專題07立體幾何

題型01空間幾的點(diǎn)線面位置關(guān)系

1.（多選）（2025?四川省涼山州?三模）已知直線〃?和平面a,夕，則下列命題中正確的有（）

A.若a〃民則〃?_!_/?B.若a工用m工a,則〃〃/6

C.若加〃則a_L/?D.若mHa,m!Ip,則alip

2.（多選）（2025年山西省呂梁市三模）己知在正四面體A—48中，M,N分別是八艮6的中點(diǎn)

平面a與直線ARC。都平行，則（）

A.MN//aB.MNl.a

D.平面A8C與平面a的夾角的余弦值為正

C.直線4c與平面。所成角為60。

3

3.（2025?四安徽合肥市?三模）已知m,n為異面直線，mJ_平面a,n_L平面B，直線I滿足l_Lm

I±n,/<za,/<z4則（）

A.all3且/IIaB.a_LB且UB

C.a與0相交，且交線垂直于/D.a與0相交，且交線平行于/

4.〔多選）（2025?遼寧沈陽(yáng)?三模）堂堵、陽(yáng)馬、鱉嚅這些名詞出自中國(guó)占代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商

功》.如圖1，把一塊長(zhǎng)方體分成相同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）.如圖2,再沿塹堵的一

頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐稱為陽(yáng)馬，三棱錐稱為鱉㈱.則（）

A.陽(yáng)馬的四個(gè)側(cè)面中僅有兩個(gè)是直角三角形

B.鱉嚅的四個(gè)面均為直角三角形

C.陽(yáng)馬的體積是鱉瞞的體積的兩倍

D.塹堵、陽(yáng)馬與鱉般的外接球的半徑都相等

5.（2025年天津市濱海新區(qū)三模）已知"，”是兩條不同的直線，夕，夕是兩個(gè)不同的平面，則下

列命題正確的是（）

A.若〃〃ua,則〃?〃〃B.若〃?//a,mHn,則

C.若，〃_La,nLp,m±n,則。D.若a10,af0=1,in±I,則〃?_La

6.（多選）（2025?河南省鶴壁市?三模）如圖1,在VA3C中，AC_L3C,吟,A8=8,0、E

分別在48,AC上，且4OE=38C.將VADE沿。石翻折得到圖2,其中/C1位.記三棱錐A-BCD

外接球球心為。一球。|表面積為￥，三棱錐A-ECD外接球球心為球。?表面積為S2,則在圖

2中，下列說(shuō)法正確的有（）

A.BDYAD

B.直線人“與。石所成角的正弦值為亞

5

C.。02〃平面BCDE

D,$+52=78乃

7.（2025?浙江省金華市義烏市?三模）如圖，在三棱錐尸-A8C中，VA8C是正三角形，AC=PC,

4c尸=120。，AD=2DP，點(diǎn)G為VA8C的重心.

（1）證明：GD〃平面PBC；

⑵若平面BGD_L平面PAC,求二面角P-A8-C的平面角的正切值.

題型02空間幾何體的表面積與體積

1.（2025年山東威海市三模）已知圓臺(tái)的上底面半徑、下底面半徑、母線長(zhǎng)之比為123,高為4,

則該圓臺(tái)的體積為（）

2.（2025?四川省涼山州?三模）某圓錐母線長(zhǎng)為1,其側(cè)面積與軸截面面積的比值為2兀，則該圓錐

的高為（）

A.yB.1C.2D.乃

3.（2025?四川省成都市?三模）已知正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為4,下底面邊長(zhǎng)為8,側(cè)棱長(zhǎng)為歷，

則其體積為（）

A.108B.112C.120D.124

4.（2025?山東省棗莊市?三模）已知圓錐的體積為痣L,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為鄉(xiāng)的扇形,

33

則該圓錐的底面半徑為（）

A.yB.1C.y/2D.2

5.（2025?浙江省金華市義烏市?三模）將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面半徑為3cm

的圓錐體零件，則該圓錐體零件的高約為（）（冗取3）

A.8cmB.12cmC.16cmD.24cm

6.（多選）（2U25-四川省宜賓市?三模）“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由兩種或多種正多邊

形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是一

個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的二十四等邊體，若它所有的梭長(zhǎng)都

為2,則（）

A.該石凳的表面積為24+86

B.該石凳的體積為也1

3

C.直線〃/與的夾角為60"

D.。"_1_平面￡￡7

7.（2025-陜西省安康市?三模）如圖1,在直角梯形A8CO中，

BC//AD,ABLAD,BC=^AD=9,AB=2y/3,E為線段AC上的一點(diǎn)，BE=6,過(guò)E作A8的平行線

交AO于尸，將矩形48石廠翻折至與梯形ECQ/7垂直，得到六面體A8CD戶'E,如圖2,則六面體

A6CQEE的體積為（）

B.873C.156D.1673

A?竽

8.（2025年天津市濱海新區(qū)三模）如圖，該幾何體為“四角反棱臺(tái)〃，它是由兩個(gè)相互平行的正方形

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，連接而成，且上底面正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在下底面的射影點(diǎn)為下底面正方形各邊的中點(diǎn).若

下底面正方形邊長(zhǎng)為2,“四角反棱臺(tái)〃高為G，則該幾何體體積為（）

A.2百+B.yD.20

9.（2025年山東省泰安市三模）已知正三棱柱的表面積為6石，則當(dāng)其體積取得最大值時(shí)，該三棱

柱的高為（）

A.3」巫C*D.也

334

10.（2025年江蘇如皋市三模）已知正三棱臺(tái)AAC-AqG，%點(diǎn)。為底面，VA3c的重

AC3

心，過(guò)點(diǎn)。，4,G的截面將該三棱臺(tái)分成兩個(gè)幾何體，則這兩個(gè)幾何體的體積之比為（）

A.5:4B.12:7C.2:1D.15:4

11.（2025?河南省安陽(yáng)市?三模）已知圓錐的頂點(diǎn)為V,母線“VW?所成角的余弦值為士，必1與圓錐

底面所成的角為g,若圓錐的側(cè)面積為2兀，則一公8的面枳為（）

.688石n16

5555

7T

12.（多選）（2025?河北省張家口?三模）在三棱錐S-A8C中，AB=BC,ZABC=~,&SAC為等

2

邊三角形，側(cè)面SAC_L底面ABC,M為棱竟的中點(diǎn)，SN=/ISB，三棱錐S-/WC的體

積為V,貝1J（）

A.若丫=警，則AB=2&

B.若巨，則三棱錐S-A8C的外接球的表面積為36幾

3

3

C.若BC"平面AMN,則四棱錐A-8CMN的體積為一V

4

D.若AN,與平面ABC所成角相等，貝1卜=：

O

13.（2025?四川省攀枝花?三模）已知母線長(zhǎng)為10的圓臺(tái)的表面積為210兀，且其上底面的半徑「與

下底面的半徑R滿足寵=3/，則R=.

14.（2025?河南省焦作市?三模）我們把幾何體的表面積與體積之比稱為“相對(duì)積”.已知三棱隹

中，A8=3,D,E/分別在棱OAO8,OC上，且截面。"'與底面A8C平行，DE=2,則

三棱錐A3c與三棱錐。-。所的相對(duì)積之比為.

15.（2025-四川省綿陽(yáng)市?三模）如圖1,等腰梯形ABCD中，ABHCD,CD=AB+2,E,F分別為AB,CD

的中點(diǎn)，且卬=迷，將梯形4砂。沿E尸翻折至梯形4所。，使得平面AEFQ1平面HMC,得

到如圖的多面體A8ERC尸，且8F_LAC.

圖1圖2

（1）證明：A，8,C〃四點(diǎn)共面;

（2）求跖的長(zhǎng);

⑶在。C上取一點(diǎn)〃，使得平面EF尸_L平面A8C",求平面A0與平面比下。夾角的余弦值.

16.（2025年山西省呂梁市三模）如圖，在多面體ABC。防中，四邊形人AC。是邊長(zhǎng)為4的正方形,

AD〃EF、AD工BE.

（1）證明：平面A8CQ1平面/WE；

⑵若EA=EB=&,當(dāng)平面8DE與平面的夾角為J時(shí)，求該多面體的體積.

6

題型03有關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切求的問(wèn)題

1.（2025-四川省德陽(yáng)市?三模）六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）.

若一正八面體的內(nèi)切球表面積為外接球表面積為Sz,則■的值為（）

43

A.-B.-C.3D.4

32

2.（2025?遼寧沈陽(yáng)?三模）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上

盒蓋.可放小球的最大半徑為若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長(zhǎng)為“，

則￡=（）

3.（2025?安徽省安慶市?三模）正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1,下底面邊長(zhǎng)為2,若一個(gè)球的球心到正四

棱臺(tái)各個(gè)面的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺(tái)與該球的體積之比為（）

A.14:兀B.7:兀C.7:2TID.7:近軟

4.（2025?云南省玉溪市、保山市?三模）正三棱臺(tái)A3C-A4G的上、下底邊長(zhǎng)分別為6,18,該正

三樓臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三極臺(tái)的表面積為（）

A.144GB.153百C.225>/3D.2346

5.（2025年江蘇如皋市三模）已知正四樓臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為下底面邊長(zhǎng)為2&，高為3,則該

四棱臺(tái)外接球的表面積為.

6.（2025年廣東省廣州市天河區(qū)三模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體A8CO-AMGA，在其內(nèi)部放入兩

個(gè)相外切的球。1和球。2（可與正方體表面相切），半徑分別為小4,則，i+4的最大值為.

7.（2025年山西省呂梁市三模）已知圓柱的上、下底面圓周在同一球面上，且球的表面積是圓柱的

表面積的2倍，則球的體積與圓柱的體積的比值是.

8.（2025?浙江省金華市義烏市三模）已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，三棱錐A3。為正四

面體，則三棱錐P-/WO與三棱錐尸-BCD的外接球半徑之比為.

9.（2025?湖南省永州市?三模）已知四棱臺(tái)的底面為矩形，上底面積為下底面積的"，所有側(cè)棱長(zhǎng)

均為遙.當(dāng)該四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為.

10.（2025?四川省攀枝花?三模）如圖，在四面體P48C中，。為棱PC上一點(diǎn)，AB=—,

3

BD=—,且AD_LPC,BC上PC,二面角。一A8-C的大小為】.

34

力B

（1）證明：AD_L平面〃C";

⑵求四面體A3。。外接球的體積；

⑶求CQ的長(zhǎng).

題型04有關(guān)立體幾何中的最值與軌跡問(wèn)題

1.（2025?重慶市?三模）已知長(zhǎng)方體中，AB=AD=4,A4,=730,E為4心的中

點(diǎn).若長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)尸滿足AP=4AC+〃AE（%4eR）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圍成面積為（）

A.24B.18C.12&D.12

2.（2025年河北石家莊三模）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，正方形框架ABC。的邊長(zhǎng)為2,長(zhǎng)方形框

架的長(zhǎng)屏：=1”，且它們所在平面形成的二面角C-A8-E的大小為不活動(dòng)彈子憶N

分別在對(duì)角線AC和責(zé)?，上移動(dòng)，且始終保持空■=娶=。（0<4<1）,則MN的長(zhǎng)度最小時(shí)。的取

ACnF

AF

3.（多選）（2025?山東省棗莊市?三模）已知正方體A8CO-AQCQ的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸在正方體的內(nèi)

切球表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足8尸//平面ACR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BPLB.DB.點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為幾

C.線段所長(zhǎng)度的最小值為冷D.8P4C的最小值為1-日

4.（多選）（2025年河北石家莊三模）己知四面體A8CD中，ABA.BC,BCLCD,BC=2,。為

四面體/WC。外接球的球心，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若AA_LC￡>,則AB_L平面8co

B.若A8=CO=1,則A。的取值范圍是（2,2直）

C.若八8+8=2,則。O.（CD—84）的取值范圍是（一2,2）

2X

D.若AB=CO=2,直線A4與CD所成的角為60。，則四面體4BC。外接球的表面積為］兀

5.（多選）（2025?安徽省安慶市?三模）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABCQ中，尸,Q分別是

棱CG，棱8C的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足0M=294+4。。，其中九〃wR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若％+〃=1,貝IJCM_LOB

B.若義=〃，則三棱錐片-AWC的體積為定值

C.若4=；,04丸工1,則直線AW與直線8c所成角的最小道為60。

D.若動(dòng)點(diǎn)M在三棱錐尸。外接球的表面上，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為07r

7.1多選）（2025年江西省萍鄉(xiāng)市三模）已知正方體A4CD-44CQ中，動(dòng)點(diǎn)M、N分別在棱DR、

BB,（不含端點(diǎn)）上，則（）

A.A.CA.MN

B.若M、N分別為所在楂的中點(diǎn)，則平面AMN將正方體A8C￡>-A4GA的體積平分

C.不存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)A與點(diǎn)C到平面AMM的距離相等

D.當(dāng)M由，向。運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面AMq與正方體A8CO-ABG。形成的截面面積逐漸增大

8.（多選）（2025年江西九江市三模）如圖，在五面體A8CDE尸中，底面CZ）E/是邊長(zhǎng)為2的正方

形，AE=AF=BD=BC,A8〃平面CZ）M,AB=\,回到底面的距離為近，點(diǎn)S為BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)P在四邊形C。即內(nèi)部（含邊界）.則下列選項(xiàng)中正確的是（）

C.該五面體的體積為逆D.若則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為冗

32

：

9.（2025年山東威海市三模）在三楂錐P—A8C中，/%_!_平面ABC,PA=AB=4tZACB=90.若

Q為側(cè)面抬8內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，CQ=20,當(dāng)該三棱錐的體積最大時(shí)，Q的軌跡與從仇松所圍成區(qū)域的

面積為.

10.（2025年山東省泰安市三模）如圖，四棱錐尸-A3CQ的各個(gè)頂點(diǎn)均在球。的表面上，一旦

AB=AD=4,BC±CDt平面E4O.

P

（1）證明：平面尸A6_L平面A68；

⑵求四棱錐尸-A8C￡＞體積的最大值；

⑶當(dāng)5|%|?|28|=24&時(shí)，求直線PC與平面A8co所成角的正弦值的最小值.

11.（2025?遼寧沈陽(yáng)三模）如圖所示，在直角梯形3c正中，ZC/?F=ZBCE=90°,A,D分別是斯，

CE上的點(diǎn)，且AO//8C,ED=2AF=2,CD=r（0＜r＜3）,BC+CD=3,將四邊形A￡＞瓦'沿AO

向上折起，連接座，BF,CE,在折起的過(guò)程中，記二面角E-AO-C的大小為夕（0＜。＜兀），記

幾何體EaWCD的體積為V.

⑴求證：BF〃平面CDE；

（2）當(dāng)/=2時(shí)?，請(qǐng)將U表達(dá)為關(guān)于a的函數(shù)，并求該函數(shù)的最大值；

⑶若平面K陽(yáng)和平面E8C垂直，當(dāng)。取得最大值時(shí)，求V的值.

題型05有關(guān)空間線線角與線面角的問(wèn)題

1.（多選）（2025?河南省焦作市?三模）在三棱錐A-4CO中，已知

48=8。=。。=04=2,8。=26,￡：為40的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AC長(zhǎng)度的取值范圍是（0,2人）

B.直線A8與平面4EC所成的角為T

C.若47=應(yīng)，則AE,8c所成的角為g

D.若AC=1,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為等

2.（2025年廣東省廣州市天河區(qū)三模）如圖，在三棱柱ABC-AAG中，底面VABC是邊長(zhǎng)為4的

等邊三角形，且AA_L8C.

B

(1)求證：AB=41C;

⑵若三棱柱A8C-的體積為4g，AA=2,求直線AG與平面AAM8所成角的正弦值.

3.(2025?云南省玉溪市、保山市?三模)如圖，在四棱柱A8C。-A8CQ中，底面A與CQ為菱形,

4AD=60。，AC與8。的交點(diǎn)為。，AG±AB.

(1)求證：AtA=AtC；

⑵若AB=2,AO=j3,BG=4,求BG與平面A]C所成角的余弦值.

4.(2025?山東省棗莊市?三模)如圖，在四棱錐P-A8CO中，底面A8C。為矩形，E為PC的中點(diǎn),

PA=AD,PDA.BE.

(1)證明：平面小￡>_!_平面4BC。；

⑵若叨=4),直線如與平面PDA所成角的正切值等于2,求平面樨與平面尸8c夾角的余弦值.

TT

5.(2025?湖南省永州市?三模)如圖，在四棱錐P-人BC力中，底面ABC。為菱形，NBAD=§,JAB

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，尸為BC的中點(diǎn).

(1)證明：AB1PD；

⑵若直線AR與。尸的夾角的余弦值為坐，求直線PC與平面用8所成角的正弦值.

6

6.（2025年江西九江市三模）如圖，在四棱錐夕-/WC。中，"_L平面ABC。，AB//CD且

AB=BC=PA=tCD=2,AB1BC,石為C。的中點(diǎn)，平面P8CC與平面#4E=/.

⑴求證：/J?平面24B；

IROULA.U

⑵若PM=2BC，求直線P8與平面M4。所成的角.

7.（2025?四川省成都市?三模）如圖，在矩形ABCE中，AB=2,BC=\,D為EC中點(diǎn),將aE4O沿

4D翻折至△HAD,使得尸8=QC.

（1）證明：平面PAO_L平面A3c。；

（2）線段PB上是否存在一點(diǎn)丁，使得AT與平面%Z）所成角的正弦值為底，若存在，求出整的值:

6IB

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.（2025?安徽省安慶市?三模）如圖，四棱錐夕一44c。中，平面PAO_L平面

ABCD,AB//CD,ADA.CD,PA=PD=AD=CD=2,A8=1,M為棱PC上一點(diǎn).

（1）證明：BDLPCx

⑵若E4〃平面用⑺，求直線PC與平面AM。所成角的正弦值.

9.（2025?湖南省郴州市?三模）空間直角坐標(biāo)系。工）2中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成

ar+b.y+cz+d=0（其中a,〃,c,d均為常數(shù)，a1+b2+c2*0）?〃=（a,〃,c）為該平面的一個(gè)法向量.

已知球。的半徑為4,點(diǎn)A3,C均在球。的球面上，以。人。及。。所在直線分別為x,y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系。肛z,如圖所示.平面08c內(nèi)的點(diǎn)E在球面上，點(diǎn)E在丁軸上的投影在）'軸的正半軸

上，C￡=4,過(guò)直線CE作球。的截面。，使得平面al平面08C,設(shè)截面。與球0球面的交線為

I員IM（M為線段CE的中點(diǎn)）.

⑵若平面/7:2x+石y-z=l,證明：平面c_L平面A.

⑶已知點(diǎn)B在平面7:Ax+x/y+Zz=4內(nèi)，設(shè)線段ME在平面。內(nèi)繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0弧度至MH,

點(diǎn)，在圓M上，且〃<0,2兀），過(guò)，作“QJ_平面AOB,垂足為點(diǎn)P.

①川6表示點(diǎn)〃的坐標(biāo)：

②若6/1=-，=石，求點(diǎn)，到平面7距離的最大值；

③若2=0,/=—*G（0,G-L4）.當(dāng)直線GP與平面/所成的角最小時(shí)，求cos。的值.

題型06有關(guān)空間二面角的問(wèn)題

1.（2025-陜西省安康市?三模）如圖，在四棱錐P-A8C。中，四邊形A8C。為矩形，

%=力。=2,44=4,/1。_1。比幺_14脫￡：是線段48的中點(diǎn).

（1）證明：尸AJ_平面A4CO.

（2）求平面APE與平面CPE夾角的余弦值.

2.（2025重慶市,三模）如圖,三棱臺(tái)ABC-4旦G中,AB=8,2c=6,e=13,A與=4,ABJ.AC,

4在底面ABC內(nèi)的射影為BC中點(diǎn).

⑴求三棱臺(tái)的體積；

⑵求平面ABB.A,與平面BCCA夾角的正弦值.

3.（2025年湖北武漢市武昌區(qū)三漠）如圖，在三棱柱4BC-AMG中，平面A^CJ■平面,

A￡_L,AC=2>/3>A8=AA）=2,Z.CAB——

（1）證明：A8_L平面AB?；

⑵求8G的長(zhǎng)：

⑶求平面A4B與平面43c夾角的余弦值.

4.（2025?河南省安陽(yáng)市?三模）如圖，在四棱臺(tái)A"。-A4c閩中，底面A3C。是正方形，加口

。。，點(diǎn)E在直線84上，且

（1）求證：人入〃平面G8D；

⑵求證：叫_L平面。明；

⑶求平面。EG與平面A8CO的夾角的余弦值.

4.（2025?河南省焦作市?三模）如圖，在圓錐C。中，平面4BC是軸截面，力為底面圓周上一點(diǎn)（與

AB不重合），E為4。的中點(diǎn).

TT

⑵若AB=4,C0=3,ND4B=-,求平面COE與平面CBD的夾角的大小.

6

5.（2025年江西省萍鄉(xiāng)市三模）已知四棱錐S-AACD中，二面角S-AO-B為直二面角,

4

AD=-CD=2SD=4BC=4tNBC。=ZADC=ZASO=90。，M為棱￡>A上一點(diǎn).

⑴證明：SAJ.SC；

⑵若M為OA中點(diǎn)，求二面角B-SC-M的正弦值；

⑶若〃平面SCO,點(diǎn)N在平面SM8上，若直線AN與平面SC￡）所成角為5，求MN的最小值.

6

6.如圖，在正三棱柱ABC—A4G中，48=4,M=6,且Q,E滿足4。=￡嶼，\E=3EQ,

過(guò)A,。，E三點(diǎn)的平面夕與棱交于點(diǎn)尸，若BF=2BQ.

⑵求異面直線A?'與CE所成角的余弦值;

⑶求平面a與平面BCG片夾角的正切值.

7.（2025年江蘇如皋市三模）如隆，在四棱錐尸-A68中，AB//CD,^BAD=90°,AB=2.CD=4,

Q4_L叨且「4=9,M,N分別是產(chǎn)力,8C的中點(diǎn).

⑴求證：ADIPNi

2

(2)若平面P4O_L平面ABC。，直線PN與平面A8CZ)所成角的正切值為,，求二面角"-8。-力的

余弦值.

8.(2025年山東威海市三模)如圖，在直平行六面體A3C￡>-ASG2中，點(diǎn)尸在棱CG上.

PC=PC,；

⑵若3cA4,=2及,/84。=60'，直線AR與平面網(wǎng)0D所成的角為3(i,平面87Vx與平面

4m網(wǎng)所成角的正弦值為巫，求CP.

4

答案解析

題型01空間幾的點(diǎn)線面位置關(guān)系

1.（多選）（2025?四川省涼山州?三模）已知直線）和平面四夕,則下列命題中正確的有（）

A.若aHpcnla,則〃?_!_/?B.若a工尸,m工a,則〃〃/6

C.若“?〃/?,_L。，則a_L/7D.若mHa,mllp,則alip

【答案】AC

【分析】根據(jù)線面，面面平行和垂直的判定定理及性質(zhì)定理逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若a"0,m工a,則m_L1,故A正確;對(duì)于B,若則向/1或mu/,

故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若〃〃/夕，則存在直線〃使得〃7//〃，又因?yàn)槿鬽_La,所以〃JLa,又“u/7,

所以a_L〃，故C正確；對(duì)于D,若〃2〃2,〃?〃尸，則a1平行或相交，故D錯(cuò)誤.故選：AC.

2.（多選）（2025年山西省呂梁市三模）已知在正四面體A-BCD中，M,N分別是ARC。的中點(diǎn),

平面a與直線A機(jī)C7）都平行，則（）

A.MN//aB.MN_La

C.直線4c與平面。所成角為60°D.平面ABC與平面。的夾角的余弦值為正

3

【答案】BD

【分析】把正四面體放入正方體中，利用正方體的性質(zhì)與正四面體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析求解即可得結(jié)論.

【詳解】如圖，把正四面體放入正方體中，易知平面儀與平面43E平行，因?yàn)镸,N分別是4B,CO

的中點(diǎn)，所以A/C=M。，所以例,VJ.CO,同理可得又因%CDUME,所以MV_LME,

又因?yàn)镸E交八8于M,所以平面4;￡,所以MN_La,故A錯(cuò)誤，B正確;直線AC與平面夕

所成的角為NC4E=45。，故C錯(cuò)誤；平面ABC與平面。的夾角為NCME,設(shè)正方■體的邊長(zhǎng)為2,

由正方體的性質(zhì)可得ME=&,CM=瓜,由余弦定理可得cos/CME=巫恒士叵故

2xV2xV63

D正確.故選：BD.

3.（2025?四安徽合肥巾?三模）已知m,n為異面直線，mJ_平面a,n_L平面（3,直線I滿足l_Lm,

I±n,/<Za,/a尸，則（）

A.allB且/IIaB.a±PK/±P

C.a與。相交，且交線垂直于/D.a與。相交，且交線平行于/

【答案】D

【詳解】由mJ?平面a,直線/滿足且/aa,所以〃/a,乂〃J_平面夕，/，〃,/二/，所以

，〃凡由直線因刀為異面直線，且用，平面a,〃，平面尸，則a與1相交，否則，若a//則推出m//n,

與初〃異面矛盾，所以心力相交，且交線平行于/,故選D.

4.1多選）（2025?遼寧沈陽(yáng)?三模）塹堵、陽(yáng)馬、鱉膈這弊名詞出在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商

功》.如圖1,把一塊長(zhǎng)方體分成相同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）.如圖2,再沿塹堵的一

頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐稱為陽(yáng)馬，三棱錐稱為鱉嚅.則（）

A.陽(yáng)馬的四個(gè)側(cè)面中僅有兩個(gè)是直角三角形

B.鱉嚅的四個(gè)面均為直角三角形

C.陽(yáng)馬的體積是鱉膈的體枳的兩倍

D.望堵、陽(yáng)馬與鱉需的外接球的半徑都相等

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)陽(yáng)馬的定義結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)分析判斷，對(duì)于B,根據(jù)鱉㈱的定義

結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)分析判斷，對(duì)于C,根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合已知條件分析判斷，對(duì)于

D,根據(jù)塹堵，陽(yáng)馬與鱉膈的定義分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,如圖，由題意可知。平面A4CD,A。,OCu平面A4c

所以。q_LADQA_LOC,因?yàn)锳8_L平面A。。1，平面所以/W_LA2,因?yàn)?。3_平

面COR,CQu平面CD。，所以8cleR,所以陽(yáng)馬的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,如圖由題意可知BC_L平面CGR,CgCRu平面CCR,所以8cl.cG，8C_LC〃，

因?yàn)槠矫?CG，BC，CC二平面Beq,所以c。J.BG，GA_LCG,所以鱉般的四個(gè)面均

為直角三角形，所以B正確，對(duì)于C,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為。也乙貝iJ4B=aAC=b,DR=c,

所以陽(yáng)馬的體積匕鱉膈的體積/"十加，所以陽(yáng)馬的體積是鱉嚅的

體積的兩倍，所以C正確，對(duì)于D,由題意可知塹堵、陽(yáng)馬與鱉脯都是由同一個(gè)長(zhǎng)方體分割而成，

且塹堵、陽(yáng)馬與鱉喘的頂點(diǎn)都是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，所以塹堵、陽(yáng)馬與鱉膈均可以補(bǔ)成原長(zhǎng)方體，所

以它們的外接球的半徑都等于原長(zhǎng)方體外接球的半徑，所以D正確.故選：BCD

5.（2025年天津市濱海新區(qū)三模）已知也，〃是兩條不同的直線，夕是兩個(gè)不同的平面，則下

列命題正確的是（）

A.若ml/a,〃ua,則〃B.若〃〃/a,mHn,則〃//a

C.若桃_La,nLp,m±n,則。D.若。_!_』，a,。=1,/n±/,則〃?_La

【答案】C

【分析】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系判斷AB：根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,由〃?〃a,〃ua,則〃?〃〃或〃?，〃異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由〃z〃a,m//n,

則〃//a或〃ua,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由相_La,則”〃a或〃ua,則在平面a內(nèi)存在直線

a//nt而〃_1_4，則a_L/7,所以aJ■夕，故C正確；對(duì)于D,由a_L〃，a0=1,n山,

只有當(dāng)mu/7或m///時(shí),mla,故D錯(cuò)誤.故選:C.

6.（多選）（2025?河南省鶴壁市?三模）如圖1,在VA8C中，AC_L8C,ZB=~,A8=8,。、E

3

分別在48,AC上，且4QE=38C將VAOE沿OE翻折得到圖2,其中13.記三棱錐A-BC。

外接球球心為。一球。?表面積為y,三棱錐A-EC￡＞外接球球心為0〃球O?表面積為邑，則在圖

2中，下列說(shuō)法正確的有（）

BB

圖1圖2

A.BDYAD

B.直線A8與OE所成角的正弦值為我

5

C.平面BCDE

D.4+§2=784

【答案】AC

【分析】根據(jù)勾股定理和線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可判斷A,根據(jù)8C7/OE,確定一ABC為

異面直線A8與OE所成角的平面角，求解后可判斷B：確定。?為的中點(diǎn)，。?為AO的中點(diǎn)，可

得OQ//BD,進(jìn)而得0。2〃平面8CDE,從而可判斷C：根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A：由圖1,在直角V4BC中，BC=AB-cosy=4,AC=A8?sin]=46,

因?yàn)镺E=3BC,所以O(shè)石〃6C,且OE=3BC=3,AE=-AC=3y/3,CE=-AC=y/3,

4444

3i_________

AD=-AB=6,BD=-AB=2,由圖2,在直角△4EC中，AC=^AE2-CE2=2x/6，因?yàn)?/p>

且AC_L4C,所以O(shè)EJLEC,所以在直角。石C中，DC=\lDEr+EC2=243>乂4。=6,

所以人02+^02=7102,所以AC_L8,又因?yàn)榱JL*',CDC\CE=C,CD,CEu平面BCED,

所以AC_L平面8CEO,又8￡>u平面8CEQ,所以AC工40；在一8力。中，BD=2,DC=26,

BC=4,所以8。2+。。2=8。2,即8r>_LC￡>,又ACCD=C,AC,COu平面4。。，所以以）工

平面4DC,故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?C7/OE,所以。即為所求，因?yàn)锳C_L平面8cEO,BCu

平面8CEO,所以AC_L8C,所以在直角VA8C中，

AB=4AC2+BC?=?2府+4?=2710AC2x/6V15

sinZ4?C=故B不正確;

AB~2>/i0-5

選項(xiàng)C：由上可知40/平面AOC,B加2A。，則A3的中點(diǎn)到人及。距離相等,

因?yàn)锳CJL平面8QC,RD上CD,則A8的中點(diǎn)到ARC距離相等，所以01為的中點(diǎn),

同理可知。?為A。的中點(diǎn)，所以。。2〃8。，。02a平面ACOE,ADu平面BCOE,所以003/平

面BCDE，故C正確；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知：球。1的半徑飛=羋=M,球O?的半徑&=券=3,

L2

所以，+52=4元（僧+/?；）=76兀，故D不正確.故選：AC.

7.（2025?浙江省金華市義烏市?三模）如圖，在三棱錐P-A4C中，V/WC是正三角形，AC=PC,

4cp=120。，AO=2。。，點(diǎn)G為V4BC的重心.

D

⑴證明：GD〃平面PGC；

⑵若平面8GOJ■平面QAC,求二面角2-人4-C的平面角的正切值.

2

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）：

?

【分析】（1）連接AG,并延長(zhǎng)AG與4c交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，連接￡?，根據(jù)重心的性

質(zhì)得到G。//即，即可得證；

（2）方法一：延長(zhǎng)BG交AC與點(diǎn)尸，連接尸。，在平面B4C口，過(guò)點(diǎn)C作CHJ.FD,即可證明

平面ABCJ_平面總C,點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；方法

二：直接建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（等cosa』,弓sina,利用面面垂直求出。點(diǎn)坐標(biāo)，其余同一.

【詳解】（1）連接AG,并延長(zhǎng)AG與4c交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為3C的中點(diǎn)，連接￡P(guān).G為VA6c的

AG2AD

重心，——=-=——，因此AAG*AA￡P(guān),則ZAGD=NAEP,從而GD//EP，又GD<z平面PBC,

AE3AP

EPu平面PBC,GD//平面PBC.

（2）方法一：延長(zhǎng)8G交AC與點(diǎn)尸，連接則點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，ABC是正三角形，

.?.^/，^。.在平面抬0中，過(guò)點(diǎn)。作C〃_LF￡）,平面8G。一平面PAC,平面8G￡）c平面

PAC=FD,C”u平面PAC,CHLFD,;.CH上平面BGD,又BFu平面BGD,所以“18戶,

又ACcCH=C,AC,。“<=平面24。；..4/，平面幺。，又4尸（=平面人8C,

平面ABC_L平面叢C,如圖，以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=

則?0,一則,8（fj\（

—,0,0，由平面A8C_L平面外?？芍珹C=PC,NACP=120。，所以P0,1,

x+-y=0

3,g,0,AP=0,"與,設(shè)平面QAB的法向量為〃22'

則AB==(x,)\z),則，

22222'23旦=0

2

令）,=—百，則”=（1,一6,3）,平面A3。的一個(gè)法向量為〃=（0。1）,所以

z=-V3y

332sina2

COS(〃,"?=布,設(shè)二面角2一"一。為。，則cosa=u§,所以sina=右,tana=-------=—

cosa3

方法二：如圖，以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A3=l,人（o，-g，。孚°，°］，

B

2

c(o,；,o),c(o,o,o),設(shè)XI,qna

2

FD=M+4D=E4+|4P=fo,2co皿之,與一13sina

刈+22）2'3

RR6

u-IB=——x.=0

21

設(shè)平面BGD的法向量為〃=（%,y百）,則