函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：雙變量問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、零點問題專項訓(xùn)練

考點目錄

雙變量問題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

零點問題

考點一雙變量問題

1.（23-24高二下?福建福州?期末）已知為不相等的正實數(shù)，巾+ln尸;7,則（）

A.x>yB.x<yC.x+y>\D.x+

2.（24?25高三上?湖北武漢?期中）函數(shù)/（x）=q+lM+b（a€R,b€R）的兩個極值點小當(dāng)滿足玉〈々<2司，則

c

玉+2%的最大值為（）

A.2ln2B.31n2C.4ln2D.51n2

3.（24?25高二下?河北秦皇島?期末）已知實數(shù)x,y滿足lny=,-ln（2x）,則V的最小值為（）

A.—B.—C.cD.e2

e-e

4.（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測?多選）已知/（x）=（x-l）/-x2,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）在（0,卜2）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/（x）有1個零點

C.對任意網(wǎng),占w[L+8）,X1=X2，都有/（司）:，“2）之/（*：）

D.若函數(shù)g（x）=/（x）-〃?在區(qū)間[0,2）上有且只有一個零點，則,〃€[-14-4]

5.(24?25高三下?河北邢臺?階段練習(xí)?多選)已知函數(shù)/(x)=x-ln＜十”(oeR),/(x)的圖象與直線V=，交于

"&,/)、N(,q，)兩點，且玉＜當(dāng)，則下列說法正確的是()

A.若/=0,則Q的取值范圍為

B.若g(』)=/(x)-/(2-x),則g(x)無最值

一+一;

2Inx2-InX)

D./(x)在x=三處的切線的斜率大于0

6.(24?25高二上?浙江溫州?期末)己知函數(shù)1有兩個零點修,它，且內(nèi).設(shè)〃為常數(shù)，當(dāng)“變化

時，g+、2+(〃+l)有最小值。，則常數(shù)"的值為.

7.(24?25高二下?福建漳州?期末)Vxpx2e[l,2],且x尸當(dāng),不等式"三史＜〃?恒成立，則川的取值范圍

X2~X\

為?

?e

8.(25?26高三上?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e、-J(x＞O),g(x)=lnx.

x

⑴求函數(shù)〃(X)=/*)+g(x)在[l，e]上的最值及其零點個數(shù)：

(2)若對于任意的。＜不＜/，均有/(%)-歿(%)＜/伍)-4g(/)，求。的取值范圍.

9.(25?26高三上?江蘇揚州?階段練習(xí))已知/(工)=.-4皿-多/.

(1)若曲線y=/(x)在X=1處的切線與y=x垂直，求實數(shù)4的值；

(2)若函數(shù)y=/(x)存在兩個不同的極值點不與，求/(玉)+/(々)的取值范圍.

10.(25?26高三上?北京?階段練習(xí))已知〃x)=2爪一〃lnx-以-1.

⑴若。=-1,求曲線)，=/(》)在點夕(1，/⑴)處的切線方程：

(2)若函數(shù)y=/(x)存在兩個不同的極值點不與，求證：/(x,)+/(x2)>o.

10+]

11.(25?26高三上?重慶?開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=ax+^—r有兩個極值點.卬天且王〈吃.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：王+2/>3.

12.(25?26高三上?重慶?開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=lnx+l,g(x)=-.

x

⑴討論函數(shù)/(x)+g(x+l)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

(2)若存在唯---組實數(shù)天,5(玉<“G),使得/(在在區(qū),占]上的值域為[g(X2)，g(X1)].

(i)求證：X,+X2>2；

(ii)求實數(shù)〃的取值范圍.

13.(25?26高三上?湖北?開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(x)=e，+e-'-其中?！?為參數(shù).

⑴當(dāng)4=1時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間.

(2)求a的取值范圍，使得/(X”0對所有實數(shù)X成立.

⑶設(shè)”外，其中旬為(2)中范圍的右端點，記為,馬為/(x)=。的兩個正實數(shù)解(0<$<與)，不為(2)中定義

2

的正實數(shù)(滿足tanh/二一).證明：￡一%>/一司.

14.(2025?福建泉州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=(〃+l)sinr-xcosx,xe[O,句.

(1)當(dāng)機=0時，求/。)的值域：

(2)若/(%)存在唯一的極值且為極小值，求/〃的取值范圍；

⑶設(shè)〃eR,若存在〃?€(-8,0)使得刖對xw[0,可恒成立，求〃的最大值.

考點二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1.（24?25高二下?江蘇連云港?階段練習(xí)）下列四個不等式①②③欣④

sinx<x（x>0）中正確個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（25-26高三上?云南昆明?階段練習(xí)）若0<玉<占<1,則（）

v,v,

A.e*-e>lav,一Inx】B.e--e<\nx2-lnx）

v,Vjv,￥2

C.x2e<X]eD.x2e>e

3.（24.25高二下?湖南?階段練習(xí)?多選）已知力且。、b滿足后不-后不<a+b，則下列不等式恒成立的是

（）

A.a+b>0B.a-b>0

C.2"-2”>3-“-3"D.ea+b>\

4.（25-26高三上?海南?？?開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)/（x）=ln%7+l.

（1）求/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明:當(dāng)X€（l,+8）時，

\nx

5.(25-26高三上?安徽?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=sinx+lanx-2K-履'，xe0,y

⑴當(dāng)左=0時,判斷/(X)的單調(diào)性；

⑵若對任意的xe(o,5)不等式/(力>0恒成立，求"的取值范圍；

(3)求證：Jsinx+Jtanx>2\fx(-￥€。()),

乙)

6.(25?26高三上?遼寧?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(力在區(qū)間“上有定義,記/'(X)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，/〃(力為

/")的導(dǎo)函數(shù).若/"(x)>0,則稱/⑺為(。/)上的"”函數(shù).已知"(x)=/+〃?sinxWcR)是R上的“P”函數(shù).

(I)求機的取值范圍；

(2)已知直線)，二質(zhì)為曲線y=b(x)在原點處的切線，求去-尸卜)的最大值;

(3)證明：當(dāng)x>0時，x2+sin.Y>[ln(x+l)y+—

7.(24?25高三上?北京?期中)已知/(x)=e'-ai-l,aeR,e是自然刈數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)”=1時，求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間、極值以及對應(yīng)的極值點;

⑵若關(guān)于工的方程/(力+1=。有兩個不等實根，求。的取值范圍；

⑶當(dāng)。>0時，若滿足/(為)=/(七)(占<》2),求證：xi+x2<2{na.

8.(25-26高三上?江蘇南京?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(2x+")+；x2(〃wR)

(1)若曲線y=/(x)在x=i處的切線的斜率為2,求切點的坐標(biāo)；

⑵討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)機=2,時，求證：/(j)<siav+^x2+1.

9.(25-26高三上?江蘇揚州?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(-V)=x-\-x\nx,g(x)=aGR且々于0

⑴求函數(shù)/*)的最大值：

(2)若g(x)N(),求a的值;

(3)求證:e'f…+盛>2026(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))?

2

10.(25?26高三上?福建?開學(xué)考試)己知函數(shù)/(x)=x-3hu-二-/

A

⑴證明：V4€(0,+8)J(Q)<0.

「1、

⑵若/(X)在-,+00上只有一個零點，求。的取值范圍.

一/

x

(3)設(shè)不通是/(%)的兩個零點，證明：i+x2+6ln3>2a+6+61n2.

11.(25?26高三上?重慶沙坪壩?開學(xué)考試)記函數(shù)，(x)=l十工十一十…十針，〃0w

(1)求函數(shù)A(-v)的極值點個數(shù);

(2)記函數(shù)fn(x)的極值點為天，證明:

②數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減.

p+i_1

（提示：XH1時，l+x+---+xrt=:-------,neN*）

考點三零點問題

1.（24?25高二下?云南曲靖?期末）若/3=。"—山在［1,3］上存在唯一的零點，則（）

A.2<Z<eC./>eD。*

B)嗑

（25-26高三上?四川綿陽?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=e，-ax有兩個不同的零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(he)C.(e,+8)D.(°，e)

已知函數(shù)?。?；，

3.（25-26高三上?北京順義?開學(xué)考試）5-1則函數(shù)/（x）所有零點之和為（）

A.-2B.0C.2D.4

4.（25-26高二上?湖南邵陽?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程（ev-rx）（x-Hnx）=0恰有三個不同的實根%b,c

{a<b<c),則()

A.a+c<2hB.a+c=2hC.ac>b2D.ac=b2

5.（2025?遼寧大連?一模?多選）記/（x）的導(dǎo)函數(shù)/'（x）=xJ2x-l,xeR,下列說法正確的是（）

A./（x）在R上一定有3個極值點

B./（x）在R上一定有4個零點

過/（x）上一點作切線/"=履+"若存在三個點的切線斜率相同，貝IA的取值范圍為（一半-1,半-1

C.

D.記g'(x)=/'(x)+l,則g(x)一定是偶函數(shù)

6.(25?26高三上?湖南長沙?階段練習(xí)?多選)已知函數(shù)/")=4(-+”)一X有兩個零點為，勺，則下列說法正確的是

()

A.不存在負數(shù)。滿足條件B.a的值可以取!

4

C.。的值可以取gD.%一引的值關(guān)于。單調(diào)遞減

7.(2025?廣東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)2*卜",g("=/(x)-依+1.若g(x)恰有4個零點，則實數(shù)

lnx,x>0

A的取值范圍是—?

8.(25?26高三上?江蘇常州?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=gx3+〃?x+8,g(x)=lnx,用min{〃,/)}表示a力中的較小

值，若函數(shù)Mx)=min{/(x),g(x)}(x>0)有三個不同的零點，則實數(shù)機的取值范圍為.

9.(25?26高三上?北京?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=S+lW-e*+l,?<-!.

⑴求/(x)在點(0J(0))處的切線方程：

(2)求證：當(dāng)x<()時，/'(')>一1；

(3)求/")的零點個數(shù).

10.(25?26高三上?江蘇南通?開學(xué)考試)已知函數(shù)/*)=卜-/)加十人的圖象在點(1,/0))處的切線經(jīng)過點(0,1).

⑴求實數(shù)攵的值：

(2)證明：InxNl—g；

(3)證明：/(x)有且僅有一個零點.

11.(24?25高三上?北京?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx-

⑴當(dāng)a=2時

①求曲線V=/(X)在點(1J⑴)處的切線方程；

②求〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-G有兩個零點，求實數(shù)。