定義在區(qū)間I上的一列函數則由這一列函數構成的表達式

稱為定義在區(qū)間I上的（函數項）無窮級數，簡稱（函數項）級數.（1）一、函數項級數的概念§9.3冪級數

對于每一個確定的值函數項級數就成為常數項級數:（1’）如果（1’）收斂，稱點x0是函數項級數（1）的收斂點；如果（1’）發(fā)散，則稱點x0是函數項級數（1）的發(fā)散點.此級數可能收斂可能發(fā)散.

由所有的收斂點構成的集合稱為函數項級數的收斂域，由所有的發(fā)散點構成的集合稱為函數項級數的發(fā)散域.

顯然，在收斂域上，函數項級數的和是x的函數，記作稱為函數項級數的和函數，即和函數的定義域就是級數的收斂域.函數項級數（1）的前n項和稱為它的部分和函數，易知在收斂域上有

稱為函數項級數的余項，在收斂域上有形如的級數稱為冪級數，其中的常數稱為冪級數的系數.

一個冪級數的和是定義在它們的收斂域內的一個函數，即和函數.二、冪級數及其收斂域1.冪級數定義如冪級數的收斂域是(-1,1)，當時有即當時,收斂；當時,發(fā)散.收斂域發(fā)散域定理1(阿貝爾Abel定理)(1)如果級數在處收斂,

則它在滿足不等式的一切處絕對收斂；(2)如果級數在處發(fā)散,則它在滿足不等式的一切處發(fā)散.使得當時,等比級數收斂,

收斂,即級數收斂.

證明收斂,假設當時發(fā)散,而有一點適合使級數收斂.由(1)結論,則級數當時應收斂,這與所設矛盾.推論如果冪級數不是僅在一點收斂,也不是在整個數軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數存在,使得當時,冪級數絕對收斂；當時,冪級數發(fā)散；當與時,冪級數可能收斂也可能發(fā)散

正數R稱為冪級數的收斂半徑.開區(qū)間(-R,R)稱為收斂區(qū)間.從而決定了收斂域為以下四個區(qū)間之一:2.收斂半徑幾何意義收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域規(guī)定收斂域(1)冪級數只在處收斂,收斂域(2)冪級數對一切都收斂,冪級數收斂域舉例(先不證明):證明對級數應用比值判別法()或定理2

如果冪級數的所有系數,設(1)則當時,(2)則當時,(3)則當時,如果存在由比值審斂法,當時,級數收斂,從而級數絕對收斂.當時,級數發(fā)散,并且從某個n開始從而級數發(fā)散,收斂半徑由比值判別法知，對任意的x≠0，級數必發(fā)散.從而級數絕對收斂.收斂半徑如果有級數收斂,級數必發(fā)散.如果故收斂半徑當時，級數為，發(fā)散.例1

求冪級數的收斂域.解因為又當時，級數為，發(fā)散；所以這個冪級數的收斂域為

.解解令t=x–1,則級數變?yōu)榻?/p>

求下列冪級數的收斂區(qū)間:該級數發(fā)散；當時,級數為該級數收斂；當時,級數為故收斂域是練1故收斂域是級數只在處收斂.當即時,原級數收斂.

求冪級數的收斂域.解級數缺少偶次冪的項,對級數用比值判別法練2當即時,原級數發(fā)散.當級數為,收斂.故原級數的收斂域為

求冪級數的收斂域.練3解令,原級數化為當時,,級數發(fā)散,當時,,級數收斂,原級數的收斂域為

的收斂域為ABCD提交練4單選題1分1.冪級數的四則運算(1)加（減）法(其中設和的收斂半徑分別為三、冪級數的運算與性質(2)

乘法(其中注：

相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數的收斂區(qū)間小得多.(3)除法在收斂域內2.冪級數的分析運算性質(2)冪級數的和函數在收斂區(qū)間內可積,且對可逐項積分.冪級數的和函數在收斂區(qū)間內連續(xù),如在端點收斂,則在端點單側連續(xù).即收斂半徑不變.收斂半徑不變.即(3)冪級數的和函數在收斂區(qū)間內可導,且對可逐項求導任意次.

兩邊積分得例7

求下列冪級數的和函數.解易求得的收斂域為設顯然又時,收斂.即易求得的收斂域為兩邊從到積分,得設兩邊求導得易求得的收斂域為設兩式相減,得

求的收斂域及和函數.解易求得與的收斂域分別為收斂域為設練習5則故原級數的和函數為

求的收斂域及和函數.解練習6故收斂域為令積分求導令求導兩邊同時積分得所以內容小結1.求冪級數收斂域的方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(缺項或通