17.5反證法

課時(shí)目標(biāo)

1.通過實(shí)例體會(huì)反證法的含義.

2.掌握反證法證明命題的一般步驟，能用反證法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理證明.

3.借助實(shí)例感受反證法的思想.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)

從生活實(shí)例中體會(huì)反證法的方法步驟.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)

能用反證法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理證明.

課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

教學(xué)酒動(dòng)工

導(dǎo)入新課

在證明一些命題為真命題時(shí)，一般用直接證明的方法，但有時(shí)用間接的證明

方法可能更方便.反證法就是一種常用的間接證明方法.

?設(shè)計(jì)意圖：開門見山，直接引出本節(jié)課所學(xué).

教學(xué)活動(dòng)2

探究新知

在第九章中，我們已經(jīng)知道“一個(gè)三角形中最多有一個(gè)直角”這個(gè)結(jié)論.怎樣

證明它呢？

思考：該命題直接去證明，顯然比較麻煩，所以，我們?nèi)绾稳プC明呢？

學(xué)生初步說出解決問題的思路，假設(shè)有兩個(gè)直角的時(shí)候，不滿足三角形的內(nèi)

角和定理，此時(shí),教師可做出示范,引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

已知：如圖，4ABC.

求證：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一個(gè)直角.

證明：假設(shè)在△ABC中，有兩個(gè)（或三個(gè)）直角，不妨設(shè)NA=N3=90。.

?.?ZA+ZB=180°,

???NA+NB+NO180。.

這與“三角形的內(nèi)角和等于180?！毕嗝?

因此，三角形有兩個(gè)（或三個(gè)）直角的假設(shè)是不成立的.

所以，如果三角形含直角，那么它只能有一個(gè)直角.

＞設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生思考，教師規(guī)范過程，讓學(xué)生初步感受反證法的一般

過程.

教學(xué)活動(dòng)3

歸納總結(jié)

同學(xué)們，觀察老師的寫題思路，上面的證明過程，是先假設(shè)原命題結(jié)論不正

確，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推理論證，最后推出與學(xué)過的三角形內(nèi)角和

定理相矛盾的結(jié)果，因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，原結(jié)論是正確的.

這種證明命題的方法叫做反證法.

現(xiàn)在你能總結(jié)反證法的一般思路嗎？

學(xué)生思考，說出自己的想法，最后教師總結(jié).

用反證法證明一個(gè)命題是真命題的一般步驟：

第一步，假設(shè)命題的結(jié)論不成立.

第二步，從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概

念、基本事實(shí)，已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果.

第三步，由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.

＞設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生獨(dú)立思考，加深學(xué)生對(duì)反證法的理解.

教學(xué)活動(dòng)4

典例精講

例1用反證法證明平行線的性質(zhì)定理一：兩條平行線被第三條直線所截,

同位角相等.

已知：如圖，直線48〃。。，直線E尸分別與直線A8,CD交于點(diǎn)G,H,

Z1和N2是同位角.

求證：Z1=Z2.

思考：應(yīng)該假設(shè)什么？

證明：假設(shè)N1RN2.

過點(diǎn)G作直線使得NEG2N1.

?：/EGN=/\,.*MN〃C。（基本事實(shí)）.

又???AB〃CD（已知），

???過點(diǎn)G有兩條不同的直線AB和MN都與直線CD平行，

這與“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有旦只有一條直線與已知直線平行”相矛盾.

Z1,N2的假設(shè)是不成立的.

因此，Z1=Z2.

例2用反證法證明直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.

己知：如圖，在aABC和△A'8'C'中，ZC=ZCZ=9O°,AB=AB,AC=A,C,.

求證：△ABC絲△A'B'C'.

證明：假設(shè)△ABC與△ABC不全等，BPBC^BC.

不妨設(shè)8C<BC.如圖.在BC上截取C'D=CB,連接AT）.

在△ABC和△ARC中，

,,

：AC=A'CfZC=ZC,CB=C'D,

：.Xk'DC'(SAS).

???AB=/TQ（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

???AB=45'（已知）,

，A6=4'。（等量代換）.

NZT=NAD*（等邊對(duì)等角）.

???NA'DB，＜9（）。（三角形的內(nèi)角和定理），

即NC＜NADB（90。（三角形的外角大于和它不相鄰的內(nèi)角）.

這與NC，=90。相矛盾.

因此，。的假設(shè)不成立，即△ABC與△48。不全等的假設(shè)不成立.

所以，AABC出AA'B'C'.

＞設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用反證法對(duì)以前的知識(shí)進(jìn)行證明，加深學(xué)生對(duì)反證法

的理解.

教學(xué)活動(dòng)5

鞏固訓(xùn)練

1.用反證法證明：

（1）如果。?果0,那么小力中至少有一個(gè)等于那

（2）兩條直線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

證明：（1）假設(shè)H0且厚0,則。屏0,與ab=0相矛盾.

???假設(shè)不成立.，疥。或b=0.

（2）假設(shè)直線。與直線b相交沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)及兩個(gè)以上交點(diǎn).

若直線。與直線人沒有交點(diǎn)，則直線。與直線b平行，與兩直線相交矛盾;

若直線。與直線人有兩個(gè)及兩個(gè)以上交點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可知直

線。與直線重合，與兩條直線相交矛盾，綜上，假設(shè)不成立，所以直線。與直

線〃有且只有一個(gè)交點(diǎn).

2.已知：直線直線c與b相交，且c與〃不垂直.用反證法證明：。與

c相交.

證明：假設(shè)直線。與C不相交，即4〃C

上b,allc、

這與已知直線。與匕不垂直相矛盾，

?,?假設(shè)。與C不相交不成立.

??a與c相交.

?設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過習(xí)題的練習(xí)，能夠熟練利用反證法解決問題.

教學(xué)活動(dòng)6

課堂小結(jié)

反證法證明的?般步驟：

第一步，假設(shè)命題的結(jié)論不成立.

第二步，從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概

念、基本事實(shí)，已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果.

第三步，由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.

?設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的歸納總結(jié)，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理

解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)能力.

教學(xué)活動(dòng)7

隨堂小測(cè)

1.%。”的反面應(yīng)是（D）

A.a/hB.a>bC.a=bD.a=b或a>b

2.證明“在△ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角"，第一步應(yīng)假設(shè)（B）

A.三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角

B.三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角

C.三角形中沒有直角或鈍角

D.三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角

3.用反證法證明"三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60?！?，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角

形中（B）

A.有一個(gè)內(nèi)外小于60°B.每一個(gè)內(nèi)角都小于60。

C.有一個(gè)內(nèi)角大于60。D.每一個(gè)內(nèi)角都大于60。

4.用反證法證明”如果一個(gè)三角形沒有兩個(gè)相等的角，那么這個(gè)三角形不是

等腰三角形”的第一步是假設(shè)如果一個(gè)二角形沒有兩個(gè)相等的角，那么這個(gè)三

角形是等腰三角形.

5.完成下列證明.在△ABC中，如果NC是直角，那么N5一定是銳角.

證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則是直角或鈍角.

當(dāng)NB是一直角時(shí),則N4+N3+NO180。，這與三角形的內(nèi)角和

等于180。矛盾;

當(dāng)/B是鈍角時(shí),則NA+N8+NO180。，這與三角形的內(nèi)角和

等于180。矛盾.

綜上所述，假設(shè)不成立.

???如果NC是直角，那么NB一定是銳知.

?設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂檢測(cè)，查漏補(bǔ)缺.

隨堂練習(xí)

相關(guān)練習(xí).

課后作業(yè)

I.教材習(xí)題.

2.相關(guān)練習(xí).