2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第五章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知雙曲線(xiàn)C：V+E=i經(jīng)過(guò)點(diǎn)"（_2,指），則C的虛軸長(zhǎng)為（）

a

A.272B.2C.72D.1

1.【答案】A

【解析】由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)=1上，得4+9=1,解得。=-2,即雙曲線(xiàn)方程為/-二=1,

aa2

所以b=則C的虛軸長(zhǎng)為勸=2及.

故選：A.

2.直線(xiàn)4經(jīng)過(guò)人（0,0）,46,1）兩點(diǎn)，直線(xiàn)4的傾斜角是直線(xiàn)4的傾斜角大小的2倍，則，2的斜率為（）

A.GB.-x/3C.立D.一立

33

2.【答案】A

【解析】因?yàn)?的傾斜角。滿(mǎn)足｛=tana=J￡=立，二40,兀），所以解得

V3-036

所以4的傾斜角為其斜率為=6.

故選：A.

3.已知向量=若伍+人）1/>則，〃:（）

A.4B.3C.2D.I

3.【答案】B

【解析】因?yàn)椤?（1,肛所以d+B=（2,772-1,0），

又因?yàn)椋?+/?）'/?,所以（a+力）/=2xl+（"z-l）x（T）+0xl=0,

解得：m=3.

故選：B.

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次，且沒(méi)有出現(xiàn)并列的名

次.甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到冠軍.“對(duì)乙說(shuō)：“你雖然不是最差的，但你的名

次沒(méi)有甲的好從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列情況的種數(shù)為（）

A.12B.18C.27D.36

4.【答案】B

【解析】由題意可知共有乙得第4名和乙得第3名兩種情況：

當(dāng)乙得第4名,有C；.A；=I2種可能;

當(dāng)乙得第3名,有A；=6種可能,

故共有12+6=18種，故B1E確.

故選：B.

5.已知橢圓E：￡+=的左、右焦點(diǎn)分別為K，F(xiàn)2,焦距為2,過(guò)點(diǎn)吊且斜率不為0的直線(xiàn)

/與￡交于AI兩點(diǎn)，若A為E的上頂點(diǎn)，且|A同=|忻用，則E的方程為（）

AA.-r4--?--=I?B

549+P

x2y2

Cc.------F----=1D.—+y2=1

322-

5.【答案】A

【解析】由題知c=l,￡（T0）,A（0,b）,設(shè)由|A8|=g恒8|,

一3一352

所以4片=5耳即（_1,4）=5（/+1,）,。），得％=—a，y0=--b.

由3在橢圓上，得三十%=1,得"=5,

9a29b2

因?yàn)椤?1,/_〃=02,所以〃=4,

故E：—+^-=1.

54

故選：A.

6.6知直線(xiàn)3x+2y-6=0分別與蒼王軸交于點(diǎn)A,5,若直線(xiàn)x+y-1=。上存在一點(diǎn)C,使|C4|+|C8|最小,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

6.[答案】D

【解析】令y=0得％=2,令*=0得產(chǎn)3,所以A（2,0）,8（0,3）,

如圖，點(diǎn)A8在直線(xiàn)x+y—1=0的同側(cè),

設(shè)3（0,3）關(guān)于直線(xiàn)x+），-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為8'?萬(wàn)）,

b=I

解得…2,即9（一2,1）,

所以依m(xù)二|。同，若|G4|+|C5|最小,即|C4|十|C冏最小,

當(dāng)C夙A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|C4|+|C8l最小，即1cAMc用最小，

此時(shí)，&.=早；=一!，直線(xiàn)人"的方程為），=一4a一2）,

—2—244

1匕=2

,丁二一;（工一2）3（21]

由.4得」，即rCg}

7.點(diǎn)P是正方體AB8-4溢G僅的表面及其圍成的空間內(nèi)一點(diǎn)，已知正方體的棱長(zhǎng)為2,若ABAP=2,

AP與平面A4c。所成的角為30。，則點(diǎn)夕的軌跡的形狀是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)D.拋物線(xiàn)

7.【答案】C

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（My,z）,

則4（0,0,0）,4（2,0,0）,所以岫二（2,0,0）,A戶(hù)=（x,y,z）,

故A8-4P=2x=2，即x=l,所以點(diǎn)尸在面MMZS（四點(diǎn)均為所在邊的中點(diǎn)）,

過(guò)點(diǎn)〃作尸于點(diǎn)Q,易知PQUSfABCD,

即/PAQ=30,所以tanNPA。=名，即^=Z

化簡(jiǎn)得：T-y2=1,即點(diǎn)P的軌跡的形狀是雙曲線(xiàn),

故選：C.

9+>'2

8.一知橢圓C：=1包>/?>0）的離心率為g,左頂點(diǎn)是A,左、右焦點(diǎn)分別是K，F(xiàn)?,M是。在

第一象限上的一點(diǎn)，直線(xiàn)用人與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.若MF//AN,則直線(xiàn)MN的斜率為（）.

A.6B.立C.|D.巫

21127

8.【答案】A

【解析】

因?yàn)殡x心率為故可設(shè)a=2A,c=A（A>0）,故b=6k,

故橢圓方程為：上+匯=公，

43

IIII|A￡|1NE1

而|A用=〃-c=h優(yōu)耳|=2h故渴=萬(wàn)，因"Q/AN,故\謁\=5

故直線(xiàn)MN與x軸不垂直也不重合，

故可設(shè)MV:x=,〃），一攵，M（x，yJ,N（%,%），則）1=一2%,

由I：二、2s/2可得（4+3〃/）V-6〃依-9/=0,

3x+4y=\2k-'7

6km

金必=石病

一9k2

因￡在橢圓內(nèi)部，故A>0恒成立，且一丁f，

4+3m~

凹=一2%

2

濟(jì)—6km12km—9km,八2石

故-----7x--------7=--------因攵工0,故機(jī)=_2^_,

4+3機(jī)24+3/H24+3〃/5

19，275

"八號(hào)3舊3卮2石，k

止匕時(shí)），=------^―=——k,X=—^—kx———k=-

力4+”4452

5

故M在第一象限，符合條件，MN的斜率為工=正,

m2

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線(xiàn)［：）=依+2女-3,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)（-2,-3）

B.若直線(xiàn)/在x軸上的截距為1,則2=1

C.若直線(xiàn)/與直線(xiàn)2x+），-l=0垂直，則女=-!

2

D.若則直線(xiàn)/的傾斜角。的取值范圍為

9.【答案】AB

【解析】直線(xiàn)/：），=點(diǎn)+2"3=他+2）-3,令x+2=0即x=-2,得產(chǎn)-3,

所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)（-2,-3）,故A正確；

若直線(xiàn)/在X軸上的截距為1,則直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(1,0),代入直線(xiàn)/方程得0=k+2k-3,

解得后=1,故B正確；

若直線(xiàn)/與直線(xiàn)2工+)，一1=()垂直，則八(-2)=-1,解得故C不正確；

設(shè)直線(xiàn)/的傾斜角為。，則A=:aneNj5,

又。?0.71),所以由正切函數(shù)的單調(diào)性可知0W故D不正確：

故選：AB.

10.已知/(x)=(2-xj=4+4/+。242++a8f，貝U()

A.4+%+叼+…+/=1B.同+同+同+?一+同=重

C./(一1)除以5所得的余數(shù)是1D.%-6+生一生+…+6=3*

10.【答案】ACD

2

【解析】選項(xiàng)A,因?yàn)?2—kF=%+%x+a2x++c&f,

令x=l,得到《)+4+〃2+,+4=1，所以選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,因?yàn)?2-犬『二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為(+|=(2；2-(-力"=(-1)'€：；2-/(0WY8,〃cN),

由通項(xiàng)公式知，(2-工)8二項(xiàng)展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

所以同+同+同+…+同=一《+%-4++4，

由(2-xj=《)+4/+生工2+令x=0,得到劭=2，

令X=-1,得至Ij%-%+%-6+-+。8=3',

所以同+同+聞+?+h|=38-28,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

84443232,

選項(xiàng)C,因?yàn)?(-1)=3=9=(10-l)=1O-C；1O+C^10-Cjl0+l=10x(10-C!l10+C;10-Cj)+l,

所以/(T)除以5所得的余數(shù)是1,選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,令工=-1,得到的-4+的一堂++%=3=

所以選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

11.已知拋物線(xiàn)。：/一4彳的焦點(diǎn)為凡A,5都是。上的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線(xiàn)段AS的中點(diǎn)為N,過(guò)N

作。的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為O,則（）

A.當(dāng)F為△/。8的重心時(shí)，AB1B.當(dāng)|AB|=10時(shí)，|￡>N|的最大值為5

C.當(dāng)［48|=10時(shí)，|ON|的最小值為5D.當(dāng)Ak=3以時(shí)，直線(xiàn)A8的傾斜角為三或g

11.【答案】ACD

【解析】

設(shè),y）,8（馬,必），。的焦點(diǎn)為尸（I，°），

當(dāng)戶(hù)為VAO3的重心時(shí)，由重心坐標(biāo)公式得<+：+°=0,得）1=-%，

則A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以A8_Zx軸，A正確；

分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為A，4，

當(dāng)|崗=10時(shí)，產(chǎn)|十忸曰=|例|+|四|=2|DN|,

WiJ|D/V|>l|AB|=5,所以|。兇的最小值為5,所以B錯(cuò)誤，C正確；

當(dāng)A/=3F8且點(diǎn)A在第一象限時(shí)，設(shè)忸目=機(jī)，則|4戶(hù)|=3〃“例|=3〃7,忸叫=〃7,

過(guò)點(diǎn)3作垂足為〃，

則|A//|=|A411TAM=|例卜忸4|=竊7.|陰=|"1+|明=癡，

則cosN/MA—微—g,則從而更線(xiàn)AB的傾斜角為鼻；

2兀

當(dāng)AF=3用且點(diǎn)〃在第一象限時(shí)，同理可得直線(xiàn)AB的傾斜角為與，D正確.

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若直線(xiàn)4：〃2r+2y+3—6=0與直線(xiàn)2%+鄧，+1=0平行，貝小與6間的距離為.

12.【答案】巫

2

【解析】：.nr-4=0>.即"?=土2,

當(dāng)?》=2時(shí)，4與一重合,不合題意，，機(jī)=一2,

所以?xún)砂倬€(xiàn)方程為-2x+2y+5=0與-2x+2y-1=0,

??.4與4間的距離4=燈=吧.

2V22

故答案為：逑.

2

13.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PF=FD,PE=2EB,設(shè)平面4石廠與直線(xiàn)PC交于點(diǎn)G,PG=2GC,

貝UA=.

【解析】因?yàn)锳CnAB+BCnQB+ADnPB+AD—AA，

.2

因?yàn)镻F=FD,PE=2EB，所以P。=2P￡P(guān)E=-PB,

3.

所以PC=±PE+2PF-PA,又PG=2GC,

2

132?2y

所以PG=3PC,所以。G=因?yàn)锳E,￡G共面，

A+12(z+l)z+lx+1

所以n十=?―/~7=］，解得4="|.

2(2+1)2+12+13

2

故答案為：—■

14.動(dòng)點(diǎn)尸是兩直線(xiàn)收—>+2=。與工+"-2=。的交點(diǎn)，過(guò)尸作圓C：(x+2『+(.y+2『=l的兩條切線(xiàn)PA,P8,

切點(diǎn)分別為A,B,則|PC|?|A網(wǎng)的最大值為.

14.【答案】2而

【解析】圓的幾何性質(zhì)可知，PCA.AB,

四邊形Heap的面積為51Pqi叫，SACBP=2SPAC=-\PC\\AB\,

4XX2

所以IPC|IAB\=4sP4C=1MI0川=2^|PC|-1

直線(xiàn)4：區(qū)一y+2=0,過(guò)定點(diǎn)M(0,2),直線(xiàn)廣工+砂一2=0過(guò)定點(diǎn)N(2,0),

且兩直線(xiàn)的系數(shù)滿(mǎn)足Axl-A=o,所以4山，

所以點(diǎn)尸的軌跡是以MN為直徑的圓，圓心是?！?，半徑為:|MV|=忘，

所以|PC|的最大值為7(-2-1)2+(-2-1)2+夜=4夜，

所以|PC||A8|的最大值為2寂二?=2同.

故答案為：2\/JT.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

已知二項(xiàng)式卜工-2)(〃e

N”j的展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和比各項(xiàng)系數(shù)之和小240.

(1)求〃的值及展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

[2)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng).

15.(13分)

【解析】(1)令X=l,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(5-1)"=4",各二項(xiàng)式系數(shù)和為2"

則4"-2"=240，解得〃=4,

展開(kāi)式有5項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第3項(xiàng)7i=C：(5x)[-9]=150x;

(2)二項(xiàng)式5x-7=)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為*=C：(5X)4-^--^1=C75"I)/,

令4-二wZ,且/*=0,1,2,3,4,解得廠=0,2,4,

2

則展開(kāi)式中含匯的有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別為6257,150%,%-2.

16.（15分）

如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體AEC力中，M是線(xiàn)段8D的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段上靠近修的三等分

點(diǎn).

⑴求AC與例N所成角的余弦值;

⑵求點(diǎn)。到直線(xiàn)的距離.

16.（15分）

【解析】（I）以。為原點(diǎn)，力兒。。，。2為x，）'，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳(6,0,6),C(0,6,0),則4c=(-6,6,-6),

因?yàn)镸(3,3,0),N(6,6,4),則MN=(3,3,4),

記直線(xiàn)ACMN所成角為

\\C-MN24_2V102

故COS0=cos

1AqMN6V3-V34~51

DMMN18

(2)因?yàn)?(0,0,0),則0M=(3,3,0),故

5/34

則點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離d=IA//半羋］

\〔MJ

17.(15分)

已知圓C的半徑為3,圓心。在射線(xiàn)），=-2x（xt0）上，直線(xiàn)工+），-1=0被圓。截得的弦K為3頁(yè).

⑴求圓C方程：

⑵過(guò)圓心的直線(xiàn)/與圓C交于M、N兩點(diǎn)，月sOMN的面積是6（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)，的方程.

17.（15分）

【解析】（1）設(shè)圓心）（。？0），則圓的方程為（]-?！?（/2〃）2=9

???皿卜（旬,

??.4=2或-4（舍去），

二?圓的方程為（工一2『+（），+4）2=9.

2S|2

（2）由題意得|MN|=6,則點(diǎn)。到直線(xiàn)/的距離〃=下前=7=2,

①當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)！方程為x=2,

原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為"=2,滿(mǎn)足題意.

此時(shí)直線(xiàn)/方程為x=2.

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)I的方程為y+4=A（x-2）,

-2A-4|=2,解得女=一%

原點(diǎn)0到直線(xiàn)I的距離d=

VP"+T

3

此時(shí)直線(xiàn)/方程為），+4=-：（x-2）,即3x+4y+10=0.

綜上所述，直線(xiàn)/的方程為x=2或3x+4y+10=0.

18.（17分）

如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)C:f-2i=|的左頂點(diǎn)為點(diǎn)/，，直線(xiàn)/：＞=履+用與雙曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，且A、

2

B兩點(diǎn)均異于點(diǎn)P.

⑴求點(diǎn)P的坐標(biāo)，及雙曲線(xiàn)C的離心率：

[2）若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為求直線(xiàn)/的方程；

⑶若以線(xiàn)段AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)尸，試判斷直線(xiàn)/是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)

定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(17分)

【解析】(1)由題可得：a-\,b=y/2?c=yja2+b2=>/3>

所以雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)為P(-1,0),雙曲線(xiàn)的離心率為：e=￡=J5.

a

(2)由《29小2消去)‘整理得,-2小2叱+(〃八2)"

2222

則A=(2km)-4(w+2)伏2-2)=8(m+2-k)>0t且4工±應(yīng),

設(shè)4不必),5(如％)，則3+再=會(huì)招，

?X—"乙

2k+m=1

由M(2,l)為A8的中點(diǎn)，可得、2A7〃，，

[k--2

解得4=4,/〃=一7,滿(mǎn)足△>(),

所以直線(xiàn)/的方程為)，=以-7,即4x-y-7=0.

(3)由(2)知，*+,二一"，中2="：+2.且PA=(x+l,y),P8=(w+l,)，2)，

'k~—2k~—2

則P4?麗=(%]+1)(%2+1)4-yxy2=(%i4-l)(x2+1)4-(kxx+m)(kx2+m)

22

=(k+1)x^2+(km+l)(xx+x2)+(m+1)

八)、機(jī)2+2-2km、

92

="+1)?k2_2++1)-fcZ_2+(m+1)

3kz-2km-mz_(3k+m)[k-m')

-k2-2-k2-2，

因以"為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P,則有P4.PA=0，

即(3k+m)(k—m)=0,解得〃?=%或〃?=—3k,

當(dāng)加=2時(shí),直線(xiàn)1y=/x+D過(guò)尸(TO),不符合題意;

當(dāng)m=-3k時(shí),直線(xiàn)/：y=Mx-3)過(guò)定點(diǎn)(3,0),

所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).

19.(17分)

(新情景)在平面直角坐標(biāo)系。一個(gè)中，任何一條直線(xiàn)都可以用磔+勿+c=0(其中

。，4CCR/+/+/HO)表示，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，我們可以確定一條直線(xiàn)，例如：已知點(diǎn)323)

在直線(xiàn)，上，e=(2,l)是直線(xiàn)I的一個(gè)方向向量，則直線(xiàn)I上任意一點(diǎn)Qx,y)滿(mǎn)足PQ//e,化簡(jiǎn)得直線(xiàn)/的方

程為x-2y+4=0.而在空間直角坐標(biāo)系。-中，任何一個(gè)-平面的方程都可以表示成"+b+cz+d=0

(其中且/+小+C2H0),類(lèi)似的，在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)半血的法網(wǎng)量也可以確

定一個(gè)平面.

⑴若點(diǎn)尸(1,0,0),G(2」,l),H(0,2,0),求平面尸GH的方程;

⑵求證：n=(g〃,c)是平面av+by+cz+d=0(?2+b~+c2*0i的一個(gè)法向量；

⑶已知某平行六面體ABCD-ABCR,平面A網(wǎng)A的方程為2x-y+2z+l=0,平面BCC國(guó)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

/?(0,1,2),5(1,1,3),7(2,