數(shù)據(jù)如下：

滿意度評(píng)分|人數(shù)

1分I10

2分|20

3分|30

4分|20

5分|20

請(qǐng)分析并計(jì)算以下內(nèi)容：

a）計(jì)算滿意度評(píng)分的平均數(shù)。

b）計(jì)算滿意度評(píng)分的方差。

c）分析滿意度評(píng)分的分布情況，并給出可能的改進(jìn)建議。

2.案例分析題：某班級(jí)有30名學(xué)生，期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)的分布如下：

成績(jī)區(qū)間|人數(shù)

0-59分|5

60-69分|10

70-79分|8

80-89分|6

90-100分|1

請(qǐng)分析并計(jì)算以下內(nèi)容：

a）計(jì)算該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)。

b）計(jì)算該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)。

c）分析該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的分布情況，并探討可能的原因以及改進(jìn)教學(xué)方法的方

向。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品在加工過(guò)程中出現(xiàn)次品的概率

為0.02o若工廠計(jì)劃生產(chǎn)10000件產(chǎn)品，請(qǐng)問(wèn)：

a）計(jì)算在10000件產(chǎn)品中恰好有200件次品的概率。

b）使用中心極限定理，估計(jì)這批產(chǎn)品中次品數(shù)量的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。

2.應(yīng)用題：某市居民用水量近似服從正態(tài)分布，平均用水量為每天200升，標(biāo)

準(zhǔn)差為每天20升。某居民連續(xù)30天用水量如下（升）：

195,205,210,220,200,230,215,180,185,200,210,230,220,200,180,

190,205,200,210,230,220,200,210,230,220,200,180,190,205,200,

210

請(qǐng)分析該居民的用水量是否異常，并給出可能的解釋。

3.應(yīng)用題：某公司采用線性規(guī)劃方法來(lái)優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃。公司有兩條生產(chǎn)線，每

條生產(chǎn)線每天可以生產(chǎn)100件產(chǎn)品。產(chǎn)品的單位生產(chǎn)成本如下：

|產(chǎn)品類(lèi)型|生產(chǎn)線1|生產(chǎn)線2|

產(chǎn)品A|5|4

產(chǎn)品B|3|2

產(chǎn)品C|2|3

市場(chǎng)需求如下：

I產(chǎn)品類(lèi)型I需求量I

|產(chǎn)品A|150|

|產(chǎn)品B|200|

|產(chǎn)品C|100|

請(qǐng)使用線性規(guī)劃方法確定每條生產(chǎn)線應(yīng)生產(chǎn)哪種產(chǎn)品以及每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量，

以最小化總生產(chǎn)成本。

4.應(yīng)用題：某班學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)分布如下表所示：

成績(jī)區(qū)間|人數(shù)

0-19分|5

20-39分|10

40-59分|15

60-79分|20

80-99分|10

現(xiàn)在需要根據(jù)成績(jī)將學(xué)生分為三個(gè)等級(jí)：優(yōu)秀、芟好、及格。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)評(píng)價(jià)

標(biāo)準(zhǔn)，將學(xué)生分為三個(gè)等級(jí)，并給出每個(gè)等級(jí)的具體分?jǐn)?shù)范圍。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.B.歐拉

2.B.歐拉

3.A.幾何學(xué)

4.D.、/2

5.B.代數(shù)學(xué)

6.A.2.25

7.C.概率論

8.D7-1

9.C.概率論

10.A.幾何學(xué)

二、判斷題

1.N

2.x

3.V

4.V

5.V

三、填空題

1.-

2.C(n,k)*(2x)A(n-k)*(-3)Ak

3.零概率事件

4.斜率

5.矩陣不可逆

四、簡(jiǎn)答題

1.勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。在解決直角

三角形問(wèn)題時(shí)，勾股定理可以用來(lái)求解直角三角形的邊長(zhǎng)或角度。

2.數(shù)學(xué)歸納法：是一種證明方法，用于證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題對(duì)所有

自然數(shù)都成立。首先證明當(dāng)n=1時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證

明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

3.數(shù)列極限：一個(gè)數(shù)列的極限是指當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)無(wú)限接近某個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)就

是該數(shù)列的極限。判斷一個(gè)數(shù)列的極限是否存在，可以通過(guò)觀察數(shù)列的項(xiàng)是否

趨于一個(gè)確定的值。

4.拉格朗日中值定理：如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，并且在開(kāi)區(qū)間(a,

b)內(nèi)可導(dǎo)，那么存在至少一個(gè)點(diǎn)c4a,b),使得函數(shù)在點(diǎn)c的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在區(qū)

間［a,b］上的平均變化率。

5.獨(dú)立事件：如果兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響，即一個(gè)事件的發(fā)生概率不受另一

個(gè)事件發(fā)生與否的影響，那么這兩個(gè)事件是獨(dú)立的。獨(dú)立事件的概念可以簡(jiǎn)化

概率的計(jì)算。

五、計(jì)算題

1.極限值:(5xA2-3x+2)/(xA3+4xA2-1)當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)的值是0。

2.二項(xiàng)式展開(kāi)：(2x-3)A5=32xA5-240xA4+720xA3-1080xA2+810x-

243o當(dāng)x=2時(shí)，展開(kāi)式的值為?243。

3.概率值：P(X<1.96)=0.975。

A

4.導(dǎo)數(shù)值:f(2)=3(2)2-12(2)+9=12-24+9=-3O

5.線性方程組解：

x=2

y=1

z=1

六、案例分析題

1.a)平均數(shù):(1*10+2*20+3*30+4*20+5*20)/100=3

b)方差:[(1-3)A2*10+(2-3)A2*20+(3-3)A2*30+(4-3)A2*20+(5-3)A2*20]/

100=1.2

c)分析：滿意度評(píng)分呈現(xiàn)正偏態(tài)分布，大部分顧客對(duì)產(chǎn)品的滿意度較高。改進(jìn)

建議可能包括提高產(chǎn)品質(zhì)量、增加售后服務(wù)等。

2.a)中位數(shù)：第15個(gè)和第16個(gè)數(shù)據(jù)的平均值：即(60+60)/2=60分。

b)眾數(shù)：60-69分區(qū)間的人數(shù)最多，因此眾數(shù)為60-69分。

c)分析：該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)分布較為集中，可能原因是教學(xué)方法較為有效，學(xué)生

普遍適應(yīng)。原因可能包括教師教學(xué)風(fēng)格、學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度等。

七、應(yīng)用題

1.a)概率:P(X=200)=(10000/200)*(0.02)A200*(1-0.02)A9800=0.004

b)期望值:E(X)=np=10000*0.02=200

標(biāo)準(zhǔn)差:a=5/(np(1-pi)=V(10000*0.02*0.98)=14.14

2.分析：該居民的用水量可能