§2.2一階線性方程與常數(shù)變易法習題及解答

求下列方程的解

1.-=y+sinx

dx-

解:y=e■(JsinxeJ"dr+c)

=eA[--e'(sinx+cosx)+c]

2

=Cev--(sinx+cosx)是原方程的解°

2

cdx八方

2.——+3x=e-z

dt

解：原方程可化為：”=-3x+e力

at

所以：x=eZ"(Je"e-2力+c)

=e-3z(-e5,+c)

5

=ce-^4e2/是原方程的解。

d，

cds1..

3.—=-Scosr+—sin2/

dt2

解：s=e'"""(Jgsin2,e卜力力+c)

=e-sin,(Jsin/cosresin/J/+c)

=e-sinl(sintesin,-esin,+c)

=c^sin/+sinr-l是原方程的解。

xn

4.^-^y=ex,n為常數(shù).

axn

解：原方程可化為：半「)，+"/

dxn

f-dt.-f-dv

y=elx(jrexxneixdx+c)

=xn(ex+c)是原方程的解.

rdy\-2x[八

dxx

解：原方程可化為:?

dxr

f—2x5-~\d,r—t\—-2dxx,

y=ej'(e}rdx^c)

C-Inx2-

(IeXdx+c)

=/(l+ceD是原方程的解.

43

-d-y----x----+--x--

dxxy2

解,dy=/+/

dxxy2

=—+—

dydu

令上="則y=ux—=U+x—

xdxdx

x

因此：u+x-=-

dxi7

du1

dxu2

irdu=dx

13

-u=x+c

3

-3x=x+c(*)

將上二”帶人(*)中得：y3_3/=c?是原方程的解.

x

嚕-含力+D，

解備川2),Hx+D

2

PM=--,eu)=u+i)3

x+1

…=/3(X+1)2

方程的通解為：

y二…(J-fp(X)rfv

e」Q(x)dx+c)

=(x+l)2(j------7*(x+l)3dx+c)

U+l)2

=(x+l)2(j(x+l)dx+c)

=(X+D2(321+C)

2

即：2y=c(x+l)z+(x+iy為方程的通解。

8.曳y

dxx+y

A,,dxx+y3I、

解:丁二^—二一x+?

dyyy

則P(y)」,Q()，)=V

y

fHy)dyi-d>,

eJ=e=y

方程的通解為：

x二J"'"(卜」"""Q(y)dy+c)

二y(J，*y2辦+c)

y'

=彳十c），

即X二:+cy是方程的通解’且尸。也是方程的解。

9.生="+四,4為常數(shù)

dxxx

解：p（x）=-,e（x）=—

XX

』。⑺—〃

方程的通解為:y二尸"（4""。（幻心+。）

-Xa（f--dx+c）

Jx“X

當4=0時，方程的通解為

y=x+ln/x/+c

當。=1時，方程的通解為

y=cx+xln/x/-l

當aw0,1時，方程的通解為

x1

y=cx+——--

l-aa

10/生+)，=1

dx-

W：—=--y+x3

dxx

P(x)=--,Q(x)=x

x

JP(x)dx_^~!~d，c_1

x

方程的通解為：

[P(x)cb,f-fp(.v)dr

y-ei(IeJQ(x)dx+c)

=—+

XJ

X3c

4A

方程的通解為：尸J+C

4X

11.—+x)j=x3y3

dx

解:包=一町，+犬3),3

dx

兩邊除以/

dy=-xy~2+x

yydx

dy"

=-2(-xy~2+x3)

dx

令尸=z

—=-2(-xz+x3)

dx

P(x)=2x,Q{x}--2x3

J-

方程的通解為：

z=』(Je'”}dxQ(x)dx+c)

=ex"(je~x2(-2x3)dx+c)

=>:2+cex'+1

故方程的通解為：r(x2+ce?+1)=1,且)，=0也是方程的解。

」

1…2.(y1Inx-2)yax=xdy-Cx~2+Inx+—1

解:包=皿)7

dxxx

兩邊除以刈

dy_inx2），T

y2dxxx

dyT\nx2y~l

dxXX

令尸=z

dz2\nx

—=—z

dxxX

P(x)=-,Q(x)=--

XX

方程的通解為：

z=Jc(je4"'"'Q⑶dx十c)

f-rfvr-f-dvInx(2

z=elx(J?」x()dx+?)=x(f-4-(-+c)

xJrX

c,Inx1

=-x~+——+-

424

2

方程的通解為：)，止x+—+1)=1,且尸0也是解。

424

13

Ixydy=(2y2-x)dx

dy_2y2-x_y[

這是n=-1時的伯努利方程。

"同除叱,

dxx2

人2dz、dy

令)，=z—=2y—

clxclx

dz2y2

1=--1

dxxx

2

P(x)=-Q(x)=-1

X

由一階線性方程的求解公式

f-<ivr-f-dr

Z=eix(I-eixdx+c)

=x+x2c

yz=x+x2c

dy_ey+3x

14

~d^c~x2

兩則乘必"孚=(/)F"V

dxx

令/=z立二，包

dxdx

4二三』生二匹+W這是n=2時的伯努利方程。

dxx~xx~

兩邊同除必2±半=2+1令二7

z~dxxzx~z

dT1dzdT-3T1

----=----:----------=-------1----

dxz2dxdxxx2

P(x)=—Q(X)=4

Xx~

由一階線性方程的求解公式

T=e

=x\--x1+c)

----X-14-ex-3

2

Z(-^X~]+CX-3)=1

e'(一L"4-cx~3)=I

2

~—x2ey+cey=x3

2

—x2+x'ey=c

2

dy_1

15

clx9+凸產

—=yx+yV

dy.

這是n=3時的伯努利方程。

兩逋同除必一”=3十)，3

xdyx~

令-=z四=-2/包

dydy

dz_2y3

不"h2y3=—2yz—2yP(y)=-2yQ(y)=-2/

由一階線性方程的求解公式

z=J(J-2y，Jdy+c)

=e~y(-J2y3eydy+c)

=-y2+1+ce~y

x2(-^2+l+ce-r)=l

x2ey~(-y2+1+ce廠)=ey~

ey'(1-x2+x2y2)=ex2

y=；y⑺力

力

區(qū)=ex+y(x)

力

區(qū)

=y+ex

P(x)=1Q(X)=eI由一階線性方程的求解公式

y=e[J1杰(/「lexe-JfkZvdJx+c)\

=ex(^exeXdx+c)

=ex(x+c)

er(x+c)=ex+￡ex(x+c)dx

C=1

y=，(x+c)

17設函數(shù)0⑴/一8<t<+8上連續(xù),，(0)存在且滿足關系式5(t+s)=e(t)0(s)

試求此函數(shù)。

令t=s=Ocp(0+0)=(p(0)(p(0)即0(0)=°(0)2一夕(0)=0或e(0)=1

(1)當e(o)=o時(p{t)=(p(t+o)=即8。)二。

V，￡(-8,+8)

⑵當以。)=1時。⑺=lim-iU**)

ArMJAr

9?)(9(4)-1)以加+0)-9(0)

=lim------元-----=lim--------------伊⑺

4->0A7->0

=夕(0)0?)

于是孚=8(0)90)變量分離得"=0(0)力積分°=

dt(p

由于0(0)=1,即t=0時°=11=ce(}nc=1

超0?)=濟(。"

20.試證:

(1)一階非齊線性方程(2.28))任兩解之差必為相應的齊線性方程(2.3)

之解;

(2)若尸)，*)是(2.3)的非零解，而)，=)，*)是(2.28)的解，則方程(2.28)

的通解可表為y=cy(x)+y(x),其中c為任意常數(shù).

(3)方程(2.3)任一解的常數(shù)倍或任兩解之和(或差)仍是方程(2.3)的

解.

址明：孚=P(x)y+Q(x)(2.28)

ax

季=P(x)y(2.3)

ax

(1)設y,%是(228)的任意兩個解

則gl=p(x)H+Q(x)(1)

ax

孕=。(幻力+。(幻(2)

dx

(1)-(2)得

“尸):如)以一必)

ax

即y=一一％是滿足方程(2.3)

所以,命題成立。

(2)由題意得：

如2=如方(3)

dx

駕上=小))3十°(幻(4)

dx

1)先證y=cy+y是(2.28)的一個解。

于是cx(3)+(4)得

尊+孚=cP(x))，+PM)，+Q(x)

dxax

"?+>)=P(x)(cy+v)+0(x)

dx

—y=cy+)是(2.28)的一個解。

2)現(xiàn)證方程(4)的任一解那可寫成cy+y的形式

設M是(2.28)的一個解

則學=尸(如+0(的(4，)

dx

十是(4')-(4)得

d(.一)')=P(X)(y_y)

dx

從而>,|-y=cjw=cy

即y=y+cy

所以，命題成立。

3)設為，%是(2.3)的任意兩個解

則華=PG)3%(5)

dx

半=21)乂(6)

dx

于是(5)xc得華^=cP(x)外

dx

BII牛=P*)(C)，3)其中C為任意常數(shù)

ax

也就是y=cy3滿足方程(2.3)

(5)±(6)得

學士李=P(x)%土P。)”

dxdx

即四戶二如)(/±)，4)

dx

也就是)，=另±乂滿足方程(2.3)

所以命題成立。

21.試建立分別具有下列性質的曲線所滿足的微分方程并求解。

5)曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方;

（6）曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項;

解：設P（x,），）為曲線上的任一點，則過〃點曲我的加線方程為

Y-y=y\X-x）

從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為「點。）皿2）

即橫截即為x—二，

y

縱截能力y-x/o

由題意得：

(5)y-xy,=x2

方程變形為

dy,

x-=y-x"

clx

dy_1

y-x

dxx

于是y=/"(J(t)J+c)

=(J(一工)"叫"公4-(?)

=|X|(J(T)N%+c)

=x(j(-x-!-)dLr4-c)

=x(-x+c)

——x2+ex

所以，方程的通解為y=—V+B。

(6)y-xy'=

2

方程變形為

dyyx