第五節(jié)復(fù)數(shù)

課標(biāo)要求

1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).

2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.

3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

知識(shí)?逐點(diǎn)夯實(shí)??必備知識(shí)課前自修

（知識(shí)梳理；夯基

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

（1）復(fù)數(shù)的概念：形如。十萬(wàn)（小〃三R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，a,〃分別是它的實(shí)部和虛

部_.當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，a+Ai為實(shí)數(shù)；當(dāng)"W0時(shí)，a+bi為虛數(shù)；當(dāng)。=0且6W0時(shí)，a+bi為純虛數(shù)；

（2）復(fù)數(shù)相等：a+/?i=c+4i=a=c且==d（a,b,c,d￡R）；

（3）共輒復(fù)數(shù)：a+歷與c+di共軌o〃一（,，"一d（a,b,c,d￡R）；

（4）復(fù)數(shù)的模：向量次的模叫做到數(shù)z=a+加（a,5￡R）的模或絕對(duì)值，記作IzI或I〃+為I,即IzI=I

a+hiI=Ja2+b2.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）復(fù)數(shù)z=a+比=^復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（小b）；

（2）復(fù)數(shù)z=a+〃i-七二平面向量近.

提醒復(fù)數(shù)z=a+歷（a,Z?￡R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,b）,而不是（a,bi）.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)zi=a+歷，Z2=c+Ji（a：b,c,d￡R）.

-JZ|±Z2.（a+6i）士（c+di）=@±c）+（b士d）i

：—JZ\、z2.（（i+bi）（c+di）=（ac-b（i）+（bc+ad）i

._nn生明寫將十%（r+diWO）

（2）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律：設(shè)Z|,Z2,z3ec,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律：

①交換律：Zl+Z2=門+公；

②結(jié)合律：（Z[+Z2）+Z3=二|+（及+?）.

（3）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：設(shè)Z”Z2,Z3￡C,則復(fù)數(shù)乘法滿足以下運(yùn)算律：

①交換律：ZlZ?=Z2Z1；

②結(jié)合律：（Z1Z2）Z3=Z|（Z2Z3）；

③乘法對(duì)加法的分配律：zi（Z2+Z3）=zg+zg.

□常用結(jié)論

1.(l±i)2=±2i,l-i

TH

4n4nl,4n，24n，3l

2.i=l,i=i,i=-l,i=-i,i*>-hi4n>+i4ni2+i4n?3=0(〃￡N“)

22

3.z-z=lzl=Izl,IZ1-Z2I=IZ1|.Iz2|,||=-p-L,=

z?IZ2I

4.設(shè)復(fù)數(shù)號(hào)=。+歷，Z2=c+di(a,b,c,d￡R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A(小b),B(c,d)則

/22

(1)Iz\—Z2\=\AB\=J(a—c)+(b—d)，貝ijIz\—zzI的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z\,Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

A,B的距離.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z,

①若Iz-ziI=r,r>0,則點(diǎn)Z的軌跡為圓；

②若"VIz—z\I<丫?(0<n</,2)?則點(diǎn)Z的軌跡為圓環(huán)，但不包括邊界；

③若Iz-ziI=IZ-Z2I，則點(diǎn)z的軌跡為線段A3的垂直平分線；

④若Iz-ziI+IZ-Z2I=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于IABI時(shí)，點(diǎn)Z的軌跡為橢圓；當(dāng)常數(shù)等于IABI時(shí)，點(diǎn)Z的軌

跡為線段；當(dāng)常數(shù)小于IABI時(shí)，點(diǎn)Z的軌跡不存在；

⑤若Iz-ziI-Iz-z2I=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于IABI時(shí)，點(diǎn)Z的軌跡不存在；當(dāng)常數(shù)等于IA6I時(shí)，點(diǎn)Z的軌

跡為一條射線；當(dāng)常數(shù)小于IABI時(shí)，點(diǎn)Z的軌跡為雙曲線的一支.

fW自測(cè)診斷

1.判斷正誤.(正確的畫7”，錯(cuò)誤的畫“X”)

(1)若則(x)

(2)已知z=a+歷(a,b￡R),當(dāng)a=0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(X)

(3)復(fù)數(shù)z=a+加(小6￡R)的虛部為加.(X)

(4)方程f+x+l=O沒(méi)有解.(X)

2.以2i-門的虛部為實(shí)部，以依i+型的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是()

A.2-2iB.2+i

C.-5+yiD.通十6i

解析：A2i一述的虛部為2,遍i+2i2=-2+V5i的實(shí)部為一2,所以所求的新復(fù)數(shù)是2—2i.故選A.

3.在復(fù)平面內(nèi)，向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一1一3「則向量方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.l-2iB.-l+2i

C.3十4iD.-3-4i

解析：D=+==-3i-2-i=-3—4i,故選D.

4.(人A必修二P94復(fù)習(xí)參考題1(2)題改編)已知復(fù)數(shù)2=(―)24+(―)2\則z的共疑復(fù)數(shù)5=()

i+i1—1

A.1+iB.l-i

C.-l+iD.-l-i

解析：A因?yàn)楹?'.=—i,-=i,所以z=(-i)244-i23=l—i,貝以=l+i.故選A.

i+ii)i—i(1—I)(I+I)

5.(人A必修二P81習(xí)題7題改編)已知2i—3是關(guān)于x的方程*+px+q=O的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)p,g的值分別

為12,26.

解析：法~由題知x=-3+2i是方程2A?2+px+q=O的根.所以2(―3+2i)2+/?(—3+2i)+q=0,即(10—3/?

+q)+(—24+2〃)i=0,因?yàn)椤ǎ琿￡R,所以0°3P"°'解得〃=12,(7=26.

(—24+2p=0.

法二由于％i=-3+2i是方程2d+px+g=0(p,q￡R)的一個(gè)根，所以改=-3—2i也是方程2f+px+g=0的

根.由X]+x2=—￡，汨％2=：得〃=—2[(—3+2i)+(―3—2i)]=12,q=2(―3+2i)(—3—2i)=26.

弋考點(diǎn)?分類突破??摘選考點(diǎn)I課堂演練

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān))

需窟1>.

1.若復(fù)數(shù)(m2—5/n+6)+(m2—3m)i>0,則實(shí)數(shù)機(jī)=()

A.OB.2

C.3D.0或2或3

解析：A若復(fù)數(shù)能比較大小，則此復(fù)數(shù)必為實(shí)數(shù)，所以(加：-5租+6>0，解得〃?=0,故選人.

(m2—3m=0,

2.(2025?湖南師大附中模擬)已知z是虛數(shù)，z?+2z是實(shí)數(shù)，則z的()

A.實(shí)部為1B.實(shí)部為一1

C.虛部為1D.虛部為一1

解析：B設(shè)虛數(shù)z=a+/?i(a,b￡R,b^O),則—+27=(a+bi)2+2(a+bi)=cr—tr-\-2a-\-2b(?+1)i,

由7+2z是實(shí)數(shù)，得2〃(a+1)=0,得°=-1,故選B.

3.(2024?徐州模擬)若純虛數(shù)z滿足(z+m)i=2—i(其中i為虛數(shù)單位，加為實(shí)數(shù))，則〃尸()

A.12R.—1

C.1D.2

解析：B由題意可設(shè)z=bi(Z?WO)，則(z+〃?)i=(歷+/〃)i=一〃+加=2—i,所以機(jī)=—1,故選B.

4.設(shè)復(fù)數(shù)z=-1—i(i是虛數(shù)單位)，z的共規(guī)復(fù)數(shù)為5,則I(l-z)zI=同?

解析：2=-1+「I(l-z)2l=l(1+1+i)?(-1+i)I=I(2+i)?(-1+i)I=I-3+iI=

VTo.

；去二I(I—z)51=1z—IzI2I=I—I+i—2I=I—3+iI=V10.

練后悟通

解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的兩個(gè)注意事項(xiàng)

注意求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的

事項(xiàng)一復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+加

注意求一個(gè)復(fù)數(shù)的共板復(fù)數(shù)，只需將已知復(fù)數(shù)

事項(xiàng)二化為代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān))

型點(diǎn)2>____________________

1.（人A必修二P81習(xí)題4題改編）若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）2z=2+i.貝藝=（）

C.1-iD.1+i

解析：D因?yàn)?1+i)2z=2+i,所以2=上二=竽=七*=：一「所以，=；+i.故選D.

(1+i)2l21z22

2.(2024?新高考/卷2題)若三=l+i,則2=()

7.—1

A.-l-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

解析：C法一因?yàn)?l+—=1+i,所以z=l+L=l-i.故選C.

z—lz—1z-11

法二由二一=1+i,得z=(Z—I)(1+i),即zi=l+i,z=W=l—i.

z-l1

3.若z=*,則zHK)+z5°+匚()

A.1B.i

C.-1D.—i

解析：B因?yàn)閆=修，所以Z?=(*)2=手工=「所以3?)+2加+1=(z2)5。+⑺叫1=叫^十]=一]

+i+l=i.故選B.

4.(2024?沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))設(shè)復(fù):數(shù)z滿足比=-i,則IzI=()

l-z

A.1B.—

C.1D.V2

解析：C因?yàn)槭可?—i,所以I+z=-i(1—z),

1-Z1-1

法一所以IzI"[N=嚕=1,故選C.

I1-iIV2

法二因?yàn)閦=U[=-^i,所以IzI=I—iI=1,故選C.

1—1(1—l)(l+l)2

練后悟通

復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算的策略

復(fù)一的類似于多項(xiàng)式的乘法，只要在所得的結(jié)果

乘法、中把i?換成-1,且把實(shí)部與虛部分別合并

復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共4復(fù)數(shù)，注意把

除去i的林寫成最簡(jiǎn)形式

復(fù)數(shù)的幾何意義（師生共研過(guò)關(guān)）

器意31.

【例1：（I）若復(fù)數(shù)（2+i）.（a-i）（i是虛數(shù)單位，〃￡R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（C）

A.3)B.(-,2)

32

C.(-f2)D.&3)

23

解析：(1)復(fù)數(shù)(2+i)(〃-i)=2a+l+(a-2)i,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)⑵+l,a-2)在第四象限，則十1‘0’

,a-2<0,

解得一gv〃V2,所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(一支2),故選C.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)ZI，Z2滿足IZ||=IZ2I=2,Z|4-Z2=V3+i,則IZ\—Z2I=2-y3.

解析：(2)設(shè)復(fù)數(shù)ZI，22在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)向量雨，礪，則Z|+Z2對(duì)應(yīng)向量耐+礪.由題知I=I礪I

=IOA\OBI=2,如圖所示，以O(shè)A,04為鄰邊作DOACB,則ZIZ2對(duì)應(yīng)向量互7，OA=AC=OC=2,可得

=2。4in60°=2A/3.故Izi-z?I=I函I=20.

解題技法

對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的再理解

(1)發(fā)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量被相互聯(lián)系，即2=。+加(a,〃￡R)包(小/?)⑨2；

(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)

用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直現(xiàn).

□跟蹤訓(xùn)練

1.已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為應(yīng)(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，按逆時(shí)針?lè)较?，?yīng)與實(shí)軸正方向的夾角為120。，

且IzI=2,則5=()

A.l+\"iB.2

C.-1-V3iD.-1+V3i

解析：C設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yeR),因?yàn)榘茨鏁r(shí)針?lè)较蛳蛄看闻c實(shí)軸正方向的夾角為120°,且IzI=2,

所以x=I0ZIcos120°=2X(-i)=-Ly=\0Z\sin120°=2X今=8，所以z=-1+gi,z=-\-

V3i,故選C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)ZI，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z|,Z2,IZ1I=2,z2=3i,則Zi，Z2兩點(diǎn)之間距離的最大值為

()

A.1B.3

C.5D.7

解析：C法一設(shè)zi=〃+萬(wàn)(a,6￡R),因?yàn)閘zil=2,所以〃+b2=4.因?yàn)閺?fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

分別為Zi，Z2,Z2=3i,所以Zi(a,b),Z2(0,3),連接Z1Z2，IZ0I=J(a-0)？+(b—3)?=

13-6h,易知人￡[一2,2],故當(dāng)〃=一2時(shí)，IZ1Z2I取得最大信，為113+12=5,故選C.

法二因?yàn)镮ziI=2,所以復(fù)數(shù)ZI在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)乙的軌跡是以原點(diǎn)。為圓心，半徑/=2的圓.因?yàn)閆2=3i,

所以復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z2（0,3）,因?yàn)閨OZ2l=3,所以IZ1Z2Imax=IOZ2I十r=3+2=5,故選C.

復(fù)數(shù)與方程（師生共研過(guò)關(guān)）

翦意4》.

【例2：已知％=-l+i是方程f+ar+Z?=0（a,b^R）的一個(gè)根.

（1）求實(shí)數(shù)”，力的值；

（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測(cè)方程的另一個(gè)根，并給予證明.

解：（1）把x=—1十i代入方程X2十"十）=0,得（一〃十。）十（tf—2）i=0,

-a+b=0,.?（n—7

/.解7得aQ一乙

.a—2=0,3=2.

（2）由（1）知方程為f+2x+2=0.

設(shè)另一個(gè)根為X2,由根與系數(shù)的關(guān)系，

得一l+i+M=-2,*?xi=-1-i.

把X2=—1—i代入方程X2+2X+2=0?

則左邊=（-l-i）2+2（-l-i）+2=0=右邊，

??X2=-1—i是方程的另一個(gè)根.

解題技法

1.對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式的功能沒(méi)有變化，仍然適用.

2.對(duì)復(fù)系數(shù)（至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù)）方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.

口跟蹤訓(xùn)練

〔多選J在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程/+〃工+2=0的兩根為由，足，其中xi=l+i,則（）

A.p=2B.X2=1—i

C.X\-X=-2\D.包=i

2x2

解析：BD因?yàn)閷?shí)系數(shù)一元二次方程f+px+2』）的兩根為xi，必且xi=l+i,所以內(nèi)也=2,可得12=看=作

=l-i,故B正確；又xi+x2=l+i+l-i=2=-p,所以〃=-2,故A錯(cuò)誤；由52=l+i，所以M天2=（1+i）2

=2iW—2i,故C錯(cuò)誤：^-=—=（14i）=-=i,故D正確.故選B、D.

x21-122

課時(shí)?跟蹤檢測(cè)>>?關(guān)鍵能力I課后練習(xí)

A級(jí)|基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.（2024?全國(guó)甲卷理1題）若z=5+i,則i（z+z）=（）

A.10iB.2i

C.10D.2

解析：A因?yàn)閦=5十i,所以2=5—1,所以i（z+z）=10i,故選A.

2.（2025?佛山一模）狂數(shù)茬獸=（）

V3十】，

A.-iB.i

C.日—iD.當(dāng)+i

解析：B復(fù)數(shù)6+|整3=V3鏟-I=二(V3-1丹)(V3對(duì)+1)=，

3.己知復(fù)數(shù)2=(?2-4)+(。-3)i(〃￡R),則“4=2”是“z為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

fit240

解析：A因?yàn)閺?fù)數(shù)2=(標(biāo)-4)+"-3)i(a￡R)為純虛數(shù)，等價(jià)于?一‘即。=±2,由充分條件和

。一3H0.

必要條件的定義知“。=2”是”a=±2”的充分不必要條件，所以“。=2”是“z為純虛數(shù)”的充分不必要條件.

故選A.

4.已知復(fù)數(shù)zi=l+2i,z2=2-i(i為虛數(shù)單位)，Z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.若四邊形O4BC為平行

四邊形(。為第平面的坐標(biāo)原點(diǎn))，則忿=()

A.l-3iB.l+3i

C.-1+3iD.-1-3i

解析：B因?yàn)閺?fù)數(shù)zi=l+2i,Z2=2—i(i為虛數(shù)單位)，Z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,所以4(1,

2),B(2,-1),設(shè)C(x,)，)，因?yàn)樗倪呅蜵4BC為平行四邊形(。為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn))，所以荏=沅，

X=1,

所以Z3=l—3i,所以Z,=l+3i.

{y=-3,

5.復(fù)數(shù)z滿足Iz—(5+5i)I=2,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：A設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(小bWR),則z—(5+5i)=。-5+(h-5)i,VIz-(5+5i)I=2,:.(a-

5)2+(Z?-5)2=4,??.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以(5,5)為圓心，2為半徑的圓上，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第一象限.故選A.

6.已知虛數(shù)z是關(guān)于x的方程X2—41+。=0(dGR)的一個(gè)根，且zl=炳,則4=()

A.IB.2

C.4D.5

解析：D法一設(shè)z=m+"i(m,且〃#0),代入原方程可得標(biāo)一'-4〃?+a+(2〃〃?-4〃)i=0,所以

機(jī)2—兀2-4m+a=0,f—n2—4+a=0?.I~77~~”出

俗zn，因?yàn)镮zI=/帆2+九2=遍，所以/廣=[,則a=5.故選D.

.2mn-4n=0,(m=2,'

法二因?yàn)閷?shí)系數(shù)一元二次方程4x+a=0的虛數(shù)根共輒成對(duì)出現(xiàn)，所以a=z-5=IzI2=5,故選D.

7.〔多選〕(2024?長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)一模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=一^,下列說(shuō)法正確的是()

i(3+13)

A.Izl=半

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)時(shí)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

C.；i-z<0

D.z+：為純虛數(shù)

2

解析：ABC故十;i,故121=?,故A正確.z在復(fù)平

i(3+i3)i(3-i)l+3i

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（：，—f）,它在第四象限，故B正確.ji—5=芻一：一：i=一：<。，故C正確.z+：=；+；一3三

5555o5555555

考，不是純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.

8.若z=（〃—&）+山為純虛數(shù)，其中“SR’則

a-42=0,.a+i，_您一i_(媚_)(1一揚(yáng))__3i_

解析：???z為純虛數(shù),:?。=立,1+ai1+V2i—~(l+\/2i)(l-V2i)3

、a00,

9.已知復(fù)數(shù)z=（tz+cos0）+（2a—sin。）i的模不超過(guò)2.

（1）若對(duì)于一切滿足上述條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

（2）若存在0￡R滿足上述條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

解：（1）由題意得IzI2<4,即（a+cos0）24-（2?-sin。）？W4對(duì)恒成立,

即2〃（cos〃-2sin〃）W3—5/對(duì)0￡R恒成立，

于是3—5/22IaI-V5,即51al24-2V5IaITWO,所以IaIW七.

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是［-9,y］.

（2）由（1）可知存在使得（cos〃-2sin〃）W3-5*于是3-5〃22一2Ia|.西，即5IaI?一

2751al-3W0,所以IaIW,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［一言，苧］.

B級(jí)［綜合應(yīng)用

10.已知如數(shù)數(shù)列｛/｝滿足?=2i,4-=ia“+i+l,〃￡N*,i為虛數(shù)單位，則磯=（）

A.2iB.-1+i

C.1+iD.-2i

解析：B因?yàn)閍1=2i,a”卜尸ia“+i+l,所以42=2i-i+i+l=T+i,ay=（-1+i）i+i+l=0,出=0-i+i+l

=l+i,的=（1+i）i+i+l=2i,…，所以復(fù)數(shù)數(shù)列｛/｝是以4為周期的周期數(shù)列，所以。10=出）：2+2=。2=—1+

i,故選B.

11.（2024?南京模擬）若復(fù)數(shù)z滿足lz-1IW2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（）

A.itB.2n

C.3兀D.47c

解析：D法一令z=a+/?i（a,h￡R）,則Iz-lI=I（a~l）+/?iI=J（a~l）2+b2<2,即（a-l）2+

序W4,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以（1,0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)（含邊界），所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)

對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為兀X22=4m故選D.

法二lz-1IW2表示z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和點(diǎn)（1,0）間的距唐恒小于等于2,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

以（1,0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)〔含邊界），所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為兀X22=4TT,故

選D.

12.〔多選〕(2025?溫州期末)設(shè)％,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，ziWO.下列命題中正確的是()

A.若IZ2I=IZ3I,則Z2=±Z3B.若Z)Z2=Z|Z3?則Z2=Z3

C.若&=Z3，則IZ1Z2I=IZ|Z3ID.若Z|Z2=IZiI則Z\=Z2

解析：BC由復(fù)數(shù)模的概念可知，由IZ2I=IZ3I不一定能得到Z2=±Z3,例如Z2=l+i,Z3=1T,A中命題錯(cuò)

誤；由Z[Z2=Z|Z3可得Zi(Z2—Z3)=0,因?yàn)閆]WO,所以22—23=0,即Z2=Z3，B中命題正確；因?yàn)镮2田I=I

Z1IIZ2I，IZ1Z3I=IZ1IIZ3I,，2=Z3，Z1H0,所以I%?=?Z2I=IZ3I,所以IZ\Z2I=IZjZ3I，C中

命題正確；取Z|=l+i,Z2=l—i,顯然滿足Z[Z2=IZiI2,但Z]WZ2，D中命題錯(cuò)誤.故選B、C.

13.任何一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+切5WR)都可以表示成z=r(cos〃+isin。)(r>0,的形式，通常稱之

為復(fù)數(shù)的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn):[r(cos〃+isin為尸=/(cos〃〃+isin〃〃)(〃EZ),我們稱這

個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.則(1-V3i)2儂=-22025.

解析：1—V3i=2(1—yi)=2[cos(—j)+isin(—j)],(1—V3i)2025=22025[cos(—+

isin(一等兀)]=-22°25.

14.設(shè)虛數(shù)z滿足I2z+3I=V3Iz+2I.

(1)求證：Izl為定值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)A,使得3+與為實(shí)數(shù)？若存在，求出A的值；若不存在，說(shuō)明理由.

解：設(shè)2=1+)?(x,y￡R,yWO).

(1)記明：將z=