第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.積累·必備知識01回顧教材,夯實(shí)四基1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,直線與圓的方程聯(lián)立消元所得一元二次方程的判別式為Δ)位置關(guān)系相離相切相交圖形幾何法d

rd

rd

r代數(shù)法(判別式法)Δ

0Δ

0Δ

0>=<<=>判斷直線與圓的位置關(guān)系,常用幾何法而不用代數(shù)法,用幾何法比較簡單.2.圓與圓的位置關(guān)系(圓O1,圓O2的半徑分別為r1,r2,d=|O1O2|)位置關(guān)系圖形數(shù)量的關(guān)系公切線條數(shù)外離

4外切

3d>r1+r2d=r1+r2相交

2內(nèi)切

1內(nèi)含

0|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2(r>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.2.當(dāng)兩圓外切時(shí),兩圓有一條內(nèi)公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓有一條外公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線.無論兩圓外切還是內(nèi)切,將兩圓方程(方程等號右邊是0的形式)左右兩邊直接作差,消去x2,y2得到兩圓的公切線方程.3.兩圓相交時(shí)公共弦的性質(zhì)(1)將兩圓方程直接作差,消去x2,y2得到兩圓公共弦所在直線方程;(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示過兩圓交點(diǎn)的圓系方程(不包括C2).1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)過圓外一點(diǎn)的直線與圓相離.(

)(2)在圓中最長的弦是直徑.(

)(3)若兩圓沒有公共點(diǎn),則兩圓一定外離.(

)(4)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(

)(5)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解,則直線與圓相切.(

)×√××√2.直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切C.相離 D.無法判斷√解析:圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離,所以直線與圓相切.故選B.3.直線x-y+3=0被圓(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦長等于(

)√4.圓O1:(x-1)2+y2=1與圓O2:x2+(y+2)2=4的位置關(guān)系是(

)A.外離 B.外切

C.相交 D.內(nèi)切√解析:圓心O1(1,0),半徑r1=1,圓心O2(0,-2),半徑r2=2,所以圓心距,r1+r2=3,r2-r1=1,所以r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即兩圓的位置關(guān)系為相交.故選C.5.圓x2+y2=5在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程為(

)A.x-2y+3=0 B.2x+y-4=0C.x+2y-5=0 D.2x-y-4=0√解析:圓心為O(0,0),kOP=2,故切線的斜率為,故切線方程為,即x+2y-5=0.故選C.02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系的判斷[例1](1)(多選題)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點(diǎn)A(a,b),則下列說法正確的是(

)A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上,則直線l與圓C相切√√√(2)圓C:x2+y2-6x-8y+21=0和直線l:kx-y+3-4k=0的位置關(guān)系是(

)A.相交、相切或相離 B.相交或相切C.相交 D.相切√解析:(2)圓C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圓心為C(3,4),半徑r=2.直線l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直線l過定點(diǎn)B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以點(diǎn)B(4,3)在圓C內(nèi),所以直線l與圓C相交.故選C.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法:(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程組,消元得一元二次方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交;若點(diǎn)在圓上,直線與圓可能相切,也可能相交.上述方法中最常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法更適用于動(dòng)直線問題.[針對訓(xùn)練](1)直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是(

)A.相交且過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心√解析:(1)圓心坐標(biāo)為(1,-1),半徑r=3,圓心到直線3x+4y+12=0的距離,又因?yàn)橹本€不過圓心,所以直線與圓相交但不過圓心.故選D.(2)已知圓C:x2+y2+2x-4y=0,直線l:2x-y-1=0,則圓C與直線l的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.相切C.相離 D.無法確定√解析:(2)x2+y2+2x-4y=0可化為(x+1)2+(y-2)2=5,考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用角度一弦長問題[例2]過點(diǎn)(-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B兩點(diǎn),如果|AB|=8,求直線l的方程.解:圓x2+y2+2x-4y-20=0化為(x+1)2+(y-2)2=25,圓心C(-1,2),半徑r=5,由圓的性質(zhì)可得,圓心到直線l的距離.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),x=-4滿足題意;②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x+4),即kx-y+4k=0.綜上所述,直線l的方程為x+4=0或5x+12y+20=0.直線和圓的相交弦長的兩種求法(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長

.根據(jù)弦長求直線方程時(shí)要注意驗(yàn)證斜率不存在的情況.解:圓C:(x-1)2+(y-2)2=4,所以圓心C(1,2),半徑r=2;角度二切線問題[例3]已知點(diǎn)P(1,-2),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4,求過點(diǎn)P的圓C的切線方程.所以點(diǎn)P在圓C外,顯然所求切線斜率存在,設(shè)切線方程為y+2=k(x-1),即kx-y-k-2=0,則圓心C到切線的距離為d=r,求過一點(diǎn)圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程聯(lián)立,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k.注意斜率不存在的情況.(2)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k.注意斜率不存在的情況.特別地,當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí),可直接利用“圓心與切點(diǎn)的連線垂直于切線”求切線方程.[針對訓(xùn)練](1)(角度一)已知圓C:x2+y2-6x+5=0,直線與圓C相交于M,N兩點(diǎn),則|MN|=

;

解析:(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,則圓的圓心為(3,0),半徑r=2,所以圓心(3,0)到直線x-3y+1=0的距離為(2)(角度二)若直線l:ax+by-3=0與圓M:x2+y2+4x-1=0相切于點(diǎn)P(-1,2),則直線l的方程為

.

x+2y-3=0解析:(2)根據(jù)題意,圓M:x2+y2+4x-1=0,即(x+2)2+y2=5,其圓心M(-2,0).直線l:ax+by-3=0與圓M:x2+y2+4x-1=0相切于點(diǎn)P(-1,2),則P在直線l上,且MP與直線l垂直.又由P在直線l上,則-a+2b-3=0,解得a=1,b=2,則直線l的方程為x+2y-3=0.考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系[例4](2024·山東青島調(diào)考)已知兩圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求證:圓C1和圓C2相交;(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.(2)解:將兩圓方程相減,得公共弦所在直線方程是4x+3y-23=0.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系.(2)當(dāng)兩圓相交時(shí),可利用將兩圓方程相減消去二次項(xiàng)的方法求得兩圓的公共弦所在直線的方程.[針對訓(xùn)練](2024·河北承德開學(xué)考)已知圓C1:x2