第一章第3節(jié)空間直線、平面的平行[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.以立體幾何的定義、基本事實和定理為出發(fā)點,通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證,認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定.2.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理平行定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線

,那么該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)因為

,

,

,所以l∥αl∥aa?αl?αl∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行(線面平行?線線平行)因為

,

,

,所以l∥bl?βα∩β=b(1)直線l與平面α平行,則直線l與平面α內(nèi)的任意直線平行或異面.(2)線面平行強(qiáng)調(diào)的是平面外的直線與平面內(nèi)的直線的平行關(guān)系.2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理a∥β定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行(線面平行?面面平行)因為

,

,

,

,

,所以α∥β性質(zhì)定理兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行(面面平行?線線平行)因為

,

,

,所以a∥bb∥βa∩b=Pa?αb?αα∥βα∩γ=aβ∩γ=b(1)兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.(2)判定定理的推論:一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行,那么這兩個平面平行.1.平行間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系2.平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.3.平行問題中的唯一性(1)過直線外一點與該直線平行的直線有且只有一條.(2)過平面外一點,與該平面平行的平面有且只有一個.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的兩條直線,則這條直線平行于這個平面.(

)(2)直線a∥直線b,那么過直線b且平行于直線a的平面只有一個.(

)(3)若直線a?平面α,直線b?平面β,a∥b,則α∥β.(

)(4)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線也相互平行.(

)××××2.下列說法中,與“直線a∥平面α”等價的是(

)A.直線a上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)B.直線a與平面α內(nèi)的所有直線平行C.直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線不相交D.直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交√解析:因為a∥平面α,所以直線a與平面α無交點,因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.故選D.3.(2022·遼寧鞍山模擬)已知平面α,兩條不同直線l和m,若m?α,則“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√解析:根據(jù)題意,l∥m且l?α,才有l(wèi)∥α,反之,若l∥α,l與m可能異面,故“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的既不充分也不必要條件.故選D.平行4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中點,則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為

.

解析:如圖所示,連接BD交AC于F,連接EF,則EF是△BDD1的中位線,所以EF∥BD1,又EF?平面ACE,BD1?平面ACE,所以BD1∥平面ACE.5.(必修第二冊P144T12改編)三棱錐A-BCD中,AB=CD=1,過線段BC的中點E作平面EFGH與直線AB,CD都平行,且分別交BD,AD,AC于F,G,H,則四邊形EFGH的周長為

.

2解析:因為AB∥平面EFGH,AB?平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EH,所以AB∥EH,又點E為BC的中點,所以EH為三角形ABC的中位線,02提升·關(guān)鍵能力類分考點,落實四翼[例1](1)(2024·河北衡水階段考試)已知a,b,c為三條不重合的直線,α,β為兩個不重合的平面.下列命題正確的是(

)A.a∥c,b∥c?a∥b B.a∥β,b∥β?a∥bC.a∥c,c∥α?a∥α D.a∥β,a∥α?α∥β√解析:(1)對于A,由基本事實4,可知A正確;對于B,若a∥β,b∥β,則a,b共面或異面,故B錯誤;對于C,若a∥c,c∥α,則a∥α或a?α,故C錯誤;對于D,若a∥β,a∥α,則α,β平行或相交,故D錯誤.故選A.考點一直線、平面平行的基本問題(2)在下列判斷兩個平面α與β平行的四個命題中,真命題的個數(shù)是(

)①α,β都垂直于平面γ,那么α∥β;②α,β都平行于平面γ,那么α∥β;③α,β都平行于直線l,那么α∥β;④如果l,m是兩條異面直線,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β,那么α∥β.A.0 B.1 C.2 D.3√解析:(2)如圖,易知在正方體中相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面,故①是假命題;由平面平行的傳遞性可知②是真命題;如圖可知,在正方體中相鄰兩個側(cè)面均與其兩平面交線的對棱平行,但這兩平面相交,故③是假命題;過直線l作平面γ與α,β分別交于l1,l2,過直線m作平面χ與α,β分別交于m1,m2(圖略),因為l∥α,l∥β,所以l∥l1,l∥l2,所以l1∥l2,因為l1?β,l2?β,所以l1∥β,同理,m1∥β,又l,m是兩條異面直線,所以l1,m1相交,且l1?α,m1?α,所以α∥β,故④是真命題.故選C.解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題的注意點(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件,如線面平行的判定定理中,條件“線在面外”易忽視.(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形做出判斷.(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.[針對訓(xùn)練](1)(多選題)已知α,β是兩個不重合的平面,l,m是兩條不同的直線,則下列說法正確的是(

)A.若l∥m,l∥β,則m∥β或m?βB.若α∥β,m?α,l?β,則m∥lC.若m⊥α,l⊥m,則l∥αD.若m∥α,m?β,α∩β=l,則m∥l√√解析:(1)對于A,若l∥m,l∥β,則m∥β或m?β,A正確;對于B,若α∥β,m?α,l?β,則m∥l或l,m異面,B錯誤;對于C,若m⊥α,l⊥m,則l∥α或l?α,C錯誤;對于D,由線面平行的性質(zhì)知正確.故選AD.(2)下列選項中,能判定平面α和平面β平行的是(

)A.α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行B.α內(nèi)的任意一條直線都與β平行C.α與β垂直于同一平面D.α與β平行于同一直線√解析:(2)對于A,當(dāng)α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行,平面α與平面β可能平行,也可能相交,所以A不正確;對于B,若平面α內(nèi)的任何一條直線都與β平行,則平面α內(nèi)必存在兩條相交直線和平面β平行,根據(jù)面面平行的判定定理,可得α∥β,所以B正確;對于C,垂直于同一平面的兩個平面不一定平行,還可以相交,所以C不正確;對于D,平行于同一條直線的兩個平面可能不平行,還可以相交.故選B.考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度一直線與平面平行的判定[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB=2,CD=4,E為PC的中點.求證:BE∥平面PAD.證明:如圖,取PD的中點F,連接EF,FA.由題意知EF為△PDC的中位線,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又因為AB∥CD,AB=2,所以ABEF,所以四邊形ABEF為平行四邊形,所以BE∥AF.又AF?平面PAD,BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點).②利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).(2)在與中點有關(guān)的平行問題中,?？紤]中位線定理.角度二直線與平面平行的性質(zhì)[例3]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是A1C1邊的中點,過A,B,E作截面交B1C1于點D.求證:DE∥AB.證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因為AB∥A1B1,AB?平面A1B1C1,A1B1?平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,又AB?平面ABDE,平面A1B1C1∩平面ABDE=DE,所以DE∥AB.應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置,有時需要利用已知直線作輔助平面來確定交線.[針對訓(xùn)練](角度一、二)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和PA作平面交BD于點H.求證:PA∥GH.證明:如圖所示,連接AC交BD于點O,連接OM,因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點,又M是PC的中點,所以PA∥OM,又OM?平面BMD,PA?平面BMD,所以PA∥平面BMD,又PA?平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.考點三平面與平面平行的判定與性質(zhì)[例4]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC與BD交于點O,點E,F分別是棱PA,PB的中點,連接OE,OF,EF.(1)證明:平面OEF∥平面PCD;證明:(1)由于點E,F分別是棱PA,PB的中點,所以EF∥AB,因為四邊形ABCD為菱形,所以AB∥CD,所以EF∥CD,又CD?平面PCD,EF?平面PCD,故EF∥平面PCD,又O是BD的中點,所以FO∥PD,PD?平面PCD,FO?平面PCD,故FO∥平面PCD,由于FO∩EF=F,FO,EF?平面OEF,所以平面OEF∥平面PCD.(2)若平面ABP∩平面PCD=直線l,證明:AB∥l.證明:(2)由(1)知平面OEF∥平面PCD,又平面ABP∩平面OEF=直線EF,平面ABP∩平面PCD=直線l,所以EF∥l,由(1)知EF