山東省濟(jì)寧市第二中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中正確的有（）A.平面ABC的一個(gè)法向量是 B.的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是C. D.與是共線向量2．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.43．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.54．已知雙曲線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條5．已知點(diǎn)到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.6．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.7．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B.C. D.9．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.10．命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為假命題B.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)，為真命題11．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.12．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)__________；半徑為_(kāi)__________.14．若p：存在，使是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______15．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____16．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為_(kāi)__________海里.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，是的中點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，證明：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值.19．（12分）為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（3）樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)是多少？（4）第三組的頻數(shù)是多少？20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù)；（2）從該公司員工中隨機(jī)抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，判斷事件與是否互相獨(dú)立，并說(shuō)明理由；22．（10分）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中平面法向量的定義，向量模長(zhǎng)的求解，以及共線定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，，，故可得，因?yàn)椋?，不平行，則D錯(cuò)誤；對(duì)A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對(duì)B：因?yàn)橄蛄康哪ｉL(zhǎng)為，其不是單位向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，故可得，故C錯(cuò)誤；故選：A.2、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁椋?，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】直線l過(guò)定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過(guò)定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，，弦長(zhǎng)＝.故選：C.4、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過(guò)的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.5、D【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.6、B【解析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證即可.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B7、C【解析】討論橢圓焦點(diǎn)的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.8、B【解析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.9、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)線距離關(guān)系：向量的終點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點(diǎn)時(shí)，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，最小為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到射線的距離最短問(wèn)題.10、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因?yàn)槊}p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”，因?yàn)?，所以為假命題；故選：A11、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，先增，再減，然后再增，則先正，再負(fù)，然后再正，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).12、C【解析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時(shí).故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑【詳解】將圓的一般方程化為圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為故答案為：；14、【解析】將問(wèn)題分離參數(shù)得到存在，使成立，可得結(jié)論.【詳解】存在，使，即存在，使，所以故答案為：15、【解析】求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，故所求切線方程為，即.故答案為：.16、【解析】利用正弦定理求得甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離.【詳解】，設(shè)甲乙距離，由正弦定理得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)，且的長(zhǎng)為，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，得到，結(jié)合面面平行的判定定理證得平面平面，進(jìn)而得到平面；（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸，以垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得的法向量為和向量，結(jié)合向量的夾角公式列出方程，求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，又由平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸，以垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，因?yàn)椋?，即，解得，設(shè)，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，解得，即，所以存在點(diǎn)，且的長(zhǎng)為.18、（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.19、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計(jì)算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計(jì)算（1），（2），由公式直接計(jì)算可得（1）中樣本容量；根據(jù)（2）問(wèn)中的達(dá)標(biāo)率，可計(jì)算不達(dá)標(biāo)率，從而求出不達(dá)標(biāo)人數(shù)，可得（3）；單獨(dú)計(jì)算第三組的頻率，由公式計(jì)算頻數(shù)，可求出（4）.【小問(wèn)1詳解】頻率分布直方圖以面積形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08所以樣本容量＝＝150.【小問(wèn)2詳解】由直方圖可估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為×100%＝88%.【小問(wèn)3詳解】由（1）（2）知達(dá)標(biāo)率為88%，樣本量為150，不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18(人)【小問(wèn)4詳解】第三小組的頻率為＝0.34又因?yàn)闃颖玖繛?50，所以第三組的頻數(shù)為150×0.34＝5120、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，①②①②得，21、（1）極差為；第25百分位數(shù)為（2）事件和相互獨(dú)立，理由見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算極差和百分位數(shù)得到答案.（2）計(jì)算得到，，，即，得到答案.【小問(wèn)1詳解】員工年齡的極差為，，故第25百分位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】，，，故，故事件和相互獨(dú)立.22、條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡(jiǎn)可得，得出；若選擇②，利用余弦定