第六節(jié)雙曲線

方/課程標(biāo)準(zhǔn)/

1.了解雙曲線的實(shí)際背景，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.

2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡單幾何性質(zhì).

3.通過雙曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

體氽構(gòu)建I必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)八心的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于出川）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距閔叫做雙曲線的焦距

拓［警惕三⑴當(dāng)2。=/內(nèi)1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線;⑵當(dāng)2a>|尸尸21時(shí)點(diǎn)不存在

2丫2g-g=l(a>0,5>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)■一討=1(。>0,6>0)

原

曲

圖形w.

經(jīng)

(wr

標(biāo)

準(zhǔn)焦點(diǎn)巴（—,0）,廣2（以。）Fl（0，-C）,尸2（0，C）

方

程焦距忻冏=2c

和

x這一a或產(chǎn)一a或產(chǎn)a,1￡R

幾）范圍

何

對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點(diǎn)

性

性

質(zhì)頂點(diǎn)4（一明0）,，（。,0）A1(0,-?),&(()，")

)質(zhì)

軸實(shí)軸:線段4A2,長:女;虛軸:線段修為，長:生;實(shí)半軸長:人虛半軸長叱

?a

漸近線產(chǎn)土T4

離心率E吉EQ，+8）

a,Z>,c的關(guān)系c2=d2+b2(c>a>0,c>b>0)

.對點(diǎn)自測

1.設(shè)P是雙曲線盤一盤=1上一點(diǎn)，居，尸2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若IPQI=9,則IPBI=（）

16Z0

A.lB.I7

C.I或17D.以上均不對

解析：B根據(jù)雙曲線的定義得IIPQI-IPBII=8=IPFiI=1或17.又IPFiI2c—=2,故IPBI=

17.

2.已知雙曲線。的頂點(diǎn)為A,4,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為8,且△8AA2是一個(gè)等邊三角形，則雙曲線C的離心率為

（）

A.2B.V2

C.3D.V3

解析：A由△&I1A2是一個(gè)等邊三角形，可得〃即序=3lJ,則有C2—〃2=3〃2,即/=4〃2,則雙曲線C

的離心率e=￡=2.故選A.

a

3.經(jīng)過點(diǎn)A（3,-I）,且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為（）

A.U1B.JJ

4444

CT-1D.JJ

88

解析：C設(shè)雙曲線方程為『一)2=入(IWO),把點(diǎn)A(3,-1)代入，得9—1=入，九=8,故所求雙曲線方程為

j=L

88

4.若雙曲線馬一號(hào)=1(〃>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(5,0),兩條漸近線互相垂直，則。=()

a2b2

A.當(dāng)B.苧

C.V2D.5V2

解析：B依題意c=5,由于雙曲線兩條淅近線互相垂直，所以2T)=—白f』，i由于"

+82=/,所以2a2=25,

常用結(jié)論;?

1.雙曲線方程的常見設(shè)法

(I)與雙曲線*\=1(心。，b>0)共漸近線的方程可設(shè)為常會(huì)入(杼。)；

(2)若漸近線的方程為尸±3(?>0,心0)則可設(shè)雙曲線方程為攝一5=入(X^O).

2.雙曲線中的常用結(jié)論

(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為伍

(2)若尸是雙曲線右支上一點(diǎn),F1,尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則IImin=a+c，IPF：Imin=c-a；

(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長為之，異支的弦中最短佗為實(shí)軸，其長為

a

2a；

(4)若戶是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn),,B分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S”也=三，其中0

tan-

為NF1PF2.

口應(yīng)用

1.與雙曲線y-/=l有相同漸近線，且與橢圓器+3=【有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是()

產(chǎn)

X2-一-n

2

A.--

c-n

42D.

42

解析：B由結(jié)論1,可設(shè)雙曲線方程為產(chǎn)一千=入，故2九+九=6,入=2,所以所求雙曲線方程為m一多=1.

2.已知雙曲線三一慧=1(心0),其焦點(diǎn)到漸近線的距離為1,則該雙曲線的離心率為()

3

.2V3

AVB.V3

C.2V3D.立

3

解析：A由結(jié)論2可知：/?=1,又所以c=-3+1=2,所以該雙曲線的離心率6=￡=2=等.故選A.

ciV33

3.過雙曲線馬一號(hào)=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)尸作垂直于x軸的直線，交雙曲線于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),

a2b2

若A為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率e=.

答案：竽

解析：若△048為等腰直角三角形，由結(jié)論2可得。=Q，即ac=02一/,可得/一?一i=0,?>],解得。=1±匹

a2

第1課時(shí)雙曲線的定義、方程與性質(zhì)

分類突破￡精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

（師生共研過關(guān)（

【例1】（1）已知定點(diǎn)產(chǎn)?（-2,0）,F2（2,0）,N是圓O：/+），2=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)N的對稱

點(diǎn)為M,線段PiM的中垂線與直線入M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)。的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.圓

（2）經(jīng)過點(diǎn)P（3,2夕），Q（-6a,7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（3）設(shè)雙曲線C：《一《=1（a>0,方>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，B，離心率為V5.P是C上一點(diǎn)，且

FiPJ_F2P.若△尸尸尸2的面積為4,則a=.

答案：（1）B（2）、一卷=1（3）1

解析：（1）如圖，連接ON,由題意可得ION\=1,且N為MB的中點(diǎn)，又。為尸五的中點(diǎn)，所以IMFiI=

2.因?yàn)辄c(diǎn)Q關(guān)丁點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為"，線段的中垂線與直線F2M相交丁點(diǎn)P,由垂直平分線的性質(zhì)可

得IPMI=IPBI,所以IIPBI-I尸人|I=I\PF2\~\PM\I=IMF?I=2<IFRI,所以由雙

曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以分，巳為焦點(diǎn)的雙曲線.

（2）設(shè)雙曲線方程為加『+〃）2=1,因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P（3,2萬），Q（~6y/2,7）,所以

97n+28n=1,

故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為會(huì)一會(huì)

72m+49n=1,

（3）V^=V5,r.c=V5?,根據(jù)雙曲線的定義可得IIPF|I-IPBII=2凡??//，尸2尸，???$/&尸2=

222

|IPF）I.IPF2I=4,即IPQI?IPF2I=8,IPF[I+IPF2I=（2c）,A（IPRI-II）?+

2I尸尸]I?I尸尸2I=4?,即/一5/+4=0,解得〃=[.

解題技法

1.雙曲線定義的應(yīng)用

（1）利用雙曲線的定義判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程：

（2）在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合IIPQI—IPBII=2對運(yùn)用平方的方

法，建立關(guān)于I尸F(xiàn)iI?IPFzI的方程.

2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法

（1）待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)4,b,C的方程（組）并求出4,b,C

的值；

（2）定乂法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出。的值，由定點(diǎn)位置確定c的值.

提醒求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，要注意分類討論.也可以設(shè)雙曲線方程為〃>+〃產(chǎn)=1（〃皿V

0）求解.

E訓(xùn)練

I.已知圓G：（x+3）2+），2=］,C2：（］-3）2+），2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓G和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌

跡方程為（）

A，一9=lB.y-/=1

C.X2——=1（xW—1）D.f—匕=］（Gl）

88

解析：C設(shè)圓M的半徑為,?，由動(dòng)圓例同時(shí)與圓G和圓C2相外以，得IMGI=1+廣，IMC2I=3+

r,\MCi\-IMGI=2<6,所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)G（—3,0）和。2（3,0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且

2a=2,a=1,又c=3,則一〃=8,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2—?=1（xW—1）.

2.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3,或），且漸近線方程是），=土］,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

答案：尸一蕓=］

解析：設(shè)雙曲線的方程是y2一差=入（入#0）.因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)（3,6）,所以入=2—3=1,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為尸?=1?

3.（2024.有■島模擬）己知雙曲線?一）2=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸2，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，

且P在第一象限，IQPI+IF2PI=5,則IOPI=.

答案：亭

（?尸p?9

解析：由題意知1"出「伊"1=4，所以/P3又IFEI=2圾在△F/B中，IBP|2

IIF】PI+IF2Pl=5,IF2PI=9

2

2222

+IF1F2I=（I）4-（2V5）2=弓=I"12,所以NK后p=90。，所以|OPI=JIPF2I4-I0F2I=

J（>+（回2普

雙曲線的幾何性質(zhì)

ll^J,

（定向精析突破）

考向/雙曲線的漸近線問題

【例2】（1）設(shè)Q,22是雙曲線C：，卷=1（〃>0,h>0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線。右支上一點(diǎn)，

若IPFJ+IPBI=4〃，且NQPF2=60。，則雙曲線。的漸近線方程是（）

A.V3x±y=0B2t±。=0

C.V3x±2y=0D.2x±兩，=（）

（2）（2022?全㈤甲卷14題）若雙曲線），2—3=1（機(jī)>0）的漸近線與圓_?+），2—外+3=0相切，則〃？

答案：（1）C（2）出

3

解析：（1）VFi,B是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。在雙曲線右支上，，由雙曲線的定義可得IPQI—IPBI=

2a,又知I。人I+IPBI=4mJIPF}I=3a,IPF?I=。在公尸”尸2中，由余弦定理的推論可得cos60。=

"小."安,即；=，3丫"2弋...3f=10/_4已即4c2=7R又知/+屆=。2,.??與=1...雙曲

2

2\PFA\-\PF2\22x3axaa4

線C的漸近線方程為〉，=士今，即信±2)，=0.

(2)雙曲線的漸近線方程為工土/股=0,圓/+)2—4_)，+3=0的方程可化為f+(y-2)2=1,則圓心坐標(biāo)為

(0,2),半徑,?=1.???雙曲線的漸近線與圓相切，J圓心到漸近線的距離1=粵粵=1,得〃?=￡

Vl+m23

解題技法

求雙曲線漸近線方程的方法

(1)求雙曲線中4,力的值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程；

(2)求〃與〃的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程：

(3)令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0,將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近線方程.

提醒兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于工軸，1y軸對稱.

考向2雙曲線的離心率問題

【例3】(1)(2021?全國甲卷5題)已知B是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，且/F/B=

60°,I尸F(xiàn)J=3IPBI，則。的離心率為()

A.CB.四

22

C.<7D./13

(2)(2022?全國甲卷15吟記雙曲線C：馬一號(hào)=1(。>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2r與

。無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值________.

答案：(1)A(2)2(答案不唯一，(1,遍］內(nèi)的任意值均可)

解析：(1)設(shè)IPFiI=m,IPF\I=3/〃，則IF\FiI=Jm2+9m2—2x3mxmxcos60°=V7w,所以C的離

心率1_2c_一b

a2aIPF1\-\PF2I2m2'

⑵雙曲線C的漸近線方程為尸土夕，若直線尸2x與雙曲線C無公共點(diǎn)，則24???《W4,?,?/=?=1+

%5,又e>l,???e￡(1,㈣.，填寫(1,遍］內(nèi)的任意值均可.

a2

解題技法

求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

⑴求a,h,c的值，由彳=四尹=1+與直接求C：

a2a2a2

(2)列出含有dh,。的齊次方程(或不等式)，借助于〃2=d—/消去從然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等

式)求解.

E訓(xùn)練

1.(多選)已知雙曲線C：y-y2=Z(X<0)，則()

A.雙曲線C的實(shí)軸長為定值

B.雙曲線。的焦點(diǎn)在)，軸上

C.雙曲線C的離心率為定值

D.雙曲線C的漸近線方程為尸土今

解析：BCD對于A、B,由曲線C：。一）2=入（九VO）,整理可得與一1（入<O）,所以曲線表示焦點(diǎn)在），

Z-2人

軸上的雙曲線，且〃=一九，〃=一2人（AVO）,實(shí)軸長不是定值，所以A錯(cuò)誤，B正確；對于C離心率e=￡=

a

J1為定值,C正確；對于D,漸近線的方程為y=±%=土*,D正確.

2.設(shè)雙曲線C：4-^=1（?>O,b>0）的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)尸且垂直于x軸的直線與雙曲線。及其漸近線在第一

a2b2

象限分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若瓦?=：（OF+OB）,則雙曲線C的漸近線方程為.

答案：y=土*

解析：雙曲線C：^7—77=1（</>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸（c,0）,漸近線方程為尸土匕，當(dāng)x=c時(shí)，巳=

azbLaoL

1,得）2="y=±—,所以A（c,《），將x=c代入y=%,得產(chǎn)紇所以8（c,—）,因?yàn)椋?F+

OF）,所以（c,—）=-（2c,—）,所以土=竺，得。=2〃，所以《2=4〃，a2-\-b2=4h2,得t?=382,所以。=

a2aa2a

例，所以雙曲線的漸近線方程為尸土等.

3.已知雙曲線C：常\=1（。>0,6>0）,直線）=。與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，直線尸一人與雙曲線C交于

P，Q兩點(diǎn)、,若IMNI=V2\PQ\,則雙曲線C的離心率等于.

答案：當(dāng)

解析：將），=。代入[一[=1,得與Y=l,則1=42+9將=一〃代入馬一1=|,得/=2詭因?yàn)镮MNI

廿O/nca/

22222

=y[2IPQI,所以IA/NI2=2\PQ\t又IMNI2=4（?+^）,IPQ\=4X2?=8?,所以4（/+關(guān)）=

2X8R即十3,所以離心率e=J1+滬JTTj若.

雙曲線模型的實(shí)際應(yīng)用

3M],

（師生共研過關(guān)）

【例4】某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，

正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其他兩觀測點(diǎn)晚4s.已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離都是1020m.則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心

的（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上）（）

A.北偏西45。方向,距離680Vlsm

B.南偏東45。方向，距離680jIUm

C.北偏西45。方向,距離680Vsm

D.南偏東45。方向，距離680代m

解析：A如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)。，正東、正北方向?yàn)槿胼S，y軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A,B,。分別

是正西、正東、正北三個(gè)觀測點(diǎn)，則A（—1020,0）,8（I020,0）,C（0,1020）.設(shè)尸（x,>-）為巨響發(fā)生

點(diǎn).由已知I尸4I=IPCI,故P在AC的垂直平分線尸。上，PO的方程為），=一心又8點(diǎn)比4點(diǎn)晚4s聽到巨

響，故IP8I—IPAI=340X4=1360V2040,可知P點(diǎn)在以A,8為焦點(diǎn)的雙曲線\一3=1（40,b>0）

上，依題意得〃=680,c=l020,?"，=/—/=1（）2（）2—6802=5X34（）2,故雙曲線方程為篇一彘篇=],將丁=

-x代入上式，得.1=±686/5,?：\PB\>\PA\,/.A=-68OV5,y=680V5,即P（-680V5,680^5）,

故IPOl=680依i.故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的北偏西450距中心6807TUm處.

解題技法

利用雙曲線模型解決實(shí)際問題的步驟

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；

（2）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）根據(jù)雙曲線,方程及性質(zhì)解決實(shí)際應(yīng)用問題（注意實(shí)除意義）.

E訓(xùn)練

（2024.濮陽模擬）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光

線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，從雙曲線C的右焦點(diǎn)后發(fā)出的光線通

過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)Q.已知入射光線后戶的斜率為-2,且r2P和反射光線

尸E互相垂宜（其中尸為入射點(diǎn)），則雙曲線。的漸近線方程為

答案：2x+y=0和2x-y=0

解析：設(shè)雙曲線。的方程為《一看=1（〃>0,b>Q）,設(shè)P（沏，8），F(xiàn)i（-c,0）,尸2（。，0）,故kp&=

工=-2,kpA=W-W，由此次=［刈=各，所以尸（［?）,將其代入雙曲線方程中得

1

XQ—Cx0+c2555S

一一上一=1,結(jié)合廿=/+〃，漸近線斜率火=±匕所以州,一32標(biāo)-16=0,解得好=4或尼=一±（舍

a2b2a9

去），因此攵=±2,所以漸近線方程為2x+y=0和Zr—y=。.

瞅蹤檢測I：關(guān)健能力分層施練素養(yǎng)重提升……|課后嫁習(xí)

A級(jí)?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.方程之一上=i表示雙曲線，則用的取值范圍是（）

2+ml—m

A.-2<w<lB.m>\

C./n<-2D.—1<m<2

解析：A因?yàn)榉匠蘆-------1表示雙曲線,，所以（24-zn）（1-/?）>0,即（〃?+2）（〃?-1）<0,解得一2

2+m1—m

<rn<1.故選A.

2.已知離心率為2的雙曲線接一5=1（公>0,b>0）與橢圓?+?=1有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）

AX-^=IBX-^=I

412124

C.7=lDX->'2=1

33J

解析：C由雙曲線a-1與橢圓總+3=1有公共焦點(diǎn)，得/=爐+從=8—4=4,又/=.=￡=4,所以ci2

-1,所以"一3,所以雙曲線的力程為『一7一1.

3.已知小B分別是雙曲線?卷=|（心。，心0）的左、右焦點(diǎn),過B且垂直于1軸的直線與雙曲線的右支交

于人B兩點(diǎn),若△八“乃是正三角形，則此雙曲線的漸近線方程是（：）

A.y=±2xB.），=士岳

C.y=±V2xD.y=土花工

解析：C由題意得△4尸2尸1為直角三角形，且/AFIF2=30。，故可設(shè)|4&|=2利，貝UI"iI=4〃?，IFIF2I=

2c=2顯m,如圖所示，由雙曲線的定義得2a=IAF\I-IAFiI=4〃?-2〃?=2/〃，所以〃=/〃，c=y/3m,所以力

=V2m,所以3=加，所以雙曲線的漸近線方程為y=土近x,故選C.

/|

4.已知R,匕為雙曲線C：f一）2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在。上，IPRI=2IPF?I,則cos/尸，&=

（）

解析：C由/一產(chǎn)=2,知a=b=4l,c=2.由雙曲線定義知，IIPHI-IP危II=2a=2>/2,又IPFM=

2IPBI,???IPFiI=4或，IPF2I=2V2,在4PR尸2中，IRF?I=2c=4,由余弦定理，得cosZF,PF2=

I叫I+IP七I一|0七I

5.（多選）已知雙曲線。的方程為5-3二1,則下列說法正確的是（）

A.雙曲線。的實(shí)軸長為8

B.雙曲線。的漸近線方程為尸土乎

C.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3

D.雙曲線。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為:

4

解析：ABC因?yàn)樘K=］6,所以。=4,2a=8,故A正確；因?yàn)椤?4,8=3,所以雙曲線C的漸近線方程為y=

土'=土*故B正確；因?yàn)椤?、國1=，1喬9=5,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-5,0）,（5,0）,焦點(diǎn)（5,0）

a4yJ

誤.

6.雙曲線：=1〃>0）的漸近線方程為,=土爭，實(shí)軸長為2,則〃?一〃=.

答案：一1

解析：因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為2后，所以2后=2,所以m=1,又漸近線方程為尸土爭，所以嚕吾，解得〃

=2,所以/〃一〃=-1.

7.如圖，已知雙曲線氏］一［=1（心0,。>0）,長方形A8CQ的頂點(diǎn)A,8分別為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，旦

a2b2

點(diǎn)C,D在雙曲線E上,若I4BI=6,IBC\=1,則此雙曲線的離心率為.

答案：;

解析：因?yàn)?c、=IABI=6,所以c=3.因?yàn)轶?I8C|="所以5。=2尻又/=/+〃2,所以鄉(xiāng)二/十券，解得〃

a22

=2或。=一￡（舍去），故該雙曲線的離心率e=￡=5.

NQZ

8.己知雙曲線［一［=1的左、右焦點(diǎn)分別為R,Fi.

164

（1）若點(diǎn)M在雙曲線上，且麗?麗=0,求點(diǎn)M到x軸的距離；

（2）若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3或，2）,求雙曲線。的方程.

解：（1）不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線的右又上，點(diǎn)”到入軸的距離為小

???麗?麗=0,：.MFI1MF2.

設(shè)II=機(jī)，IMF2I=〃，

由雙曲線的定義知"7—〃=24=8.①

在RSQM尸2中，由勾股定理得〃戶+"=（2c）2=80,②

由①@得〃??〃=8.

'：S&MF、F2=￡〃〃=4=：X2M,/?=罷.

即點(diǎn)M到x軸的距離為學(xué).

（2）設(shè)雙曲線C的方程為三一*=1（一4V九V16）.

16—A4+4

???雙曲線C過點(diǎn)（3V2,2）,

?18_4-1

**16-A4+I-，

解得入=4或1=—14（舍去），

雙曲級(jí)C的方程為言一^-=1.

B級(jí)?綜合應(yīng)用

9.如圖為陜西博物館收藏的國寶一一唐?金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀

細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：《一卷=1（。>0,b>0）的右支與），軸及平行于x軸

的兩條百線圍成的曲邊四邊形A8MN繞），軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為竽，下底

?3

座外直徑為駕，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長為（）

A.2伍

C.2岳

解析：C該金杯主體部分的上口外直徑為萼，下底座外直徑為雪，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底

1322S

座距離的2倍，可設(shè)M（竽，2M,N噂,一m）,代入雙曲線方程可得?一警=1,Ai即務(wù)逐

1$,9

I,作差可得專可解得43,a=E,所以杯身最細(xì)處的周長為2岳.故選C.

10.已知點(diǎn)O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)尸滿足I尸AI—IP8I=2,且P為函數(shù)y=3」4一#圖象

上的點(diǎn)，則IOPI=()

C.V7D.V10

解析：D由IPAI—IP8I=2<\ABI=4,知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，點(diǎn)P的軌跡方程為/一《=1

?5

（Q1）,又y=3,4-x2,所以/=%>2=/，所以|op|=J、+y2=聆+故選D.

11.（多選）雙曲線C：1一馬=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在雙曲線。的一條漸近線上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正

42

確的是（）

A.雙曲線。的離心率為學(xué)

B.雙曲線?一9=1與雙曲線C的漸近線相同

C.SPO1PF,則△PFO的面積為企

D.IPFI的最小值為2

解析：ABC因?yàn)椤?2,b=&,所以c=12+力2=遙,所以e=￡=￥，故A正確；雙曲線]一？=1的漸近線

方程為產(chǎn)土梟雙曲線C的漸近線方程為尸土爭:，故B正確：因?yàn)槭琌_L?尸，點(diǎn)尸（佩0）到漸近線岳一

2），=0的距離d=?短字?=正,所以|「尸|=/，所以IPOI=J（乃）2-（魚）吆2,所以APFO的面積為

|XV2X2=V2,故C正確；I尸尸|的最小值即為點(diǎn)尸到漸近線的距離，即|PFlmin=x^,故D不正確.

12.已知Q,尸2分別為雙曲線C：1一\=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲線。上，且線段PQ的中點(diǎn)

坐標(biāo)為（0,b）,則雙曲線C的漸近線的斜率為.

答案：±2

解析：設(shè)線段產(chǎn)人的中點(diǎn)為M,坐標(biāo)原點(diǎn)為（九連接。M,〃&（圖略）「??線段。為的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,b）,

???點(diǎn)P在雙曲線。的右支上「??原點(diǎn)0為線段"2的中點(diǎn)，/尸2,則尸1PBi=21OMI=

22

2〃.由雙曲線的定義可知IPR|—|PF2I=2a,則IPF\I=2a+24在RtARBP中，IPF\I=IPF2I

+IF^2I2,即（2〃+28）2=（2/?）2+（2c）2,整理得〃=2小即^=2,則雙曲線。的漸近線的斜率為±2.

a

13.已知M（x0,卻）是雙曲線C：?一尸=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i，尸2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn).若麗?研（0，則州的取

值范圍是.

答案:（一條T）

解析：由題意知〃=&，b=\,c=V3,設(shè)Fi（-V3,0）,F2（V3,0）,則麗=（一四一天），一如），麗=

（V3—JCO>一和）J；MF].MF；V0,:.（—V3—.ro）（V3—xo）+羽<0,即以一3+羽V0「；點(diǎn)M（jq）?找）在雙

曲線C上，?,丹一據(jù)=1,即將=2+2洛???2+2光一3+%<0,?,.一日〈），0<乎.

14.已知雙曲線工一1=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,B，點(diǎn)P在雙曲線的右支上（點(diǎn)P不在x軸

上），且IPF.I=5IPF2I.

（1）用〃表示IPRI,IPF?I；

（2）若/尸|尸尸2是鈍角，求雙曲線的駕心率e的取值范圍.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以IPEI-IPFiI=2a.

又IPFiI=5IPF2I,聯(lián)立解得IPF\I=》,

IPF2I=/

（2）在△PQB中，由余弦定理得cosNF/B=*2方；"=1）丁2=［一?.

2x-ax^a-a255

因?yàn)橐?〈85/月尸巳＜0,所以一IV昔一品＜0,所以咨＜e＜：.

5542

所以雙曲線的離心率e的取值范圍是（竺，1）.

42

C級(jí)?能力提升

15.已知在平面直角坐標(biāo)系火7），中，點(diǎn)出為雙曲線C：（?＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線。的左支上，

MB與雙曲線。的一條漸近線交于點(diǎn)D，且。為MF?的中點(diǎn)，點(diǎn)/為AOMFz的外心，若O,/，。三點(diǎn)共線，則

雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.3

C.V5D.5

解析：C如圖，不妨設(shè)點(diǎn)用在第二象限，設(shè)點(diǎn)M（〃/，〃），易知22（C,0）,由。為例尸2的中點(diǎn)，O,。三

點(diǎn)共線知，直線。。垂直平分MB,則直線°Q的方程為尸/故有&=一，且）三學(xué)，蟀得片一，〃

=€?將（咚2，代入雙曲線C的方程得—-誓=］,化蓿得?=5〃2,即《=通.故選C.

16.如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個(gè)景點(diǎn)4B,它們距離城市中心。的距離均為8&km,。是正北方

向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心。的距離為4km,為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道

路M-N-P如圖所示，道路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)3的距離都多16km,其口道路起點(diǎn)用到

東西方向主干道的距離為6km,道路NP段上的任意一點(diǎn)到。的距離都相等，以。為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x

軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

（1）求道路M-MP對應(yīng)的曲線方程;

（2）現(xiàn)要在M-N-P上建一站點(diǎn)。使得Q到景點(diǎn)C的距離最近，問如何設(shè)置站點(diǎn)Q的位置（即詢定點(diǎn)。的坐

標(biāo)）？

解：（1）根據(jù)題意，道路"N段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)8的距離都多16km,

則道路MN所在的曲線是以定點(diǎn)A,8為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

其方程為『一）2=64（8WxW10,0WyW6）.

又由道路NP段上的任意一點(diǎn)到。的距離都相等，則道路N尸所在的曲線為以。為圓心，ON為半徑的圓，其方程

為f+y2=64（―8WyW0）.

故道路MW-P對應(yīng)的曲線方程為MN段：A2-/=64（8W.1WIO,0W）W6）,NP段:A?+/=64（—8W）W0〉.

（2）當(dāng)點(diǎn)。在道路MN上時(shí)，設(shè)Q｛協(xié)和），又由C（0,4）,則ICQI=］就+（丫。-4）\

由（1）可得/-y,=64,

則I。。I=/町—8yo+80=8（九一2）,十72,

可得當(dāng)和=2時(shí)，ICQI有最小值，且ICQImin=6&；

當(dāng)點(diǎn)Q在道路NP上時(shí)，設(shè)Q（箝，y）,又由C（0,4）,

則ICQI=J*+（%-4）:

由（1）可得*+尤=64,

則ICQI=卜8%+80,

可得當(dāng)y尸。時(shí)，ICQI有最小值，且ICQlmm-4Vl

因?yàn)?、泛V4通，

所以IC。I有最小值為6V2,此時(shí)舞=2,x0=2V17,

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2g,2）時(shí)，。到C的距離最小.

第2課時(shí)雙曲線的綜合問題

'考點(diǎn)?分類精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

直線與雙曲線的位置關(guān)系

（師生共研過關(guān)）

【例1】（1）（2023?全國甲卷8題）已知雙曲線C：馬一1=1（。＞0,Q0）的離心率為遙，。的一條漸近線

講1）幺

與圓（X—2）2+（y—3）2=1交于A，4兩點(diǎn)，貝ljIABI=（）

A恪B.2縣

*4西

?5D.-V

（2）（2024?長春質(zhì)檢）已知雙曲線C：/一g=1,

4過點(diǎn)P（1,1）作直線/,使/與。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則

滿足上述條件的直線/共有條.

答案：（1）D（2）4

解析：（1）法一根據(jù)雙曲線的離心率e=A=￡,得c=，5a,即/=5a2,即a2+〃=5〃2,所以62=4〃2,

Q

y=2x,

4,所以雙曲線的漸近線方程為y=土〃，易知漸近線y=2r與圓相交.由22得5/—16x

(x—2)+(y—3)=1,

+12=0.設(shè)4(xi,vi),（X2，y2），則即+必=",.叫12=3.所以IABI=71+22IX\—X2