專(zhuān)題07立體幾何初步

需考點(diǎn)一;簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積

1.（2024北京）小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型.他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的

三條棱的中點(diǎn)分別記為48C,如圖1所示，然后截去以V48C為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所

示，按照這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型.若原正方體的棱長(zhǎng)為6,則

此半正多面體模型的體積為（）

圖1圖2圖3

A.108B.162C.180D.189

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求組合體的體積

【分析】正方體的體積減掉8個(gè)以V48c為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.

【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為

則展囁方體一8喙三校錐=6'-8x|xlx33=180.

故選：C.

2.（2024福建）圓柱的底面半徑和高都是1,則該圓柱的體積為（）

nnn_

A.-B.-C.-D.兀

432

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)給定條件，利用圓柱的體積公式計(jì)算即得.

【詳解】圓柱的底面半徑和高都是1,則該圓柱的體積P=7TX12X1=兀.

故選：D

3.（2022河北）已知A是球。的球面上一點(diǎn)，過(guò)線(xiàn)段3的中點(diǎn)G作垂直于直線(xiàn)O力的平面，若該球被這

個(gè)平面截得的圓面的面積為9人則該球的表面積是（）

A.12HB.36兀C.48冗D.326兀

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題涉及球的截面相關(guān)概念.球的截面是一個(gè)圓，根據(jù)廁的面積公式S=.2（其中s為面積.，.為

半徑），可求出截面圓的半徑.再利用球的截面性質(zhì)，設(shè)球的半徑為我,截面圓半徑為「，球心到截面的距

D

離d（這里d=,通過(guò)勾股定理店=/+/求出球的半徑氏，進(jìn)而求出球的表面積5=4成2.

【詳解】已知截面圓的面積為9%根據(jù)圓的面積公式S="2,可得”2=9兀，解得/=3.

R

設(shè)球的半徑為R，因?yàn)閍是。力的中點(diǎn)，所以球心。到截面的距離

根據(jù)勾股定理/?2=M+//2,將i=3,d代入可得：

/?2=32+f-l，則肥=9+g，則里=9,則斤=12,解得R=26.

根據(jù)球的表面積公式5=4成2,將R=26代入可得：

S=4兀x（2百了=47txl2=48兀

故選：C.

4.（2022河北）己知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2,母線(xiàn)與底面所成的角是60“，則該圓錐的體積是（）

A.—B.71C.島1D.3兀

3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)求得圓錐的高和底面半徑，再由體積公式計(jì)算.

【詳解】設(shè)圓錐的高為人底面半徑為「，又母線(xiàn)長(zhǎng)為/=2,而母線(xiàn)與底面所成的角是60“，

則r=；/=|,/?=7sin6O°=V3,

所以體積為/兀xfx道=在兀，

333

故選：A.

5.（2022北）若球。被一個(gè)平面所截，所得截面的面積為3冗，且球心。到該截面的距離為1,則球。的

表面積是（）

A."B.16HC.坦^D.8兀

33

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得出答案.

【詳解】因?yàn)榍虻囊唤孛娴拿娣e為3兀，所以截面圓的半徑為百，

又因?yàn)榍蛐腛到該截面的距離為1,

所以球的半徑為火=J1=2,

所以球。的表面積為4兀=4TTX4=16H-

故選：B.

6.（2022河北）已知圓錐的底面半徑為1,母線(xiàn)與底面所成的角是60。，則該圓錐的側(cè)面積是（）

A.豆況B.2兀C.—D.兀

33

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即得.

【詳解】由圓錐的母線(xiàn)與底面所成的角是60。，得圓錐軸截面等腰三角形且底角為60。，

所以圓錐軸截面等腰三角形是正三角形，因此圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為2,

所以該圓錐的側(cè)面積是"1x2=2幾.

故選：B

7.（2023廣西）己知圓柱的底面積為1,高為2,則該圓柱的體積為（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得答案.

【詳解】因?yàn)閳A柱的底面積為1,高為2,

所以該圓柱的體積為1x2=2.

故選：B.

8.（2024浙江）一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體頂點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球體的表面積為（）

A.3兀B.2兀C.VJnD.兀

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的直徑是正方體的對(duì)角線(xiàn)，從而得到結(jié)果.

【詳解】???棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，

???球的直徑是正方體的對(duì)角線(xiàn)，

???球的半徑是〃=立，

2

工球的表面積是4XJIX（等）=3幾

故選：A

9.（2023吉林）一個(gè)棱長(zhǎng)為2百的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積是（）

A.18nB.18右兀

C.36x/3nD.36兀

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】由已知可得所求球是棱長(zhǎng)為2/的正方體的外接球，代入正方體對(duì)角線(xiàn)公式，求出外接球的半徑,

代入球的體積公式，可得答案.

【詳解】若棱長(zhǎng)為2右的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，

則該球是正方體的外接球，

球的半徑&=g,3x（2G『=3,

4

則球的體積§兀*=36兀.

故選：D.

10.（2024天津）一個(gè)圓柱的底面直徑和高都等于球。的直徑，則球。與該圓柱的體積之比為（）.

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】設(shè)球。的半徑為R（&>0）,即可求出球、圓柱的體積，從而得解.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R則喂=爭(zhēng)3,

依題意圓柱的底面半徑為R,高為2R,所以七柱=兀*'2/?=2比3,

竺.

所以%_3.2.

%柱2成33

故選：D

11.（2023浙江）上、下底面圓的半徑分別為〃、2/，高為3/?的圓臺(tái)的體積為（）

A.77n?B.21nr3C.（5+20卜/D.（5+及

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為〃、2r,高為3r,

所以/=，兀［『+（2廠(chǎng)『+2/x3r=lnr\

故選：A

12.（2024湖南）已知圓柱的底面半徑為3cm,體積為18兀cn?,則該圓柱的表面積為（）

A.12ncmB.187rcm2C.21ncm2D.30兀cm?

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】利用圓柱體積求得圓柱的高，再利用表面積公式計(jì)算即得.

【詳解】設(shè)圓柱的高為〃cm,由題意，9泌=18兀，解得h=2,

則圓柱的表面積為S我=2冗x3?+2冗x3x2=30兀cm2.

故選：D.

13.（2024安徽）在中，［8=4,BC=3,4I8C=12O°,若將"BC繞8c所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周,

則所形成的幾何體的體積為.

【答案】127t

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求旋轉(zhuǎn)體的體積

【分析】畫(huà)出旋轉(zhuǎn)體的圖象，根據(jù)圓錐體積公式求出幾何體的體積.

【詳解】如圖所示，

c

旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，

所以O(shè)/=4xsin6（r=2百,O8=4KCOS60,=2,

2

所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：r=lx7tx（2x/3）x[（3+2）-2]=127r.

故答案為：12兀

14.（2024云南）一商場(chǎng)門(mén)口有個(gè)球形裝飾品.若該球的半徑為1米，則該球的表面積為平方米.

【答案】4兀

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算

【分析】由球的表面積公式求解.

【詳解】因?yàn)樵撉虻陌霃綖?米，所以該球的表面積為：4兀X12=4TT（平方米），

故答案為：4兀

15.（2024云南）若一個(gè)半徑為;cm的球和一個(gè)上，下底面邊長(zhǎng)分別為1cm和2cm的正四棱臺(tái)的體積相同,

則正四棱臺(tái)的高為cm.

■27.2171

【答案】丁/丁

【知識(shí)點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】利用球和正四棱臺(tái)的體積公式直接建立等式計(jì)算即可.

【詳解】解：球的體積為匕=^浜6[①，

設(shè)正四棱臺(tái)的高為人則正四棱臺(tái)的體積為匕=；（1+4+的?=1力②，

由匕=匕，

解得：A=

故答案為：工27冗.

14

16.（2024浙江）上、下底面面積分別為1,4,高為3的圓臺(tái)體積為.

【答案】7

【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】由圓臺(tái)體積公式P=gx（￡+S2+后另'）即可求解.

【詳解】由題意知，=1出=4,〃=3,

所以/=3乂（5+邑+7^7）=：＞＜（1+4+2）=7.

故答案為：7.

雷考點(diǎn)二；空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系

1.（2024北京）如圖，在三棱柱48C-44G中，44,底面SC。是5c的中點(diǎn)，則直線(xiàn)DG（）

A.與直線(xiàn)4C相交B.與直線(xiàn)NC平行

C.與直線(xiàn)力4垂直D.與直線(xiàn)力4是異面直線(xiàn)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線(xiàn)的判定

【分析】由直二棱柱的特征逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】易知三棱柱48C-44G為直三棱柱，

由圖易判斷。G與4C異面，AB錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?〃C￡,z）G與cq相交但不垂直，所以。a與直線(xiàn)力4不垂直，C錯(cuò)誤;

由圖可判斷力G與直線(xiàn)44是異面直線(xiàn)，D正確.

故選：D

2.（2022河北）已知/是一條直淺，是兩個(gè)不同的平面，有以下結(jié)論：

①若/_La,a//〃，貝②若貝

③若///%////y,貝！1。//夕.@若則。//4.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)面、面面之間的基本關(guān)系，依次判斷命題即可.

【詳解】①：若/la,a//。，則/I夕，故①正確；

②：若貝或/與夕相交或////，故②錯(cuò)誤；

③：若/////〃/，則a"夕或。與月相交，故③錯(cuò)誤；

④：若則a//￡,故④正確.

故選：D

3.（2024天津）若/，團(tuán)是兩條不同的直線(xiàn)，a是一個(gè)平面，/_La,則"/J"/〃”是的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、線(xiàn)面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面的位置關(guān)系及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)?,〃?是兩條不同的直線(xiàn)，。是一個(gè)平面，/_La,

若/JLw,則或〃?ua,故充分性不成立；

若加//0，則在平面口存在直線(xiàn)c,使得〃?〃c,又/J.a,cua,所以/_Lc,所以/_L〃］，故必要性成立，

所以JLm”是“mlla"的必要不充分條件.

故選：B

4.（2024北京）在空間中，若兩條直線(xiàn)〃與6沒(méi)有公共點(diǎn)，則〃與力（）

A.相交B.平行C.是異面直線(xiàn)D.可能平行，也可能是異面直線(xiàn)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線(xiàn)的概念及辨析

【分析】根據(jù)空間直線(xiàn)的位置關(guān)系判斷，即可得答案.

【詳解】由題意知在空間中，兩鳧直線(xiàn)。與6沒(méi)有公共點(diǎn)，即。與人不相交，

則。與〃可能平行，也可能是異面直線(xiàn)，

故選：D

5.（2023遼寧）設(shè)/,小，〃是三條不同的直線(xiàn)，a,7是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若I〃m,m//n,貝!）/〃“B.若/〃m,〃？〃a,貝?。?〃a

C.若aJ?夕，0工y,則a_LyD,若I上m,/〃a,則加〃a

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、平行公理、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、判斷面面是否垂直

【分析】選項(xiàng)A由平行的傳遞性可得；BCD由長(zhǎng)方體中的線(xiàn)面、面面位置關(guān)系舉反例可知.

【詳解】選項(xiàng)A,若/〃〃?，m//nt則由平行的傳遞性可知，/〃叫故A正確；

選項(xiàng)B,若/〃m,〃?〃a,貝或/ua都有可能，

如圖，長(zhǎng)方體川?8—44GA中（以下同），

設(shè)直線(xiàn)4G為小，直線(xiàn)8c為/,底面48co為C,

滿(mǎn)足/〃〃?，m//at但/ua,/與e不平行，故B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C,若,/_Ly,則。與7不一定垂直,

如圖，設(shè)上底面為。，下底面為乙平面BBC&為0,

。與了不垂直，故C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D,若/_!_〃?，l//af則加〃a或，〃或"與a相交都有可能,

如圖，設(shè)直線(xiàn)4G為機(jī)，直線(xiàn)力8為/,設(shè)上底面44GA為a,

心與。不平行，故D錯(cuò)誤.

6.（2023黑龍江）如圖，在正方體中，與48平行的是（）

C.DCD.B'C'

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線(xiàn)的判定

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合空間中線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系分析判斷.

【詳解】根據(jù)題意可知：AA\與力4相交，。。與44平行，"C'與力4異面,

故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

7.（2022浙江溫州）已知〃?，〃是不同的直線(xiàn)，a,夕是不同的平面，下列命題中，正確的是（）

A.若〃?//a,nHat則〃?〃〃

B.若小_La,nlaf則w?L，？

C,若wca,nllp,則a//夕

D.若〃7J_a,n!la.則1〃

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)空間中的直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面以及平面與平面的位置關(guān)系和符號(hào)表示，判斷選項(xiàng)中的命

題是否正確即可.

【詳解】在A中，若加//a,則相與〃相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

在B中，若〃?_La,〃_La,則〃〃?〃，故B錯(cuò)誤；

在C中，必須平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別與平面平行，此時(shí)兩平面才平行，故C錯(cuò)誤；

在。中，mlaf〃//a時(shí)，過(guò)〃作平面yca=/,所以〃〃/,且加J./,所以機(jī)_L〃，故D正確.

故選：D.

8.（2023天津）己知空間三條直線(xiàn)4，b,c.若。J_力，alcf貝lj（）

A.力與。平行B.〃與。相交

C.與。異面D.力與。平行、相交、異面都有可能

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線(xiàn)的判定

【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系舉例可得答案.

【詳解】如圖，在長(zhǎng)方體中，a_L6,alcf則。與c平行、相交、異面都有可能.

故選：D.

9.（2023廣東）已知a和夕是兩個(gè)不同平面，A-alip,民”和微有公共點(diǎn)，則/是5的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)面面平行的定義判斷.

【詳解】?jī)蓚€(gè)平面平行的定義是：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面平行，因此A是4的充要條件.

故選：C.

10.（2023江蘇）已知直線(xiàn)/〃平面直線(xiàn)用U平面a,貝！J/與加不可能（）

A.平行B.相交C.異面D.垂直

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】若/與，〃相交，得到/與《有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾，得到答案.

【詳解】直線(xiàn)/〃平面直線(xiàn)〃?u平面貝心與〃?可能平行，異面和垂直，

若/與切相交，/ClJ,則4G/,Aemt直線(xiàn)平面a,故Xea,

即/與a有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾.

故選：B

需考點(diǎn)三;異面直線(xiàn)所成角

1.（2024浙江）在正四面體力8CQ中，E是48的中點(diǎn)，廠(chǎng)在8c的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CF=BC,則異面直線(xiàn)片“

和DE所成角的正弦值為（）

A.1B.述C.1D.還

3355

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線(xiàn)所成的角

［分析］連接EC,/CED或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AF和DE所成角，在ACDE中由余弦定理求得COS/CED及AF

和DE所成角的正弦值.

【詳解】連接EC,因?yàn)镃尸=8C,E是/必的中點(diǎn)，所以EC//AF,

所以4CED或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AF和DE所成角，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則EC=JJ,EQ=6，

在中由余弦定理得cos/CED=0箸青■=蒜?.

所以力廠(chǎng)和所成角的正弦值為J1-旦

3

故選：B

2.（2022河北）如圖，在正方體力8。-44GA中，￡是棱力/的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)和C。所成角的

余弦值是（）

A.&B.巫C.巫D.典

52105

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線(xiàn)所成的角

【分析】設(shè)尸為48的中點(diǎn)，連接EF,DF，4B,可證/￡?或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)OE和C〃所成的角，故

可求它的余弦值.

【詳解】

設(shè)戶(hù)為48的中點(diǎn)，連接斯,OF,48,

由正方體的性質(zhì)可得4A〃8c4A=8C,則四邊形A48C為平行四邊形,

故48//RC,而民尸為所在棱的中點(diǎn)，散EFHA\B,

故EF/ID.C,故/DEF或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)DE和CD｝所成的角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則DE=DF=6EF=6

V2r—

故…/砂尸_T_V?O,故異面直線(xiàn)DE和CD,所成的角的余弦值為業(yè)二

cosZD￡F=-^=—10

故選：C.

3.（2024云南）如圖，在正方體力BCD-4BCR中,異面直線(xiàn)4G與AQ所成的角等于（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線(xiàn)所成的角

【分析】連接力A，44,分析可知異面直線(xiàn)8G與8a所成的角為/力。內(nèi)（或其補(bǔ)角），結(jié)合正方體的性

質(zhì)分析求解.

【詳解】連接力。,力四，

因?yàn)?8〃GA，/8=G2,可知力BGR為平行四邊形，

則明〃BG,可知異面直線(xiàn)8G與所成的角為（或其補(bǔ)角），

由正方體可知力。=力用，即△/耳A為正三角形，可知乙4。e二方,

所以異面直線(xiàn)8G與8Q所成的角等于

故選：C.

4.（2024湖南）如圖，在正方體力BCO-44GA中，異面直線(xiàn)8G與40所成的角為（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線(xiàn)所成的角、棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何法求出異面直線(xiàn)所成的角.

【詳解】在正方體力ACO-48cA中，連接力綜4%四邊形."GR是其對(duì)角面，

則四邊形力8GA是矩形，BCJ/畋,于是4。片是異面直線(xiàn)4G與所成的角,

而=AD]=B、D,=@8,即為正三角形，N力。冏=:,

所以異面直線(xiàn)BC,與8.所成的角為土

5.（2023湖南）如圖，在正方體48cA中，異面直線(xiàn)力。與區(qū)R所成的角為（）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線(xiàn)所成的角

【分析】由異面直線(xiàn)所成角的概念求解，

【詳解】由題意，正方體中得BR/BD,故異面直線(xiàn)4C與4a所成的角，即正方形對(duì)角線(xiàn)力。與夕。的夾

故選：D

6.（2023云南）在正方體488-44GA中，異面直線(xiàn)力。與4。所成角的大小為（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線(xiàn)所成的角

【分析】把4。平移到8C，連結(jié)力8。構(gòu)成等邊三角形，異面直線(xiàn)力C與4。所成角即為4C4.

【詳解】連結(jié)8。、AB1,如下圖:

??.在正方體44GA中,44〃QC且=oc；

.??四邊形4AC。為平行四邊形，則

又?「在正方體力8CO-44GA中，△月8c為等邊三角形,

???4c4就是異面直線(xiàn)AC與4。所成角，4ACB、=m，

???異面直線(xiàn)AC與4。所成角的大小為方.

故選：C.

7.（2023安徽）如圖，在正方體力44GA中，直線(xiàn)CA與BG所成的角是（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線(xiàn)所成的角

【分析】連接力A，ACt證明力。//4C,則即為直線(xiàn)CA與8G所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)正三角

形即可求解.

【詳解】連接/巴，ACf在正方體48CQ—48cA中，

因?yàn)?4//〃G，且/18=AG，所以四邊形力?！?為平行四邊形，所以4VMC,則//"C即為直線(xiàn)C"

與8c所成的角或其補(bǔ)角，由正方體的性質(zhì)可得：△力AC為正三角形，所以4，C=60。，則直線(xiàn)C。與8G

所成的角是60。，

故選：C.

8.（2023河北）如圖，在正方體力8CQ-44C'Q中，點(diǎn)￡,尸分別是棱4）,CG的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)4石與4尸

所成角的大小為.

【知識(shí)點(diǎn)】異面直線(xiàn)所成的角的概念及辨析、求異面直線(xiàn)所成的角

【分析】先取。Q中點(diǎn)為G,連接4GG%記4E與4G交點(diǎn)為M,根據(jù)平行可知4E與B尸所成角即為4E與

4G所成角，通過(guò)正方體性質(zhì)可得△4/E2ADG，即NA%E=ADAG，根據(jù)NDAG+ZA.AG=NAA#=]可

知乙44七+/44G=3，即/4M%=M即可知％E與8/所成角為孑

乙乙乙

【詳解】取4。中點(diǎn)為G,連接1G,G匕記4E與/G交點(diǎn)為M,如圖所示:

因?yàn)镚,F分別是棱A。,CC的中點(diǎn)，

所以GF//AB，且GF=AB，故四邊形ABGF為平行四邊形，

所以4G〃出"所以4七與4b所成角即為4七與力G所成角,

因?yàn)檎襟w/出CO—44GA,EG是棱力4。的中點(diǎn)，

所以4力=力。,/七=6。,/4力。=/4。6=],

所以^ADG,BPE=^DAG,

因?yàn)閆DAG+Z.A.AG=Z.AA.E=所以Z.AA.E+Z.A.AG=p

所以/力凡4=n-（ZAAlE+N44G）=g,

2

故4E與4G所成角為與即4后與打尸所成角為名

故答案為仁

陽(yáng)考點(diǎn)四；直線(xiàn)與平面所成角

1.（2024湖南）如圖，48為圓柱底面直徑，BC為母線(xiàn),若AB=BC,則力。與圓柱底面所成角的大小

為（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求線(xiàn)面角、線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直

【分析】根據(jù)線(xiàn)面角定義得為所求的角，再利用等腰直角三角形性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】因?yàn)槟妇€(xiàn)8C_L底面，

則力。與圓柱底面所成角即為NC48,又因?yàn)?也為圓柱底面直徑，則8CJ.48,

因?yàn)?4=AC,所以NC48=45'.

故選：B.

2.（2023江蘇）如圖，正方體力8CO-44GA中，直線(xiàn)8"與平面//CO所成角的正切值為（）

A.1B.@C.—D.立

223

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求線(xiàn)面角

【分析】連接8。，平面/BCQ,故N。8A是8A與平面"CQ所成角，計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：連接4。，因?yàn)镼QJ平面力BCD,故吟線(xiàn)幽與平面"CQ所成角，設(shè)正方體棱

長(zhǎng)為1,貝IJ。"=1,。8=血,

AB

-DBD尸爆與

故選：c

3.（2023河北）如圖，在三棱柱444G中，所有的棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱44工底面44G則直線(xiàn)力及

與平面8CGM所成角的正弦值為（）

巫rV15

45

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】證明線(xiàn)面垂直、求線(xiàn)面角、線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直

【分析】取4c的中點(diǎn)O,連接4Q8Q,根據(jù)題意，先得到力O_L平面8CC4,則所求直線(xiàn)與平面所成的

角為480,通過(guò)幾何關(guān)系求其正弦值即可

【詳解】取4。的中點(diǎn)。，連接力。，4。，易得

因?yàn)閭?cè)棱1底面ABC,側(cè)棱AAJ!側(cè)棱BB、,

所以側(cè)棱_L底面力AC,4Ou底面力4C,

所以_1_40,

因?yàn)锽B】CBC=B,8片,4Cu平面〃CCM，

故力OJ.平面友6用，

所以所求直線(xiàn)與平面所成的角為,

由4。1平面BCC,B、,B0u平面BCCM可得AOA.BQ,

因?yàn)樗械睦忾L(zhǎng)都相等，不妨假設(shè)棱長(zhǎng)為2,貝1」力。=石，。曷="，AB\=2C,

則n/科。二系二中.

4.（2023安徽）如圖,在直三棱柱ABC-ABC1中，4B上AC.若*B=4C=1M4=6，則8c與平面AA}C.C

所成的角的大小為.

B

【答案】y/30

【知識(shí)點(diǎn)】求線(xiàn)面角、線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直

【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直可得線(xiàn)面角的幾何角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.

【詳解】連接4。，

由于直三棱柱力〃c—44G中，44，平面48。，/Bu平面4BC,

故44］，/6,又力8/4。，44「'/。二力,力4，力。＜=平面44。。，

故,48_L平面力4GC,

由于ABUAE，所以力￡1平面AAtC,Cf

故N8C4為8。與平面AA.C.C所成的角，

由于/仍=/1。=1,/4=無(wú)，所以力0_J.T+402一日

,/…4415

tanNBQA=——=-r==—,

。4\/33

由于48C4為銳角，所以N4c4=3，

6

故答案為：7

6

小G

Bi

5.（2024浙?。┮阎粋€(gè)各棱均相等的四面體成力-AC力，則棱力A與平面8。）的夾角的余弦值為

【答案】立《避

3s

【知識(shí)點(diǎn)】求線(xiàn)面角

【分析】作/O_L平面8CZ）,由乙44。即為所求的角，然后利用正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

【詳解】

在四面體成中，作力OJ.平面8C。，連接80,

則即為棱48與平面8CO的夾角，令A(yù)B=2,

由四面體的棱長(zhǎng)均相等，則。為△BCQ的中心，

所以〃吟在彳=孚，

2百

8/8。=也=工=叵

AB23

故答案為：走.

3

6.（2023四川）如圖，在正方體力ACQ-44GA中，直線(xiàn)8烏與平面力8c。所成角的正切值為

【知識(shí)點(diǎn)】求線(xiàn)面角

【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)及線(xiàn)面角定義求解.

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

在正方體中，平面48CQ,

故旦8在平面48CO上的射影為B。，

所以/D1BD為直線(xiàn)BD、與平面ABCD所成角，

故tanND、BD=絕=~^==—.

'BD叵2

故答案為：

2

7.（2023湖南）如圖，在正方體/8S-4與中，E是D0的中點(diǎn),則直線(xiàn)8E與平面所成角

的正弦值為.

【答案】|

【知識(shí)點(diǎn)】求線(xiàn)面角

【分析】根據(jù)線(xiàn)面角的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】連接80,由于。E_L平面/4CQ,

所以ZEBD是直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,貝1」?！?1*。=2拒］￡=3,

所以sin/E8O=2，

所以直線(xiàn)8E與平面ABCD所成角的正弦值為1.

故答案為：I

DxC,

小

C

AB

雷考點(diǎn)五;

二面角

1.（2023河北）如圖，在四棱錐P-48c。中，底面力8CZ）為矩形，△PCZ）是等邊三角形，平面底

面44C。，AD=3,四棱錐尸-/48C。的體積為18石，E為PC的中點(diǎn).平面48與平面力比'。所成二面

角的正切值是（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線(xiàn)面垂直

【分析】由PG_L底面X8CQ得出。=6,進(jìn)而由所144,用工力6得出平面尸48與平面48co所成二

面角的正切值.

【詳解】分別取。。，43的中點(diǎn)為。尸，連接PF,FG'PG,AG,BG,

設(shè)。0=為?>0）,則尸GM島，

因?yàn)椤鱌CO是等邊三角形，所以PG_LCO,

又因?yàn)槠矫鍼C。J■平面/BC'O,YHPCDnY?ABCD=CD,尸Gu平面PCZ）,

PG_L底面"CO,

因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的體積為1873,

所以;（3x2“）xga=18百，解得。=3.

J

則PG1/G,PGLAG,PGLBG,所以P/=PB,PFLIB,

又因?yàn)榈酌娲ê?。為矩形，所以QG工43,

所以/PFG為平面PAB與平面ABCD所成二面角的平面角，

tan/WG嘿=哈瓦

故選：B

2.12024浙江)如圖，在底面邊長(zhǎng)為2的菱形的四棱錐。-48CZ)中，PA=PB=2tPAB1YEABCD,

/48c=60。，設(shè)E是棱科上一點(diǎn)，三棱錐E-/C力的體積為L(zhǎng)

(1)證明：PCLABx

(2)求朋：

⑶求二面角E—CO—力的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)BE=1

⑶日

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直、求二面角、證明線(xiàn)面垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】(1)取48中點(diǎn)〃，連結(jié)尸H,CH,證明48_L平面C〃P,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)作于M,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明EW，平面力8C。，再根據(jù)三棱錐的體積公式即可得解;

(3)作MV_LCD交于。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,連接￡N,證明8_L平面EMN,則C0_LEN,則NEMW即

為二面角E-CQ-力的平面角，再解AEMW即可.

【詳解】(1)取力8中點(diǎn)，，連結(jié)P”，CH,

因?yàn)槭Χ?=2,所以PHJ.71B,

在菱形48CQ中，AABC=60°,則是等邊三角形，

所以C〃_L/14,

又PHCCH=u平面CHP,

故工平面CHP,

又CPu平面C”尸，所以48_LCP；

(2)作EW_L/〃于M,

因?yàn)槠矫妗?8_L平面/8C。，平面刃8c平面44。。=48,EMu平面48,

所以EM_L平面N8C。，

所以“Te=9s"“?EW=9x：x2xG.￡W="所以

33222

所以BE=1;

(3)作MN_LCD交于。。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,連接EN,

由EM_L平面力4c。，COu平面/1BCO,得￡W_LCQ,

又MNAEM=M,MN,EMu平面EMN,

所以CQ_L平面EA/N,

又ENu平面EMN,所以CQ_LEN,

所以NENM即為二面角E-CD-A的平面角，

3.(2024浙江)如圖，在四棱錐P-Z8c。中，底面48CD為正方形，側(cè)面P力力_L底面48。，點(diǎn)M在

線(xiàn)段PD上且AD=2DM=2,/ADP=600.

(1)求證：4平面尸CD；

(2)求三棱錐M-ABD的體積；

⑶求一面角的M-8C-力正切值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)y

⑶日

4

【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線(xiàn)面垂直、求二面角、證明線(xiàn)面垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)證明CQJ■平面21。，則有再利用勾股定理證明4W_LP。，

再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可得證；

(2)過(guò)，”作交力。于點(diǎn)N,利用面面垂直的性質(zhì)證明M'U平面力8。，再根據(jù)梭錐的體積公

式即可得解；

(3)過(guò)N作NHLBC交BC于點(diǎn)H,則/MHN即為二面角的平面角，再解RtZXMN”即可.

【詳解】(1)?；CD上AD,平面0/OJ_平面力8cO,CQu平面力8C。，

平面P<Oc平面ABCD=AD,

\CD-平面PAD,

又由V/u平面產(chǎn)力。，vCZ)1,

又?：AD=2DM=2,Z.ADP=60°,

由余弦定理得AM2=AD2+DM2-2AD-DMcos60°=3,

則力。2+4必2=0必2,.AMLPDr

又產(chǎn)。cCZ)=DPQ,CZ)u平面PC。，

?.TM_L平面PC。；

(2)過(guò),“作腸VINO,交/。干點(diǎn)N.

因?yàn)槠矫鍼/Q_L平面力8CO,平面平面48CO=4￡),AWu平面P力。，

A

所以MNl平面48。，則MN=2,

2

所以尸)/ABD=-X-X2X2X—=—；

"一3223

(3)過(guò)N作NHLBC交BC于點(diǎn)H,連接HM,

因?yàn)镸N_L平面力8。，8。匚平面48。，

所以A/NJ_8C,

則工MHN即為二面角M-8C-4的平面角，

在RtZXMN〃中，MN=2,NH=2,所以tan//W〃N=蟲(chóng)，

24

所以二面角的正切值為正.

4

4.（2023浙江）如圖，在二棱錐?一力8。中,241平面力灰〕，AC1BC,PA=AC=\,BC=Q.

⑴求三棱錐P-48C的體積；

（2）求證：平面P4C_L平面P8C；

⑶設(shè)點(diǎn)。在棱P4上，AD=CDt求二面角力-力。-4的正弦值.

【答案】（1）也

（2）證明見(jiàn)解析

(3)g

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求二面角、證明面面垂直

【分析】（1）先求出底面積，再利用體積公式求解體積即可.

（2）先利用線(xiàn)面垂直判定定理得到4C_L平面0/C,再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.

（3）合理作圖，找到二面角的平面角，利用三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)榱_L8C,4C=1,8C=及,

所以S.=-ACBC=-x\x42=—

BC222f

因?yàn)镼4_L平面48C,

所以三棱錐P-/1BC的體積=交=1.

326

(2)因?yàn)镻4J_平面相C,8Cu平面P8C,

所以4_L8C,又ACJ_8C,"c/C=4

PA4Cu平面PXC,所以，C_L平面PAC,

因?yàn)?Cu平面PBC，所以平面PAC1平面PBC.

(3)

過(guò)點(diǎn)。作。E工48于E,取4c的中點(diǎn)/，連接所，

因?yàn)?1_L平面ABC,PAu平面PAB、所以平面PAB±平面ABC,

又平面PABC平面ABC=AB、DEu平面PAB,

所以QE_L平面ABC.DE//PA,

因?yàn)榱Α?CD且"是力。的中點(diǎn)，

所以_1.力。,4。_1。民。尸八?！?。,4。_1.平面0.，

E尸J.力C,所以/。氏E是二面角。一月。一8的平面角，

因?yàn)椤晔琠14。,月。_18。,尸是力。的中點(diǎn)，所以E是/旭的中點(diǎn),

又DEHPA,所以。是心的中點(diǎn)，

在中，DF=yjDE2+EF2=,I-+-=—,

V442

所以sin/。尸石=照=系=。,即二面角。一/。一4的正弦值為由.

DI7V333

T

5.(2023浙江)如圖，在三棱柱48。-48'C'中，已知C8_L平面438'/1',力3=2,且48_L4叫力'C_L力笈.

⑴求力力’的長(zhǎng)；

(2)若。為線(xiàn)段4C的中點(diǎn)，求二面角力-"U-。的余弦值.

【答案】(1)2

口嚕

【知識(shí)點(diǎn)】求二面角、證明線(xiàn)面垂直

【分析】

（1）根據(jù)題意可得力8'JL平面43。，進(jìn)而分析可知488W正方形，即可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意利用補(bǔ)形法分析可得二面角力-"C-Q的平面角為4"。，利用余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】（1）連接H4,

因?yàn)镃8_L平面力4*（=平面力88卬，則C8J./18',

又因?yàn)?'C_L，48',/CICB=CtWC,C8u平面力力。，

所以48'"L平面"AC,

且,47?u平面H8C,可得/1ZT_LH4,

因?yàn)?8AW為平行四邊形，且貝為矩形，

所以488W正方形，可得〃=48=2.

（2）根據(jù)題意將三棱柱轉(zhuǎn)化為正四棱柱/18CE-H*CE,

取慮,45的中點(diǎn)P,0,連接PQCRB'。,則R。,。三點(diǎn)共線(xiàn)，且PQ〃BC,

因?yàn)锽CU/BC,可得尸Q〃8'C',

所以平面BCD即為平面PQBC,

同理平面C'即為平面AB'CE,

因?yàn)?C'〃5C,C81平面川弘T.4',貝!]8'C'_L平面力84W,

且AB；B'Qu平面ABB'A1,則B'CLAB\BrC1B'Q,

所以二面角力-"C—。的平面角為乙18'。,

可得B/=2AQ=1,&Q=后,

+BQ-越8+5-13x/Ib

在△48。中，則cos/490==

2B'AB'Q2x2V2x>/5

所以二面角A-BC-D的余弦值為唾.

6.（2023湖南）如圖所示，平面48/芭J_平面,44。。，四邊形,4EF8為矩形，BC//AD,ABLAD,

AE=AD=2AB=4,BC=2.

E

（1）求多面體488七廠(chǎng)的體積；

（2）求二面角F-CD-A的余弦值.

【答案】（1）￡40

*

【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線(xiàn)面垂直、證明線(xiàn)面垂直、求組合體的體積、求二面角

【分析】（1）通過(guò)割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積計(jì)算公式求得正確答案.

（2）作出二面角尸-。。一4的平面角，進(jìn)而計(jì)算出其余弦值.

【詳解】（1）如圖，連接

???四邊形力上，"為矩形，

/.AE1AB,BFA.AB,

???平面平面ABCDf平面尸c平面ABCD=AB,

/Eu平面/，8/u平面力6￡/，

???4E_L平面力〃CO,"產(chǎn)_L平面44C。，

???4￡)u平面48CO,

AAE±AD,

又AD1AB,AB^AE=A.AB,2Eu平面,

???/0_L平面

1132

枝鏤?印8=1S矩形的8-JD=-x4x2x4=—,

V