九年級數(shù)學上學期期中模擬卷?培優(yōu)卷【滬教版】

全解全析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）

1.如圖,已知A8IICDIIEF,那么下列結論正確的是（）

【答案】A

【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可.

【詳解】解：-ABWCDWEF,

AD_BC_

：''DF='CEf

故選項B,C,D錯誤，

故選：A.

2.如圖，已知在平行四邊形4BCD中，￡是邊4。上一點，AE=2ED,射線8E交邊CD的延長線于點F,設

AB=m,BC=n,那么向量而用向量而和正的線性組合表示為（）

A.2m4-nB.—2m4-nC.|沆+五D.—|m4-n

【答案】D

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量的和差運算等知識點；由平行四

邊形的性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)得DF=/B,則而=一；而，從而而=一|而=一手H,則麗=麗+

而即可求解.

【詳解】解：???在平行四邊形A8CD中，ABWDC,CD=AB,

：.4DFEFABE,~CD=-~AB,

DFDE

'''AE=帶

-AE=2ED,

DE__

""AE=2,

DF1

''~AE_2*

即。/二/乙

:.DF=—^AB=-g沅，

:^CF=~CD+~DF=-JB-^AB=-^AB=-jn

.??旃=說+而=元-折

故選：D.

3.（24-25九年級上?山西臨汾?期中）如圖，已知41=42,那么添加下列一個條件后，不能判定△/IBCs^AOE

的是（）

CABAC

B.ZB=Z.ADEc—=—D絲=里

ADAEADDE

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的判定定理.先根據(jù)工1=42,求出乙。力￡=48力。，再根據(jù)相似三角形的

判定定理，逐項分析，即可求解.

【詳解】解：?.21=42,

：.Z.DAE=Z.BAC,

A、添力||乙C=4E,

?：Z-DAE=Z.BAC,Z.C=乙E,

???△48C?△4DE,故A選項不符合題意；

B、添力口28=Z.ADE,

,：Z.DAE=Z.BAC,乙B=Z-ADE,

：.LABC-AADE,故B選項不符合題意;

一加4r484c

C、添加1而=而,

AB_AC

,：Z.DAE=Z.BAC,~AD~~AEy

:qABC?4ADE,故C選項不符合題意;

D、添加箔=蔡:，不能判定△ABC故D選項符合題意.

ADUCADJ

故選：D.

4.（2025?陜西西安?模擬預測）已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過匕（一3,y。,匕（一1,及），。3（2,乃），。4（3,%），

其中yi＞及=丫4，則力，丫2，中最值情況是（）

A.yi最大，丫3最小B.及最小，yi最大

C.V3最小，丁2最大D.月最小，丫3最大

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題時要熟練掌握并能靈活運

用二次函數(shù)的性質(zhì)是關鍵.依據(jù)題意，由圖象過。2（—1,丫2）和。4（3》4），可得拋物線的對稱軸是直線％=

=1，然后分拋物線開口向上與開口向下進行討論分析可以判斷得解.

【詳解】解:由題意,圖象過「2（—1"2）和24（3》4），

拋物線的對稱軸是直線x=字=1，

若拋物線開n向上，則頂點為最低點，離對稱軸越遠的點函數(shù)值越大，

P式—3,yi）到對稱軸的距離為|-3—11=4,P2（—1了2）和P4（324）到對稱軸的距離均為2,

又由于開口向上，

二月最大，H.y2=、4，

對于23（2,為），其到對稱軸的距離為|2—1|=I,是四個點中最近的，

二為最小，

-,?力＞=74＞即%最大，丫3最小，

若拋物線開口向下，則頂點為最高點，但此時yi應小于以，與條件矛盾，

綜上，拋物線開口向上時結論成立，

二月最大，丫3最小.

故選：A.

5.（2023?陜西?中考真題）如圖，在6x7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.若點、4,B,C都在格點

D.當

c.l4

【答案】A

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助

線是解題的關鍵.連接4。，先利用勾股定理的逆定理證明△4EO是直角三角形，從而可得44）8=90。，

然后在田△48。中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【詳解】解：如圖:連接

由題意得：AD2=22+22=8,

BD1=32+32=18,

AB2=12+52=26,

.-.AD2+BD2=AB2,

.?.△A8D是直角三角形,

.'.LADB=90°,

在內(nèi)△480中，AD=啊=2a,AB=V26,

?AD2V22V13

.?.sinB=—=-==——,

AB>/2613

故選:A.

6.（2025?江蘇南京?三模）如圖，在等邊△48。中，點D,E分別是邊48、上的動點，且BD=2CE.以

。后為邊作等邊△OEF，使點力與點F在直線1同側(cè)，。產(chǎn)交力C于點C,EF交AC于點H.給出下面四個結論;

①乙BED=乙4HF；

②AD-DF=BEDG；

③若ED148,^\DFLAC；

④若“：BE=1:2,則四邊形DBEF是菱形.

上述結論中.所有正確結論的序號是（）

C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合運用相關

知識是解題的關鍵

①正確.利用等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)證明即可：②正確.證明△￡08?ADGA,可

得結論；③正確.證明乙4G。=90。即可；④正確.證明四邊形四邊相等即可.

【詳解】解：???△48C,ADEF都是等邊三角形，

zACB=ZDEF=60°,

vLBEF=乙BED+乙DEF=/-ACB+乙CHE,

LBED=乙CHE,

vLAHF=乙CHE,

：ZBED=LAHF,故①正確：

?SB=Z.BAC=乙EDF=60°,

乙BDE十2BED=120°,乙BDE+Z.ADG=120°,

:?乙BED=Z.ADG,

EDB?△DGA,

筆=需^AD-DE=BE-DG,

bGAD

vDE-DF,

：.MDF=BEDG；故②正下角；

???△/WC是等邊三角形,

=Z-BAC=60°?

vED1AB,

ALADE=90°,

???△OEF是等邊三角形，

ALEDF=60°,

ALADG=30°,

.??/AG。=90°,即OF1AC,故③正確；

???CE:BE=1:2

BE=2CE,

???BD=2CE,

???BD=BE,

vzB=60°,

BDE是等邊三角形,

:.BE=BD=DE=EF=DF,

???四邊形D8EF是菱形，故④正確.

故選：D.

二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，滿分48分）

7.（24-25九年級上?上海靜安?期中）計算:2（a+2）-3（a-b）-b=.

【答案】-a+4b

【分析】本題考查了平面向量的知識，根據(jù)平面向量的加減運算法則求解即可求得答案，熟悉相關性質(zhì)是

解題的關鍵.

【詳解】解：2（a+b）-3（a-b）-b=2a+2b-3a+3b-b=-a+4b

故答案為：一五+4%

8.（2025?江蘇鹽城?中考真題）已知二次函數(shù)y=%2—2%—3,當自變量%滿足0WxW4時，y的取值范圍

是一

【答案】-4WyW5

【分析】本題主要考杳了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵.

先求出拋物線的對稱軸，再求出最大值和最小值即可求解y的取值范圍.

【詳解】解：y=x2-2x-3=(x—l)2-4,

.??函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,開口向上,

???0<%<4,

二當X=O時，y=-3;無=4時，y=5,當X=1時，Vmin=-4,

??.y的取值范圍是：一4工y工5,

故答案為：-4Wy&5.

9.如圖，在中，P,。分別為力B,4c的中點.若S&4PQ=1,則S四邊形PBCQ=

【答案】3

【分析】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考?？碱}型.

利用三角形中位線定理以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：?:P,Q分別為48,4c的中點,

PQWBC,PQ=迦,

APQ?AABC,

.SfPQ二口,二1

"一\27-4'

VSAAPQ=1,

S&ABC=4,

二S四邊形P8CQ=S〉ABC-S&APQ=3，

故答案為：3.

10.(24-25九年級上?上海松江?期中)已知，在以。為坐標原點的直角坐標平面內(nèi)有一點P(3，D，如果

與y軸正半軸的夾角為%那么4。的余切值為—.

【答案】\

【分析】本題主要考查了解直角三角形、坐標與圖形等知識點，能根據(jù)題意畫出示意圖及熟知余切的定義

是解題的關鍵.

先根據(jù)題意畫出圖形，再結合余切的定義求解即可.

【詳解】解：如圖：過點P作y軸的垂線，垂足為

：.MP=3,MO=1.

在中，cot^-POM==77,即=

INjOJ

故答案為:g.

11.（2025?山西臨汾?二模）善，從言從羊，木義“吉祥〃.借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“善〃端莊穩(wěn)

重.舒展美觀.已知一條分割線的端點48分別在習字格的邊MP,NQ上，且力BIIMN,“善”字的筆畫”

的位置在AB的黃金分割點。處，且能二等，若MN=4cm,則"的長為<

【答案】（2訴一2）

【分析】本題考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)，理解黃金分割知識是解題的關鍵,

根據(jù)矩形的性質(zhì)求出A8的長度，再代入即可.

【洋解】解：???四邊形NMPQ為正方形,

"MN=Z.MNQ=90°,

又MBIIMN,

??.△PMN+4M4C=180°,

.'./.MAC=90°,

四邊形MNB力是矩形,

?：MN=AB=4cm,

,BC_V5-1

"AB~2'

.封=與1x4=2V5-2（cm）.

故答案為：2V5-2.

12.（2025?青海玉樹?模擬預測）在RtZSABC中，4c=90。，cosB=*若AB=14,那么BC=.

【答案】10

【分析】本題考查解直角三角形，根據(jù)題意得到相應變之比即可得到答案；

【詳解】解：???RS4BC中,ZC=9O°,cosB=/cosB=/1O

BC5

二方=于

"AB=14,

BC=10.

故答案為：10.

13.（2023?江蘇泰州?中考真題）二次函數(shù)y=x2+3%+72的圖像與x軸有一個交點在歹軸右側(cè)，則〃的值

可以是（填一個值即可）

【答案】一3（答案不唯一）

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求解.

【詳解】解：設二次函數(shù)、=/+3工+71的圖象與乃軸交點的橫坐標為勺、x2,

即二元一次方程%2+3x+n=0的根為底、x2?

由根與系數(shù)的關系得：％1+%2=-3,無1?工2=幾，

?.?一次函數(shù)y=x2+3x+幾的圖象與％軸有一個交點在y軸右側(cè)，

:?乂1，%2為異號，

n<0,

故答案為：一3（答案不唯一）.

【點睛】本題考查拋物線與％軸的交點，根與系數(shù)之間的關系，關鍵是根與系數(shù)之間的關系的應用.

14.（2025九年級上?上海?專題練習）如圖梯形ABC。中，AB\\CD.AC交BD于點0,AB=2CD.已知而,

AD,如用而，而表示而，那么而=.

【答案】一胡-癡

【分析】本題考查向量的計算，熟練掌握二角形法則，是解題的關鍵，根據(jù)向量的二角形法則可知由二而

+而,根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可知而二-;說，麗=3麗.根據(jù)向量的三角形法則可知

~DB=-AD+AB,代入即可求解.

【詳解】解："AB||CD,AB=2CD.

...CD=-^ABt△DOC?△BOA,

DOCD1

=7B=29

.?.DO=竺氏

.?.而=那.

CO=CD+DO=-^AB+初=-^AB+*-而+確=一^AB-癡.

故答案為：一;而一：而.

15.已知菱形A8CD的對角線交于點。，且48=2,4B4D=60°,現(xiàn)將菱形繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)90°至&B￡

。1，則兩個菱形重合部分的面積為.

【答案】6-2V3/-2V3+6

【分析】根據(jù)已知可得重疊部分是各邊長相等的八邊形，求得其一邊長，再求出E"口。8的長度，重疊部分

面積可以分成八等份，求得△尸8。的面積即可求出答案.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：重疊部分為各邊長相等的八邊形,

?，.BF=FB\,

???菱形48C0的?個內(nèi)角是60°,將它繞對角線的交點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到菱形4181cl01，

二0=48/10=30°,C\D\=AB=2t

=60°,

???LCyFB=LABAy—Z.B|CiO=30\

3B=BF=FBI，

.oOBOB1

vs,n3O0n=^=T=?

OB=1=B]0=。。=0Z)i，

???CiB=BF=FBi=y/3—It

?*'C\F—C$1—FBi—2—(V3—1)=3—V3?

過點歹作。B的垂線交于￡連接OF,

...FE=/=等，

.c—1乂3一61_3一代

1xvx

3"80-2------

.-?重疊部分的面積=8X3二夕=6—2班，

4

故答案為：6-2V3.

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形以及三角形面積的計算方法，通過分析菱

形旋轉(zhuǎn)后與原菱形重合部分的形狀和面積，利用三角形全等和面積公式求解是解題的關鍵.

16.（2026?江西?模擬預測）已知在RtZXABC中，AB=6,^BAC=30°,。為直線力B上一點，且BP=BC,

則CP的長為—.

【答案】2后，36或3

【分析】本題主要考查了直角一角形的性質(zhì)、勾股定理以及分類討論思想的應用，關鍵在于正確分析點P的

位置，并利用幾何關系求解.

分乙40=90。和Z4C8=90。兩種情況討論，同時要分點尸在線段48上和線段4B的延長線上兩種情況，結合

圖形逐一求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，RtZkABC的直角頂點不確定,

，需分乙ABC=90。和〃=90。兩種情況討論.

①當乙48c=90。時，如圖⑴，滿足題意的點P有兩個，

在直線A8上點8的兩側(cè)，分別記為點Pi，P2.

AB=6,ABAC=30°,

BC=ABxtan30°=2V3,

BPi=BP2=BC=2V3,

：?CPi=CP2=2V6.

圖⑴

②當44cB=90。時，如圖(2),滿足題意的點。有兩個，在直線4B上點8的兩側(cè)，分別記為點P3,「4.

.?.8C=Z18xsin300=3,

4c=48xcos30。=3百，418c=60。.

???BP3=BC,

???ZP3=；￡ABC=30°=/-BAC,

CP3=AC=373.

v8P4=BC,/.ABC=60°,

???△BCP4是等邊三角形，

:.CP4=3.

綜上，CP的長為2e、36或3.

故答案為：2瓜3百或3.

17.（2025?江蘇蘇州?二模）在等提中，AB=AC,4。是邊BC上的高，將線段/。繞著點。逆時針旋

轉(zhuǎn)，點A旋轉(zhuǎn)到點E,ED與邊AB交于點尸,且落=：，如果△4FE與△DF3相似，那么等的值為_________.

UI*乙/115

【答案】李

4

【分析】過點。作DG1AE于點G,交AB于點H,先判斷出乙EAF＜得△AEF凡由相似三角形的

性質(zhì)得，二絡結合等腰三角形的性質(zhì)，由相似三角形的判定方法得△。?/?△/皿由相似三角形的性

質(zhì)噴=*=黑，設EF=3a,DF=2a,則4D=DE=5a,*普=翳，如?整理得

AF-FH=4a2,AF-BF=6a2,化簡得￡=誓=2設FH=2b,BF=3b,可得7b?2b=4a2,即可求

or6a43

解.

【詳解】解：過點。作。G_LAE于點G,交AB于點H,

乙DGE=90°,

AD1BC,AB=AC,

???LB+乙BAD=90°,

/.BAD=Z.CAD,

LEAF<乙B,

?:乙BFD=N力/E,△力FE與△DFB相彳以,

:AAEFFDBF,

二zE=Z.B,

空—竺

~BF~'DF'

.BF_DF

A~EF=~AF"

由旋轉(zhuǎn)得：OE=AO,

:.LE=Z.DAG,

乙FDH=Z.ADG,

???LDAG+/-BAD=90°,

AWAG+/-CAD=90°,

??./CAE=90。，

LCAE=乙DGE=90°,

DG\\AC,

A/.BAD=Z.CAD=Z.ADG,

Z.BDH=4

:.LB=Z.BDH,

乙FDH=乙BAD,

??.BH=DH,

：.AH=DH=BH=^AB,

■:LDFH=NA尸D,

：4DFHMAFD,

OFFHDH

"'~AF~'FD~而’

??FE—3—

?DF~2f

???設EF=3a,DF=2a,

則4。=DE=5a,

2aFHDH

:.—=---=-----,

AF2a5a

B￡_2a

"3a~AF'

2

AF-FH=4at

AF-BF=6a2

FH_4a2_2

於一商一

:.設F"=2b,BF=3b,

:.BH=FH+BF=5b,

.'.AB=2BH=10b,

DH=AH=5bf

.-.AF=AH+FH=7b,

7b-2b=4a2,

解得：a=^-b（負值已舍），

,"_Sa__5x—b_VN

..布一前一意~

故答案為：平.

4

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三箱形的判定及性質(zhì)，能熟練利用相似三角形

的性質(zhì)進行求解是解題的關鍵.

18.（2025,江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，在等腰直角三角形力3C中，LC=90°,AC=BC=S,。是4?的中

點，M是邊4C上的動點，作DNJ.OM,交BC于點N,延長MO到點P,使得OP=2M。.當△PNB面枳最大

時，的長等于.

【答案】2

【分析】連接取8。的中點Q,連接PQ并延長交8C于點R證明三得到AM=CN,證

明A/IOM?△QOP,得到PQIIAM,AM=2PQ,進而得到PE_L8C,推出△8EQ為等腰直角三角形，求出

BE=EQ=爭（2=qBD=2,設PQ=x,則：CN=AM=2x,PE=x+2,根據(jù)△PNB面積=g

BNPE,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.

【詳解】解：連接CD,取BD的中點Q,連接PQ并延長交BC于點E,

c

vzC=90°,AC=BC=8,。是48的中點，

.'.AB=V2AC=8乃,/4=Z.CBA=45°,CO=[AB=AD=BD=49，^.ACD=乙BCD=0,CD工AB,

.'.LADM+乙CDM=90°,

?:DM1.DN,

.?.乙CDN+乙CDM=90°,

WDN=^,ADM,

△40M三△CON,

.-.AM=CN,

???Q為8。的中點.

,-.DQ=^BD=^AD,

..?DP=|MD,

MDADr

???/=麗=2,

?：Z.ADM=乙PDQ,

???△ADMQDP,

AM

=￡PQD,-=2,

.??PQII/1M,AM=2PQ,

.kPEB=Z.ACB=90。，即：PELBC,

?:乙CBA=45°,

??.△BEQ為等腰直角三角形，

:.BE=EQ=當BQ=牛80=2,

設PQ=%,則：CN=AM=2x,PE=x+2,

:.BN=BC-CN=8-2xt

:.△PNB面積=\BNPE=1(R-2r)(r4-2)=-x24-2x+8=-(x-l)2+9,

...當X=I時，△PN8面積的面積最大；

此時AM=2：

故答案為：2.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，斜邊上的中線，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似

三角形的判定性質(zhì)，二次函數(shù)求最值，熟練掌握相關知識點，合理添加輔助線，確定動點的位置，將三角

形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共7小題，滿分78分)

19.(2025?四川內(nèi)江?一模)如圖，四邊形為8co為菱形，點E在AC的延長線上，^ACD=Z.ABE.

⑴求證：

(2)當48=6,4。=4時,求SMCE

【答案】⑴見解析

(2)1072

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理.

(1)證明4=可得乙4BE=2BC4,即可求證；

(2)連接3D交AC于點O,根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理可得。8=4近，再由△ABC?△4EB,可得

AE=9,從而得到CE=4E-4c=5,即可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC0為菱形，

:.BC=CD=AD=AB,AB\\CD,

...△ABC^△CDA,Z.ACD=Z.BAC,

：.LACD=Z-ACB,

：.Z.ACD=Z.BCA,

?：Z.ACD=Z-ABE,

：.Z.ABE=Z.BCA,

?"BAC=Z.BAE,

：.HABC

（2）解：如圖，連接8。交AC于點O,

???四邊形械。為菱形，AC=4,

：.AC1BD.OA=^AC=2,

-AB=6,

...OB=7AB2-0型=上-22=4VL

ABAC64

二族=布，即Hn布

ME=9,

:.CE=AE-AC=5,

:.SABCE~；CEx°8=；x5x4V?=10V2.

20.（24-25九年級上?上海?階段練習）如圖，在梯形4BC0中，4811c。，點E是CD的中點，且AC

（1）若48=a,AD=h.則C￡>=,FC=:

⑵請在圖中作出而在五、3方向上的分向量.

【答案】⑴-苦、（+貨;

（2）見解析.

【分析】本題考查作圖復雜作圖，平面向量，三角形法則，平行四邊形法則等知識，解題的關鍵是掌握三

角形法則，平行四邊形法則.

（1）利用平行向量的性質(zhì)，以及三角形法則求解即可;

(2)利用平行四邊形法則畫出圖形即可.

【詳解】⑴解:-AB||CD,EC=lAB,

'.EC=

???點￡是。。的中點，

:.DC=2EC=弱，

.'.CD.=-2EC.=-^4aT,

-ABIICD,

??.△ABF?ACEF,

竺—竺_絲_2

***C￡='CF=~CE=51

:.FC=

■‘1

'：AC=AD+DC,

，?TA

??.AC=b+-a

??.FC='\+"5)/=%J。+孤/

故答案為：一晶9五+/；

奇、就分別是標在乙方方向上的分向量.

21.(2025?北京?模擬預測)如圖，在菱形A8CD中，對角線力C與BD交于點0,過點。作。EIL4C,交8c的延

長線于點E,C/平分NDCE交DE于點凡

8CE

⑴求證：四邊形。C/D是矩形；

4

(2)若力8=10,tanE=求。尸的長.

【答案】⑴證明見解析；

[2}CF=8.

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等

知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

(1)由四邊形力BCD是菱形,則48IICD,ACLBD,80平分〃BC,所以UBC=5?E,Z.COD=90°,

^DBC=^ABC,從而可證"CE,所以80ICF,證明四邊形0"0是平行四邊形，又

^COD=90°,故有四邊形OCFD是矩形：

(2)由(1)知四邊形。CFO是矩形，則4DFC=zCFE=90。，由tan￡=M=1設CF=4k,則斯=3匕

CtO

證明△OCne^EC"(ASA),所以=C。=八。=10,然后通過勾股定理即可求解.

【詳解】⑴證明：?.?四邊形力BC。是菱形，

.\A8WCD,ACLBD,80平分々48C,

.?.乙ABC=LDCE,Z.COD=90°,LDBC=^ABC,

???CF平分iDCE,

:.乙FCE=3乙DCE,

"DBC=乙FCE,

.'.BDWCF,

?:DE\\AC,

???四邊形。。尸D是平行四邊形，

“COD=90°,

???四邊形OC"。是矩形；

(2)解：由(1)知四邊形。C"D是矩形，

"DFC=乙CFE=90°,

在RSCFE中，tanF=

設C?=4匕則EF=3匕

???CF平分匕OCE交OE于點F,CF1DE,

“DCF=乙ECF,乙DFC=乙EFC,

?:CF=CF,

:.△DCF三△ECF(ASA),

:.CE=CD=AB=10,

在RSCEF中,由勾股定理,^CF2+EF2=CE2,

??.(4幻2+(3k)2=102,

解得k=2(負值已舍去)，

.'.CF=8.

22.（2024?江蘇宿遷?三模）某小區(qū)為了方便業(yè)主，新建一個電動自行車車棚（如圖1）,其側(cè)面的示意圖如圖

2所示，測得主立柱的一段48=1.2m,支柱DE的底端。到4的距離4。=0.6m,頂棚尸處到支柱底端。的水

平距離D"=1.4m,在8處分別測得E處的仰角為50。，尸處的仰角為26.5。.

圖1圖2

⑴求支柱DE的高；

(2)求頂棚F處離地面的高度F”.(參考數(shù)據(jù):sin50°?0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.19,sin

26.5。*0.45,cos26.5°?0.89,tan26.5°*0,50,結果精確到0.1m)

【答案】（1）1.9m

（2）2.2m

【分析】本題考查解直角三角形的應川-仰角俯角問題，根據(jù)題H的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線

構造直角三角形是解題的關鍵.

（1）過點8作BMLDE,垂足為M,在RtAEBM中，求出EM即可解決問題；

（2）延長8M交尸”與點N,可得6N1FH,在RtA/BN中，求出HV即可解決問題.

【詳解】（1）解：過點B作BMJLDE,垂足為M,

圖2

出題意可知，四邊形/18M〃是矩形，

???BM=AD=0.6,DM=AB=1.2,

在心△8EM中，

MF

tai叱M8E=―,

MD

:.ME==0.6xtan50°x0.7,

:.DE=DM+ME=1.2+0.71x1.9,

二支柱OE的高為1.9m.

(2)延長BM交F”與點N,可得SN_LFH,

圖2

由題意可知，四邊形DMN”是矩形，

:.NH=MD=AB=1.2,

MN=DH=1.4.

:.BN=BM+MN=0.6+1.4=2,

在RtABN/中，

taMNBF=篇，

FN=BNlanzJVBF=2xtan26.5°?1,

:.FH=FN+NH=1+L2=2.2,

二頂棚尸處離地面的高度"/約為2.2m.

23.（2025?廿肅酒泉二模）如圖，已知二次函數(shù)丫=X21/7￡十＜:的圖象經(jīng)過兩點。（一2,5）與。（2,—3）,且與

X軸相交于A、B兩點，其頂點為M.

⑴求點M的坐標；

⑵求△4BM的面積；

⑶在二次函數(shù)圖象上是否存在點P,使若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由;

(4)把二次函數(shù)圖象在工軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變.得到一個新的圖象，請你結合

這個新的圖象回答：當直線、=%+加(6<1)與此圖象有兩個公共點時，m的取值范圍是什么？

【答案】(l)M(l,-4)

(2)8

(3)存在,P(4,5)或(一2,5)

(4)-3<m<1

【分析】本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線頂點坐標的求

法，三角形面枳公式的運用，拋物線與直線的交點情況的關系.

(1)利用待定系數(shù)法將點C、點D的坐標代入解析式就可以求出拋物線的解析式，再化為頂點式就可以求出

其頂點坐標M.

(2)當y=0時，求出拋物線與工軸的交點坐標就可以求出48的值，△4BM的高就是M的縱坐標的高的絕

對值.利用三角形的面積公式就可以求出其面積.

(3)設出點尸的坐標為(a,Q2-2a-3),根據(jù)條件S".=建立等量關系就可以求出P點的坐標.

(4)當宜線y=x+<1)經(jīng)過點4(一1,0)時，可以求出m的值，當直線y=x+m(mV1)經(jīng)過點B(3,0)

時可以求出m的值，再根據(jù)圖象就可以求出m的取值范圍.

【詳解】⑴解:二?點C(一2,5)與。(2,—3)在二次函數(shù)y=%2+bx+c的圖象上,

(5=4—2b+c

,?(-3=4+2b+c'

解得:e:二.

???拋物線的解析式為：、=必一2%—3,

???y=(x—1)2-4

-4)；

(2)解：當y=0時，則y=/一2%一3=0,

解得％1=3,x2=-1,

-1,0),B(3,0),

：?AB=4,

_4x4_

?'?'△ABM=—3

（3）解：設點P的坐標為?Q2-2Q-3）,當點P在x軸的上方時,

???4(.2—2a—3)x^=1-xfi,

解得：=4,a2=-2

??/(4,5)或(-2,5),

當點P在“軸的下方時的點不存在.

???P(4,5)或(一2,5)；

+m(m<1)經(jīng)過點4(一1,0)時,

n=1

當直線y=x+m(m<1)經(jīng)過點8(3,0)時,

.-.0=3+m,

m=-3

n<1,

由圖象得：-3<mvl.

24.(2025?湖南長沙?模擬預測)句題：將直線y=2%—1關于X軸對稱所得的直線記為力，求力的函數(shù)解析

式.

解決辦法：

①設點Pc(%o，y。)是直線上的點；

②點PoQo，yo)關于無軸的對稱點為P'Qo,—%)；

③點P'在直線y=2%—1上，把點PG。,-%)代入y=2無一1,得一%=則y°=—24+1,.?.直線

力的函數(shù)解析式為yi=-2x+1.

⑴結合上述解決方法，若y=/+4x+3的函數(shù)圖象與函數(shù)丫2的圖象關于y軸對稱，求函數(shù)丫2的解析式；

⑵在⑴的條件下，當aGWa+1時，丫2的最小值為1，求a的值；

⑶在(1)的條件下，當時，直線y=2x+n與丫2的函數(shù)圖象有2個交點，求n的取值范圍.

【答案】⑴丫2=%2—4%+3

(2)a的值為2+加或1一魚

(3)當1<x<5時，滿足以與圖象有2個交點的"的取值范圍是一6Vn工一2

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，靈活運用數(shù)形結合思想是解答本題的關鍵.

(1)依照軸對稱的性質(zhì)進行解答即可；

(2)求出函數(shù)及圖象的對稱軸為直線％=2,根據(jù)題意分a>2和Q+1V2兩種情況討論求解即可；

(3)畫出函數(shù)圖象，結合圖象解答即可.

【詳解】(1)解：設M(%,y)在y?的函數(shù)圖象上，則點M關于y軸對稱的點N(r,y)在丫=工2+欠+3的圖象

上，

把點N(—%,y)代入y=/+4%+3中，得y=(—x)2+4x(—工)+3,則y=%2__軌+3,

???函數(shù)y2的解析式為及=x2-4x+3；

22

(2)解：vy2=x—4%+3=(x—2)—1,

???函數(shù)圖象的對稱軸為直線％=2,的最小值為一1，

?.?當aWxWa+1時，及的最小值為1，

.,.a>2或Q+1<2,

①當Q>2時，丫2在％=a處取得最小值1，

???a2—4a+3=1,解得a=2+也或a=2—y/2,

va>2,

J.Q=2+企；

②當Q+1<