第一章集合與常用邏輯用語、不等式

第5節(jié)一元二次函數(shù)、方程和不等式

第一課時二次函數(shù)及其性質(zhì)

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口核心知識庫：重難考點總結(jié)，梳理必背知識、歸納重點

考點1二次函數(shù)解析式的三種形式★★★☆☆

考點2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)★★★★☆

(星級越高，重要程度越高)

《限時【變式訓練】挑戰(zhàn)場：感知真題，檢驗成果，考點追溯

【知識梳理】

考點1二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：/1￥尸4/2a#0).

(2)頂點式:/U)=4(X-〃Z)2-〃(4#0),頂點坐標為(m,〃).

⑶零點式:/U)=a(x-xi)a-x2)mwo),川,及為yw的零點.

坐標

奇偶性當b=0時是偶函數(shù)，當此（）時是非奇非偶函數(shù)

在（-00,-中上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞填；

單調(diào)性

在卜+8）上單調(diào)遞埴在卜￡+8）上單調(diào)遞減

【解題技巧】

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有

關(guān).

2.若yW+Zu+c3#0）,則當匕J河,恒有心）＞0;當｛::河,恒有府）＜0.

【教材回歸】概念思考辨析?教材經(jīng)典改編

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“Y”或“x”）

⑴二次函數(shù)產(chǎn)ad+Z?廿c的圖象恒在x軸下方,則〃＜（）且/＜（）.（）

（2）若二次函數(shù)廣?2+6+0的兩個零點確定，則二次函數(shù)的解析式確定.（）

⑶二次函數(shù)產(chǎn)解+法+總￡［加,川）的最值一定是美三?（）

【答案】（1W（2）X（3）X

【解析】（2）二次函數(shù)），二『。與盧源2零點相同，但解析式不同，故⑵錯誤.

⑶當對稱軸產(chǎn)-名［團,川時，最值則不是噬妙,故⑶錯誤.

2.（北師大必修一P34Tl⑵改編）函數(shù)廣-3『+12x-8的最大值為.

【答案】4

【解析】尸3（84工+4）+4=-3（廠2）2+4?4.

3.（人教A必修一P100T4改編）若函數(shù)/"）=4/-"-8在[5,20]上單調(diào)，則實數(shù)k的

取值范圍為.

【答案】（-8,40]“160,+8）

【解析】依題意知,：220或￡或5,

88

解得心160或仁40.

4.（人教B必修一P139T8改編）已知//⑺為二次函數(shù),若），』x）在x=2處取得最

小值-4,且），弓伏）的圖象經(jīng)過原點，則函數(shù)解析式為.

【答案】4）=f-4x

【解析】由題意,可設(shè),公尸。（尸2戶4（〃>0）,

又圖象過原點，

所以/（0尸4〃-4=0,a=]t

所以、”）二（尸2）2-4二『-4至

【考向核心題型】

考點1二次函數(shù)的解析式

【典例】1.已知二次函數(shù)人工）滿足寅2尸-1,火-1尸-1,且火幻的最大值是8,則

【答案】-4『+41+7

【解析】法一（利用“一般式”）

設(shè)y（A）=￡7A-21bx\c（*O）.

4a十NO十C=-1,

a=—4,

解得

由題意得a-b+c=-ltb=4,

4ac-b2c

——=8,c=7.

所以所求二次函數(shù)的解析式為

/(.r)=-4x2+4x+7.

法二(利用“頂點式”)

設(shè)兀。二-，〃)2+〃3H0).

因為大2)》-1),

所以拋物線的對稱軸為廣竿2三，

所以舊.

2

又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8,所以〃二8,

所以/U)二《x—j2+8.

因為八2尸-1,

2

所以“2-3+8=-1,

解得。二-4,

所以公尸4(x-丁+8=-4f+4x+7.

法三(利用“零點式”)

由已知火外+1:0的兩根為用=2,X2=-l,

故可設(shè)?x)+\=a(x-2)(x+1)mWO),

即f(x^ax^-ax-la-1.

又函數(shù)有最大值8,

即4a(-2a])(a)2_g

4a

解得。二-4或行0(舍).

故所求函數(shù)的解析式為凡丫尸-4f+4x+7.

【思維建?！慷魏瘮?shù)解析式的選擇規(guī)律

―[三個點的坐標I選用一般式）

T頂點坐標卜

Eg}―-[對稱軸一）-T選用頂點式）

-[最大（小）值卜

—[與x軸兩交點坐標I選用與點式）

【變式訓練】1.已知二次函數(shù)的圖象過點（-3,0）,（1,0）,且頂點到x軸的距離等

于2,則二次函數(shù)的解析式為

【答案】河1?+*或尸

【解析】因為二次函數(shù)的圖象過點（-3,0）,（1,0）,

所以可設(shè)二次函數(shù)為廣。（工+3）（廠1）（。工0）,

展開得,y-ax^^lax-3a,

頂點的縱坐標為衛(wèi)士型二-4〃，

4a

由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離為2,

所以卜的二2,即4二土條

所以二次函數(shù)的解析式為尸吳+廠|或產(chǎn)-

考點2二次函數(shù)的圖象

【典例】2.已知函數(shù)/U）=ar2+/>x+c,若且〃+”?=（）,且函數(shù)於）的圖象可能

是（）

【答案】D

【解析】由a>b>c且a+8+c=0,

得6/>0,c<0,

所以函數(shù)圖象開口向上,排除A,C;

又火0尸”0,排除B.故選D.

【典例】3.(多選)如圖是二次函數(shù))，二加+版+c(〃#0)圖象的一部分，圖象過點A(-

3,0),對稱軸為產(chǎn)T.給出下面四個結(jié)論正確的為()

A.b2>4acB.2a~b=\

C.a~b+c=0D.5a<b

【答案】AD

【解析】因為圖象與x軸交于兩點,

22

所以b~4ac>Ot即b>4cic,A正確.

對稱軸為x=~l,

即-^■二-1,2〃-/?二0,B錯誤.

2a

結(jié)合圖象，當尸-1時,)>0,

即a~b^c>0,C錯誤.

由對稱軸為x=-\知，爐2a.

根據(jù)拋物線開口向下，知。<0,

所以5a<2々,即5a<b,D正確.

【思維建?！垦芯慷魏瘮?shù)圖象應(yīng)從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中

有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關(guān)于對稱軸電稱的兩個點,常取與x軸的交

點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.

【變式訓練】2.（多選）二次函數(shù)度加+法+c的圖象如圖所示，則下列說法正確的

是（）

A.2a+b=0

B.4a+2b+c<0

C.9a+3/?+c<0

D.abc<0

【答案】ACD

【解析】由二次函數(shù)圖象開口向下知4<0,

對稱軸為x=~—=\即故b>0.

2ay2a+b=0,

又因為火0尸c>0,所以abc<0.

*2）三00）=4。+2。+。>0,

fi3）=J［-\）=9a+3b+c<0.

考點3二次函數(shù)的最值

【典例】4.（2025?福州段考）已知二次函數(shù)兀1尸以1.

（1）若兀丫）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,求a的取值范圍；

⑵若a>0,設(shè)函數(shù)4x）在區(qū)間［1,2］上的最小值為g（a）,求g（。）的表達式.

【解析】

（1）由題意知。工0.

當a>0時,.”尸以的圖象開口向上,對稱軸方程為x啖

所以人工）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減需滿足《22,

又Q>0,所以（）<4<；

4

當a<0時,.")二av2-x+2n7的圖象開口向下,對稱軸方程為產(chǎn)點

所以人工)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減恒成立.

綜上,a的取值范圍是(-8,0)U(0,；］.

(2)①當0<上近1,即〃4時,

2a2

大燈在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，

此時g3)=/U)=3a—2.

②當1cL2,即4T時，

2a42

段)在區(qū)間［1以上單調(diào)遞減，在區(qū)間七,2］上單調(diào)遞增，此時g(a)=j(^)=2a~^\.

③當工22,即0<〃W工時，

2a4

/U)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)澧減，

此時g(〃)=y(2)=64-3.

(6a-3,aE(0,［,

綜上所述,g(a)42a-專一1,aG(］4),

13a—2,aW.+8).

【思維建模】閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法:抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，

三點是指區(qū)間兩個端點和中點,一軸指的是對稱軸,結(jié)合圖象,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

及分類討論的思想求解.

【變式訓練】3.已知函數(shù)段):/+(2〃-1)廠3.

(1)當〃=2,丫￡［-2,3］時,求函數(shù)兀0的值域;

(2)若函數(shù)y(x)在［-1,引上的最大值為1,求實數(shù)。的值.

【解析】

⑴當a=2時，兒謬+3尸3,舊-2,3］,

函數(shù)圖象的對稱軸為直線尸得￡[-2,3],

|)=冷-3=(，

“V)max^/(3)=15,

???/U)的值域為[一子,15].

⑵函數(shù)圖象的對稱軸為直線后一平.

①當上二W1,即Q2二時，

22

)=6〃+3,

6a+3=1,即a=--,滿足題意；

3

②當一(1>1,即火《時，

J(X)max=J1~1)=~2a~1,

**.-2a-l=l,即a--1,滿足題意.

綜上可知,4二弓或T.

【限時訓練】(限時：60分鐘)

一、單選題

1.函數(shù)產(chǎn)A2or+3在(-8,3]上單調(diào)遞減,則實數(shù)。的取值范圍是()

A43,+8)B.(-8,3]

C.[-3,+8)D.(-8,-3]

【答案】A

【解析】易知函數(shù)戶f-2冰+3的單調(diào)遞減區(qū)間是1-8,司,故。23.

2.若二次函數(shù)g(x)滿足g(l)=l,g(-l尸5,且圖象過原點，則g(x)的解析式為()

A.1g(x)=2x2-3xB.g(x尸3『一2工

C.g(x)=3x1+2xD.^(X)=-3X2-2X

【答案】B

【解析】二次函數(shù)g（?滿足g⑴=l,g（T）=5,且圖象過原點,

設(shè)二次函數(shù)為g。尸加+尿（。20）,

可得4：刎

所求的二次函數(shù)為g（x產(chǎn)3.F-2x.

3.函數(shù)y=ax+b和y^^bx+c在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象可以是（）

【答案】C

【解析】若。>（）,貝IJ一次函數(shù)y^b為增函數(shù)，二次函數(shù)y=ax2^c的圖象開口

向上，故可排除AD;

對于B,由直線可知a>0,b>0,從而-/<0,而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)、故

排除B,選C.

4.己知ZU尸-X2+2at+1,則（）

1)刁3+1)

B』a)MaT)=/(a+l)

C必)￡?。-1)耽+1)

D必+1）如—1）次。）

【答案】B

【解析】函數(shù)/（X）的圖象開口向下，對稱軸為廣4,

故人力加H月3+1）.

5.已知a,b,c￡R,函數(shù)危尸加+歷:+c,若犬0)J4)：次1),則()

Az/>0,4。+力=0B.QVO,4。+6=0

Czz>0,2。+/?=0D.tz<0,2。+匕=0

【答案】A

【解析】由做討4)，得、/W圖象的對稱軸為直線產(chǎn)-導2,所以4a+b=0,

又火(歸⑷次1),

所以凡T)的圖象開口向上,4>0.故選A.

6.已知函數(shù)?￥)-金-4A1的定義域為口，力，在該定義域內(nèi)函數(shù)的最大值與最小值

之和為-5,則實數(shù)i的取值范圍是()

A.(l,3]B.[2,3]

C.(l,2]D.(2,3)

【答案】B

【解析】易知兀4廿1的圖象是一條開口向上,對稱軸為直線產(chǎn)2的拋物線,

當x=]時,尸-2,當x=2時，產(chǎn)-3,

由產(chǎn)-2,得或產(chǎn)3,

因為7U)在定義域內(nèi)的最大值與最小值之和為-5,所以.故選B.

7.已知函數(shù)yW4-Na-Dx+a,若對于區(qū)間卜1,2]上任意兩個不相等的實數(shù)必孫

都有於0為3),則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-°°,0]B.[0,3]

C.(-°°,0]U[3,+8)D.[3,+8)

【答案】C

【解析】二次函數(shù)yU)=f-2mT)x+〃圖象的對稱軸為直線X=a-lt

?對于任意孫及￡[-1,2]且都有yUi)*/(X2),

即府)在區(qū)間[T,2]上是單調(diào)函數(shù)，

：.a^0或即實數(shù)a的取值范圍為

(-oo,0]U[3,+oo).

8.(2025?廣州調(diào)研)設(shè)a,b,c￡R且函數(shù)g(x尸加+bx+c,./U尸(x+2)g(x),若

尸0,則下列判斷正確的是()

A.g(x)的最大值為-a

B.g(x)的最小值為

C.g(2+x)招(2-x)

D.g(2+x尸gO

【答案】D

【解析】因為雙1)=加+/?廿<?,

所以兒0=(廿2爾。)

=(x>2)(ox??Z?A?c)

=or3+(/?+26/)x2+(c+2Z>)^+2c.

因為x尸0，

所以、/U)是奇函數(shù)，

所以2+之叱。'即b=2a,c=0,

(2c=0,

所以g(x)二加-20r.

因為aWO,不清楚。是正還是負，

所以不能確定躍大)有最大值還是最小值，

所以A,B均不正確.

g(x)圖象的對稱軸為直線x---\.

若g(2+x)=8(2-幻,則以工)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

若g(2+x)=g(-x),則g(x)的圖象關(guān)于直線x=\對稱，

所以C不正確，D正確.

二、多選題

9.設(shè)則函數(shù)y=a.v^hx+c的圖象可能是()

【答案】AB

【解析】A中，?<0,h<0,c<0,此時abc<0,符合題意：

B中，a<0,/?>0,c>0,此時abc<0,符合題意；

C中，6/>0,b>0,c>0,此時abc>0,不符合題意；

D中，f/>0,b<0,c<0,此時abc>0,不符合題意.

10.已知函數(shù)於尸a--2bxT,則下列結(jié)論正確的是［)

A.若7U)是偶函數(shù)，則人0

B.若於)<0的解集是(T,1),則ah=\

C.若〃=1,則危)>0恒成立

D.VoWO,/?<(),於)在(-8,())上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【解析】對于A,函數(shù)火幻的定義域為R,

若函數(shù)7U)為偶函數(shù)，則人-幻二”)，

12

EPax+2bx-1=ax-2bx~\>

即4區(qū)二0對任意的x￡R恒成立,則b=0,A正確:

對于B,若不等式應(yīng)止⑴的解集為(-1,1),

則a>0且-1,1為方程J(x)=()的兩根,

則上::::2解得

故之二LB正確;

對于C,若占1,則次X)。2-灰T,/二4廬+4>0,

故凡。>0不恒成立,C錯誤；

對于D,當a=0時，因為Z?<0,

則於)在(-3,())上單調(diào)遞增，

當a<0時，

函數(shù)段)的對稱軸為直線號且》。，

由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，

函數(shù)次心在(-8,0)上單調(diào)遞增,D正確.

11.已知函數(shù)/0尸/-21+〃(0>()),實數(shù)相滿足y(/w)<o,則下列關(guān)系一定成立的是

()

Ay(/M+1)>()B而〃+2)>()

C7(w-l)<0D.貝〃廠2)>()

【答案】BD

【解析】函數(shù)抬戶/-2%+。在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(],+8)上單調(diào)遞增.

2

J(m)=fn-2m+a<0f

故irr-2m<-a<0,解得0<〃?<2.

m+2￡(2,4),/(加+2)42尸。>0,B正確：

w-2e(-2,0),加〃-2)次0尸。>0,D正確；

取戶總,二一粉°，滿足條件，

人機+1)于(9二一急<0,A錯誤；

?！?1月(―)窯>0,C錯誤.

三、填空題

12.（2025?寧波段考）已知二次函數(shù)?r）的圖象經(jīng)過點（4,3）,且圖象被x軸截得的線

段長為2,并且對任意都有Q-x）=/（2+x）,貝（/W的解析式

為.

【答案】公尸/-標+3

【解析】??？（2-幻比2+打?qū)θ我鈞￡R恒成立，

??JU）圖象的對稱軸為直線產(chǎn)2.

又???"r）的圖象被x軸截得的線段長為2,

工加尸0的兩根為I和3,

設(shè)/U尸〃（尸1）（尸3）3/0）,

???八）的圖象過點（4,3）,

??3ci=3,

???所求函數(shù)的解析式為，/W二（廠l）（x-3）,

即於）:f-4x+3.

13.若函數(shù)9。）=f+團1尸”在［。,+8）上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍

是.

【答案】［-2,0］

【解析】當OWxWl時,貝幻中2-郎+/〃，

此時Mx）單調(diào)遞增,則fWO,即mW0；

當x>1時,（p（^=^nix-）ny

此時9。）單調(diào)遞增，則-則〃眾-2.

綜上，實數(shù)m的取值范圍是［-2,01.

14.（2025?徐州質(zhì)檢）函數(shù)/*）=/-4戶2在區(qū)間口,加上的值域為［-2,2］,則b~a的取

值范圍是.

【答案】［2,4］

【解析】解方程、/（工尸/-4%+2=2,

解得.尸0或尸4,

解方程"r尸f-4x+2=-2,

解得產(chǎn)2,

由于./Cr）在團,切上的值域為［-2,2］.

若府）在口,加上單調(diào)，

貝0出。尸［0,2］或