第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,=tanα(α≠+kπ,k∈Z).2.借助單位圓的對稱性,利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(-α,±α,π±α,2kπ+α(k∈Z)的正弦、余弦、正切).積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=

.1(2)商數(shù)關(guān)系:=tanα(α≠+kπ,k∈Z).2.誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosα

余弦cosα-cosαcosα

sinα-sinα正切tanαtanα-tanα

——口訣函數(shù)名不變,符號看象限函數(shù)名改變,符號看象限cosα-cosα-tanα誘導(dǎo)公式的記憶口訣可以概括為“奇變偶不變,符號看象限”,這里的奇、偶指的是k·±α(k∈Z)中k是奇數(shù)還是偶數(shù),“符號看象限”指的是把α看成銳角時,k·±α(k∈Z)的三角函數(shù)值的符號,即原三角函數(shù)值的符號.2.任意負(fù)角的三角函數(shù)利用誘導(dǎo)公式三或一任意正角的三角函數(shù)利用誘導(dǎo)公式一0～2π的角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)也就是:“負(fù)化正,去周期,大化小,全化銳”.利用誘導(dǎo)公式二或四或五或六1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1.(

)(2)sin(π+α)=-sinα成立的條件是α為銳角.(

)×(3)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),則cosθ=.(

)××(4)?α∈R,tanα=.(

)×2.已知cosα=-,且α為第三象限角,則sinα等于(

)√解析:因為α為第三象限角,所以sinα=.故選C.3.若sinα+cosα=,則sinαcosα等于(

)解析:因為sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=,即sin2α+cos2α+2sinαcosα=,即1+2sinαcosα=,所以sinαcosα=-.故選B.√4.已知tanα=3,則=

.

解析:因為tanα=3,25.cos(-)=

.

02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用角度一“知一求二”問題[例1](2024·廣東惠州模擬)已知tanα=2,π<α<,則cosα-sinα等于(

)√故選A.已知sinα,cosα,tanα中的一個求另外兩個的值.解決此類問題時,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tanα=即可,但要注意α的取值范圍,即三角函數(shù)值的符號.角度二sinα,cosα的齊次式問題[例2]已知tanα=,則=

,sin2α+sinαcosα+2=

.

(1)分式中分子與分母是關(guān)于sinα,cosα的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求解.(2)關(guān)于sinα,cosα的二次齊次式,要用到“1”代換,即1=sin2α+cos2α.角度三“sinα±cosα,sinαcosα”之間的關(guān)系√解析:由題意可得,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,整理得sinαcosα=>0,即sinα>0,cosα>0,可得sinα+cosα>0,因為(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,可得sinα+cosα=,故選D.對于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)若sinα=-,且α為第四象限角,則tanα的值為(

)√解析:(1)因為α為第四象限角,且sinα=-,(2)(角度三)(2024·山東青島調(diào)研)若sinθ+cosθ=,則sin4θ+cos4θ等于(

)解析:(2)由sinθ+cosθ=,平方得1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×.故選B.√解析:(3)因為3sinα-cosα=>0,所以α∈(0,),又(3sinα-cosα)2=5,所以9sin2α-6sinαcosα+cos2α=5,2(3)(角度二)已知α∈,3sinα-cosα=,則tanα=

.

即2tan2α-3tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-(舍去).考點二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用[例4](1)(2024·黑龍江哈爾濱模擬)的值為(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2√√(1)誘導(dǎo)公式用法的一般思路①化負(fù)為正,化大為小,化到銳角為止.②角中含有加減的整數(shù)倍時,用公式去掉的整數(shù)倍.[針對訓(xùn)練]√6考點三同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用[例5](1)(2024·遼寧葫蘆島模擬)若,則tanθ等于(

)A. B.- C.-3 D.3√解得tanθ=-3.故選C.(2)已知cos167°=m,則tan193°等于(

)√解析:(2)tan193°=tan(360°-167°)=-tan167°=,因為cos167°=m,所以sin167°=,所以tan193°=-.故選C.利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時,關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形.注意角的取值范圍對三角函數(shù)值的符號的影響.[針對訓(xùn)練]√(1)(2024·安徽黃山模擬)已知,則sinx等于(

)則cos2