2026高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)導(dǎo)數(shù)中的利用韋達(dá)定理研究雙變量問題

導(dǎo)數(shù)中的利用韋達(dá)定理研究雙變量問題

題型一:利用韋達(dá)定理消元求范圍問題

【精選例題】

腳］1已知函數(shù)/(了)=d+21ni+1.

(1)求曲線g=/(c)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(c)=/(2)-2ax(aGR)有兩個(gè)極值點(diǎn)為,出,且ZiVgVe,求gQJ-g(g)的取值范圍.

【跟蹤訓(xùn)練】

題目j_LL知函數(shù)/(1)=In①H―2a(a6R).

X~iL

(1)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)若/3)兩個(gè)極值點(diǎn)文1，出2,且入?。踖,e2］,求f(ci)—/(,)的取值范圍.

1

題目2J已知函數(shù)/(x)=^x2-2ax+\nx(a為常數(shù)).

(1)若函數(shù)/(⑼是增函數(shù)，求Q的取值范圍；

⑵設(shè)函數(shù)/3的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為電，6⑶vg)，求/⑶)-/3)的范圍.

題型二，利用韋達(dá)定理消元證明雙變量不等式問題

【精選例題】

例2已知函數(shù)/(c)=2c-Qlnc-工有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)電、電(21>入2).

-X

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若Q>3,求證：為>1,且/⑶)一,(”2)<±_21n2

X[+x23

例二已知函數(shù)=—kr+h】c

(1)討論函數(shù)”⑼的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)如孫證明：I/3J—/3JIV與一2

x2—ax+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)Ni?x.

ml己知函數(shù)/(，)=2

(1)求a的取值范圍;

(2)證明：/(處)+/(g)+—+—<161n2.

X\①2

?M

睥］5己知函數(shù)f(x)=In/_Q(

(1)討論/(1)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵若函數(shù)/(c)恰有2個(gè)極值點(diǎn)41/231〈電)，3個(gè)零點(diǎn)九左，J(￡1V￡2V￡3),探究:是否存在實(shí)數(shù)a,使得

1(g)-/(電)=2(-一幻_2

-

2lnt3Inti

UR蹤訓(xùn)練】

題目厚,1已知函數(shù)/(%)=alnc+J/—2c.

(1)討論/Q)的單調(diào)性；

⑵若f3)有兩個(gè)極值點(diǎn)電，如證明：/⑶)+/(亞)+3>0.

題目］Jj己知函數(shù)/(%)=N2+g-0(Q€R).

11)當(dāng)a=1且c>—時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

?J

2

(2)當(dāng)Q>F&—時(shí),若函數(shù)9(0=/(⑼-x-lnrr的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為為，x2，證明：0V|g(g)—g(x2)\<

e"+l

e2

e2+l,

題目叵I己知/(4)=-yxj-4x+a\nx.

(1)若函數(shù)/(⑼在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵若函數(shù)/Q)有兩個(gè)極值點(diǎn)即如證明：/3i)+f&)>—>+lna.

題目叵己知函數(shù)f(x)=4x-yX2-alnx.

(1)討論函數(shù)/(①)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，④2(/1<￡2)，證明：/(%1)+/(^2)<7+e-lna；i-lna：2.

題目17已知函數(shù)/(c)=(x-l)lnx-ax-l(a>0).

(1)若/(c)的最小值為一e-1,求Q的值；

⑵若a=1,證明:函數(shù)fQ)存在兩個(gè)零點(diǎn)電，物，且f(刈)+/(叫)<-2.

題型三3利用韋達(dá)定理消元求雙變W數(shù)問題

【精選例題】

2-x+a(aGR),f(x)為/Q)的導(dǎo)函數(shù).

例6己知函數(shù)f(x)=x\nx--^x

⑴當(dāng)a制時(shí)，若gQ)=/(⑼在[["+l](t>0)上的最大值為h?⑴，求”。；

(2)已知為g是函數(shù)/3)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且為〈附，若不等式e""y為球恒成立，求正數(shù)優(yōu)的取值范圍?

例7已知函數(shù)/3)=①+：+里，aWR

一e

(1)討論/(⑼的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)：

(2)若/(①)在(-l,+oo)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)卬gQiVg),且及他)7(g)>4e-求。的取值范圍.

例8已知函數(shù)/(c)=21nVx+卷(Q-1):其中QWR.

乙

(1)討論函數(shù)/(⑼的單調(diào)性；

(2)若/(①)存在兩個(gè)極值點(diǎn)xi，x2(xi<x2),\f(x2)-/(^i)l的取值范圍為《一ln2,￡~—21n2),求。的取

值范圍.

【展蹤訓(xùn)練】

題目］V；已知函數(shù)/(x)=—x4-—+alnx(aGR),且/(c)有兩個(gè)極值點(diǎn)xbx2.

2/

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵是否存在實(shí)數(shù)Q，使皿二包=Q-2成立，若存在求出Q的值，若不存在,請(qǐng)說明理由.

X\—X-2

題目叵已知函數(shù)/(c)=QG+1-61n2的圖像在2=1處的切線與直線①一y=0平行.

U)求函數(shù)/(①)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若V如色6(0,+8)，且41＞色時(shí)，—/(①2)＞—(￡：—N)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

題目7F1已知函數(shù)/3)=a~[nx在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與X地平行.

X

(1)求實(shí)數(shù)Q的值及73)的極值；

(2)若對(duì)任意為,gE[e；+8),有,⑻T(B)＞求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

Xi-X-2g

導(dǎo)數(shù)中的利用韋達(dá)定理研究雙變量問題

題型一，利用韋達(dá)定理消元求范圍問題

【精選例題】

0]1已知函數(shù)/(T)=①2+21ni+1.

(1)求曲線g=/(c)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(c)=f(x)-2ax(aER)有兩個(gè)極值點(diǎn)如的,且ZiVgVe,求gQJ-g(g)的取值范圍.

【答案】⑴4c-2/-2=0;(2)(0,e2-p--4)

【詳解】(1)/(力)=d+zina:+"Q)=2x+—.,./(I)=2,/(1)=4,/.曲線g=/(i)在點(diǎn)(1,/(1))處的切

xt

線方程為g—2=4(4—1),即4rr—期一2=0.

n2(l2-(ix4-1)

(2)5(x)=x2-2ax+2\nx+1,則函數(shù)g(①)的定義域?yàn)?0,+8),g'(c)=2x-2a-\---=-----------,

xx

若函數(shù)9(c)有兩個(gè)極值點(diǎn)孫12,且力1<生<e.則方程x2—ax+1=0的判別式A=a2—4>0,且1i+a；2=

a>0,x1x2=l,：.x2=—<et—<x[<l..'gQi)—g(g)=x^—2ax]+2\nx[—x1-1-2ax^—2\nx2

xxe

=(±]+c2)(01-^2)—2Q(2]-+21113；1—21nx2=(%+72)(的一22)—2(電+々2)(為一22)+21n^]—21n—

+41na；i=-y—a：?+41nTi(-1-<x[<1).

設(shè)九⑴=-y—t2+41ni^—V￡V1),則//(t)=—言—2t+=---(~3~—VO在￡G(工1)上恒成立.

故九⑴在(51)單調(diào)遞減，從而h(t)>h(l)=0,九⑴Vh(f)=e2---4.因此,g?)—g(g)的取值

范圍是(0,62—3—4

\e

【跟蹤訓(xùn)練】

題目[T\已知函數(shù)/(%)=ln%+：-2a(a6R).

XIL

(1)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

⑵若了(土)兩個(gè)極值點(diǎn)電，為2,且①iW[e,el,求/(為)一/(g)的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)a44時(shí)，/(c)在(0+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>4時(shí)，/Q)在

產(chǎn)-2-八2-&。-2+5/0^^)上單調(diào)遞減，在0a-2-A/a?-4a)(a-2+Ja?-*+oo)上單

調(diào)遞增；(2)14+已一e\2+十一；

【詳解】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),又f(x)=十(2一5+1,cc(0,+8)，令f(⑼=0,得x2

x[x+I)-

4-(2-a)x+1=0,當(dāng)a<2時(shí)，2>0時(shí)，/Q)>0,所以/Q)在(0,+8)單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，方程/

+(2—a)￡+l=0的A=a2-4a=a(a—4),①當(dāng)2Va&4時(shí)，AWO,則/'(④)>0,所以/(⑼在(0,+8)單

調(diào)遞增;②當(dāng)。>4時(shí)，A>0,令辦(2一Q〃+I=O,得立尸?！?—產(chǎn)—4Q,>0,g=Q-2+產(chǎn)—電,

當(dāng)一當(dāng)(0,①1)u(如+8)時(shí)，/'(工)>o；當(dāng)①e(①卜的)時(shí)，/'(①)<o；所以/(%)在

a-2_JQ2-4Q.a-2+，a2-4a上單調(diào)遞減，在(0,義—2—Va2—4a)，(a—2+Va2—4G,+8)上單

-2，2-22?M

調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)a44時(shí)，/(%)在(0+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)。>4時(shí)，/(⑼在

j--2-嚴(yán)-gg二土)上單調(diào)遞減，在(0,a-2一嚴(yán)也),(2二丐正反+可上單

調(diào)遞增；

(2)由(1)得若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)出I，%則a>4,且]]+力2=0-2,XiX2=1,即a=XI+X2+2,x2=—故

J(^i)-7(g)=-2a-(lnx2+—-2a)=In電+電：,：2_g一竺:}=ln^-+

iEi+1\g+l'XI+l電+I72

g+1X\+l

6i+lg+l

=21nxi+——Xy,X\E[e,e?[,令gQ)=21nx+---x,xW[e,e2],則g(x)———v—1=——―<0,

XX

所以g(c)在[e,e2]上單調(diào)遞減；即g(e2)&g(2)4g(e)，故4+4一e2^g(x)42+9一e,綜上所述：

/(2i)—/(g)的取值范圍為：4+-e2,2+——e.

?ec-

題目]2己知函數(shù)/Q)=9C2-2QC+lnc(a為常數(shù)).

(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求Q的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/(為的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為電，gQiVg)，求/(勾)—/(g)的范圍.

【答案】(1)(一8一]；(2)(0,+8)

【詳解】(1)/3)的定義域?yàn)?0,+8),/(%)=/—2a+!=/上些±J_，若函數(shù)/(x)為增函數(shù)，則/Q)=

XX

二二紅山>>0在(0,+8)上恒成立，所以加2-23+1>0對(duì)任意力>0恒成立，即2a&c+L對(duì)任意c

XX

>0恒成立，又人+!》2yjx?1=2,當(dāng)且僅當(dāng)c=1■，即c=l時(shí)等號(hào)成立，所以2a<2,解得a&1,故。

的取值范圍是(一8,1];

(2)若/(c)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則①|(zhì),及是方程f(c)=C,即M-2ac十1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

色>0

從而得到,i+%2=2Q>0,即。>1,又0VC]Vg，故x2>l,y(a;i)—f(rr2)=2arr1+lna)]

12科2=1>0

—(2ag+lnc2)

—:(①:一c3—2a(為一^2)+(Inc]一Inc?)=X2)—(①i+n^)(新―^2)+In-=—^―^-x?+ln—=

Z/X-2//3/2

V^2—A-+In占，令￡=1,則/(%)-/(g)=g?)=<￡_I_ln￡,

22X-2X22/￡

g'⑴=9+=一。=景1—十)~>o,所以。⑴在(1，+8)上單調(diào)遞增，所以g⑴>g⑴=0,即g⑴的

值域?yàn)?0,+8),所以〃為)一/"2)的范圍是(0,+8).

題型二，利用韋達(dá)定理清元證明雙變?不等式問題

【精選例題】

例已知函數(shù)加)=2c-a\nx-^有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)為、電出>g).

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

?M

⑵若Q>3,求證：x,>1,且/（?◎）：/3）<A_21n2.

Ci+223

解析：（1）實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（2/,+8）；

2

（2）由題意可知，的、及為方程2a;—ax+1=（）的兩個(gè)實(shí)根，由于為>x2,則xx=衛(wèi)士一?——，當(dāng)Q>3時(shí),

Va2-8>1,①產(chǎn)a+f8>i,由可知（⑥+電12,

4口任2=j

」(心)一13)_23一旬一。如己一3+圭_2⑶一引如嚴(yán)?電一g_4。一后)如產(chǎn)

%l+%2Zi+%2NI+42工2XiX2(Xi+X2)電+的％2

=Q1-21n曳，???曳=2-＞2,令2曳＞2,設(shè)M2)=二丁-21n力＞2./⑴=—J

亙+1xxxi+1(￡+1)2

*2222

--7=_y一冊(cè)VO,所以，函數(shù)g=九⑴在(2,+8)上單調(diào)遞減，所以，九?)＜九⑵=4-21n2，因此,

*t{t+1)~J

/(x.)-/to)＜l_21n2

Xi+x23

例3已知函數(shù)/(c)=^-x2—kx+\nx

（1）討論函數(shù)/（為的單調(diào)性；

（2）若/Q）有兩個(gè)極值點(diǎn)如如證明：|/（x,）—/（6）|V與一2

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析

2

【詳解】⑴f（c）="T/+［，令以①）=x-kx+1,注意到0（0）=1,對(duì)稱軸2=4,故0（c）1nin=0（4）=

x2\2,

必

1一7

⑴當(dāng)與W0時(shí)，即k&0,此時(shí)夕⑸在（0,4-00）上單調(diào)遞增，即胃⑺>w（0）=1,從而/⑺>0,即/⑺在

（0,+8）上單調(diào)遞增;

演）當(dāng)?！?gt;€）時(shí)，k>0,若@（寺）=1一與）。，即0VkV2時(shí)，0（1）>0恒成立,從而/（0>0,即/（乃

在（0,+8）上單調(diào)遞增;若暗）=1一竽V0,即k>2時(shí)，存在電€（0,專）,gW（冬+8）有漢電）=

雙?。?0,其中1產(chǎn)上二季二4,電='土坐三人,從而f（x）在（0,電）上單調(diào)遞增，（電,曲）上單調(diào)遞減，

（g,+8）上單調(diào)遞增：

綜上可知，當(dāng)k42時(shí)，函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增，當(dāng)k>2時(shí)，函數(shù)在"<J.）和

（包*巨,+8）單調(diào)遞增，在（國(guó)二當(dāng)三，生￥^工）上單調(diào)遞減.

（2）證明：由⑴可知，要使f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)11，色，則k>2,此時(shí)滿足電+力2=k,力何2=1,

不妨設(shè)GiVg,此時(shí)有/（Xi）>/（g）,從而原不等式轉(zhuǎn)化為：/（電）一/（g）=一*）+k（x—x）+In%

乙2x

一Inc2Vg—2,將◎=」-及h=電+」-代入有：

2%Xi

—

￡?(*--+(，-+-g)+21nciV~^(2i+1-)—2,化簡(jiǎn)即得：211閉一*V—1,即證ln*V*-1,

由XiX2=1>/，可得為<1,令力=6沁>111/<方一1(0<￡<：1),設(shè)9(￡)=Ini—(t-1)(OV>V1),則或土)

=中>0,

故g?)在CW(0,1)上單調(diào)遞增，g(t)Vg(l)=O,故原不等式成立

2

劭4已知函數(shù)/(⑼=x-ax+a\nx有兩個(gè)極值點(diǎn)xx,x2.

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：/(④J+/(電)+24+24<161ii2.

XI①2

【答案】(l)a>8;(2)證明見解析

【詳解】(l)f(￡)=2x—a+—=——Qi+。、fQ)有兩個(gè)極值點(diǎn)xx則f(c)=0在(0,+a))上有兩個(gè)

xxif2f

A=a2—8a>0

實(shí)數(shù)根Xi,x-2,所以2c2—ac+a=0在(0,+8)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，g,則?2@2=]°解得a>8,

電+.=y>0

故a的取值范圍為a>8,

(2)由⑴知《■,/1+力2=多，且。>8,_/1(61)+/3)4--4--=j;f—aa：i+aliiXi4-X2—axo+aln^o

22Xix-2

+絲+生

X-2

—(￡1+力2)2-2力巡2一。(電+力2)+。1】14巡2+^—----=~—a—+alng+24="—a+ahig+

X\X1242242

24,

令g(。)=一空一a+ah玲+24(a>8),g(a)=—y+h吟，令h(a)=g(a)=—y+ln-y,//(a)=-y+

4ZzZZZZ

工=2：aV()在a>8上怛成立，所以九(。)=g(a)=—旨+lng在Q>8單調(diào)遞減，故g'(Q)+

a2a222

ln-y<g'(8)=-4+ln4<0,

2

因此g(a)在Q>8單調(diào)遞減，故g(a)Vg(8)=-16—8+81n4+24=161n2,故g(a)=-1—a+@“號(hào)+

24Vl61n2,得證.

例5已知函數(shù)/(x)=\nx-a(x--

—vX

(1)討論/(￡)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵若函數(shù)/(0恰有2個(gè)極值點(diǎn)如“2(的〈啊),3個(gè)零點(diǎn)t.2<幻,探究:是否存在實(shí)數(shù)Q,使得

/(g)一/⑶)=2(功一切_2

2In-1皿

【答案】(1)答案見解析；(2)不存在

2

【詳解】(1)由題知：/(c)=——a—_?士^(c>0),設(shè)函數(shù)g(c)=ax~—x+a,當(dāng)a=0時(shí)，/*

Q)=工>0,所以/(i)在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)/(0無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)aV0時(shí)，gQ)開口向下，對(duì)稱軸

x

為人=/VO,g(0)=aV0;所以f(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)/(%)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)

/a?M/

時(shí)，/①)開口向上，A=1—4a2V0；所以/Q)40JQ)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)0

V。V巳■時(shí)，ff(x)開口向上，A=1—4a2>0,對(duì)稱軸為c=蚩>1,g(O)=a>0;所以g(x)=0在

(0,+8)上有兩個(gè)解x\,x2(x\<x2),且xxx-2=1,x>>}>1>2。>為，所以當(dāng)0VcV電時(shí)，g(x)>0,f

3)vo；當(dāng)/1v出v42時(shí)，g3)voJ(c)>o；

當(dāng)出>色時(shí)，gQ)>0J3)V0,所以八①)在(0皿)上單調(diào)遞減，在(如珀上單調(diào)遞增，(電,+8)上單調(diào)

遞減；

此時(shí)了(了)有兩公極值點(diǎn).綜上所述：當(dāng)aVO或aA1時(shí)，/(%)無(wú)板值點(diǎn)；當(dāng)0VQV時(shí)，/(⑼有兩個(gè)極

值點(diǎn).

⑵因?yàn)楹瘮?shù)/(田)恰有2個(gè)極值點(diǎn)xi，x^>(xi<c°),由⑴知：xx2=1,11+益=工，0<a<]，>1

a22a

>2a>xif

又因?yàn)楹瘮?shù)/(￡)有3個(gè)零點(diǎn)t,3￡3&〈力2〈工3)，且/(￡)在(0,61)上單調(diào)遞減，在Q1，C2)上單調(diào)遞增，

但,+8）上單調(diào)遞減；所以ti<X[<l<x2<益，因?yàn)?（I）=0,所以t2=1,因?yàn)?（幻=111打一alji—十）=0,

/（功）=Inya卜3—十）=。，/（十）=I"：—。（:—右）=-]n%+a卜3—十）=一/出）=0,所以￡尸十，

因?yàn)?（十）=ln7-a?-,=Tn"+a（H-=-f（x），所以"，）”為）=-z/Q）=

/（心）：/（心）=?）,又因?yàn)??：,_2=2（門"_2=35_2=上一2,假設(shè)存在實(shí)數(shù)明使

2In^-lntj21nt3Q

得/（?。┮?31）：2（右一幻

-

2\nt3-\nt,~，

則f（工2）———2,即Inc?-——^-+2=0,即Ing-（—；X”?—~j-Qi+g）+2=0,

所以lnx2—（裂）（_—-）—--g+2=0,所以Ing—-----H<>+2=\nx2-\----------x2+l

'式+1八①2/①2達(dá)+1①2xi+1X-2

=0,

令t（x2）=14-Ing—?2,g>1，則2（①2）=——1V0,所以t（x-2）在（1,+8）上單調(diào)遞減，*色）<4（1）=0,

所以In①2~1T--------g+1=1+\nx—x----T-<-~V0,所以lng4----------x

曷+1g22（g+ljg（*+l）gg+1*22

+1=0不成立，

所以不存在實(shí)數(shù)a滿足:/3）；/3）=2n_2.

2lnt3—Intj

UR蹤訓(xùn)練】

題目]3已知函數(shù)/(c)=alnc+,a/—2c.

CO討論/(⑼的單調(diào)性；

⑵若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)電，X2,證明:/(X1)+/(①2)+3>0.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【詳解】(1)由題得f(n)=—+JC—2=-^--2c+a,其中1>0,令93)=/2—2￡+0,力>0,其中對(duì)稱軸為

xx

—

z=l,A=4-4a.①若a>l,則A&。，此時(shí)g(i)>0,則/(￡)>(),所以/Q)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

②若OVQVI,則A>0,此時(shí)，-2/+a=0在凡上有兩個(gè)根工尸1一，廠￡,62=1+?^,且0〈為〈

IV?,

所以當(dāng)2c(0m)時(shí)，g(x)>0,則f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)cw(%啊)時(shí)，g3)<0,則f(x)<0,f(x)

單調(diào)遞減；當(dāng)cW(x2,4-oo)時(shí),g(x)>0,則f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，③當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)/E(2,-oo)時(shí),g(x)

>0,則_f(⑼>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)出€(0⑵時(shí),gQ)<0,則f(①)<Q,f(x)單調(diào)遞減，

④當(dāng)aVO時(shí)，A>0,此時(shí)/-22+@=()在八上有兩個(gè)根⑥=1一，廠￡<(),g=l+/i^>0,所以當(dāng)

xW(0,k2)時(shí)，g(i)V0,則f(①)V0J3)單調(diào)遞減;當(dāng)上W(如+8)時(shí)，g(x)>0,則f(0)>Otf(x)單調(diào)遞

增，綜上，當(dāng)時(shí)，/(c)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)OVaVl時(shí)，/3)在(0,1—，廠Z)上單調(diào)遞增，在

(1—V1—O-,1+V1—<1)上單調(diào)遞減，在(1+V1—(1,+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)a=OB寸，/(c)在(0,2)上單調(diào)

遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)aV0時(shí)，/3)在(0,1+VF^)上單調(diào)遞減，在(1+VT^,+00)上單調(diào)遞增.

⑵由⑴知，當(dāng)0VQV1時(shí)，/(c)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，g,且C[+&=2,1何2=。，所以/Qi)+/(g)+3=

aln/i+la—Z/i+alng+l舄-2電+3=a(ln①i+lng)+。(8；+舄)—23i+s)4-3

乙乙乙

-alni何2+J[(CI+12)2—2￡]12]—2(電+6)4-3=alna+-y(4-2a)-44-3=alna—a+1.令h(x)=

rlnrr—x+l,O<rr<l,

則h'(x)=IncVO,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以h(x)>h(l)=0,所以alna—a+1>0,即/(cj+

/(g)+3>0.

題目@已知函數(shù)/3)=>+如一0(aGR).

X

⑴當(dāng)。=1且?>一?時(shí),求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a>-：-時(shí)，若函數(shù)g(0=/(①)一①「Inc的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為電，g,證明：0V|g(cj-g(g)|V

e"+l

e2

e2+l.

【答案】(1)函數(shù)/Q)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一4■,())和(0,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.(2)證明見解析

O

【詳解】(1)當(dāng)a=1時(shí)，/(c)=>+￡—工,所以/'(⑼=2c+1+勺=2"+1.①當(dāng)N>0時(shí)，/(1)>0

①xX'

恒成立，所以函數(shù)/(⑼在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.②當(dāng)①W("l",。)時(shí)，記*3)=2①斗川+1則”3)=

6rr24-2x=6x(x+,所以當(dāng)c￡(—",0)時(shí)，<p(x)<0,0(rr)單調(diào)遞減，且有(p(x)>@(0)=1;當(dāng)/G

I,—1-)時(shí)，<p(x)>0,p(i)單調(diào)遞增，且0(i)>8(—>0,所以當(dāng)xG(—時(shí)，0(1)>0,函數(shù)

/(乃單調(diào)遞增.綜上，函數(shù)/(⑼的單調(diào)遞增區(qū)間為(一看,0)和(0,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)證明：因?yàn)間(x)=f(x)—x2—Inx=ax———lnrr(a￡R.c>0),所以g(x)=a+勺——=

xx

a,2-rr+a

x2,

由題意知Ni,22是函數(shù)g'Q)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以◎,比是方程ad—4+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

由A=1—4/>0,且。>一￡一，知一^—V。V因?yàn)?1c2=1,所以g=不妨設(shè):T1VW2,所以0VC1

e'+le+122i?M

C

V1Vg,則x1+x2=^+―=—.因?yàn)椤猇aV!，所以2<工<十]=e+工，所以2+—<e+

xxae+12aee'xx

—,?P—<^<1.

ee

由二次晶數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)g(c)在xx處取得極大值，在g處取得極小值，即g(c。>g(x2),故

a

匕(為)-g(g)|=g(，i)-g(g)=9(⑥)-g(*)=(axx—InrrJ——g+lncj=

Ci

2axi--^In^J.(*)

又因?yàn)闉槭欠匠蘟x~—x+Q=0的根，所以Q=，代入(*)式，得g&)-g(g)=

/+1

—4Inc],令曷=九則」7V1V1

—hixi=2?設(shè)無(wú)⑴=2(；：—，JV

*+l*+lA+l22/eyc-ri乙/e

Y1,所以，2'")=一/"一：?VO,則九⑴單調(diào)遞減，從而有0="1)<”￡)<43)=^—，即0<

t(t4-1)~'e~/e~+l

匕(為)-g(g)|<-r—<-v—，證畢.

e-+le"+l

題目5已知/(c)=/r2—4c+alnc.

口)若函數(shù)/(￡)在區(qū)間(O,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑵若函數(shù)/⑸有兩個(gè)極值點(diǎn)如如證明：/(為)+/(g)>-10+Ina.

【答案】⑴.24;(2)證明見解析.

【詳解】(1)函數(shù)/(c)=4a：+alnx定義域?yàn)?0,+8),依題意，Vx€(0,+co),/(x)=x-4+—>0

2x

成立，

2

即V/G(0,+co),aX4-4X，&立，而當(dāng)②=2時(shí)，(―丁+4￡)1^=4,因此a>4,而a=4時(shí)，f(x)不是常數(shù)

函數(shù)，于是得a>4,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是a>4.

⑵由(1)知NW(0,十g),/(X)—X—4+———+Q,因/(1)有兩個(gè)極值點(diǎn)工1，”2，則/(])—。，即

A=16—4Q>0

—4x+a=0有兩不等正根，于是得<X\X2=a>0，有0VaV4,/(電)+/(g)=義"(￡；+舄)-4(為+22)

口]+%2=4

+a(lnxi4-lna;2)=](為+62)’-①自2-4(的+々2)+<ilnxiX2=alna-a-8,

/(Gi)+f(x-2)—(-10+Ina)=(a-l)lna-a+2,令g(a)=(a-l)lna-a+2,0<a<4,g(a)=Ina——,

Q

顯然函數(shù)g'(a)在(0,4)上單調(diào)遞增，而g'⑴=-l〈0,g'⑵=ln2一分)，因此三必￡(1,2),使程g'(q))=0,

即lna0=」-，當(dāng)0VaV劭時(shí)，g(a)V(),當(dāng)/VaV4時(shí)，g[a}>0,于是得g(a)在((),如)上單調(diào)遞減，在

|&),4)上單調(diào)遞增,g(a)>g(q))=(a°—l)lnq)—a)+2=(&)-1)—&)+2=3—(曰~+a,，顯然U=+

如在(1,2)上單調(diào)遞增，則2V—+a0<Z■，因此V3—("+Oo)V1,即有ff(a)>0,所以/(電)+/(x2)

>—10+Ina.

⑴討論函數(shù)/(①)的單調(diào)性:?M

(2)設(shè)函數(shù)/(c)有兩個(gè)極值點(diǎn)的,gQiVg),證明：/(/)+/(r2)<7+e-

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析

【詳解】(1)由題意知，/(c)定義域?yàn)?0,+8),/3)=4_包_c=_Q_二=_+a(c>0),

XXX

令g=/—4/+a,則△=4(4—a),①當(dāng)a>4時(shí)，A&0,f(c)<0,/Q)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

2

②當(dāng)0VQV4時(shí)，△>(),X—4T+a=0的2個(gè)根為①尸2—V4—a,x2=2+〃4—a，此時(shí)xr>0,則f(①)

>0=2—，4—a<rr<2+V4—a,/(x)<0=>0<rr<2—x/4—a或c>2+V4—a,

所以f(i)在(0,2—V4—a)上單調(diào)遞減，在(2—，4—Q,2+V4—a)上單調(diào)遞增，在(2+，4—a,4-<x>)上

單調(diào)遞減，

2

③當(dāng)a40時(shí)，△>0,X—4X+a=0的2個(gè)根為g=2—V4—a,rr2=2+V4—a,

此時(shí)為40,()，則/(%)>0=>0<x<2+V4^a,f(x)<0=>rr>2+5/4^,

所以f(x)在(0,2+V4^I)上單調(diào)遞增，在(2+，=￡,+8)上單調(diào)遞減，綜上，①當(dāng)a>4時(shí)，/(M在

(0,4-00)單調(diào)遞減;②當(dāng)0VQV4時(shí)，/Q)在(0,2-74^)單調(diào)遞減，在(2—A/=￡,2+f)單調(diào)遞

，曾，在(2+，=￡,+8)單調(diào)遞減:③當(dāng)a&0時(shí)，/⑺在(0,2+，廠￡)上單調(diào)遞增，在(2+JU,+8)

上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)?(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)的，出，所以由(1)可知0VaV4,JLxl+x2=4,xxx2=a,所以/(ij+/(x2)=

I411alna；!；若)?(4gahiga(lnx)Ilnx2)；(*I曷)=aalnaI8,

要證/(電)+/(12)V7+e—lna；i—lnj；2,即證a—alna+8<7+e—Ina,只需證1—alna+a+Ina—e<

0,ae(0,4),

令m(a)=1—alna+a+Ina-e,a6(0,4),則m(a}=-InaH-------+1=——Ina,令九(a)=m(a),則

aa

n(a)=--1—工VO恒成立，所以7n'(a)在(0,4)上單調(diào)遞減，又m'。)=1>0,m'⑵=^r-ln2=InVe

Q~Q2

-In2==V0,由零點(diǎn)存在性定理得，3aE(1,2)使得加(a0)=0,即lnao=—,

ua。

所以aE(O,<Zo)時(shí)，m'(Q)>0,m(a)單調(diào)遞增，QW(a0,4)時(shí)，m"(a)<0,m(a)單調(diào)遞減，則m(Q)max=

1令九(右)=￡+；-e,(1,2),

仇(如)=(1—a0)lna0+a0+l—e=(1—a<))—+ao+1-G—do?-------e,

斯Qnb

則當(dāng)代(1,2)時(shí)，磯。=1一《AO,所以九⑴在(1,2)上單調(diào)遞增，所以Qo+」--eV2+《一eV0,

rQo2

所以m(a)V0,即/Qi)+f(?2)V7+e—ln(ci)—Ing。

(1)若/(re)的最小值為—e-1,求a的值:

⑵若a=l,證明：函數(shù)/⑸存在兩個(gè)零點(diǎn)刈，g，且/(電)+/(g)V—2.

【答案】(1,一1一1；(2)證明見解析

e

【詳解】(1)由題意得了(1)的定義域?yàn)?0,+8),/'(①)=Ina;+——--a=inx——+1—a,令九(1)=/

xx

出)=日】①一工+1—電則九'(4)=工+」7>0,所以函數(shù)/3)在(0,+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)閍>0,所以了

XXX

fl)=-a<0,/(eM)=1——>0,所以存在唯一的x6(l,e")，使得f(g)=0,即lnx--—+1—Q=0,所

ea0g0

以a=Ina---+1,當(dāng)zW(0,皿)時(shí)，/(c)V0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)%W(羯+00),/(x)>0,f(x)單調(diào)遞

g

噌.?M

所以/(c)min=/3(i)—(g-l)lnc0-ag-l=(竊一以必一研(lnx0—+1)-1=—Ing一%所以一Ing

一刈)=—e—1,即xn+lna；o=e+1,易知g(x)=c+Inx單調(diào)遞增，且g(e)=e+1,所以xn=e,所以Q=Ine

---1--F1=1---1.

⑵當(dāng)a=1時(shí)，/(c)=(x—l)lnrr—x—1,f(aj)=Inrr—L,顯然單調(diào)遞增，又f(1)=—1<0,/*(e)

.L

=1一?—>0,所以存在唯一的芯W(wǎng)(l,e)，使得f(加)=0,即In說--與=0,所以lnc；=C，所以當(dāng)x€(0,d)

egXQ

時(shí),/'(%)<0,/(工)單調(diào)遞減：當(dāng)T.6(44-00)時(shí),f(.7?)>0,f(r.)單調(diào)遞增.因?yàn)閒(K)=(壯一1)ln芯一芯

-1=一蘇一[7<0J(e-)=l-4>0?/(e2)=e2-3>0,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)電，電，不妨設(shè)為V力2,則

%c

22

QW(e~,xl)),(a4e).

=0,所以」-也是/(c)的零點(diǎn)，因?yàn)殡?1且/(2)只有兩個(gè)零點(diǎn)為和g,所以g=工.所以(Qi)

X\X\X\

+f(X2)=InXi——+\r1X2—~=111(2巡2)—"——"—"]V-2.?X\=-2.

X\XoX\X\v61

網(wǎng)型三，利用韋達(dá)定理消元求雙變BK問題

2

例6已知函數(shù)/⑺=a;lnT-^-x-x+a（a€R）,「（工）為/㈤的導(dǎo)函數(shù).

（1）當(dāng)a=^?時(shí)，若9（c）=/3）在［",￡+1］（￡>0）上的最大值為九⑴，求人⑴；

（2）己知與