函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的單調(diào)性專項訓(xùn)練

考點目錄

判定函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間利用單調(diào)性求最值

利用單調(diào)性解不等式與比較大小復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

分段函數(shù)的單調(diào)性

考點一判定函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

1.(24.25高一上?福建泉州?階段練習(xí))函數(shù)g(x)=x|x+l|+l的單港遞減區(qū)間為()

A.B.C.[1,+8)D.D[L+8)

【答案】B

【詳解】當(dāng)"一1時，g(x)=x(x+l)+l=』+x+l,

則g(x)在-h-1單調(diào)遞減，,去+力|單調(diào)遞增，

當(dāng)工<一1時，g(x)=-x(x+l)+l=-x--x+\

則g(x)在(—]單調(diào)遞增,

所以g(x)=F丁+產(chǎn)T的減區(qū)間為卜二],

-x-x+l,x<-\2_

故選:B.

2.(24?25高二下?廣東深圳?期末)函數(shù)/a)=1nx-；x2的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-U)B.(0,1)

C.(-20,-l)U(l,+?>)D.(1,+<?)

【答案】B

【詳解】因為/(x)=lnx-!/,x>o,所以對函數(shù)求導(dǎo)得：f(x)=l-x=—,

2xx

令/'(x)>0,即二>0,l——,。./<],

X

解得

因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).

故選：B.

3.(24-25高二下?吉林長春?期末)下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間(0.內(nèi))上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=x|x|B./8)=jC./(x)=x+-D./(x)=4

【答案】B

【詳解】對于A,?.?/(r)=r|r|=TH=-/(x),xwR,所以/(x)為奇函數(shù)，故A錯誤；

對于氏由/(》)=j(x€R)，則/(力在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(—)=而彳=4了=/(x),所以/(x)為偶函

數(shù)，故B正確；

對于C：由/(-X)=T+5=—/(X),XG(-OO,0)U(0,+CO),故/(x)為奇函數(shù)，故C錯誤；

71

對于D,因為/⑴=2,/(2)=-=-,/(1)>/(2),所以/(》)在(0,+8)上不是單調(diào)增函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

4.(24?25高二下?廣東廣州?階段練習(xí))下列函數(shù)在區(qū)間(0/)上單調(diào)遞增的是()

2

A.y=\-xB.y=x2-2xC.N=xD.，=一

X

【答案】c

【詳解】y=l—x為R上的減函數(shù)：y=x2-2x=(x-\)2-l,在(05上單調(diào)遞減；

N=x為R上的增函數(shù)，符合題意；在(0,1)上單調(diào)遞減；

故選：C

5.(2024?北京?三模)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.^=ln(x-l)B.y=^-2x+]

C.尸2-'+1D.y=

【答案】D

【詳解】對于A選項，歹=ln(x-l)的定義域為(1,+8),并在(1,+8)上單調(diào)遞增，故A選項錯誤；

對于B選項，歹=W-2x+l的定義域為R,其開口向上，對稱軸為尤=1,故函數(shù)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)

上單調(diào)遞增，故B選項錯誤；

對于C選項，由y=27+l=(；J+l,其定義域為R,且在xwR上單調(diào)遞減，故C選項錯誤；

對于D選項，y=4T，其定義域為R,且在xeR上單調(diào)遞增，得其在區(qū)間(。,+8)為增函數(shù)，故D選項正確.

故選：D

6.（24?25高一下?北京延慶?期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（9,0）上單調(diào)遞增的是（）

|x|2=lox

A.v_JB.y=2C.y=-x+xD.^lll

【答案】D

【詳解】A選項，/（x）=f="，定義域為R,關(guān)于原點對稱，

又因為工）=而彳="=/（耳，所以是偶函數(shù)，

因為］>0,由轅函數(shù)性質(zhì)知在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又因為是偶函數(shù)，所以在（-8,0）上單調(diào)遞減，不符合題意；

B選項：/（.v）=2W,定義域為R,關(guān)于原點對稱，

又因為/（T）=2-'=2'=/（力，所以是偶函數(shù)，

當(dāng)工￡（-<?,0）時，/（力=2因=2、=（：）,

因為所以在（-%。）上單調(diào)遞減，不符合題意；

C選項，定義域為R,關(guān)于原點對稱，

因為〃r）=-（r>+（T）=--7〃（江所以不是偶函數(shù)，不符合題意；

D選項，定義域為（YO,0）U（0,+8）,關(guān)于原點對稱，

因為/（-x）=log』H=logJH=/（x）,所以是偶函數(shù)，

22

當(dāng)X€（0,+8）時，/（X）=bg」x|=bg_X,

因為。［<1，所以在（0,+8）上單調(diào)遞減，

又因為是偶函數(shù)，所以在（-8,0）上單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

7.（24?25高二下?河南商丘?期末?多選）下列函數(shù)中，在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=\x-2\B.3C.y=—D.^=X2-4|X|

yv=x\-x

【答案】BC

【詳解】因為y=l%-2|在（-8,2）上單調(diào)遞減，所以A錯誤；

y=）在（0,芹）上單調(diào)遞增，所以B正確；

^=--=—7在（I,十8）上單調(diào)遞增，所以C正確;

1-xx-1

y=f-4|x|在（0,2）上單調(diào)遞減,所以D錯誤.

故選：BC.

8.（24-25高一下?云南曲靖?期末?多選）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在（0,+功上單調(diào)遞增的是（）

1

A.y=x2+2B.y=-x

x

x-1,x>0

C.y=lg|x|+lD.y

x+\,x<0

【答案】AC

【詳解】對于A,設(shè)函數(shù)/（工）=/+2,則其定義域為R,

且/（—,）=（—4+2=〃x）,可知/。）=/+2為偶函數(shù)，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，./?*）=/?2在（0,y）上單調(diào)遞增，故A正確;

1f1A3

時于B.設(shè)函數(shù)/?（幻=一一1，則如）=0,h\-=-,

xy2）2

可得例1）<《可知人（口不是增函數(shù)，故B錯誤；

對于C,設(shè)函數(shù)〃（x）=lg|H+l,其定義域為｛x|xx。｝,

且〃（T）=lg|-v|+l=lg|x|+l=〃（X）,可知〃（X）為偶函數(shù),

當(dāng)x>0時、〃（x）=lgx+l在（0,+oo）上單調(diào)遞增，故C正確;

X]X>0

對于D,令函數(shù)〃心）=:*0,則皿-2）一皿2）=1,

因為制-2）工加（2）,可知〃心）不為偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：AC.

考點二利用單調(diào)性求最值

1.（24?25高二下?遼寧沈陽?期末）函數(shù)/（x）=&4+Jx2-2x的最小值為（）

A.0B.4C.V2D.272

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/（x）的定義域為［4,內(nèi)），

且由于y=在區(qū)間［4,+oo）上單調(diào)遞增,

y=y/x:-2x=在區(qū)間巴+動上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（x）在區(qū)間［4,物）上單調(diào)遞增，

所以人乃,=/（4）=2近.

故選：D.

2.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）函數(shù)/（可7+：在［3,4］上的最小值是（）

13

A.4B.—D.5

3

【答案】B

【詳解】由對勾函數(shù)的單調(diào)性知，

函數(shù)/（x）=x+［在PH上單調(diào)遞增，

所以〃乩=/（3）=3+4?弋13.

故選：B

3.（24?25高一上?福建泉州?期中）函數(shù)/（x）=L-GTT的值域為（）

X

A.（-oo,-l］B.口,+8）C.［-1,1］D.R

【答案】D

x+1>0

【詳解】由八得工2-1且加0.

???），」在［TO）,（0,xo）上為減函數(shù)，產(chǎn)而T在［T0）,（0,內(nèi)）上為增函數(shù)，

X

.../（口=_L_47T在pi,o）,（o,+00）上均單調(diào)遞減.

X

當(dāng)X>0且X70時，/（X）f+3O,當(dāng)XT+R時，/（X）T—8,

二函數(shù)/（x）」一Jx+1的值域為R.

X

故選：D.

/[、/+4x+3

4.（24?25高一上?吉林長春?期中）己知函數(shù)/（同=心），則（）

A.函數(shù)/（4）的值域為（0』B.函數(shù)/（x）無最值

C.函數(shù)/（彳）在R上遞減D.函數(shù)/（x）在（-2,-8）上單調(diào)遞減

【答案】D

【詳解】令〃+4x+3=（x+2）'—1,貝ij〃之一1,

對于A,歹=『『，則y?0、2],所以函數(shù)/（x）的值域為（0,2],故A錯誤；

對于B：因為-1,所以/a）W2,當(dāng)且僅當(dāng)〃=-1,即x=-2時，/（x）取得最大值，故B錯誤;

對于C：D,因為〃=/+4x+3=（x+2）2-1在（-2,內(nèi)）上單調(diào)遞增，（-8,-2）上單調(diào)遞減，

?=（；[，"2-1單調(diào)遞減，所以函數(shù)/（X）在（-00,-2）上單調(diào)遞增，在（-2,+00）上單調(diào)遞減，故C錯誤，D正確.

故選：D.

5.（2025?廣東茂名?一模?多選）已知函數(shù)〃x）=￡^,則（）

A.當(dāng)。>0時，/（x）是增函數(shù)

B.當(dāng)"0時,/（x）的值域為（2,內(nèi)）

C.當(dāng)。=1時，曲線y=/（x）關(guān)于點（0」）對稱

D.當(dāng)〃=4時，VXGR,/（A;V+1）+/（2-X2）<2,則一2<〃<2

【答案】ACD

【詳解】對于A：因為/（x）=21L=2+2土定義域為R,

''2x+a2X+a

當(dāng)〃>0時y=2'+。在定義域R上單調(diào)遞增，Ky=2x+a>a>0,又y=3在（0,+功上單調(diào)遞增,

x

所以/（X）在定義域R上單調(diào)遞增，故A正確；

對于B：當(dāng)〃=-2時/⑼=-2,但是-2任（2,?。?，故B錯誤;

刈于C：當(dāng)a=1時，f(x\=

i)2V+1

則/(x)+/(-x)=Q+女訐=金+芫1=2,所以曲線y=/(x)關(guān)于點(0/)對稱，故C正確:

>+】>T>+1

對于D：當(dāng)。=4時，f(x)=f:的圖象是由y=>4—圖象向右平移2個單位得到,

所以/(X)的對稱中心為(2,1),且在定義域R上單調(diào)遞增，

所以VKWR,/(AX+1)+/(2—/)<2,可得DXWR,2—/(4—AX—1)+/'(2—/)<2,

即VxeRJ(2-，)</(4-Ax-l),從而得到DxeR,2—/<3—去，

即/一h+］>0恒成立，所以△=公一4<0,解得一2<〃<2,故D正確.

故選：ACD

6.(24?25高一下?四川成都?期末?多選)下列說法正確的有()

A.函數(shù))，="在［0,2］時有最大值最小值-］.

B.函數(shù)曠=學(xué)\的最大值為;.

JT+32

Y——11

C.函數(shù)/(x)=3=▼的值域為卜?勺.

(1+J-)-44

D.若a>〃，jlVJ—>"+(m>0)

bb+m

【答案】ABC

【詳解】對于A,函數(shù)y=58+3)J7=5一匕在必2］上單調(diào)遞增，則一：工生?工。，A正確;

x+3x+33x+35

對于B函數(shù)y=：x+1,定義域為R,該函數(shù)取最大值，當(dāng)且僅當(dāng)x+l>0,

x+3

V=-----------------<,----=-

此時’XI114_2一」4、2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，B正確;

x+］可'+177?

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)時，/(0)=/(1)=0,

當(dāng)OC<1時，0：〃力/2x(7)//7)+"］二］,當(dāng)且僅當(dāng)x=&_i取等號，

八)一2(12)2+4/-2dT+N-4

當(dāng)x>l時，0”?⑴：］2x(x：—l)一］￥(：—?+4：］-1,當(dāng)且僅當(dāng)“0+1取等號,

2(父一1)2+4戈2-2(X2-1)2+4X24

因此當(dāng)"。時，4”⑶弓，當(dāng)三。時,口⑶弓，函數(shù)小)值域為“*］，C正確;

對于D,取。=0,6=-：加，滿足。>6,而6一°<1-b+m，D錯誤.

-m

2

故選：ABC

7.(24-25高三上?福建廈門?階段練習(xí))函數(shù)y=3x+岳二T的值域是.

【答案】9+8)

【詳解】對于函數(shù)N=3x+J57=T,有2x-lN0,解得xN；,該函數(shù)的定義域為1,+oo

因為函數(shù)y=3x、尸J2x-1在+8)上均為增函數(shù)，

所以，函數(shù)y=3x+J2x-1在[；,+(?)上為增函數(shù),

所以，y=3x+yjlx—1之3x5+^2x——1=.

故函數(shù)y=3x+j2x-l的值域為[I，例).

「3、

故答案為：匕300.

8.(24?25高三上?湖北武漢?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=n[x￡|'!/T|的值域為____.

Jx-11\_2])

【答案】號

【詳解】設(shè)31=/,則》=?因為xe；』,所以』;,2.

因為當(dāng)/￡(0,加]時*(/)是減函數(shù)，又1,2c(o,Vio],

所以函數(shù)。⑴在；,2上是減函數(shù)，

于是即

乙)2

所以函數(shù)〃x)=x"的值域是卜梳.

3x—1\1_22

故答案為：k1.

9.(24-25高一上?貴州貴陽?期末)已知函數(shù)/(')=工11.

'-2x

(1)判斷/(》)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明;

(2)求/(%)在區(qū)間［1,3］上的值域.

【答案】(1)/(力在區(qū)間(一叫-1］上的單調(diào)遞增，證明見解析

【詳解】(1)/(X)在區(qū)間(-00,-I］上的單調(diào)遞增，證明如下:

則/㈤一/㈤與吟+玄關(guān)吟一爭磊=小一沖一

11I

因為王<工24一1，所以再超>1，所以"-<1，所以彳($-X2)3-----<0,

X'X?2XX-yJ

即/(*)—/(&)<(),所以/(xJ</(七),即/(X)在區(qū)間(—8,7］上的單調(diào)遞增;

22

lr4.I14,Qr

(2)因為/(r)=：、=一'二一/(工)，即/(X)為奇函數(shù)，

Zy—XIZX

由⑴可得/(X)在［-3,T］上單調(diào)遞增，

由奇函數(shù)的對稱性可知，/("在［1,3］上單調(diào)遞增，

14

因為"1)=2,/(3)=y,

-14'

故函數(shù)的值域為2,了.

10.(24-25高一上?陜西西安?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(log/-2j(log2X+l).

(1)求不等式/(x)<0的解集；

(2)已知xwg,8),求函數(shù)y=/(x)的值域：

⑶若存在xe［4,16］,使得不等式/(x)+3之初og小成立，求實數(shù)”的取俏范圍.

【答案】⑴(；,4

IZ7

【詳解】(1)由/(x)=(log2X-2)(log2X+l)<0,

可得-1<log?x<2,「.2,

所以不等式/(x)<0的解集為

(2)因為xw(；,8),令〃i=log2X?—l,3),

所以)'=(切—2)(〃?+1)=〃/=又mw(-1,3),

所以函數(shù)y=(〃L2)(m+l)在[-1]上單調(diào)遞減，在3)上單調(diào)遞增,

9

所以一~；??<4,

4

91

故函數(shù)y=/G)的值域為-禾4:

L4J

(3)因為xw[4,16],令E=log2xw[24],

由/(“+32加10824可得〃"《(/一2)(/+1)+3=b-/+!,/.；77</+--1,

由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)8(/)=/+：-1在[2,4]上單調(diào)遞增，

由題意可得〃Kg(/)a=g(4)=4+；-l=?,

因此，實數(shù)〃，的取值范圍是卜巴；

考點三利用單調(diào)性解不等式與比較大小

1.(25?26高三上?福建廈門?開學(xué)考試)若〃=學(xué)，G苧，c=(些廣，則()

23(2024J

A.a<b<cB.a<c<bC.h<c<aD.c<a<b

【答案】A

【詳解】設(shè)/(x)=W，x>0,

由，(x)=1[丁=0=x=e,

則xw(0,e)J'(x)>0,x€(e,+8),/'(xj<0,

.?./(x)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+o))單調(diào)遞減，

,?."=7=量=八4)，6=用”3),

.../(4)</(3)</(e)g|Ja</)<1,

e

設(shè)8(力=111%+：-1,%>0,

由g'(x)=1-l=x：l=0nx=],

xxx

則x￡(0,l),g[x)(0,xw(l,+oo),g[x))0,

???g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(L+a>)單調(diào)遞增,

，g(x)mJg⑴=0，

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，

X

,2023.20241

.?.In>I-=-,

202420232023

2023

.-.Inc=2023In>-1,

2024

1

:.c>.

e

綜上：a<b<^<c,

c

故選：A.

3

2.(24-25高三下?安徽合肥?階段練習(xí))已知。:2(2—ln2)e-\Z)=3(3-ln3)e-,c=ln^/3,則()

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【詳解】令/")=四工所以/(X)的定義域為(0,+8)，所以/”)=匕學(xué)，由/'(x)>0有0<x<e,/'(x)<o

AX

有x>e,

所以/㈤在(0,e)單調(diào)遞增,在?+8)單調(diào)遞減,

ln￡l

/2\In—

=f9，。=仙將=殍=/(3),

Xa=2(2-ln2)e-2=—=fy,6=3(3-ln3)

e"\^)

T3

由［4>3>e,所以/圖</圖<〃3),

即力<a<c.

故選：D.

3.(2025?江蘇泰州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=sin(2x-2)-ei+ei+2,(xeR).若/(2/)+/(1一〃)<4,則實

數(shù)a的取值范圍為()

(1(n八、

A.IB.I

C.卜,；D.

【答案】A

【詳解】令，=x-l,則原函數(shù)可改寫為：/(x)=sin(2/)+(e'-eT)+2,

定義輔助函數(shù)g(r)=sin(2，)+(e'-e'),則/(■*)=g?)+2,

由g(T)=-g"),故g⑴是奇函數(shù),

vg,(/)=2cos(2/)+e/+e-/,又"+/22(當(dāng)且僅當(dāng)1=0時取等號)，且2cos(2/)N—2,，g'(/)>0,

因此，g")在R上嚴(yán)格遞增，

原不等式/(2/)+/(]_。)<4轉(zhuǎn)化為：[g(2l-1)+2]+[g(—。)+2]<4,即g(2/-1)<-g(-a),

因為g")為奇函數(shù),即g(一〃)=-g⑷，所以g(2/-l)<g(a),

又g?)在R上嚴(yán)格遞增，故2/-Iva,所以2/-得

故選：A

4.(24?25高二下?河南駐馬店?期末)定義在R上的奇函數(shù)/(力(/(X)不是常數(shù)函數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為/'(、)，當(dāng)

時，恒有3/(x)+M'(x”0,則不等式xV(x)<(3x-l)3/(3x-l)的解集為()

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)g(x)=x?G),

則g'(x)=3x2/(x)+//'(x)=V[3/(x)+以(工)],

因為當(dāng)x?0時，3/(x)+M'(x)Z0,則g'(x)=x2[3/(x)+M”(x)]N0,

所以g(x)=x-f(x)在區(qū)間[0,+oo)上為增函數(shù)，

又由于)，=/為奇函數(shù)，/(x)為奇函數(shù),所以g(x)=d/(x)為偶函數(shù),

則g(x)=x'/(x)在區(qū)間(-8,0]上為減函數(shù)，

又//(x)<(3x1)3/(3X1),即g(x)vg(3x-l),

所以k|<|3x—1],解得工<(或

則不等式X3〃X)<(3X-1)3/(3X-1)的解集為.

故選：A.

5.(2025?河北石家莊?三模)已知/‘⑺是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)天、、2?0，+8)且x尸々時，都有

"""廠"":)》0成立,7(2025)=2025,則不等式/'(x)-x>0的解集為()

Xlx2(xl-x2)

A.(一8,-2025)U(2025,+8)B.(-2025,0)U(2025,+O>)

C.(-2025,2025)，卜會康)

【答案】B

[詳解】由笠丁

>0可得M七:0,設(shè)函數(shù)g(M=U_2,xw(o,+8),

XifX

則g(力在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又因為/(“為定義在R上的奇函數(shù)，g(-x)=2hD=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

-X

g(x)>l(x>0)

而不等式/(x)-x>0o

g(x)<l(x<0)

又因為/(2025)=2025,所以g(2025)=g(-2025)=1,

所以不等式的解集為(-2025,0)0(2025,+8).

故選：B

6.(24?25高二下?江西上饒?期末)已知函數(shù)/(x)=x-sinx,且/(log?〃?)+/(-1)<0,則用的取值范圍是()

A.(e,2)B.(0,2)C.。,2)D.(2,+8)

【答案】B

【詳解】?.?函數(shù)/(x)=x-sinx,定義域為R,cosxNO恒成立，故函數(shù)/*)為增函數(shù)，

又由/(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

/(log,/n)+/(-1)<0=>/(log,m)<一/(T)=/⑴，則log?川<1，

解得：0<m<2.

故選：B.

7.(24-25高一上?四川瀘州?期末)已知定義域為R的函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(-x),當(dāng)》6(內(nèi),0］時，

/()=flY,則滿足/(3..1)<嗎)的實數(shù)x的取值范圍是

x)

11z11\

r■c!」、

A.,-2-n-2-9-6-ID.11

6B.\/

【答案】D

【詳解】因為函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(r),所以/'⑴是定義域為R的偶函數(shù),

當(dāng)工€(田,0］時，/(.v)=flJ,此時在(?網(wǎng)上單調(diào)遞減，

則“X)在［0,+e)上單調(diào)遞增，

所以即一!<3XT<:，解得!<X<!.

i.2J22262

故選：D

7

8.(25-26高三上?湖北武漢?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(X)=￡-X3,則滿足不等式/(加+2)+/(2吁1)>2的實數(shù)

c+1

〃?的取值范圍是()

A.w~B.rn>—C.〃?<—D.〃?>—

3333

【答案】c

2[

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)-l=f-—x)-\=~f-~-x3=--x3,g(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,

e+1e+1e+1

1e33

g(-x)=；"-(-x)=^4+x=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù)，

e+1l+e

,、(-ev)(eA+l)-et(1-e'),-2ex,

^W=-~~/J——--3^=—^-r-3x2<0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減，

(e'+l)(e'+l)

由/?+2)+/(2〃LI)>2得[/W+2)—[[+[/(2〃L1)—1]>0,

即g(/〃+2)+g(2〃i_1)>(),g(w+2)>-g(2w-l)=g(l-2/w),

因為g(x)在R上單調(diào)遞減，所以加+2<1-2加，解得

故選：C.

9.(25?26高三上?廣東深圳?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=ln(l+e、)—；》,〃=/(竽)b=/(￡|,c=/(-浮)則

()

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

xT

e1C-1

【詳解】由題意得/'(')=47一5=與二百，

令八打=0,即eT=O,解得x=0,

當(dāng)x<()時，f\x)<0,/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x>0時,f'(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

可知/(r)=ln(l+cv)+；x=lnl+e*+；x=ln(l+c')-x+gx=In(l+c')-；x=f(x),

(]n3、'ln3'

所以/(X)為偶函數(shù)，可知C=/-.

<3>

令g(x)=I"》，則g'(x)=

令g'(x)=o,即l—lnx=o,解得x=e,

當(dāng)0<x<c時，g'(x)>0,g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x〉e時，g'(x)<0,g(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減,

siIn2IneIn3Ine

所以二-<—，—<——

2e3e

In2In331n2-21n3In8-ln9.In2In3

<0,即nn——<——，

236623

In2In3IneIn2In31

月1以——<——<——，即——<——<-

23e23e

所以我)“(?)<?)，即―

故選：A.

10.(24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)?多選)己知定義在R上的連續(xù)函數(shù)/卜)是偶函數(shù)，且滿足

/(x-2)=-/Cv+2),且％,x2e［0,4］,國/七，都有/L止&J>o,則()

X\~X2

A./(x)=/(x+4)B./⑴在卜8,0］單調(diào)

C./(⑵)>/(sinl)D./(%)在(-4,9)有三個極值點

【答案】CD

【詳解】由/(工一2)=-/(工+2)可知/(力=一/"+4),所以/(工+8)=一/(工+6—2)=—/(x+4)=/(x),A錯誤；

因為小,9目0,4］,x尸與，都有“不)二&'”>0,所以/(x)在［0,4］單調(diào)遞增，又/(X)為偶函數(shù)，所以“X)

Xl-X2

在［-4,0］單調(diào)遞減，由周期性可知/⑴在卜8,-4］單調(diào)遞增，所以/(x)在卜8,0］不單調(diào)，B錯誤；

由A項知/(力的周期為8,所以/(I21)=/(15x8+l)=/⑴，又0<sinl<l,且/(x)在［。,4］單調(diào)遞增，故

/(121)>/(sinl),C正確;

由/⑴為偶函數(shù)知x=O是/(x)的一個極值點，又/(X)的周期為8,則x=8是/(x)的一個極值點，又

/(x)=/(-x),/(x)=/(x+8),則/(—x)=/(x+8),所以/")的圖象關(guān)于直線戶4對稱，即x=4是/(x)的一

個極值點，因此/(x)在(-4,9)內(nèi)有三個極值點，D正確；

故選：CD.

■\

11.(24-25高三上?福建廈門?階段練習(xí)?多選)已知定義在上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且/(。)=0,

/'(x)cosx+/(x)siar<0,則下列判斷中正確的是().

【答案】CD

s

【詳解】令《)=犯，Ho,乩則/⑺JU)8l小)」,

cos.vL2)cos^x

因為十/(x)sinx＜0,所以g'(x)＜。在0,1J上恒成立,

*\

因此g(x)在上單調(diào)遞減.

_乙Z

因為"0)=0,所以g⑼=9=0,g(x)W0在10,手上恒成立，

cosOL2/

又Ingw0仁)，所以故B錯誤.

弁色］/田

易知犯所以一^〉，^,即/停＞何仲，故C正確.

⑻⑺cos'cosN⑻⑴

63

所以加＞國，即/(小后閨

易知g|；「g

故D正確.

cos—cos—

故選：CD.

12.(24-25高三上?江蘇南京?階段練習(xí)?多選)已知回＞磔，則下列結(jié)論成立的是()

A1,1八b8+2025h

A.2a>1B.a+->b+-C.->--------D.na~h>3a~h

abaa+2025

【答案】AD

【詳解】列表解析直觀解疑惑

選項正誤原因

AV因為lga＞lg/),所以a＞%＞0,故〃一力＞0,得2小＞1.

對勾函數(shù)/(x)=x+，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L-8)上單調(diào)遞增，

X

BX

而。＞力＞(),故/(4)＞/(方)不一定成立，即。+1＞力+?不一定成立.

ab

b_6+2025_〃(。+2025)-“伍+2025)_20259-a)

aa+2025-a(a+2025)-a(a+2025)<*

CX

-4bh+2025

所以有一<—二

aa+2025

a-bfya-b/\0

D4J=1>HE=1,又3i>0,所以

3""⑴⑴

故選：AD

13.(24-25高二下?山東日照?期末)定義域為R的偶函數(shù)/(均在(F,0］上單調(diào)遞減，且/⑴=0,若關(guān)于工的不等

w

式-2)>(nx+2)/(2—x)的解集為［1,+功，則c+/"的最小值為.

【答案】2e

【詳解】由/(》)為偶函數(shù)，得洋x)=/(-x),即f(x-2)=/(2r),

不等式(〃/一l)/(x-2)>(心+2)/(2-工)=［(小一〃)x-3］/(x-2)>0,

又函數(shù)/*)在(-8,0］上單調(diào)遞減，且/(-1)=/。)=。，則函數(shù)"X)在［0,+8)上單調(diào)遞增,

則當(dāng)X€(-OO,-l)U(l,+8)時，/(X)>0,當(dāng)時，/(x)v0,

當(dāng)XG(-OO,1)U(3,+8)時，/(x-2)>0,當(dāng)xe(l,3)時，/(x-2)<0,

即/(x-2)<0的解集為［1,3］,/(x-2)>0的解集為(YO」］33,+OO),

由不等式收一〃)x-3］/(x-2)20的解集為［1,XO),

當(dāng)機=〃時，不等式［(，〃-〃)x-3］/(x-2)20為(-3>/--2"0,解集為［1,3］,不符合題意;

33

當(dāng)小〉〃時，不等式(〃?一〃)x—3N0解集為——，(〃L〃)X—3K0解集為xW——,

m-ntn-n

要使不等式［(加一〃)'-3］/('一2)之0的解集為工位)，則一?一二3,即〃?=〃+1；

rn-n

33

當(dāng)機時，不等式(帆_〃口―320解集為(加—〃卜—340解集為

m-nm-n

此時不等式［⑺-n)x-3］/(x-2)>0的解集不為口,*o),

w1-nz,+,l-n

因此〃?=〃+1,e+e=c+c>2je"'.e=2c?

當(dāng)且僅當(dāng)e"“=cf,即〃=0,m=l時取等號，所以

即d+廿”的最小值為2e.

故答案為：2c

14.(24?25高二下?江蘇無錫?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=c，--'+1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若

/(2X-1)+/(4-X2)>2,則該不等式的解集是.

【答案】M-1<X<3}

【詳解】/(-x)+/(x)=e-x-ex+1+ex-e-x+1=2,

則f(21)+/(l-2x)=2,

/(2X-1)+/(4-X2)>2=>/(2A-1)4-/(4-X2)>/(2X-I)+/(I-2A),

故/(4*)>/(1一2江

/(x)二爐一尸+1在R上單調(diào)遞增，

所以4-->l-2x，解得—l<x<3.

該不等式的解集為卜卜l<x<3}.

故答案為:{x\-\<x<3}

15.(24-25高二下?河北唐山?期末)設(shè)/”(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對任意xeR都有/'(X)<2J(2)=3,則使

得/(e)<2e'-l成立的x的取值范圍是.

【答案】(。2,+8)

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)-2x,則g'(x)=/"(x)—2<0,g(2)=/(2)-2x2=-l,

可知g(x)在R上單調(diào)遞減，

由/(ex)〈2e'-l,得/(e')—2e'<-1,即g(e')<g(2),

故e*>2,則x>ln2,即使得2e，-1成立的x的取值范圍是(ln2,+8),

故答案為：(ln2,+8)

16.(24?25高二下?陜西西安?期末)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(x)=1。氏x+x-3,則不

等式〉0的解集是.

【答案】(一叫-2)=(2,+”)

【詳解】由對數(shù)函數(shù)尸噢2》和一次函數(shù)y=x-3的單調(diào)性可得/3=抽2.丫+》-3是(0,+8)上的增函數(shù)，

且/(2)=噬22+2-3=0,

所以當(dāng)x>0時，/匕)>0的解集為(2,+8),

所以當(dāng)x>0時，不等式獷/(工)>0的解集為：(2,+。).

又因為/(%)是奇函數(shù)，易知r/(x)是偶函數(shù)，

所以當(dāng)x<0時，不等式獷/(工)>0的解集為：(-。,-2).

故不等式x?/(x)>0的解集為:(-叫-2)u(2,+?).

故答案為：(-8,-2)52,+8)

17.(24-25高二下?黑龍江牡丹江?期末)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,對任意*,都滿足/(x+j，)=/(x)/G，),

且/(x)wO,當(dāng)x>0時，且八2)=".

⑴求/⑴，/(3)的值;

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(x)在R上單調(diào)遞減；

(3)若對任意的xeR,3/(2/_/+力4〃》_5)/(3X-4)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴"1)=9/⑶=:

(2)證明見解析

(3)[-2,3]

【詳解】(1)由/(x+A=/(x)/(y)，取x=l，可得：/(2)=/2(1)=1,

又當(dāng)x>0時，則/(1)=；,

再取1。-2,可得；/(3)=/(1)-/(2)=^；

(2)???/(x)=0.??/(X)=/(j+|)=[/(1)]2>0,

Vxrx2ER,且王</，則X2一為>。，依題0</(工2一斗)<1，

則/(工