九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷?培優(yōu)卷【浙教版】

全解全析

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分)

1.一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，

則摸到紅球的概率是()

A.熹B.gC.1D.1

【答案】D

【分析】隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)+所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

【詳解】解：摸到紅球的概率為：777=1.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2.(2025?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C：y=x2+4x-10,將拋物線C平移得到拋物線。，若兩條拋物線

關(guān)于直線％=1對(duì)稱，則平移的方法是()

A.將拋物線。向右平移4個(gè)單位B.將拋物線。向右平移5個(gè)單位

C.將拋物線。向右平移6個(gè)單位D.將拋物線C向右平移7個(gè)單位

【答案】C

【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律:

左加右減，上加下減.找一個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過平移后這個(gè)點(diǎn)與直線％=1對(duì)稱，拋物線C與歹軸的交點(diǎn)為

做0,—10),與力點(diǎn)以對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)是8(—4,一10),若將拋物線C平移到就是要將8點(diǎn)平移后以對(duì)

稱軸％=1與A點(diǎn)對(duì)稱，則B點(diǎn)平移后坐標(biāo)應(yīng)為(2,—10),因此將拋物線C向右平移6個(gè)單位.

【詳解】解：???拋物線Cy=x2+4x-10=(x+2)2-14.

：,拋物線對(duì)稱軸為x=-2,

拋物線與y軸的交點(diǎn)為力(0,—10),

則與A點(diǎn)以對(duì)稱軸％=-2對(duì)稱的點(diǎn)是8(-4,-10),

若將拋物線。平移到C',并且。，。關(guān)于直線％=1對(duì)稱，

就是要將B點(diǎn)平移后以對(duì)稱軸％=1與4點(diǎn)對(duì)稱，

則8點(diǎn)平移后坐標(biāo)成為(2,—10),

因此將拋物線C向右平移6個(gè)單位.

故選：C.

3.（2025?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)丁=Q》2+b%+c（a,b,c為常數(shù)，QH0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)40,m）,

8（2,—m）,C（-2,n）,。（一6,—m）,其中m,八為常數(shù)，那么任勺值為（）

3553

---a-

A.5B.3-3-5

【答案】A

【分析】本題考杳二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意，得出8,。兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)

此得出a,b之間的關(guān)系，再將點(diǎn)4和點(diǎn)C代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)一步得出m,n之間的關(guān)系，最后用c表示

出m和n即可解決問題.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?4（2,-m）,0（-6—瓶）在二次函數(shù)丫=。/+以+。圖象上，

????。兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

b-6+20

?"五=二=-2,

.,.b=4a,

^A（O,m）,8（2,-m）在二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上，

???m=c,4a+2b+c=—m,

.,.4a+2x4a+c=—c,

i

???a=-o-c,

???c（一2,71）在二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上，

.,-4a—2b+c=n,

.,.n=4a—2x4a+c=—4a+c=—4x（—Ijc+c=|c,

mc3

-'-n=P=i-

故選：A.

4.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過匕（一3,月）,「2（—1》2），%（2,為），「4（3）4），

其中月＞丫2=丫4，則yi，72?中最值情況是（）

A.yi最大，丫3最小B.最小，力最大

C.丫3最小,最大D.yi最小,丫3最大

【答案】A

【分析】本題主要考杳了二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)

用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.依據(jù)題意，由圖象過尸2（—1,次）和尸4（3,、4），可得拋物線的對(duì)稱軸是直線％=字

=1,然后分拋物線開口向上與開口向下進(jìn)行討論分析可以判斷得解?.

【詳解】解：由題意,圖象過尸2（—1,打）和尸4（3,y。，

..拋物線的對(duì)稱軸是直線％=三上=1，

若拋物線開口向上，則頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)函數(shù)值越大，

：Pi（—3,yD到對(duì)稱軸的距離為|一3—1|=4,「2（—1以）和「4（3）4）到對(duì)稱軸的距離均為2,

又由于開口向上，

,力最大，且丫2=、4，

對(duì)于尸3（2,、3），其到對(duì)稱軸的距離為|2—1|=1,是四個(gè)點(diǎn)中最近的，

???力最小，

二>4>72=74>為即為最大，力最小，

若拋物線開口向下，則頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，但此時(shí)yi應(yīng)小于>4,與條件矛盾，

綜上，拋物線開口向上時(shí)結(jié)論成立，

???力最大，丫3最小.

故選：A.

5.（202S?甘肅甘南?中考真題）已知二次函數(shù)'=。.丫2+人+??*0）的圖象加圖所示，有下列s個(gè)結(jié)論：

@abc<0：②bva+c；（3）4a+2b+c>0：④2c<3b；（5）a+b<m（am+（mol的實(shí)

數(shù)）.其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

開口向下得到Q<0；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得到〃、b異號(hào),則b>0：拋物線與y軸的交點(diǎn)在X軸的上方得到

c>0?所以abcVO；當(dāng)％=—1時(shí)y<0,得到y(tǒng)=a—b^c<0,即a+c<h；對(duì)稱軸為直線x=1,可得％=2

時(shí)y>0,即y=4a+2/?+c>0；利用對(duì)稱軸無(wú)=—^=1得到Q=—初而Q—b+c<0,則一1—b+cV0,

所以2cv3b；開口向下，當(dāng)x=l,y有最大值Q+匕+c,得到Q+匕+c>cun2+c,即

a+b>m(am+b)(mH1).

【詳解】解：開口向下,a<0,

對(duì)稱軸在y軸的右側(cè),Q、b異號(hào)，則b>0,

拋物線與y軸的交點(diǎn)化工軸的上方，o0,

.'.abc<0,所以①正確；

當(dāng)x=-1時(shí)，y<0,即y=a—6+c<0,

即a+c<b,所以②不正確；

因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(0,0)和(一1,0)之間，對(duì)稱軸為直線x=1.

所以拋物線與％軸的另?個(gè)交點(diǎn)在(2,0)和(3,0)之間，

則x=2時(shí)，y>0,

即;y=4a+2b+c>0,所以③正確；

因?yàn)閷?duì)稱軸為直線x=-5=1，則。=一務(wù)，而a-b+cvO,

則一如i+cVO,2c<36所以④正確；

開口向下，當(dāng)x=l,y有最大值a+b+c；

當(dāng)x=m(mH1)時(shí)，y=am2-+bm+c,

則a+匕+c>am2-+bm+c,

即a+b>m(ani+b)(m工1),所以⑤錯(cuò)誤.

故①③④正確，共3個(gè).

故選：C.

6.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))如圖，AB是。。的直徑，0DIIAC,乙C。。=50。，則乙。的度數(shù)為()

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題

的關(guān)犍.利用平行線的性質(zhì)求出4c的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，進(jìn)而得出〃。。

的度數(shù)，最后由等腰三角形性質(zhì)求/D.

【詳解】解：???0D||AC,

LOCA=乙COD=50°.

???OA=OC,

ALOCA=LOAC=50°,

LAOC=180°-50°-50°=80°.

???乙COD=50。，

LAOD=^AOC+乙COD=80°+50°=130°.

,:OA=OD,

180°-130°

LD=LOAD==25°.

2

故選：C.

7.（2025?湖南長(zhǎng)沙?一模）如圖，已知O0是等邊△48。的外接圓，連接力。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，交3C于

點(diǎn)、E.若。E=3,則四邊形7I8OC的面積為（）

A.18V3B.2473C.36百D.72a

【答案】C

【分析】本題考查的是三角形的外接圓與外心、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角的性質(zhì)、垂徑定

理、圓周角定理等，連接。B,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到48=4C,LBAC=60°,根據(jù)垂徑定理得到

BE=CE,根據(jù)勾股定理求出BE,再根據(jù)四邊形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接OB,

???△48。為等邊三角形，

:.AB=AC,Z,BAC=60°,

：.AELBC,

.?/BAD=號(hào)乙BAC=30°,BE=CE,

"BOD=2Z.BAD=60°,

：./.OBE=30°,

：.OE=gOB=±OD,

?:DE=3,

：.OE=3,

?-08=OD=6,

由勾股定理得：BE=VOB?一陽(yáng)=遙2-32=36

.?.BC=6>/3?

???S四邊形A3DC=x8C=gx12x6V3=3673,

故選：C.

8.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))如圖，正六邊形力吶接于。0,若麗的長(zhǎng)為兀，則點(diǎn)。到BC的距離為

()

A.竽B.當(dāng)C.1D.竽

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形與圓，弧長(zhǎng)公式，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接。B,OC,過。

作0MJL8C于點(diǎn)M,由正六邊形ABCDEF內(nèi)接于00,則AB=BC,48。。=60。，所以4B=BC,△80C

是等邊三角形，然后通過弧長(zhǎng)公式求出03=8C=3,由等邊三角形性質(zhì)可得8用=。用=匏。=：，最后通

過勾股定理即可求解.，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接。B,OC,過。作。M13C于點(diǎn)M,

F,------、E

???正六邊形力BCDEn內(nèi)接于。0,

360°

：.AB=BC,48。。=嚶=60°,

6

.'.AB=BC,△B。。是等邊三角形，

.-.OB=BC,BM=CM=1BC,

60nxOB

???F-=凡

二08=8C=3,

:.BM=CM=^BC=I，

：.0M='OB2-BM2=J32-?=浮

???點(diǎn)。到8C的距離為乎，

故選:A.

9.如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過4、8、C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（）.

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作力8,BC的垂直平分線即可得到答案.

【詳解】解：作4B的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，

?

?

A?

B

M

?

?,P

?

Z

?C

它們都經(jīng)過Q,所以點(diǎn)Q為這條圓弧所在圓的圓心.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，理解并掌握?qǐng)A心為弦垂直平分線的交

點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵.

10.某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下折線統(tǒng)計(jì)圖，則符

合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）

頻率八

0.34V-

0.33?

0.32

0.31

SoMojhjo'Goo次數(shù)

A.袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中隨機(jī)取一個(gè)，取到紅球

B.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面沐骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)

C.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面

D.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰了，兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和是7或超過9

【答案】D

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率PX133,計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為0.33

者即為正確答案.

【詳解】解：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率P=0.33,

A、袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中隨機(jī)取一個(gè)，取到紅球的概率為之不符合題

O

后、；

B、擲?枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率為今不符合題意；

C、先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面的概率為：，不符合題意；

D、先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和是7或超過9的概率為:，符合題

意，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）

11.（2025?江蘇鹽城?中考真題）已知二次函數(shù)丫=必一2%—3,當(dāng)自變量%滿足0WXW4時(shí)，y的取值范圍

是—.

【答案】-4Wy45

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先求出拋物線的對(duì)稱軸，再求出最大值和最小值即可求解y的取值范圍.

【詳解】解：y=x2—2x—3=（x—l）2—4,

???函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線4=1,開口向上，

v0<x<4,

.?.當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；%=4時(shí)，y=5,當(dāng)％=1時(shí)，'min=-4，

??.y的取值范圍是：-44y45,

故答案為：-4WyW5.

12.（2025?四川成都?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，'（不，及）是拋物線〉=+以+c（a<0）

上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線％=t.當(dāng)不=一1，%2=3時(shí)，%=、2,則￡=；若小>%2，

對(duì)于％1+%2>4,都有月〈丫2，則/的取值范圍為.

【答案】1t<2

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱軸即

可，根據(jù)題意判斷出離對(duì)稱軸更近的點(diǎn)，從而得出M（Xi，yi）與N（M，y2）的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，再根據(jù)對(duì)稱

性即可解答.

【詳解】解：：對(duì)于=x2=3,有刈=丫2，

G—b+c=9a+3b+c,

8a+4b=0,

VX[+%2>4,

X1+X22

27乙

VG<0,

???拋物線開口向下，

?.?若對(duì)于打+%2>4,都有力〈丫2，

??.離對(duì)稱軸的距離大于于%2四2），

則A1（xi,y1）與NQ2,y2）的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，

???安>a

upt<2,

故答案為：1;t<2.

13.（2024?安徽合肥?一模）如圖，△A8C內(nèi)接于。。，BD為。。的直徑,AB=AC,=70°,則

Z.ABD-乙CBD=°.

A

【答案】15

【分析】本題考查r三角形外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題

的關(guān)鍵.連接8,根據(jù)圓周角定理得到=90。,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到乙。風(fēng)?=90°-70°=20°,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到乙4c8==（180。-70。）=55。，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：連接CD,

C/

A

???BD為。。的直徑,

???1BCD=90°,

???/BDC=N4=70。，

.-.ZD^C=9O°-7O°=2O°,

-AC=AB,

Z.ACB=4ABC=；x(180°-70°)=55°,

???Z.ABD=/.ABC-乙DBC=35°,

:?乙ABD-乙CBD=35°一20°=15°,

故答案為：15.

14.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))如圖，內(nèi)接于。0,且AB=AC,直徑4D交8。于點(diǎn)E,5是OE的中點(diǎn),

如果BDIICF,BC=2近，則線段CD的長(zhǎng)為.

【答案】V6

【詳解】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有圓的性質(zhì)（直徑所對(duì)圓周角為直角）、三角形全等的判定、等腰三角形三線合一

的性質(zhì)以及勾股定理.通過連接輔助線OC,利用圓的性質(zhì)（直徑所對(duì)圓周角為直角）、三角形全等判定（HL、

ASA）以及勾股定理，逐步推導(dǎo)得出線段CD的長(zhǎng)度.

【解答】解:連接OC,

???AD是。。的直徑,

.-.ZABD=ZACD=90°,

在Rt△ABD與Rl△ACD中,

,.AB=AC,AD=AD,

.,.Rt△ABDwRt△ACD,

.-.zBAD=Z.CAD,

-.AB=AC,

?,.zBAD=zCAD,

.-.ADIBC,BE=EC,

-.BD||CF,

.-.ZDBE=Z.FCE,

在ABED與4CEF中，

ZDBE=ZFCE

BE=EC,

/BED=ZCEF

ABEDieACEr,

.?.CF=BD,FE=ED,

vFE=ED,F是OE的中點(diǎn)，

??.OF=FE=ED,

設(shè)OF=FE=ED=a(a>0),則OD=OC=3a,

-.ADIBC,CE=1BC=y/5,

.-.OC2-OE2=CE2,

/.9a2—4a2=5,

a=I,

.-.ED=1,

.'.CD=VDE2+EC2=J12+(62=瓜

故答案為：V6.

15.一個(gè)小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊地磚上.每塊地磚的大小、質(zhì)地完全

相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是.

【答案記

【分析】先求出黑色方磚在整個(gè)地面中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???由圖可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚，

黑色方磚在整個(gè)區(qū)域中所占的比值=卷=/

???小球停在黑色區(qū)域的概率是也

故答案為：I

【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：幾何概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

16.如圖，圓心角為90。的扇形4cB內(nèi)，以BC為直徑作半圓，連接48.若陰影部分的面積為（2口一2）,則

AC=___.

CB

【答案】2V2

【分析】本題考查幾何圖形面積的求法，常用割補(bǔ)法配合扇形面積公式以及三角形面積公式求解.

利用扇形面積公式以及三角形面積公式，用大扇形面積減去空向部分面積求得陰影部分面積，繼而根據(jù)已

知列方程求解.

【詳解】解：將原圖區(qū)域劃分為四部分，陰影部分分別為Si,S2；兩塊空白分別為S3,S4,連接。C,如圖所示:

A

由己知得：三角形ABC為等腰直角三角形，SI+S2=2TT-2,

???BC為直徑，

.'.Z.CDB=90°,即COJ.48,

故CO=DB=DA,

???。點(diǎn)為玩中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知而與弦圍成的面積與S3相等.

設(shè)=BC=x,AB=y[2x,AD=CD=亨，

則S扇形"8一$3-$4=S1+52，

甘111c—90?萬(wàn)_7r/

縣中,扇形力CB——360——49

2

S4=S&ACB—SgCD—S3=1*X—1?華?華—S3=今—S3,

故：于一53一(q_53)=2兀-2,

即(7T—1)為2=87T—8,

所以：Xi=2\[2,X2=-2V2(舍去)，

故答案為：2V2.

三、解答題(本大題共8小題，滿分66分)

17.(6分)(2025?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知二次函數(shù)y=62+匕％+c(。力1是常數(shù)，帥工0)的圖象經(jīng)過

(L0)?

⑴若二次函數(shù)圖象經(jīng)過4(一1,4),以0,—1),求該二次函數(shù)解析式：

⑵若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在x軸上，求證：Q=c；

⑶若二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線％=等,當(dāng)力Nc時(shí),求Q2+/+C2的最小值.

【答案】(l)y=3x2-2x-l

(2)見解析

(3儲(chǔ)十爐十有最小值1.5

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解題時(shí)要熟

練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

(1)依據(jù)題意，通過待定系數(shù)法即可計(jì)算得解：

(2)依據(jù)題意，由拋物線的頂點(diǎn)落在x軸上，則爐-4ac=0,又Q+8+C=0,且bH0,可得

(-a-c)2-4ac=(a-c)2=0,從而可以得解；

(3)依據(jù)題意，對(duì)稱軸為直線％且Q+b+C=O,先求出Q=l,從而b=-l-C,再求出C的范圍,

然后根據(jù)Q2+b2+c2=2c2+2c+2=2(c+1)2+1.5,從而可以計(jì)算得解.

【詳解】(1)解：???圖象過(1,0),

G+b+c=0,

又:?圖象過4(一1,4),8(0,—1),

.(a—b+c=4

c=-l'

(a=3

''-\b=-2,

(c=-1

???y=3x2—2x—1；

(2)證明：???頂點(diǎn)落在x軸上，

???b?—4ac=0,

vG+b+c=0,且b*0,

???(—a—c)2—4ac=(a—c)2=0,

：?G=C;

(3)解：???拋物線的對(duì)稱軸為直線工=等，且a+b+c=0,

???力00,

G-1,

b=-1-c,

又bNc,

：?c<—0.59

?，?將a=1,b=—1—c代入得次+/J2+c2=2c2+2c+2=2（c++1.5,

???當(dāng)c=-0.5時(shí)，d2+b2+有最小值1.5.

18.（6分）（2025?甘肅酒泉?二模）如圖，已知二次函數(shù)丫=必+以+。的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)。（一2,5）與。

（2,-3）,且與％軸相交于4、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M.

⑴求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵求△力的面積；

⑶在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;

⑷把二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿%軸翻折，圖象的其余部分保持不變.得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合

這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=%+m(〃i<1)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是什么？

【答案】(l)M(l,-4)

(2)8

⑶存在,P(4,5)或(一2,5)

⑷-3<mV1

【分析】本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求

法，三角形面積公式的運(yùn)用，拋物線與直線的交點(diǎn)情況的關(guān)系.

(1)利用待定系數(shù)法將點(diǎn)C、點(diǎn)。的坐標(biāo)代入解析式就可以求出拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式就可以求出

其頂點(diǎn)坐標(biāo)M.

(2)當(dāng)y=0時(shí)，求出拋物線與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就可以求出4B的值，△4的高就是M的縱坐標(biāo)的高的絕

對(duì)值.利用三角形的面積公式就可以求出其面積.

(3)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為3a2—2Q—3),根據(jù)條件S"AB=百的加建立等量關(guān)系就可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

(4)當(dāng)直線y=%+v1)經(jīng)過點(diǎn)4(—1，。)時(shí)，可以求出m的值，當(dāng)直線y=%+V1)經(jīng)過點(diǎn)8(3,0)

時(shí)可以求出m的值，再根據(jù)圖象就可以求出m的取值范圍.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)C(一2,5)與D(2,-3)在二次函數(shù)y=好+必+c的圖象上，

(5=4—2b+c

,?I-3=4+2b+c'

解得:二;,

???拋物線的解析式為：y=x2-2x-3,

???y=(x—i)2—4

-4)；

(2)解：當(dāng)y=0時(shí)，則y=%2-2%一3二0,

解得％1=3,不=—1，

■??X(-l.O),8(3.0),

AB=4,

_4x4_

=-=H；

(3)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0/2—20—3),當(dāng)點(diǎn)P在X軸的上方時(shí),

???4(a2—2a—3)x11x8,

解得：即=4,a2=-2,

”(4,5)或(-2,5),

當(dāng)點(diǎn)P在X軸的下方時(shí)的點(diǎn)不存在.

”(4,5)或(一2,5)；

(4)解：如圖，當(dāng)直線y=x+V1)經(jīng)過點(diǎn)4(一1,0)時(shí)，

zn=1,

當(dāng)直線y=x+<1)經(jīng)過點(diǎn)8(3,0)時(shí),

.*.0=3+m,

：?m=-3

vm<1,

由圖象得；-3VmVl.

19.（6分）（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）某校閱讀社團(tuán)將《西游記》中的四位人物的肖像制成編號(hào)為力、

仄C、。的四張（除編號(hào)和人物肖像外其余完全相同）卡片，活動(dòng)時(shí)學(xué)生根據(jù)所抽取的卡片來(lái)講述他們?cè)?/p>

書中的故事.

A唐僧B孫悟空C豬八戒D沙悟凈

游戲規(guī)則如下：先將四張卡片背面朝上，洗勻放好.小林先從口隨機(jī)抽取一張，把剩下的3張卡片洗勻后,

背面向上放好，小梅再?gòu)?張卡片中隨機(jī)抽取一張.

⑴小林抽到孫悟空的概率為；

⑵若他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ蠈?duì)應(yīng)的人物為師徒關(guān)系，則由小林講述，否則由小梅講，用列表法或畫樹狀圖

法說明這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平？

【答案】⑴*

⑵此游戲規(guī)則公平，理由見解析

【分析】本題考查的是概率公式的應(yīng)用，利用列表或畫樹狀圖求解隨機(jī)事件的概率；

（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）列表可得所有等可能結(jié)果，從表格中得出取出的兩張卡片上對(duì)應(yīng)的人物為師徒關(guān)系的結(jié)果數(shù)，繼而求

出小林、小梅講的概率，從而得出答案.

【詳解】（1）解：小林抽到孫悟空的概率為

故答案為:

（2）解.：游戲規(guī)則公平，理由如下：

列表如下

ABCD

A(B，A)(C/)(。⑷

B(48)(&B)（。，8）

C(4C)(8,C)0,0

D（力刀）(“)(C,D)

共有12種等可能的結(jié)果，由表知，他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ蠈?duì)應(yīng)的人物為師徒關(guān)系的結(jié)果有6種,

???由小林講的概率為9

則由小梅講的概率為1一六攝

???此游戲規(guī)則公平.

20.（8分）（2025?廣東?模擬預(yù)測(cè)）一天放學(xué)后，媽媽帶小麗到面館去吃牛肉面，愛思考的小麗仔細(xì)觀察

盛面的碗，如圖1，她發(fā)現(xiàn)面碗的軸截面（不包含碗足部分）可以近似看成是拋物線的一部分.小麗從書包

里拿出刻度尺、筆和本，向服務(wù)員借來(lái)一個(gè)空的面碗，把面碗正放在桌面上，對(duì)面碗進(jìn)行了簡(jiǎn)單的測(cè)量，

并根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)畫出面碗的軸截UL如圖2,面碗的上口徑力8=24cm,碗底直徑CD=EF=6cm,面碗的

邊沿上一點(diǎn)8到桌面E尸的距離BG=8cm,碗足高DF=1cm.小麗又進(jìn)一步建立以CD所在直線為x軸，以

碗的中軸線（面碗的上下兩個(gè)底面圓的圓心所在直線），〃為y軸的平面直角坐標(biāo)系（如圖3）.

圖1圖2圖3

⑴請(qǐng)你幫助小麗求出碗的軸截面所在拋物線的函數(shù)解析式；

⑵小麗向空面碗中倒入一些水，當(dāng)水面MN與桌面EF的距離為2.4cm時(shí)，求此時(shí)面碗中水面MN的寬度.

【答案】⑴y=

⑵此時(shí)面碗中水面MN的寬度為12cm

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；

（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)8（12,7）、點(diǎn)0（3,0）,設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a/+c,然后根據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求

解；

（2）由題意可知當(dāng)MN與桌面￡尸的距離為2.4cm時(shí)，則y=1.4,然后代入二次函數(shù)解析式可得*=±6,進(jìn)

而問題可求解.

【詳解】（1）解：由題意，可知點(diǎn)8（12,7）、點(diǎn)。（3,0）.

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+c,

（_7

???{7。=瑞『解得二里；

15

???拋物線的函數(shù)解析式為y=強(qiáng)爐一卷.

(2)解：，:DF=lcm,

二當(dāng)MN與桌面EF的距離為2.4cm時(shí)，則y=1.4.

當(dāng)y=1.4時(shí)，T^X2-^=1.4,解得X=±6.

A03kO

???MN=6—(-6)=12(cm).

答：此時(shí)面碗中水面MN的寬度為12cm.

21.(8分)(2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))問題：將直線y=2%-1關(guān)于％軸對(duì)稱所得的直線記為y1，求力的

函數(shù)解析式.

解決辦法：

①設(shè)點(diǎn)PoQo.yo)是直線yi上的點(diǎn)：

②點(diǎn)Po(&,yo)關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(&,—yo)；

③點(diǎn)P在直線y=2X-1上，把點(diǎn)P'Qo,-y。)代入y=2%-1,得一加=2%0—1,則%=-2%+1,.??直線

yi的函數(shù)解析式為yi=-2x+1.

⑴結(jié)合上述解決方法，若y=X2+4x+3的函數(shù)圖象與函數(shù)九的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求函數(shù)y2的解析式；

⑵在(1)的條件下，當(dāng)。3工工。+1時(shí)，y2的最小值為1，求a的值；

⑶在(1)的條件下，當(dāng)時(shí)，直線y=2%+幾與丫2的函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，求?i的取值范圍.

2

【答案】Wy2=x-4x+3

(2)Q的值為2+衣或1一加

(3)當(dāng)1<x<5時(shí)，滿足與圖象有2個(gè)交點(diǎn)的n的取值范圍是-6<n<-2

【分析】本題主要考杳二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵.

(1)依照軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

(2)求出函數(shù)丫2圖象的對(duì)稱軸為直線無(wú)=2,根據(jù)題意分Q>2和Q+1<2兩種情況討論求解卬可；

(3)畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象解答即可.

【詳解】(1)解：設(shè)M(x,y)在丫2的函數(shù)圖象上，則點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)N(—%y)在、=/+〃+3的圖象

上，

2

把點(diǎn)N(—%,y)代入y=7+4%+3中，=(-%)+4x(-x)+3,則、=/-4%+3,

二函數(shù)g的解析式為丫2=X2-4x+3；

(2)解：?.了2=%2-4%+3=(%-2)2—1,

???函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線％=2,%的最小值為一1，

?.?當(dāng)a<x<a+1時(shí)，力的最小值為1，

?,.a>2或Q+1<2,

①當(dāng)a>2時(shí)，丫2在％。處取得最小值1，

2

??.a—4a+3=1,解得Q=2+應(yīng)或a=2—V2?

,：a>2,

.--a=2+V2：

②當(dāng)a+l<2,即aVI時(shí)，力在％=Q+1處取得最小值1,

.?.(a+I)2-4(a+1)+3=1,解得a=1+&或a=1-V2,

,：a<1,

???a=1—V2.

綜上所述，a的值為2+四或1—加\

(3)解：當(dāng)1WXW5時(shí)，直線y=2%十九與段的函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn);

令才2—4工+3=2x+n,整理，得——6x+3=n,

令)’3=x2—6%+3,y4=n,

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)y3與以右1<%<5的函數(shù)圖象如解圖，

當(dāng)1WxW5時(shí)，滿足丫4與丫3圖象有2個(gè)交點(diǎn)的n的取值范圍是一6VnW-2.

22.(8分)(2024?湖北?三模)如圖，4氏”是O。中相等的兩條弦,過點(diǎn)。分別作。尸于點(diǎn)尸,0G1AC

于點(diǎn)G.

D

⑴求證：OF=0G：

⑵延長(zhǎng)OG交。0于點(diǎn)。，連接3D交F。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡若0E=3,48=24,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

⑵13

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)；掌握垂徑定理，添加恰當(dāng)?shù)妮o

助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接04證明Rt△。力/三RtAOAG,即可求證：

(2)連接力D,根據(jù)垂徑定理可得=可證明△BEF三△40G,可得EF=DG,設(shè)。F=x,則

0G=x,DG=EF=0E+OF=3+x,OA=OD=2x+3.在Rt^OAG中，根據(jù)勾股定理可得x的值，即

可求解.

【詳解】(1)證明：連接。4

???OF148,OG1AC,

'.Z.OFA=Z.OGA=90°,AF=^AB,AG=^AC,

?.'AB-AC,

.'.AF=AG.

,：0A=0A,

*,?Rt△OAF三Rt△OAG>

.?.OF=OG；

(2)解：連接力D.

???OG_LAC,

.'.AD=CD,

:?乙EBF=Z-DAG,

-AG=AF=BF,Z,AGD=乙BFE=90°,

:.ABEFwAADG,

:.EF=DG.

設(shè)0"=”,則OG=x,

DG=EF=0E-^-0F=3+x,OA=OD=2x+3.

由(1)得力6=*(?=^48=12

在Rt△。/G中，OA2-OG2=AG2,

.-.(2x+3)2-%2=122

,x=5或一9(舍去)，

?.OA=13,即OO的半徑為13.

23.(12分)(2025?青海西寧?中考真題)如圖，48,力C是。。的弦，AB=AC,半徑OE,OF分別與弦月8,AC

垂直，垂足分別為G,H,4MII0廣交0E于點(diǎn)區(qū)4VII0E交。/于點(diǎn)M連接。兒

(1)求證：^AOE=LAOFx

(2)求證：四邊形HM0N是菱形；

(3)若/R=16.OA=10.貝IJOM=

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵：

(1)根據(jù)弧，弦，角之間的關(guān)系以及垂徑定理，即可得證；

(2)先證明四邊形HM0N為平行四邊形，等積法推出0M=0N,即可得證；

(3)垂徑定理結(jié)合勾股定理求出0G的長(zhǎng)，設(shè)。M=4M=x,在Rt△力GM中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：-AB=AC,

■.?半徑。瓦。尸分別與弦48/C垂直,

.??熊=BEAF=CF,

：.AE=BE=AF=CF,

：.Z.AOE=Z-AOFx

(2)證明："MIO凡AN\\OEf

.??四邊形4MON為平行四邊形，

?.?半徑?！?OF分別與弦48,AC垂直,

:.AG=^AB,AH=^AC,

-AB=AC,

.-.AG=AH,

???S四邊形4M0N=OM-AG=ON-AH,

：.OM=ON,

.??四邊形AMON為菱形；

(3)-AB=16,

??.4G=^AB=8,

在Rt^/IOG中，由勾股定理，得：OG="。2一心=6,

由（2）知：四邊形4M