《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.了解二倍角的正弦、余弦、正切公式，會(huì)運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換；2.經(jīng)歷二倍角公式推導(dǎo)過程，感悟從一般到特殊的研究方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化和換元的思想；3.發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)整體觀.教學(xué)重點(diǎn)：二倍角的正弦、余弦、正切公式教學(xué)難點(diǎn)：二倍角公式在三角恒等變換中的應(yīng)用教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)累計(jì)4分鐘累計(jì)12分鐘累計(jì)19分鐘累計(jì)21分鐘復(fù)習(xí)引入探究新知鞏固應(yīng)用課堂小結(jié)上節(jié)課我們由兩角差的余弦公式，得到了兩角和與差的正弦、余弦、正切共六個(gè)公式，我們一起來回顧一下上一節(jié)課具體的探究思路：我們當(dāng)時(shí)已經(jīng)得到的是兩角差的余弦公式：，首先我們將兩角差的余弦公式中替換為，得到了兩角和的余弦公式：，然后我們?yōu)榱烁淖內(nèi)呛瘮?shù)名，借助誘導(dǎo)公式得到了兩角和與差的正弦公式：；，最后利用同角關(guān)系將正切轉(zhuǎn)化為正余弦，得到了兩角和與差的正切公式：；.以及上一節(jié)課我們也說到，正切的公式使用起來有相應(yīng)角范圍的限制，也就是正切值都要存在。例如這個(gè)兩角和的正切公式，要求均不等于，并且也不等于，如果碰到相應(yīng)的情況例如已知去求，就不能用兩角差的正切公式了，只能通過同角關(guān)系轉(zhuǎn)化回正余弦求解了。那回顧完之前的內(nèi)容，今天我們?cè)谶@六個(gè)和角、差角公式的基礎(chǔ)上，來探究倍角公式。（一）探究二倍角的正弦、余弦、正切公式我們先來看二倍角的正弦公式【問題1.1】我們需要求的和已知的公式形式上有什么聯(lián)系嗎？我們發(fā)現(xiàn)它們都是角的正弦，只是角的形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度都有內(nèi)在聯(lián)系，因此基于差異可以建立聯(lián)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化?！締栴}1.2】你能類比上一節(jié)課的探究過程，利用公式推導(dǎo)出的公式嗎？我們比較和，注意到，由于兩角和的正弦公式對(duì)任意的都成立，那么把其中的換為后，也一定成立。則由公式，有剛剛我們的推導(dǎo)過程是借助來完成的，如果用來完成推導(dǎo)方法也基本相同，把公式中的替換為即可。這樣我們就得到了二倍角的正弦公式。這個(gè)推導(dǎo)過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)從一般到特殊的推導(dǎo)過程，后續(xù)這樣的方法在三角恒等變換中非常有用?！締栴}1.3】你能仿照剛剛的推導(dǎo)過程，利用得到的公式嗎？和剛才一樣，我們將，公式中的換為后，得到：【問題1.4】如果要求二倍角的余弦公式中僅含的正弦或者余弦，那么還有其它的表示形式嗎？我們可以借助同角關(guān)系進(jìn)行形式上的等價(jià)轉(zhuǎn)化：【過渡】以上這些公式都叫做倍角公式.倍角公式給出了的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系.特別注明：上面說的“倍角”專指“二倍角”，遇到“三倍角”等名詞時(shí)，不能省略.【問題1.5】由二倍角的余弦公式我們看到，已知或者可以求出的值，那么已知時(shí)，是否能夠反向求出和呢？我們可以通過方程的的角度看二倍角的余弦公式，有下面的等價(jià)形式：即即與的符號(hào)由角的范圍確定.剛剛這兩個(gè)公式的變形我們從左向右看，角之間是倍角關(guān)系，從結(jié)構(gòu)上是和或者差轉(zhuǎn)化到積，從次數(shù)上是從一次變成了二次。這樣無論從右向左，還是從左向右它能實(shí)現(xiàn)角的改變，式子結(jié)構(gòu)的改變，我們舉兩個(gè)例子：第一個(gè)，我們可以寫成，這樣實(shí)現(xiàn)了升高代數(shù)式的次數(shù)，同時(shí)降低相應(yīng)角的大小；第二個(gè)，大家會(huì)求嗎？之前大家可以通過兩角差的正弦公式把寫成去求解；那現(xiàn)在呢，可以直接用倍角公式寫成，這樣就通過三角變換轉(zhuǎn)化為了我們熟知的三角函數(shù)值，很容易就可以得到答案。這也是一個(gè)反向使用公式的過程。所以從上面的例子我們看到，倍角公式的正向使用與反向使用需要依據(jù)求解內(nèi)容和所給條件靈活判斷?！締栴}2.1】從和（差）角、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系，你能歸納總結(jié)一下它們之間的聯(lián)系嗎？（ppt逐步呈現(xiàn)）我們發(fā)現(xiàn)兩角差的三個(gè)公式通過將替換為，可以得到對(duì)應(yīng)的兩角和的三個(gè)公式，兩角和的正弦公式與兩角差的余弦公式，兩角差的正弦公式與兩角和的余弦公式，可以通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，在上述的兩個(gè)過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和換元的思想；誘導(dǎo)公式可以看作兩角和、差公式的特殊形式，兩角和差公式可以看作是誘導(dǎo)公式更一般的形式；可以將和角公式中的替換為，或者將差角公式中的替換為，得到對(duì)應(yīng)的倍角公式，這個(gè)過程中體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想；所有的正切公式都可以利用相同角的正余弦公式通過同角關(guān)系得到；二倍角的余弦公式的三種等價(jià)表達(dá)形式可以通過同角關(guān)系互相推導(dǎo).（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式的初步應(yīng)用【例1】已知，，求，，的值.分析：我們觀察到是的二倍角，因此可以考慮用倍角公式求解接下來我們?cè)O(shè)計(jì)一下解決問題的路徑：根據(jù)二倍角的正弦公式，，因此只需通過同角關(guān)系由求出即可，的符號(hào)通過角的范圍確定；，可以直接求出值；既可以通過同角關(guān)系計(jì)算；也可用求出，再利用二倍角的正切公式求解.解：由，得，又，所以.于是（或，）【問題3.1】通過這道例題，你對(duì)倍角公式中的“倍”有更深入的理解嗎？我們從這道例題中發(fā)現(xiàn)，“倍”是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，這里蘊(yùn)含著換元思想.【例2】在△中，，，求的值.分析：這道題要求的值，我們可以拆分為求解和的值，再用正切兩角和的公式就可以求出答案。和相比我們已知的和雖然三角函數(shù)名不盡相同，但角是二倍的關(guān)系，所以我們可以考慮用倍角公式求解，涉及到符號(hào)的確定借助三角形內(nèi)角在的范圍即可.解法1：在△中，由，，得，所以，，又，所以于是【問題3.2】剛剛我們從已知的和，求出了和，最后得到了題目中要求的。那請(qǐng)大家思考，這道題目還有其他能夠解決問題的方法嗎？我們可以把要求的看成，也就是角與角和的二倍角的正切值，那么可以設(shè)計(jì)出下面的路徑：由和統(tǒng)一三角函數(shù)名得到和，然后利用兩角和的正切公式得到，最后通過二倍角公式得到所需的.具體過程我們一起來看：解法2：在△中，由，，得，所以，又，所以，所以我們看到，解法2相比解法1少了一個(gè)運(yùn)算步驟，但它們都是對(duì)倍角、和角關(guān)系的聯(lián)合運(yùn)用，只是對(duì)角，與角之間關(guān)系的看法不同，或者說計(jì)算順序不同，本質(zhì)上沒有區(qū)別。同時(shí)做完這道題后我們也發(fā)現(xiàn)，題干中的“在△中”隱含了的條件，這類在三角形中隱含的條件值得同學(xué)們進(jìn)行總結(jié).【小結(jié)】這節(jié)課我們從之前得到的六個(gè)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式入手，通過轉(zhuǎn)化與換元的方法得到了二倍角的正弦、余弦、正切公式，借助同角關(guān)系發(fā)現(xiàn)了余弦二倍角公式的三個(gè)等價(jià)形式，并且探究了這節(jié)課與之前共11個(gè)三角變換的公式之間的邏輯聯(lián)系，然后應(yīng)用倍角公式解決了幾個(gè)實(shí)際的問題。在解決問題的過程中我們發(fā)現(xiàn)：倍角公式的“倍”代表了一種數(shù)量關(guān)系，并不只是與，只要符合這種角關(guān)系的問題都可以考慮應(yīng)用倍角公式；在三角函數(shù)名與角之間，我們應(yīng)當(dāng)先關(guān)注所求角與已知角之間的關(guān)系，并以此來設(shè)計(jì)解決問題的方法，三角函數(shù)名可以通過同角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；倍角公式相比兩角和差的公式形式上更簡潔，多樣，并且由于“倍”的相對(duì)性決定了它既是倍角公式，也是半角公式，是一個(gè)橋梁紐帶的作用，所以在解決問題過程中兩角和與差的公式與二倍角公式不是割裂開的，連同公式正向與反向使用都應(yīng)當(dāng)依據(jù)所需進(jìn)行選取，靈活應(yīng)用解決問題。至于如何分析對(duì)比變換目標(biāo)，如何選擇公式，如何根據(jù)問題條件進(jìn)行變形，就留到下一節(jié)課再和大家探討。課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.cosπ12-A.-32 B.-12 C.12 答案D解析原式=cos2π12-sin2π12=cosπ6=2.若tanα=3,則sin2αcosA.2 B.3 C.4 D.6答案D解析sin2αcos2α=2sinαcosαco3.(2021湖南永州高一期末)已知cosθ-π2=45,-π2<θ<π2,則sin2θ的值等于(A.-2425 B.2425 C.-1225 答案B解析因?yàn)閏osθ-π2=sinθ=45,-π2<θ<π所以cosθ=1-則sin2θ=2sinθcosθ=2×45×354.(2021天津高一期末)已知sin(π-α)=24,則cos2α=()A.78 B.-78 C.34 D答案C解析∵sin(π-α)=24=sinα∴cos2α=1-2sin2α=1-2×216=345.若sinα+cosαsinα-A.-34 B.34 C.-43 答案B解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左邊分子、分母同時(shí)除以cosα(顯然cosα∴tan2α=2tanα6.(2021上海虹口高一期末)已知α∈(0,π),且有1-2sin2α=cos2α,則cosα=.

答案5解析由1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α=2sin2α,即2sin2α=4sinαcosα.又α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα>0.由sin2α+cos2α=(2cosα)2+cos2α=5cos2α=1,解得cosα=557.化簡:2sin2α1+cos2α·答案tan2α解析原式=2sin2α2cos2α·8.求下列各式的值:(1)2cos(2)23tan15°+tan215°;(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.解(1)原式=cos2=cos2=cos2=cos2αcos2α(2)原式=3tan30°(1-tan215°)+tan215°=3×33(1-tan215°)+tan215°(3)(方法一)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos=2sin20=sin40°(方法二)令x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°.則xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°=12sin20°·12sin100°·12=18sin20°sin80°sin40°=18cos10°cos50°cos=18y∵y≠0,∴x=18從而有sin10°sin30°sin50°sin70°=116等級(jí)考提升練9.(2021甘肅天水高一期末)已知tanθ2=23,則A.23 B.-23 C.32 D答案A解析∵tanθ2∴1=2sinθ2(sinθ2+cos10.若tanα+π4=-3,則cos2α+2sin2α=A.95 B.C.-35 D.-答案B解析∵tanα+π∴tanα=2,∴cos2α+2sin2α=cos2α-si11.4sin80°-cos10°sin10°=A.3 B.-3 C.2 D.22-3答案B解析4sin80°-cos10=2sin20=2=-3.12.若α∈0,π2,且cos2α+cosπ2+2α=A.12 B.1C.13 D.13或答案C解析cos2α+cosπ2+2α=cos2α-sin2α=cos2α-2sinαcosα=cos2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=1-2tanαtan2α+1=310,整理得3tan2α+20tanα13.(多選題)下列各式的值為12的是(A.tan22.5°1-tanC.33cos2π12?33sin2答案ACD解析A符合,原式=12×2tan22.5°1-tan222.5°=12tan45°=12;B不符合,原式=sin15°·cos15°=12sin30°=114.(多選題)(2020山東濰坊高三檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|sinx||cosx|,則下列說法正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2B.f(x)的周期為πC.(π,0)是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心D.f(x)在區(qū)間π4答案AB解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|sinx||cosx|=|sinxcosx|=12|sin2x|畫出函數(shù)圖象,如圖所示,由圖可知,f(x)的對(duì)稱軸是x=kπ4,k∈所以x=π2是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,A正確f(x)的最小正周期是π2,所以B正確f(x)是偶函數(shù),沒有對(duì)稱中心,C錯(cuò)誤;由圖可知,f(x)=12|sin2x|在區(qū)間π4,π15.若cos(75°+α)=13,則sin(60°+2α)=.答案7解析依題意,cos(75°+α)=13,則cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×132-1=-79,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α16.化簡:2+2+2cosα(2π<α<3π)=答案2sinα解析∵2π<α<3π,∴π<α2∴2+=2-2cosα217.(2021安徽合肥高一檢測(cè))求證:1cos2θ-tanθtan2θ=證明1cos2θ-tanθtan2θ=cosθ-2si18.已知sinα+cosα=355,α∈0,π4,sinβ(1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.解(1)由題意得(sinα+cosα)2=95,即1+sin2α=9∴sin2α=45,又易知2α∈0∴cos2α=1-∴tan2α=sin2α(2)∵β∈π4,π2,β-π4∈0,π4,sinβ-∴sin2β-π4=2sinβ又sin2β-π4=-cos2β,∴cos2β又易知2β∈π2,π,∴sin2β又cos2α=1+cos2α∴cosα=255,∴sinα=∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=255×新情境創(chuàng)新練19.如圖所示,在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ,沿由點(diǎn)B到點(diǎn)E的方向前進(jìn)30m至點(diǎn)C處,測(cè)得頂角A的仰角為2θ,再沿剛才的