立體幾何：線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一線面垂直的判定

1.(24?25高一下?四川成都?期末)如圖，已知四棱錐中，側(cè)面口。為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面

4BCD為菱形,ND48=60。，0為力。中點(diǎn)，側(cè)面與底面/8CO所成的二面角為120。.

(1)證明月。_1_平面PBO：

(2)求點(diǎn)P到平面ABCD的距離：

(3)求二面角力-P8-C的余弦值.

2.(2025?貴州貴陽?模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱錐尸一彳8。中，P4上平面4BC,P/i=4B=BC=I,PC=6.

(1)求證：BC_L平面P/4；

(2)記PC的中點(diǎn)為G,求二面角G--C的大小.

A

B

3.(2024?山東威海?二模)如圖，在四棱錐夕-中，平面2W_L平面/"CO,△RW為等邊三角形,

PD1AB,AD//BC,AD=4,48=8C=2,M為尸力的中點(diǎn).

(1)證明：。河，平面尸43;

(2)求直線PB與平面MCD所成角的正弦值.

-?D

4.(24-25高二下?海南?階段練習(xí))如圖，在直四棱柱44GA中，ADHBC^ABC=-y

AD=DDl=2BC=4,AB=CD.

⑴證明：力8_1平面。加6；

(2)求直線4〃與平面4QG所成角的王弦值.

g.G

5.(24?25高一下?湖北荊州?期末)如圖所示，在四棱錐已知4C=JJ,PA=BC=2,84_L底面

ABCD,平面4C_L平面尸CD.

(1)求點(diǎn)A到平面PCZ)的距離；

(2)證明：CQ1平面產(chǎn)4C：

(3)若力B=4C,求二面角P-8C-4的余弦值.

6.(2025?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐P-彳8c。中，平面/8CQ,四邊形48C。為直角梯形,

ZJDC=90°,AB=AD=PD=3,且覺=2萬，CE=2EP.

(1)證明：/。_1_平面尸。。；

(2)求平面BDE與平面PBC夾角的余弦值.

7.(23?24高三下?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期中)如圖，四邊形力68是菱形，AB=?cos皿D=±,平面DBEF±平

面4BCDMB上DF,DF//BE,且DF=28E=2.

(1)求證：8￡_L平面力48；

(2)求點(diǎn)B到平面AEF的距離.

8.(2025?天津?二模)如圖，在四棱錐夕-中，△4/)是以為斜邊的等腰直角三角形,底面43CQ是等

腰梯形，且BC//AD,AD=2DC=2CB,N4)C=60。，PC=4iBC，M為力。中點(diǎn).

(1)求證：

(2)求直線力〃與PO所成角的余弦值；

(3)求平面BPC與平面PC。夾角的正弦值.

AD

C

考點(diǎn)二線面垂直的性質(zhì)

1.(24?25高二下?湖南?期末)如圖，在四棱錐尸-中，側(cè)面平面48CQ,△P/。是邊長(zhǎng)為2的等邊

三角形，底面48CO為直角梯形，其中8C7/4),AB1AD,AB=BC=\.

(1)求證：AB1PD.

⑵求線段PA中點(diǎn)M到平面PCD的距離.

(3)線段夕。上是否存在一點(diǎn)上，使得平面口。與平面D4c夾角的余弦值為巫？若存在，求出奇的值；若不存

5

在，請(qǐng)說明理由.

2.(24-25高二下?江蘇南京?期末)如圖，在直三棱柱力8C-44G中，AB=AC=AAI=2,Z2?JC=90°,E,F

分別為GC，8C的中點(diǎn).

(1)求證:但用C；

(2)求直線44與平面AEF所成角的余弦值.

3.(2025?廣東梅州?一模)如圖，在三棱錐V-.4AC中，VA-VB-AB-AC-BC-2,VC-\.

(1)求證：ABLVC-

(2)求直線P8與平面力PC所成角的正弦值；

⑶若力B〃a,VCHa,用平面a將三棱錐/-48c分為兩部分，求截面面積的最大值.

4.(24-25高一下?湖北武漢?期末)如圖，正方形48co中，邊長(zhǎng)為七為48中點(diǎn)，尸是邊8C上的動(dòng)點(diǎn)，將

△4ED,ABE尸分別沿著。瓦折起，使48兩點(diǎn)重合于點(diǎn)S.

(1)求證：SEJLQ尸：

(2)當(dāng)尸是邊8c的中點(diǎn)時(shí)，將△4E。，4BEF,a。。尸分別沿著。尺￡。,。尸折起，使4B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)

S,求三棱錐SDE/的外接球的表面積；

(3)4=4,若BF>1,設(shè)直線SE與平面OE戶所成角為6,求sin6的最大值.

5.(2025?山西?三模)如圖，在三棱柱444G中，所有的校長(zhǎng)均相等，。是月。的中點(diǎn)，。在上底面44G

的投影為△44G的重心。.

(1)證明：AC工BO；

(2)求平面ABC與平面44CG的夾角的正弦值.

6.(2025?甘肅白銀?三模)如圖，在五面體48C￡產(chǎn)中，底面/8C為等邊三角形，力/_L底面NBC,AF//BE,

AB=BE=2,AF=\,D,M分別是/C,BE的中點(diǎn).

(1)證明：8。lb：

(2)求平面CM與平面ACM夾角的余弦值.

7.(2025?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))如圖，平行六面體力8c中，Abi.AD,尸為棱4周上一點(diǎn)，且

PA=PB,尸為C。的中點(diǎn).

(1)證明：ABLPFx

(2)若4B=4D=PD=4,當(dāng)直線瓶與平面PC。所成的角的余弦值為弓，且二面角尸-。-4的平面角為銳角

時(shí)，求三棱錐4-力。。的體積.

8.(2025?山東聊城?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四面體488中，NACD=NBDC《AC=BD八CD=x,記二面角

A-CD-B為仇M,N分別為AD,8C的中點(diǎn).

(1)求證：MN1CD；

⑵若X=B,e=三,求直線MV與平面48。所成角的正弦值.

23

A

D

考點(diǎn)三面面垂直的判定

1.(24?25高一下?山東威海?期末)如圖，在三棱錐P-18c中，側(cè)面尸8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AC1.BC,

E、尸分別為48、8c的中點(diǎn).

(1)證明：E/〃平面P4C；

(2)證明：平面。上/，平面尸4C；

(3)若力C=3,二面角尸一6C-Z的大小為30“，求產(chǎn)力.

2.(2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐P-力8c。中，底面/8CO是邊長(zhǎng)為3的菱形，P4_L平面

7T

ABCD,PA=3,//AC=?,點(diǎn)為線段產(chǎn)。上的三等分點(diǎn).

(1)證明：平面平面力C.

(2)求二面角A-BM-N的余弦值.

BC

3.(24-25高三上?山東?期中)如圖，在四棱錐尸一4"8中，平面PC。J.平面.44CD,AD±AB,ABHCD,

AB=AD=l,CD=2,PD=PC=>fi，有、E在棱PAk,nPE=2E4.

(1)求證:平面PAD_L平面DBE;

(2)求平面PAB與平面44CQ所成角的大小.

4.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在以4優(yōu)。,2民尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形力4CD與四邊形CQ斯均為

等腰禪形，ABNCD,CD"EF、AB=DE=EF=CF=2,CD=4,4D=BC=M,AE=26,M為。。的中點(diǎn).

(1)證明：平面為ACO工平面COE產(chǎn)；

(2)設(shè)點(diǎn)N是內(nèi)?動(dòng)點(diǎn)，而.兩=0，當(dāng)線段4N的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線EN與直線4戶所成角的余弦值.

5.(2025?河南許昌?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐?一力8c。中，AD/'.BC,BC=2AD=2AB=4t/BAD=^,

△尸8。為等邊三角形，直線21與平面/14C。所成角的大小為點(diǎn)E是棱尸8上的一點(diǎn)(不包含端點(diǎn)).

4

⑴求證：平面￡CQ_L平面P8D；

(2)若二面角尸-CO-E的余弦值為迫，求線段夕￡的長(zhǎng).

6.(2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐中，底面44CO是矩形，NPDC=90°,PA1.PD,

BC=亞AB=1.

(1)求證：平面P48_L平面PCD.

(2)若*PD,求平面尸/1。與平面所。的夾角的余弦值.

7.（2025?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐P--.4ACO的底面是直角梯形，AD=2,PA=DC=BC=1,

ADHBC,/BCD=900,且P/4氏PQ_LCD

（1）證明：平面產(chǎn)48_1_平面力8CQ：

（2）求二面角B-PC-D所成平面角的余弦值.

BC

8.（2025?湖南邵陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖（一），四邊形力8即是梯形，AF/IBE,ABLBE.AB=BE=2,AF=3,

C為線段監(jiān)的中點(diǎn)，CO//力8且交"?于點(diǎn)力.四邊形48C。沿CO翻折，如圖（二）所示，線段配的中點(diǎn)為G,

M是線段"'上一點(diǎn)，且C,D,M,G四點(diǎn)共面.

（1）求證：平面/8七_(dá)1,平面8河6；

⑵若AF=M，求直線CM與平面AEF所成角的正弦值.

圖㈠圖（二）

考點(diǎn)四面面垂直的性質(zhì)

1.(2025?天津?二模)如圖，在四楂錐S-力8CQ中，底面48。為直角梯形，AD〃BC,ADLDC,平面S4)l

平面/8CQJ為的中點(diǎn)，SA=SD=2,BC=LAD=1,CD=B

2

(1)求證：SPLAB；

(2)求直線BS與平面SCD所成角的正弦值；

⑶設(shè)M為&7的中點(diǎn)，求平面SPB與平面PBM的夾角余弦值.

2.(2025?江西新余?模擬預(yù)測(cè))在棱柱瓦G中，平面44GC_1,平面同4G，4cl=2,44=G4=0,

AA、=AC廣出,E,G分別為線段力G，片。的中點(diǎn)，尸為直線/用與直線48的交點(diǎn).

(1)求證：平面平面力4CC；

(2)求直線與平面”,所成角的正弦值.

C

4

5

3.(2025?海南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱柱用GR中，底面/18CO為矩形，平面月5co2平面CD/)￡,

AA^AB^IAD,ZD,DC=60°,。，E分別為CO,4A的中點(diǎn).

(1)證明：平面48CZ)：

(2)求平面與平面AARB的夾角的余弦值.

4.(2025?浙江嘉興?二模)如圖，已知ADHBC//FE,平面力E尸_L平面/OEF,ABLAF,AF1AD,

AD=2BC=2EF=2AF=2,點(diǎn)P為曲形4DEF內(nèi)(包括邊界)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且8P〃平面CQE.

(I)求點(diǎn)尸的朝L跡長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)線段40最短時(shí)，直線4P與平面8CEF所成角。的正弦值為g,求三棱錐P-COE的體積.

6

5.(2025?安徽?三模)如圖，矩形,448中，AD-2AH-2,召為邊KC的中點(diǎn)，現(xiàn)