專題突破練8空間幾何體的表面積與體積

必備知識(shí)夯實(shí)練

1.（2025遼寧大連模擬）已知圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為4兀,36再側(cè)面積為64兀，則該

圓臺(tái)的高為（）

A.2V3B.3V3

C.4V3D.5V3

2.（2025廣東汕頭一模）若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3、圓心角為g的扇形，則該圓錐的

體積為（）

A.—B.2缶

3

C.6V27TD.-

3

3.（2025浙江金華二模）如圖/氏CO是棱長(zhǎng)為2的正方體展開圖中的兩條線段，則原正方

體中幾何體ABC。的表面積為（）

A.6+4V2B.6+2V3

C.2+2V2+4>/3D.2+4V2+473

4.（2025江蘇鹽城模擬）如圖，圓錐PO的軸截面為邊長(zhǎng)為4的正三角形，過(guò)PO的中點(diǎn)0,

作平行于底面的截面，以截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則余下幾何體的表面積為（）

A.117T+V371B.11兀+2舊兀

C.127i+V37iD.12TI+28兀

5.（2025陜西西安一模）正三棱錐S-A3C側(cè)棱長(zhǎng)為1,￡下分別是SA,SC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△麻尸

周長(zhǎng)的最小值為夜時(shí)，三棱錐的側(cè)面積為（）

3

A.-B.1

4

c!D.2

6.（多選題）（2025浙江湖州模擬）如圖，該幾何體是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾

何體，若該幾何體底面邊長(zhǎng)和上面正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為1（）cm,則下列選項(xiàng)中正確的是

()

A.該幾何體的高為IOA/2cm

B.該幾何體的表面積為（10075+200&）cm?

C.該兒何體的體積為竺"cn?

D.一只小螞蟻從該幾何體表面由點(diǎn)E爬行到點(diǎn)S,所經(jīng)過(guò)的最短路程為J150+50乃cm

7.（2025廣東惠州模擬）在直角梯形ABCD中力力〃3C,NABC=90°,且AO=2,A8=4,

8。二5.在梯形ABCD內(nèi)舲去一個(gè)以A為圓心，以2為當(dāng)徑的四分之一圓，得到如圖所示的

陰影部分，以A8所在直線為軸，將圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積

為.

8.（2025湖南懷化模擬）如圖，底面半徑為4的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面

內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí),圓錐本身恰好滾動(dòng)了2周，則

圓錐的表面積為.

SA

9.（2024全國(guó)甲，理14）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為人下底面半徑均為2圓臺(tái)的母

線長(zhǎng)分別為2sm）,3（小川,則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為.

10.（2025浙江紹興模擬）已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)是下底面邊長(zhǎng)的一半，側(cè)棱長(zhǎng)為2,過(guò)

側(cè)棱中點(diǎn)且平行于底面的截面三角形的邊長(zhǎng)為3,則正三棱臺(tái)的體積為.

關(guān)鍵能力提升練

11.（2025湖北襄陽(yáng)模擬）一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱44=18,底面三角形A8C邊

上的高為/?.當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)水面高度為16（如圖1）.當(dāng)側(cè)面AA山山水平放置時(shí)（如

圖2）,水面高度為（）

圖2

B?以

C.爭(zhēng)D.|/z

12.（2022全國(guó)甲，理9,文10）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為

SV

2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若『=2,則『=（）

s乙y乙

A.V5B.2V2

C.^/10D.—

4

13.（多選題）（2025江蘇南京模擬）“阿基米德多面體”又稱"半正多面體”，與正多面體類似,

它們也都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長(zhǎng)也都相等，但不同之處在于阿

基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同.有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截

角”得到，如圖，正八面體4ABeQ-F的棱長(zhǎng)為3,取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到

一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（）

BD

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

16.（2025湖北武漢模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)部，有8個(gè)以正方體頂點(diǎn)為球心且半

徑相等的部分球體0,（212…,8）,有1個(gè)以正方體中心為球心的球Oo,Oo與

。收二1,2,…,8）均相切，則該9部分的體積和的最大值為（

0

±Q2

。3

Ot

OtOi

AV3n

A.——B.(2存3)71

4

C.(V3-1)兀D?等

答案:

1.C解析作圓臺(tái)的軸截面，如圖所示.

___2

/CR\

由題意得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為2,6,設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/,高為〃，則該圓臺(tái)的側(cè)

面積S產(chǎn)兀x(2+6)x/=64%解得/=8,所以h=J，2_(6-2)2=4g.

2.A解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為八高為〃，則/=3,由題意可得2“*x3,即

r=l,所以〃=“2_以=2夜,故圓錐的體積V二出

3

3.B解析還原正方體如圖所示，

D

BC=CD=BD=2五,SABCD=；X2A/2X2A/2xsinP=2V5,S△八BO=S△八CD=SA"C=二x2x2=2,

Z>J4

所以四面體A8CO的表面積為6+2V3.

4.D解析作出圓錐P0的軸截面△PAB,此截面截挖去的圓柱得圓柱的軸截面矩形

COEF,如圖所示.

P

依題意,△PAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形，所以O(shè)B=2,OP=2l3.

因?yàn)椤?是P。中點(diǎn)，所以。。二，。二百,0。二。公三08=1,圓錐母線P8=4,圓柱O。，的側(cè)

面積Si=2mOCOO'=2j5n,圓錐PO的表面積52=兀。爐+兀。8/8=4兀+8兀=12兀,所以余下

幾何體的表面積是Si+52=12n+2V3iT.

5.A解析作正三棱錐S-ABC的側(cè)面展開圖，如圖所示，連接BB；

B'

當(dāng)E/分別為BB'與SA,SC的交點(diǎn)時(shí),aBE產(chǎn)的周長(zhǎng)最小，此時(shí)BB三企，而SB=SB』,所以

SB'SB》=BB?,所以NBSB'=9U°，所以NAS8=30°，所以三棱錐的側(cè)面積為3x

為4xS8sin300=-.

24

6.ACD解析由題可知EF=SA=10cm,所以AC=10或cm,所以。4=5&cm,所以

S0=7SA?-0A2=5丘cm,因此該幾何體的高為10\/5cm，所以A正確；

幾何體的表面積為102+40'5&+4乂且乂102=100+200企+1008(52),所以8錯(cuò)誤;

4

該幾何體的體積為1()2X5V2+1X1()2X5>/2=紅警(cm〉所以c正確;

觀察圖形知，小螞蟻從點(diǎn)E爬行到點(diǎn)S的最短路徑為沿表面越過(guò)棱AB或AD,由對(duì)稱性，

不妨取長(zhǎng)方形EFRA及ASA用將它們置于同一平而內(nèi)，連接S旦如圖，取用產(chǎn)中點(diǎn)注連接

SH,則S”=5V5+5a,而七〃二5,所以最短路程為SE=y/EH24-SH2=

J52+(5V2+5V3)2=J150+50佩cm),所以D正確.故選ACD.

7.68兀解析由題意可知陰影部分以A8所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體龍一個(gè)圓

臺(tái)挖去一個(gè)半球，其中圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和5,高為4,母線長(zhǎng)為

J(5-2)2+42=5,挖去半球的半徑為2,故形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積為

^x52+7t(2+5)x5+1x4兀x2?=68兀

8.48兀解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為r=4,則2兀/=2x2”,解得/=2r=8,所以圓錐

的表面積為兀'8乂4+兀*42=48兀

釁解析如圖,由題意，可知白=富=2^^^=磊=當(dāng)

4VrtI,；z、22y24

7乙乙719(丁211)在2%)

10.1解析如圖，延長(zhǎng)三棱臺(tái)ABC-A出G的側(cè)棱交于一點(diǎn)0,可以得到正三棱錐0-

ABC,

設(shè)三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為％下底面邊長(zhǎng)為2x,則有笞=3.即x=2,由題可得正三棱隹的

側(cè)棱長(zhǎng)為2x2=4,過(guò)點(diǎn)。作。戶_1_平面A8C,交平面48G于點(diǎn)E,記8c的中點(diǎn)為“，則

AP=-AH=-X2V3=—MOP=k2-(—)2=包,故三棱臺(tái)的體積為Zx工x(—X42)X

33333834

4\/614無(wú)

=.

3---3

11.D解析設(shè)底面三角形ABC的面積為S,當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水面高度為16,所

以水的體積V=165,設(shè)側(cè)面AA1港水平放置時(shí),水呈四棱柱體，設(shè)四棱柱體的底面梯形的

面積為S；則V=18S；所以16s=18S；所以5=^=1,設(shè)四棱柱體的底面梯形的高為則

S189

可得(竿)2=；,解得

n93

12.C解析如圖，甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑(即圓錐的

母線長(zhǎng))為3,

則圓的周長(zhǎng)為6兀，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為M2高分別為加,〃2,則

2兀為二4兀,2兀/*2=2兀，則門=2,門=1,由勾股定理得，力1二花,力2二272,所以J=為廣=：=

7,-nr//i2VX2V2

“0,故選C.

13.BD解析由圖可知該多面體有24個(gè)頂點(diǎn),36條棱，故A錯(cuò)誤,B正確;

該多面體的棱長(zhǎng)為1,且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，故該多面體的表面積為

6xl+8x6x|xlxlxsin600=6+12次,故C錯(cuò)誤;

正八面體EABCQ-/可分為兩個(gè)全等的正四棱錐，其各棱長(zhǎng)均為3,在四棱錐E-ABCD中,

過(guò)E作EO_L平面A3CO于點(diǎn)O,連接AO,如圖所示.

因?yàn)椤闛_L平面A3CD,且OAu平面A8CR所以O(shè)E_LOA.在正方形A6C。中，因?yàn)檫呴L(zhǎng)

為3,所以。4二呼.

在Rt^AOE中,EO=\ME2-402=越，則正八面體E-ABC。-尸的體積為工x32x

23

聆2=9立

切割掉6個(gè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱錐,減少的體積為6x；xl2x4=，5，所以該阿基米德多

面體的體積為9&-&=8近，故D正確.

故選BD.

14.BCD解析如圖1,圓錐SO的軸截面為等腰三角形SA民則04=2.

S

A

AOB

圖1

因?yàn)镾A與底面所成角的正弦值為苧，所以?=乎，所以理筍=乎，解得SA=6,故A

3SA3SA3

錯(cuò)誤；

如圖2,在圓錐S。的側(cè)面展開圖中,S4=6,NASA三?==，則圓錐的側(cè)面積為:x

632

與x6、12兀，所以圓錐S。的表面積為12兀+4兀=16兀,故B正確；

如圖2,易知AP為螞蟻所爬的最短路徑，過(guò)點(diǎn)S作S”_LAP,垂足為H.

在aASP中,AS=6,SP=3,NAS尸二g,由余弦定理可得

AP=>JAS2+SP2-2ASSPcos^ASP=3yf7^i-AS-SPsinZASP=-APSH.x6x3x—=

2222

|x3bS”,解得SH=苧，故C正確；

如圖1,設(shè)圓錐SO內(nèi)切球的球心為0；過(guò)點(diǎn)。作0ELS40戶_LS已垂足分別為上匕由題

意可知sin/SA。=平，則sin/ASO=g所以蕓=；.因?yàn)镾A=6,OA=2,所以

335。oO-Ou3

SO=4或,所以=3解得0'0=五.

4V2-OO3

設(shè)該正方體棱長(zhǎng)的最大值為〃，則女尸二（2位）2,解得。二乎，所以該正方體的體積的最大值

是〃3二一，故D正確.故選BCD.

15.12V3+6V156V6解析cosZACD=^-^-^=

2ACXCD4

所以sinZACD=y/l-cos2Z.ACD