第35講空間點.線.面之間的位置關(guān)系

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必二P128練習T2）下列說法正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.一條直線和一個點確定一個平面

C.梯形可確定一個平面

D.圓心和圓上兩點確定一個平面

2.（人A必二P131練習T1⑵）設(shè)直線〃，力分別是長方體相鄰兩個面的對

角線所在的直線，則。與伙）

A.平行B.相交

C.是異面直線D.可能相交，也可能是異面直線

3.（人A必二P131練習T4改）己知平面1〃平面從直線〃〃平面〃，直線

力〃平面夕，則〃與的位置關(guān)系可能是（）

A.平行或相交B.相交或異面

C.平行或異面D.平行、相交或異面

4.（人A必二P131練習T3改）下列說法正確的是（）

A.若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則/〃a

B.若直線/與平面a平行，則/與平面。內(nèi)的任意一條直線都平行

C.如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面

平行

D.若直線/與平面a平行，則/與平面。內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

5.如圖，已知長方體/WCQ-A'B'CD'中，A8=2#,A4'

=2,則和A'C所成角的大小是,AA'和BC'所成角的大小是—.

D'C

聚焦知識

1.平面的基本性質(zhì)

基本事實1:過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個

平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條

過該點的公共直線.

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

3.平行直線

(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

(2)定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同,

那么這兩個角相等.

4.異面直線

(1)判定：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)—的直線是異面直線，如

圖所示.

(2)異面直線所成的角：設(shè)4,〃是異面直線，經(jīng)過空間任意一點0,作直線

a'//a,b'//b.我們把直線/與。'所成的銳角(或直角)叫做異面直線〃，b

所成的角或夾角，其取值范圍為一.

5.常用結(jié)論(唯一性定理)

(1)過直線外一點一直線與已知直線平行；

(2)過直線外一點一平面與已知直線垂直；

(3)過平面外一點平面與已知平面平行；

(4)過平面外一點一直線與已知平面垂直.

研題型能力養(yǎng)成

舉題固法

目標”平面的基本事實及應用

例1如圖，在正方體48co—4自。￡)|中，對角線4c與平面80cl交于

點O,AC,bD殳于點M,上為/W的中點，”為A4的中點.

(1)求證：G,0,M三點共線;

(2)求證：E,aDi,產(chǎn)四點共面;

(3)求證：CE,D\F,DA三線共點.

?總結(jié)遑煉A

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平

面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線

上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

變式1如圖，在四面體4BC力中作截面尸QR,若PQ與CB的延長線交于

點M,RQ與的延長線交于點N,R尸與。。的延長線交于點K.

(1)求證：直線MVU平面尸Q/?；

(2)求證：點K在直線MN上.

目頓㈤空間兩直線的位置關(guān)系

例2(多選)如圖，在正方體ABCO-4BIGQI中，M,N分別為棱GD1,

GC的中點，下列說法正確的是()

A.直線AM與CCi是相交直線

B.直線AM與是平行直線

C.直線3N與MBi是異面直線

D.直線AM與。Di是異面直線

變式2在底面半徑為1的圓柱00i中，過旋轉(zhuǎn)軸00i作圓柱的軸截面

ABCQ,其中母線AB=2,E是R的中點，尸是的中點，則()

A.AE=CF,AC與E廠是共面直線

B.AE^CF,AC與E尸是共面直線

C.AE=CF,AC與￡尸是異面直線

D.AErC/，AC與￡尸是異面直線

目標間異面直線所成角的計算

例3如圖，在正三棱柱中，A4i=4,A8=2,則直線45與

直線囪C所成角的余弦值為

?總結(jié)提燎A

異面直線所成角的求法

1.平移使相交：通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后

在三角形中利用余弦定理求角；

2.向量法：已知〃為兩異面直線，AfC與B,。分別是。，匕上的任意

兩點，a,〃所成的角為仇則cos6=|cos〈危，而）|=|AC-即

\AQ\BD\

變式3（1）（2021?全國乙卷）在正方體ABCD-AIBICQ中，已知產(chǎn)為Bi￡h

的中點，則直線PB與AD\所成的角為（）

71八兀

A.2B.1

一兀c九

C-4D-6

（2）在三棱錐P-A8C中，AC=V3,BC=1,PA=PB=PC=AB=2,M為

AC的中點，則異面直線8M與附所成角的余弦值是____.

隨堂內(nèi)化

1.已知平面。與平面夕，y都相交，則這三個平面可能的交線有（）

A.1條或2條B.2條或3條

C.1條或3條D.1條或2條或3條

2.設(shè)P,尸2,尸3，尸4為空間中的四個不同點，則“Pl,戶2,P3,P4中有三

點在同一條直線上”是“P,P2,尸3,尸4在同一個平面內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.（2024?日照一模）已知/，加是兩條不同的直線，。為平面，mUa,下列

說法中正確的是（）

A.若/與a不平行，則/與團一定是異面直線

B.若/〃a,則/與根可能垂直

C.若/na=A,且A碗，則/與小可能平行

D.若/Ga=A,且/與a不垂直，則/與機一定不垂直

4.（2024?保定二模）如圖，在正四棱柱ABCO-AiBiCQ中，A4=44B,

則異面直線MB與ADi所成角的余弦值為（）

JC—175D—17

配套熱練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.已知互不重合的三個平面a,B，y,其中aC0=a,0Cy=b,yCa=c,

且aGb=P,則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.Z?與。是異面直線B.。與c沒有公共點

C.b//cD.bQc=P

2.（2024?岳陽三模）下列命題正確的是（）

A.若直線/上有無數(shù)個點不在平面。內(nèi)，則/〃a

B.若直線。不平行于平面。且則平面。內(nèi)不存在與。平行的直線

C.已知直線。，/?,平面a,B，且aU。，bufha//p,則直線a,力平行

D.己知兩條相交直線a,b,且?！ㄆ矫鎍,則〃與a相交

3.（2024?威海二模）在正方體ABCD-A\B\C\D\中，E,尸分別為棱BC,

的中點，若平面O8B1與平面AE廠的交線為/,貝IJ/與直線ADi所成角的大

小為（)

4.（2024?南昌二模）在三棱錐A—BCD中，AB_L平面BCD,AB=?BC

=BD=CD=2,E,”分別為4C,CD的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AF,BE是異面直線，AFLBE

B.AF,BE是相交直線，AFLBE

C.AF,BE是異面直線，A”與BE不垂直

D.4F,BE是相交直線，A尸與8E不垂直

二、多項選擇題

5.（2025?南通海安期初）在空間中，設(shè)出/?,c是三條不同的直線，a,R,

》是三個不重合的平面，則下列能推出?！āǖ氖牵ǎ?/p>

A.a_Lc,Z?J_c

B.a//a,aU0,aG夕=/?

C.a±y,/?±y,aC\y=a,pC\y=b

D.aC\p=afaC\y=bt0Cy=c,a//c

6.（2024?新鄉(xiāng)三模）已知〃3n,/為空間中三條不同的直線，a,p,y為空

間中三個不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A.若aQ夕=m，則a_Ly,0“

B.若mUa,則m與n為異面直線

C.若aC￡=l,yQa=nf且/nm=P,則

D.若加_La,m邛,a//y,則尸〃y

7.如圖，在正方體/WCO—AiBiCQi中，P,Q分別是棱AAi,CCi的中點，

平面。PQG平面4BIGDI=/,則下列結(jié)論正確的有（）

A./過點B

B./不一定過點Bi

C.。尸的延長線與。1A1的延長線的交點不在/上

D.。。的延長線與。Ci的延長線的交點在，上

三、填空題

8.己知在直三棱柱ABC-AiBiG中，NABC=120。，AB=2,BC=CCi=l,

則異面直線AB與所成角的余弦值為一.

9.在三棱錐P-ABC中，4c=1,PB=2,M,N分別是以，BC的中點,

若的=乎，則異面直線AC,P8所成角的余弦值為一.

四、解答題

10.如圖，在正方體ABCD-A出Cl4中,E,/分別為。CiB的中點,

ACDBD=P,A]GC\EF=Q.

(I)求證：D,B,F,E四點共面；

(2)求證：若4C交平面Q8FE于點R,則P,。，A三點共線；

(3)求證：DE,BF,CG三線交于一點.

II.如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AC=BC=2,沿其中位線。E將

三角形AOE折起，使平面AOEJ_平面BCQE,得到四棱錐A-BCQE,設(shè)CZ),

BE,AE,A。的中點分別為M,N,P,Q.

(1)求證：M,N,P,Q四點共面；

(2)求異面直線BE與MQ所成的角.

B組滾動小練

12.(2025?煙臺期中)已知函數(shù)尸危)是定義在R上的奇函數(shù)，且當G0

時，火外二*3—Jr2—2大，若函數(shù)），=/（x）在區(qū)間口-1,上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的

JJ

取值范圍為（）

A.（—8,—2]B.（—8,—1]

C.[-1,2]D.[2,+8）

13.（2025?常州期中）已知函數(shù)/）=coss?>0）的最小正周期為T.若2兀

<T<4TI,且曲線），=於）關(guān)于點律，0）中心對稱，則的）=（）

A.\B.

C,坐D.-#

J1

第35講空間點、線、面之間的位置關(guān)系

激活思維

1.C【解析】對于A,三個不在同一條直線上的點確定一個平面，故A錯誤.對于

B,直線和直線外一點，確定一個平面，故B錯誤.對于C,兩條平行直線確定一個平面,

梯形有一組對邊平行，另一組對邊不平行，故梯形可確定一個平面，故C正確.對于D,因

為圓的一條直徑不能確定一個平面，所以若圓心和圓上的兩點在同一條直徑上，則無法確定

一個平面，故D錯誤.

2.D【解析】如圖，在長方體中，當48所在的直線為a,8C所在

的直線為〃時，a與〃相交；當RA所在的直線為a,所在的直線為〃時，。與〃異面.

D'C

H

（第2題）

3.D【解析】當4與》共面，即。與〃平行或相交時，如圖所示，顯然滿足題目條

件.在。與人相交的條件下，分別把〃，力平行移動到平面從平面a上，此時。與人異面，

亦滿足題目條件.

（第3題）

4.D【解析】對于A,當直線/與平面a相交時，直線/上也有無數(shù)個點不在平面

a內(nèi)，故A錯誤.對于B,/與平面a內(nèi)的任意一條直線異面或平行，故B錯誤.對于C,

另一條直線也可能在這個平面內(nèi)，故C錯誤.對于D,因為/〃Q,所以/與a沒有公共點，

所以/與a內(nèi)任意一條直線都沒有公共點，故D正確.

5.45°60°【解析】連接4。（圖略），因為8C〃￡C,所以異面直線和4。所

成的角即為直線夕。和AC所成的角，為NA，C夕.在RS/VB，。中，A'B,=AB=2^,B'C

=AO=26，所以tanNA'O3'=l,所以N4c5=45。,即異面直線8c和AC所成的角為

45。.連接3C（圖略）.因為AA'//BB\所以異面直線AA和3c所成的角即為直線/加和6c所

成的角，為N8ZC.在RIABQC'中，方。'=4。=2小，B8'=A4=2,所以lan/夕以7=5,

所以/￡8。=60。，即異面直線AA，和8C所成的角為60°.

聚焦知識

4.（1）不經(jīng)過交點⑵（0,y

5.（1）有且只有一條（2）有且只有一個（3）有且只有一個（4）有且只有一條

舉題固法

例1【解答】⑴因為4cA平面BOG=O,所以?！闍C，?！昶矫?DG.又因為

4iCu平面ACG4，所以平面ACGA.因為AC，BD交于點、M,所以M￡4C,

又4Cu平面ACC/i，BOu平面BOG，所以平面ACG4,平面8。6.又G￡平面

ACGAi，平面BOG，所以G，O,M三點在平面ACCA與平面BOG的交線上，所

以，.O,M二點共線.

（2）連接HAi，EF,DiC,BG，因為E為/W的中點，尸為人人的中點，所以七尸〃84.

又因為BCHAM，BC=A\D^所以四邊形BCDiAi是平行四邊形，所以BA\〃CD\,所以

EF//CD]f所以E,F,C,。四點共面.

（3）因為平面/WCOn平面AO￡Mi=A。，設(shè)C七與。聲交于一點P,貝UCEu

平面ABC。，所以平面4BCD,同理，PW平面4。。|4，乂平面A8COD平面4。。41=

AD,所以P￡4。，所以直線CE,DRDA三線交于一點P,即三線共點.

（例1）

變式1【解答】⑴因為PQu平面PQR,ME直線PQ,所以平面PQR.因為

RQu平面PQR,N￡直線RQ,所以N￡平面PQR,所以直線MNu平面PQR.

（2）因為何七直線C8,C8u平面3C。，所以用七平面6CD由（1）知"七平面PQR,所

以M在平面PQR與平面BC。的交線上，同理，可知MK也在平面PQR與平面BC。的交

線上，所以M,N,K三點共線，所以點K在直線MN二.

例2CD【解析】因為點A在平面CQQCi外，點M在平面CQQiG內(nèi)，直線

CG在平面CQOiG內(nèi)，CG不過點M,所以直線AM與CG是異面直線，故A錯誤；如

圖，取。。的中點區(qū)連接AE,則BN〃AE,但4E與AM相交，故B錯誤；因為點歷與

直線BN都在平面8CC向內(nèi)，點M在平面BCC.B）外，BN不過點&,所以BN與ME是

異面直線，故C正確；同理D正確.

（例2）

變式2D【解析】如圖，由題意知，圓柱的軸截面4BC。為邊長為2的正方形，

E是就的中點，”是48的中點，所以ACu平面A8C,E尸與平面ABC相交，且與AC無

交點，所以AC與E"是異面直線.又CF=41可芬=小，AE=<22+（啦）2=#,

所以A肝CF.

（變式2）

7

例3正【解析】如圖，在正三棱柱A8CA8C中，連接4G交8c于點0,取

4G的中點人連接OF,顯然。是8G的中點，則O尸〃A&則N81O廠是A出與81c所

成的角或其補角.在△08/中，BIF=/,OBi=；fi,C=1-\/42+22=小,OF=\A\B

=5將建=小，則COSN8Q尸J巾）"（*：一（?。?=2-,所以直線48

2YV2x45x4）10

與宜線8c所成角的余弦值端.

（例3）

變式3(1)D【解析】如圖，連接BG,PG.因為4小〃AG，所以NP8G或其補

角為直線28與4功所成的角.因為B8i_L平面4BIGOI，PGU平面4BIGA,所以8B」PG.

又PCi工BiDi,BBi，8iDu平面P8B”381rl＞。|=即所以PG_L平面P83].又P8u平面

PBBi，所以PG_LPA設(shè)E方體的棱長為2,則BC\=2、[i,PCi=1BiD尸小,從而sin

NPBCi=8c；=2'所以NP8Ci=g.

(變式3(D)

(2)第【解析】如圖，取尸C的中點。，連接M。，BD,因為M為AC的中點，

ZO

所以。M〃%，且。M=J%=1,所以NOMB為異面直線8M與布所成的角或其補角.在

△4BC中，AC=y[3,BC=\,AB=2,所以A4=BC2+AC2,則AC_L8c.又AM=MC=￡

A_________萬

AC=^-,所以BM^Bd+MC?-.在△PBC中，BC=\,PB=PC=2,由余弦定理

22+l2—22I

可得cosNDCB=2x2x1=W在^BDC中，。。=8。=1，由余弦定理可得BD1=DC2

3

2-

+BC~2DCBCCOSZDCB=l+l-2xlx|x12,在△8M。中，由余弦定理可得cos

嚼

DM5BM2-BD2-

ZDMB=-ZXDMXBM"",所以異面直線8M與3所成角的余弦值為

5s

28,

(變式3(2))

隨堂內(nèi)化

1.D2.A

3.B【解析】對于A,若/與a不平行，則/與a的位置關(guān)系有相交或直線在平面

內(nèi)，且〃?ua,則/與機的位置關(guān)系有平行、相交或異面，故A錯誤；對于B,若/〃G,則

/與〃?可能垂直，如圖（|）所示，Clin,可知/L〃，故B正確；對于C,若/fla

=A,且AW/小則/與加異面，故C錯誤；對于D,若/Pla=A,且/與a不垂直，

貝Ij/與加可能垂直，如圖（2）,取。為平面l=AD\,m=AB,符合題意，但/J■加，故

D錯誤.

圖⑴圖⑵

（第3題）

4.C【解析】如圖，連接"G，AJCI，在正四棱柱力1中，有AB〃CiDi

且48=G?！彼运倪呅?8GG為平行四邊形，則有8G〃AG，則N48G就是異面直

線A由與A。1所成的角.設(shè)48=1,則8G,4G=g,在AAIBG中，由余

*+A0一4Q

_17+17-2=\6

弦定理得cosN4AG=2x17-~7?,

2BCVA\B

（第4題）

配套精煉

1.D【解析】因為。G〃=P,所以PE”，PGb,因為。=aA6b=flC\y,所以尸￡a,

PG0,.因為any=c,所以尸￡c,所以8Ac=P,所以aGc=P,如圖，故A,B,C錯

誤.

(第1題)

2.B【解析】若直線/上有無數(shù)個點不在平面。內(nèi)，則/〃a或/與a相交，故A不

正確；若直線〃不平行于平面。且/。，則。與a相交，所以平面。內(nèi)不存在與。平行的

直線，故B正確；已知直線小b,平面a,小且aua,buB,aHB,則直線a,5平行

或異面，故C錯誤；已知兩條相交直線a,b,旦?！ㄆ矫鎍,則匕〃平面a或，，與a相交,

故D錯誤.

3.C【解析】因為E,尸分別為棱8C,SG的中點，所以88]〃￡/，因為以七平面

AEF,89何平面AE凡所以8歷〃平面AEE又平面。n平面AE~=/,B'u平面。8Bi，

所以又A4〃B&,所以AAi〃/,如圖，在正方體中，/與直線AA所成角的大小等

于NA[A。產(chǎn)彳.

4.A【解析】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面4co外一點4與平面AC。內(nèi)

一點E的直線/法，與平面AC。內(nèi)不經(jīng)過七點的直線人廠是異面直線.下面證明BE與A產(chǎn)

垂直：因為48_1_平面8。，COu平面8C。，所以4B_LCD因為8C=BZ)=C。，/為CO的

中點，連接8F,所以8r_LCD.因為A8C8產(chǎn)=8,AB,8尸u平面A8F,所以CD_L平面ABF,

如圖，取A尸的中點Q,連接BQ,EQ,因為AR=平面相/,所以CD1AF,又因為EQ〃CO,

所以EQd_A尸.因為8C=BZ)=CO=2,所以8尸=竽E又2=小-=AB,又因為Q為AF的中

點，所以BQ_LAF.因為BQnEQ=Q,BQ,EQu平面BEQ,所以ARL平面8EQ,又因為

4￡u平面曄，所以AFL3E.

當

（第4題）

5.BD【解析】對于A,如圖，在正方體中，取直線A8為a,直線BC為4直線

為c,顯然有a_Lc,h±c,但H所以A錯誤；對于B,由線面平行的性質(zhì)可知，B

正確；對于C,如圖，在正方體中，取平面為a,平面8CC由?為平面夕，平面

為冷顯然滿足“_1_］，，//ly,又an〉=AB,fjny=BC,且ABG8C=8,即d。相交，所以

C錯誤；對于D,因為則〃u￡,又用Gy=c,則cu￡,cuy,又a〃c,顯然有

aQy,所以a〃乃又au。，。H，所以?！▋汗蔇正確.

玲

（第5題）

6.ACD【解析】對于A,顯然〃?ua,/〃u￡,又機_Ly,則a_Ly,夕",A正確；對

于B,由〃?ua,nda,得機與〃可能相交、平行或異面，B錯誤：對于C,由aG』=/,

pC\y=m,m”i=P,知點。在平面a,p,7內(nèi)，即為平面a,y的公共點，而yCa=",因

此C正確；對于D,由機_La,4，得a〃小而a〃了，因此￡〃〉，D正確.

7.AD【解析】如圖，連接P8,QBi，在正方體A8CQAIIGDI中，取8囪佗中點

N,連接CN,則DP〃CN〃。&,DP=CN=QB\,所以四邊形QP8。是平行四邊形，叢￡

平面。P8IQ,歷￡平面A用Ci。］，所以歷￡/,故A正確，B錯誤.如圖，OP的延長線與

的延長線交于點F,DQ的延長線與GG的延長線交于點E，因為。Pu平面。PBi。,

所以小丘平面。PSQ.因為。Ng平面ASG?！彼浴薄镀矫?SG。，所以.因為

QQu平面。所以石￡平面OP81Q.因為。iGu平面AiAiG。，所以E￡平面AICQi，

所以EW/,故C錯誤，D正確.

（第7題）

8.平【解析】如圖，補成直四棱柱ABCDABIGOI，則AS〃GQ,所以AS與8G

所成角為NBG?；蚱溲a角.又8G=啦，BD=^/22+l2-2X2X1Xcos60°=小，C\D

BC\_^2_?

=AB尸小,易得CIZ^MBZ^+BC?,即BG_L8D,因此cosN8GO=

GD小5

(第8題)

3

9.i【解析】如圖，取A8的中點Q,連接QM,QN,因為Q是A8的中點，N是BC

的中點，所以QN〃AC,QN=；AC=；,同理QM"PB、QM=gP8=1,所以異面直線AC,

P8所成角為NMQN或其補角.在△MQN中，QM=1,QN=},M