20252026學年上學期高一數(shù)學北師大期末必刷?？碱}之隨機

現(xiàn)象與隨機事件

一.選擇題（共6小題）

I.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點數(shù)，事件A1="第一次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)”,

事件42="第一次拋擲骰子的點數(shù)為2”，事件A3="兩次抽擲骰子的點數(shù)之和為5”，事件44="兩

次拋擲骰子的點數(shù)之和為7"，則下列說法正確的是（）

A.4與A2為對立事件

B.A2與4為互斥事件

C.A2與加為相互獨立事件

D.A2與A4為相互獨立事件

2.擲兩枚均勻的骰子，觀察所得點數(shù).設“兩個點數(shù)都是偶數(shù)”為事件4,“兩個點數(shù)都是奇數(shù)”為事件

8,“兩個點數(shù)之和是偶數(shù)”為事件C,“兩個點數(shù)之積是奇數(shù)”為事件。，則（）

A.事件A與事件8互為對立事件

B.事件C與事件。相互獨立

C.事件人與事件CUO不相互獨立

D.事件8與事件CA?；コ?/p>

3.某小組有4名男同學和3名女同學，從中任選3名同學去參加座談會，則與事件”3名同學全是女生”

是對立事件的是（）

A.恰有1名同學是女生

B.恰有兩名同學是女生

C.至少有1名同學是男生

D.至少有I名同學是女生

4.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：A="點數(shù)不大于3"，B="點數(shù)大于4"，C="點數(shù)為

奇數(shù)”，D="點數(shù)為偶數(shù)”，下列結(jié)論正確的是（）

A.A,。為互斥事件B.B,。為對立事件

C.A,。為互斥事件D.C,。為對立事件

5.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，4表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，上表示事件“第一次拋

擲骰子的點數(shù)為2”，A3表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之和為7”，4表示事件“兩次拋擲骰了?的點數(shù)

之和為6”，則（）

A.A3與4為對立事件

B.4與A3為相互獨立事件

C.A2與A4為相互獨立事件

D.A2與4為互斥事件

6.從裝有3個紅球和5個黃球的口袋內(nèi)任取3個球，那么“至少有1個紅球”的對立事件是（）

A.至少有2個紅球B.至少有2個黃球

C.都是黃球D.至多1個紅球

二.多選題（共3小題）

（多選）7.某公交公司有公交車50輛，按車型大小分為大巴車與中巴車2種，按燃油類型分為汽油車與

柴油車2種，其車輛數(shù)如表所示.

項目汽油車柴油車合計

大巴車102030

中巴車51520

合計153550

記事件M為“在該公司公交車里隨機選一輛，選到大巴車”，事件N為“在該公司公交車里隨機選一輛,

選到汽油車”.下列說法正確的是（）

A.事件M的對立事件為“在該公司公交車里隨機選一輛，選到中巴車”

B.事件M與事件N互斥

C.P（M）=g,P（N）遙

D.事件M與事件N相互獨立

（多選）8.若P（AB）=1P6）=京P（B）=g則事件A與B的關系是（）

A.事件A與8不互斥

B.事件A與8對立

C.事件A與8相互獨立

D.事件A與8既互斥又獨立

3

（多選）9.某A/機器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為二.若它連續(xù)嘗試投送兩次，則（）

7

A.事件“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”是對立事件

C.事件“第一次成功投放”與“兩次都成功投放”相互獨立

33

D.該機器人至少成功投放一次的概率為大

49

三,填空題(共4小題)

10.已知隨機事件A,B相互獨立，且PG4)=1—P(B),P(A)?P⑻=上則P(AUB)的值

為.

II.已知隨機事件A,8,C,A和8互斥，8和C對立，且P(4+8)=0.7,戶(4)=0.3,則P(C)=.

12.從一副不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件A=“抽到紅心”，事件3="抽到方

塊"，P(A)=P(B)=/,C="抽到紅花色”，則尸(C)=.

13.已知某藝術協(xié)會的會員中，有三的會員喜愛書畫或戲曲，有;的會員喜愛書畫，有二的會員同時喜愛書

1232

畫、戲曲.現(xiàn)從該協(xié)會中隨機抽取一名會員，該會員喜愛戲曲的概率為.

四.解答題(共2小題)

14.美國男子職業(yè)籃球聯(lián)盟(NBA)每支隊伍有5名主力隊員，按場上位置可分為后衛(wèi)隊員與鋒線隊員兩

種類型，其中2名后衛(wèi)隊員(標號為1和2),3名鋒線隊員(標號為3、4和5),新賽季開始前聯(lián)盟要

抽檢隊員的身體健康狀況，從5名主力隊員中依次隨機抽取2名進行檢查，設事件M="第一次抽到后

衛(wèi)隊員"，事件N="第二次抽到鋒線隊員"，事件Q="抽到的2名隊員類型相同”，事件。的對立事

件為Q.

(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間Q,并求出P(0)：

(2)求P(M+N)和P(M?AO.

15.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x,轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y.

(1)寫出這個試驗的樣本點；

(2)“x+)，=5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＜3且)，＞1”呢？

(3)“xy=4”這一事件包含哪幾個樣本點？“％=＞，”呢？

①②

20252026學年上學期高一數(shù)學北師大版（2019）期末必刷?？碱}之隨機

現(xiàn)象與隨機事件

參考答案與試題解析

一,選擇題（共6小題）

題號123456

答案DCCDBC

二.多選題（共3小題）

題號789

答案ACACABD

一.選擇題（共6小題）

1.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點數(shù)，事件4="第一次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)”,

事件42=”第一次拋擲骰子的點數(shù)為2”，事件A3="兩次抽擲骰子的點數(shù)之和為5"，事件4="兩

次拋擲股子的點數(shù)之和為7"，則下列說法正確的是（）

A.4與42為對立事件

B.A2與A4為互斥事件

C.A2與①為相互獨立事件

D.A2與4為相互獨立事件

【考點】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】D

【分析】確定所有基本事件，結(jié)合對立事件、互斥事件、獨立事件的概念進而逐項判斷即可.

【解答】解：C為樣本空間，

對于A,A1UA22。，

比如第一次第一次拋擲骰子的點數(shù)為4,該事件既不在4中，也不在A2中，

???Ai與A2不為對立事件，故A錯誤；

對于事件A2nA4為{（2,5）},，A2與4不為互斥事件，故B錯誤；

對于于P(42)=^=i,PC43)=^r=i，PQM3)=表AP(A2)P(43)，

???上與A3不相互獨立，故C錯誤；

對于于P(42)=2P(4)==2PGM4)=?P(A2)P(4)，

，A2與A4相互獨立，故D正確.

故選：D.

【點評】本題考查基本事件、對立事件、互斥事件、獨立事件的概念等基礎知識，考查運算求解能力,

是基礎題.

2.擲兩枚均勻的骰子，觀察所得點數(shù).設“兩個點數(shù)都是偶數(shù)”為事件人，”兩個點數(shù)都是奇數(shù)”為事件

以”兩個點數(shù)之和是偶數(shù)”為事件C,“兩個點數(shù)之積是奇數(shù)”為事件D,則()

A.事件4與事件B互為對立事件

B.事件C與事件。相互獨立

C.事件A與事件CU。不相互獨立

D.事件8與事件cn?；コ?/p>

【考點】互斥事件與對立事件.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出事件A,事件B,再根據(jù)對立事件、獨立事件、互斥事件的概念判斷即可.

【解答】解：依題意，可用(x,y)表示擲兩枚骰子得到的點數(shù),則Q={(x,>>)|x,網(wǎng)1,2,3,4,

5,6}}.

對于A,A={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)},

而8={(1,I),(I,3),(I.5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)},

顯然事件A與事件B互斥但不對立，in(I,2)en,但(I,2)0人，(1,2)08,故4錯誤；

對于易得C=4U〃,故，

因為4=。，所以P(B)=P(D)=1,

而CO=O,則P(CO)=P(。)=*,

則。(C。)HP(C)P(。)，即。與。不相互獨立，故3錯誤；

對于C,P(4)=i,P(C)=P(CUD)=1,

因為AC(CUD)=A,所以P[4n(CUD)]=P(/l)J

而P(4)-P(CUD)=ix|=LP[An(CUD)]*P⑷?P(CUD),

所以事件A與事件CUO不相互獨立，故。正確；

對于。，cn￡>=8=。，則8與事件eno不互斥，故。錯誤.

故選：C.

【點評】本題主要考查了互斥事件，相互獨立事件的判斷，屬于基礎題.

3.某小組有4名男同學和3名女同學，從中任選3名同學去參加座談會，則與事件”3名同學全是女生”

是對立事件的是()

A.恰有1名同學是女生

B.恰有兩名同學是女生

C.至少有1名同學是男生

D.至少有1名同學是女生

【考點】事件的互為對立及對立事件.

【專題】對應思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合對立事件的定義即可求解.

【解答】解：由對立事件的定義可知，與事件“3名同學全是女生”是對立事件的是事件“至少有1名

同學是男生”.

故選：C.

【點評】本題考查對立事件的概念，屬于基礎題.

4.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：A="點數(shù)不大于3"，4="點數(shù)大于4"，C="點數(shù)為

奇數(shù)”，D="點數(shù)為偶數(shù)”，下列結(jié)論正確的是()

A.A,。為互斥事件B.B,C為對立事件

C.A,。為互斥事件D.C,。為對立事件

【考點】互斥事件與對立事件.

【專題】計算題：方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，由互斥事件、對立事件的定義，依次分析選項，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,APC="點數(shù)為1或3”，A、C不是互斥事件，A借誤；

對于B,BPC="點數(shù)為5”，8、C不是對立事件，B錯誤；

對于C,AQD="點數(shù)為2”，4、。不是互斥事件，C錯誤；

對于。，4、。為對立事件，。正確.

故選：D.

【點評】本題考查互斥事件、對立事件的判斷，注意互斥事件、對立事件的定義，屬于基礎題.

5.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，4表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，A2表示事件“第一次拋

擲骰子的點數(shù)為2”，加表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之和為7"，人表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)

之和為6”，則()

A.A3與4為對立事件

B.Ai與①為相互獨立事件

C.A2與4為相互獨立事件

D.A2與4為互斥事件

【考點】互斥事件與對立事件；相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】對立事件是指兩個事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生；互斥事件是指兩個事件不能同時發(fā)生;

相互獨立事件是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生沒有影響，即戶(48)=P(A)P(?).

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,A3UA4HQ,所以A3與A4不為對立事件，A錯誤；

對于8,P(&)=}P(A3)=1,PGM3)=務”(4)尸(4)，則Al與A3為相互獨立事件，B正確；

1C1

對于c,P(4)二卷，P(4)=去PGM4)二看工呻2)呻4)，則A2與4不是相互獨立事件，c錯

誤；

對于/),第一次拋擲骰子的點數(shù)為2,第二次拋擲骰子的點數(shù)為4時，人2和A4同時發(fā)生，42與A4不為

互斥事件，。錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查相互獨立事件、互斥事件的判斷，涉及古典概型的計算，屬于基礎題.

6.從裝有3個紅球和5個黃球的口袋內(nèi)任取3個球，那么“至少有I個紅球”的對立事件是()

A.至少有2個紅球B.至少有2個黃球

C.都是黃球D.至多1個紅球

【考點】事件的互為對立及對立事件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計：運算求解.

【答案】C

【分析】先對至少有1個紅球進行情況分析，再結(jié)合對立事件的定義求解即可.

【解答】解：從裝有3個紅球和5個黃球的口袋內(nèi)任取3個球，

由題意得若發(fā)生“至少有1個紅球”，

則取出紅球的數(shù)量為1個，2個，3個，

由對立事件的性質(zhì)得“至少有1個紅球”的對立事件為取不到紅球，

即取到的都是黃球，故C正確.

故選：C.

【點評】本題考查對立事件的定義等基礎知識，考查運算求辭能力，是基礎題.

二.多選題（共3小題）

（多選）7.某公交公司有公交車50輛，按車型大小分為大巴車與中巴車2種，按燃油類型分為汽油車與

柴油車2種，其車輛數(shù)如表所示.

項目汽油車柴油車合計

大巴車102030

中巴車51520

合計153550

記事件M為“在該公司公交車里隨機選一輛，選到大巴車”，事件N為“在該公司公交車里隨機選一輛，

選到汽油車”.下列說法正確的是（）

A.事件M的對U事件為“在該公司公交車里隨機選一輛，選到中巴車”

B.事件M與事件N互斥

C.P（M）=g3,吶）=擊3

D.事件M與事件N相互獨立

【考點】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件的定義判斷人和以利用古典概型公式可判斷C；根據(jù)相互獨立事件

概率乘法公式判斷D.

【解答】解：對于A,事件”的對立事件為“在該公司公交車里隨機選一輛，選到的不是大巴車”，

即“在該公司公交車里隨機選一輛，選到中巴車”，故A正確；

對于8,,??存在既是大巴車又是汽油車的車，

???事件M與事件N可能同時發(fā)生，

???事件M與事件N不是互斥事件，故B錯誤；

對于C，總車輛數(shù)為50,大巴車30輛，汽油車15輛，

則P(M)=|§=|,尸(N)=磊=白，故C正確；

對于。，總車輛數(shù)為50,既是大巴車又是汽油車的車數(shù)為10,

101

???P(MN)二9飛，

結(jié)合選項C可知尸(MN)WP(M)P(N),故事件M與事件N不相互獨立，故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查互斥事件、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

(多選)8.若P(AB)=J,P(A)=I，P(B)=I則事件A與8的關系是()

A.事件A與5不互斥

B.事件A與8對立

C.事件人與“相互獨立

D.事件4與8既互斥乂獨立

【考點】互斥事件與對立事件；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨立性.

【專題】計算題；整體思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)概率即可依次判斷.

【解答】解：因為PG4B)=3,所以A與8能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A正確，。錯誤；

因為P(4)=卷所以PQ4)=4因為P(B)=〈，則PQ4)+P(8)=狂1,所以事件A與8不是互為對

JJJJ

立事件，故8錯誤；

因為PQ48)=2=P(")P(B)，所以事件A與B相互獨立，故C正確.

故選：AC.

【點評】本題考查了互斥事件和刈立事件，屬于基礎題.

3

(多選)9.某A/機器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為3若它連續(xù)嘗試投送兩次，則()

A.事件“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”是對立事件

C.事件“第一次成功投放”與“兩次都成功投放”相互獨立

33

D.該機器人至少成功投放?次的概率為二；

【考點】互斥事件與對立事件：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ABD

【分析】利用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的定義判斷ABC；利用對立事件的概率公式求出概

率判斷

【解答】解：某A/機器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為*它連續(xù)嘗試投送兩次，

對于4,“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，故A正確；

對于從“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”不可能同時發(fā)生，

但必有一個發(fā)生，是對立事件，故8正確；

對于C,設“第一次成功投放”為事件A，“兩次都成功投放”為事件從

3339

-=-X-=

則P(A)=777

49

P(AB)=云。P(A)P(B),???兩個事件相互不獨立,故C錯誤;

對于。，“至少成功一次”的對立事件是“兩次都未成功投放”，

“兩次都未成功”的概率為(1-/2=翳

，'至少成功一次”的概率為1-招=碧，故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件的定義、對立事件的概率公式等基礎知識，考杳

運算求解能力，是基礎題.

三,填空題(共4小題)

10.已知隨機事件A,8相互獨立，且P(4)=l—P(8),P(71)-P(B)=i,則P(AU/3)的值為：.

【考點】事件的并事件(和事件).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

7

【答案】

8

【分析】利用尸(AU8)=P(A)+P(B)-PCAB)求解.

【解答】解：P(4)=1-P(B),P(A)?P⑻=

17

則P(AUF)=P(A)+P(B)-P(4B)=1一者=(.

7

故答案為：

8

【點評】本題主要考查事件的并事件，屬于基礎題.

II.已知隨機事件A,B,C,4和B互斥，B和C對立，且尸(A+B)=0.7,P(A)=0.3,則P(C)=

0.6.

【考點】事件的互斥(互不相容)及互斥事件；事件的互為對立及對立事件.

【專題】對應思想：綜合法；概率與統(tǒng)計：運算求解.

【答案】0.6.

【分析】利用互斥事件和對立事件的概率公式求解即可.

【解答】解：因為隨機事件A和B互斥，所以P(A+B)=P(4)+P(B),

則?(A+B)=P(A)+P(B),所以尸(B)=0.7-03=0,4.

又因為8和C對立，所以P(C)=1-P(B)=0.6.

故答案為：0.6.

【點評】本題考查互斥事件與對立事件的概率公式，屬于基礎題.

12.從一副不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件A=“抽到紅心”，事件8="抽到方

11

塊”，p(4)=p(B)=*c="抽到紅花色”，則P(C)=-.

【考點】事件的并事件(和事件).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計.

【答案】

【分析】根據(jù)己知，應用互斥事件加法求P(C).

【解答】解：設事件A=“抽到紅心"，事件B="抽到方塊”，

則。=41^且A,B為互斥事件，P(A)=P(F)=

1

則P(C)=P(4)+P(B)=亍

故答案為：I

【點評】本題考查了互斥事件，屬于基礎題.

13.已知某藝術協(xié)會的會員中，有旻的會員喜愛書畫或戲曲，有;的會員喜愛書畫，有之的會員同時喜愛書

1232

3

畫、戲曲.現(xiàn)從該協(xié)會中隨機抽取一名會員，該會員喜愛戲曲的概率為.

【考點】事件的并事件(和事件).

【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

3

【答案】丁

【分析】應用概率的性質(zhì)列方程求會員喜愛戲曲的概率即可.

【解答】解：根據(jù)題意，記事件A="該會員喜愛書畫”，事件8="該會員喜愛戲曲”，

1171

則有P(AU8)=接P(A)=；,PG4n8)=1,

1121a

則P(AUB)=P(A)+P(￡)-PCADB),即石=]+2(8)—1解得產(chǎn)⑻=%,

3

即要求概率為

4

故答案為：7*

4

【點評】本題考查和事件的概率計算，注意分析事件之間的關系，屬于基礎題.

四.解答題(共2小題)

14.美國男子職業(yè)籃球聯(lián)盟(NBA)每支隊伍有5名主力隊員，按場上位置可分為后衛(wèi)隊員與鋒線隊員兩

種類型，其中2名后衛(wèi)隊員(標號為1和2),3名鋒線隊員(標號為3、4和5),新賽季開始前聯(lián)盟要

抽檢隊員的身體健康狀況，從5名主力隊員中依次隨機抽取2名進行檢查，設事件M=”第一次抽到后

衛(wèi)隊員"，事件N="第二次抽到鋒線隊員"，事件Q="抽到的2名隊員類型相同”，事件Q的對立事

件為口

(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間C，并求出P(Q)；

(2)求P(M+N)和P(M?AO.

【考點】樣本點與樣本空間；對立事件的概率關系及計算：古典概型及其概率計算公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】(1)C={(1,2),(I,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),

(3,2),(3,4),(3,5),

、、、3

(4,I),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},-；

5

73

(2)P(M+N)=為P(MN)=壽

【分析】（1）利用列舉法可以寫出樣本空間，根據(jù)古典概型以及對立事件的概率公式即可得答案；

（2）根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.

【解答】解：（1）由題設可得，從5名主力隊員中依次隨機抽取2名隊員，抽法總數(shù)構成的集合為:

C={(1,2),(I,3),(1,4),(I,5),(2,I),(2,3),(2,4),(2,5),(3,I),(3,2),(3,

4),(3,5),

(4,I),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)),Q中共有20個基本事件.

。中含有的基本事件為：(1，2),(2,1),(3,4),(3,5),(4,3),(4,5),(5,3),(5,4),共8

個基本事件，

故P(Q)=[=*P@=1-1=?

(2)事件M所含抽法為：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),

事件N所含抽法為：(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,3),

(4,5),(5,3),(5,4),

事件M+N中含有的基本事件為：

(1,2),(I,3),(I,4),(1,5),(2,I),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,3),

(4,5),(5,3),(5,4),共14個基本事件，則P(M+N)=蕓=心

M?N中含有的基本事件為：(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(1,5),(2,5),共6個基本事件，

則P(MN)=券=烹

【點評】本題考杳樣本點及樣本空間，考查古典概型及其概率的求法，是基礎題.

15.同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為人轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為)，.

(1)寫出這個試驗的樣本點；

(2)“x+)，=5”這一事件包含哪幾個樣本點？“xV3且)，＞1”呢？

(3)“孫=4”這一事件包含哪幾個樣本點？'“=)，”呢？

①②

【考點】隨機事件.

【專題】對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；

(3)答案見解析.

【分析】用列舉法求解(1)(2)(3).

【解答】解：(1)這個試驗的樣本點有(1,1),(1,2),(I,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(2)“x+y=5”包含的樣本點有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)；“xV3且/>1”包含的樣本點有

(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

(3)“孫=4”包含的樣本點有(1,4),(2,2),(4,1)；“x=y”包含的樣本點有(1,1),(2,2),

(3,3),(4,4).

【點評】本題考查樣本空間、樣本點的求法，考查樣本空間、樣本點的定義、性質(zhì)等基礎知識，考查運

算求解能力，是基礎題.

考點卡片

1.樣本點與樣本空間

【知識點的認識】

樣本點：我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果成為樣本點，一般地，用3表示樣本點.

樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗￡的樣本空間，一般地，用。表示樣本空間.

有限樣本空間：如果個隨機試驗有〃個可能結(jié)果31，32,…，則稱樣本空間。={3|,102,…，3〃}

為有限樣本空間.

【解題方法點撥】

（1）試驗不同，對應的樣本空間也不同；

（2）同一試驗，若試驗目的不同，則對應的樣本空間也不同；例如對于同一試驗“將一枚硬幣弛擲三次”，

若觀察正面“、反面7出現(xiàn)的情況，則樣本空間為S={“〃"，HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,777},

若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)，則樣本空間為5={0,1,2,3）.

（3）建立樣本空間，事實上就是建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型.因此一個樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相

同的實際問題.例如只包含兩個樣本點的樣本空間S={從T},它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反

面的模型，也可以作為產(chǎn)品檢驗中合格與不合格的模型，又能用于排隊現(xiàn)象中有人排隊和無人排隊的模型

等.

【命題方向】

樣本空間和樣本點是概率論中的重要概念，它們是描述隨機試臉的基礎.在明確樣本空間和概率測度后，

我們可以將樣本空間變成一個概率空間，從而進行概率的計算和推斷.需要注意的是，樣本空間和樣本點

的定義需要根據(jù)具體的試驗來確定，并遵循相關的公理和定理.考試題型通常以選擇題、填空題為主.

2.隨機事件

【知識點的認識】

1.定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件.（或“偶然性事件”）

2.特點：

<1）隨機事件可以在相同的條件下重復進行；

（2）每個試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先預測試驗的所有可能結(jié)果；

（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

3.注意：

（I）隨機事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；

（2）必然事件發(fā)生的機會是1：不可能事件發(fā)生的機會是0；隨機事件發(fā)生的機會在0-1之間，0和1可

以取到.

（3）要判斷一個事件是必然事件、隨機事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā).

3.事件的并事件（和事件）

【知識點的認識】

一般地，事件A與事件8至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B

中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作AUB.

【解題方法點撥】

-根據(jù)并事件的定義，對兩個事件的并事件進行求解和辨析.

【命題方向】

-常用于求兩個事件的并事件.

4.互斥事件與對立事件

【知識點的認識】

I.互斥事件

（I）定義：一次試驗中，事件A和事件8不能同時發(fā)生，則這兩個不能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件.

如果Ai,A2,…，4；中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件4,加，…4彼此互斥.

（2）互斥事件的概率公式:

在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和8是互斥事件，則有:

P（A+8）=P（A）+P（B）

注：上式使用前提是事件A與8互斥.

推廣：一般地，如果事件4,A2,…，4〃彼此互斥，那么事件發(fā)生（即4,A2,…，A〃中有一個發(fā)生）

的概率等于這〃個事件分別發(fā)生的概率之和，即：

P(AI+A2+,?，+4〃)=P(AI)+P(A2)+---+P(An)

2.對立事件

（I）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做瓦

全集I

注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件;

②在一次試驗中，事件A與彳只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一.

（2）對立事件的概率公式：

P（彳）=1-P（A）

3.互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系

互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必

須有一個發(fā)生.因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對

立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件.

【命題方向】

1.考杳對知識點概念的掌握

例1：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不時立的兩個事件是（）

兒“至少有一個紅球”與“都是黑球”

B.“至少有一個黑球”與“都是黑球”

C.“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”

D.“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”

分析：列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可

解答：對于4：事件：“至少有一個紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個事件是對立事件，???A不正確

對于小事件；“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如；一個紅球一個黑球，???力不

正痢

對于C：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球,

，C不正確

對于。：事件：“恰有一個黑球”與“恰有2個黑球”不能同時發(fā)生，，這兩個事件是互斥事件，

又由從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，

得到所有事件為“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”以及“恰有2個紅球”三種情況，故這兩個事件是

不是對立事件，

???D正確

故選。

點評：本題考查互斥事件與對立事件.首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事

件的聯(lián)系與區(qū)別.同時要能夠準確列舉某一事件所包含的基本事件.屬簡單題.

例2：下列說法正確的是()

A.互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件

B.互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件

C.事件A,8中至少有一個發(fā)生的概率一定比A,8中恰有一個發(fā)生的概率大

D.事件A,8同時發(fā)生的概率一定比A,8中恰有一個發(fā)生的概率小.

分析：根據(jù)對立事件和互斥事件的概率，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對

立事件，這兩者之間的關系是一個包含關系.

解答：根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，

得到對立事件一定是互斥事件，

兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，

故選B.

點評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關系，這是一個概念辨析問題，這種題目不用運算，只要理解

兩個事件之間的關系就可以選出正確答案.

2.互斥事件概率公式的應用

例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是二乙獲勝的概率是3則乙不輸?shù)母怕适?/p>

23---

分析：記“兩人下成和棋”為事件4,“乙獲勝”為事件從則A,B互斥,且P(4)另，P(B)=1則乙

不輸即為事件A+&由互斥事件的概率公式可得，P(人+B)=P(A)+P(B)可求.

解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A,“乙獲勝”為事件B,則A,B互斥，

則p(4)=，P(B)=4,

則乙不輸即為事件A+8,

由互斥事件的概率公式可得，P(A+B)=P(A)+P(B)+1=

Z3b

故答案為：7

6

點評：本題主要考查互斥事件的關系，不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考

查了互斥事件的概率的加法公式在概率計算中的應用.

3.對立事件概率公式的應用

例：若事件A與4是互為對立事件，且。（A）=0.4,則0（4）=（）

A.OR0.4C.0.6DA

分析：根據(jù)對立事件的概率公式p（A）=1-P（A）,解得即可.

解答：因為對立事件的概率公式p（彳）=\-P（A）=0.6,

故選C

點評：本題主要考查對立事件的定義，屬于基礎題.

5.事件的互斥（互不相容）及互斥事件

【知識點的認識】

一般地，如果事件人與事件8不能同時發(fā)生，也就是說是一個不可能事件，即則稱事件

4與事件B互斥（或互不相容）.

【解題方法點撥】

■判斷兩個事件是否互斥，即它們的交是否為空.

【命題方向】.；

-常用于考察事件是否互斥的問題.

6.事件的互為對立及對立事件

【知識點的認識】

-對立事件：事件4的對立事件是指A不發(fā)生的情況，記