第3節(jié)統(tǒng)計模型

課標要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解一元線性回歸模型和2義2列聯(lián)表，會運用這些

方法解決簡單的實際問題.

知識診斷自測

【知識梳理】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

⑴相關(guān)關(guān)系的分類:正相關(guān)和負相關(guān).

⑵線性相關(guān):如果變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫,則稱x與y線性相關(guān).

一般地,如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個變量非線性甩關(guān)或曲線

相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

⑴相關(guān)系數(shù)，的計算

變量x和變量歹的樣本相關(guān)系數(shù)〃的計算公式如：

—T)Cy：—y)—〃了方

r-1

(2)相關(guān)系數(shù)〃的性質(zhì)

?|r|<1,且y與x正相關(guān)的充要條件是/>0,y與x負相關(guān)的充要條件是r<0;

②M越小,說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱,也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價值,即方程越

不能反映真實的情況;，|越大,說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越強,也就是得出的回歸直線方程越

有價值；

③舊=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點都在回歸直線上.

3.一元線性回歸模型

⑴我們將?毋什&稱為歹關(guān)于“的回歸直線方程，其中

X(n：一—)(y—~y)nx~y

jf?=1r?=1

b=--------------------------=-;----------------

2

<X(j'i-T)￡?；-〃亍

i"1i-l

a=y~bx.

(2)殘差:觀測值減去預(yù)測值,稱為殘差.

⑶決定系數(shù)

＜、-2

R2=1?，1M1VlR2越大,即擬合效果越好,火2越小,模型擬合效果越差.

4?列聯(lián)表與獨立性檢驗

(1)2x2列聯(lián)表和72

如果隨機事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2x2列聯(lián)表如下.

AA總計

Baba+b

Bcdc+d

總計a+cb+da^-b^-c+d

記〃=〃+/)+c+d,則

n(ad-bc')^

『(u+/，Kc+dKu+c)(〃+d)'

⑵獨立性檢驗

要推斷7與B有關(guān)系”可按下面的步驟

①作2x2列聯(lián)表.

②根據(jù)2x2列聯(lián)表計算亡的值.

③獨立性檢驗：i.若X2》成立,就稱在犯錯誤的概率不超過。的前提下,可以認為4與B不獨立(也稱

為/與8有關(guān));或說有乜的把握認為/與8有關(guān).ii.若片＜k成立,就稱沒有1㈤的把握認為A與B

有關(guān)這一過程通常稱為獨立性檢驗.

統(tǒng)計學(xué)中,常用的顯著性水平a以及對應(yīng)的分位數(shù)左如表所示

a=P(/>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.求解線性回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a,b,應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點的中心（元y）.

2.根據(jù)三的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度,若72越大,則兩個分類變量有關(guān)的把握越大.

3.回歸分析和獨立性檢驗都是基于成對樣本觀測數(shù)據(jù)進行估計或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯誤.

4.基于小概率值G的檢驗規(guī)則是：

當尤力工〃時，我們就推斷“。不成立，即認為X和丫不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過a;

當時，我們沒有充分證據(jù)推斷〃。不成立，可以認為x和丫獨立.

下表洽出了*2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“4”或“X”）

（1）散點圖無法判斷兩個變量是否相關(guān).（）

（2）通過線性回歸方程齊加+G可以估計預(yù)報變量的取值和變化趨勢.（）

（3）只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系,所得到的回歸模型才有預(yù)測價值.（）

（4）事件X,丫關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的/的值越小.（）

答案⑴X（2）7（3）4（4）X

解析（1）散點圖是判斷兩個變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段.

（41的值越大,相關(guān)性越強,關(guān)系越密切.

2.（人數(shù)B選修二Pl21T3原題）已知變量工和y滿足關(guān)系產(chǎn)-0.Lt+1,變量y與z正相關(guān)下列結(jié)論中

正確的是（）

A.x與y負相關(guān),x與z負相關(guān)

B.x與丁正相關(guān),x與z正相關(guān)

C.x與y正相關(guān),x與z負相關(guān)

D.x與y負相關(guān),x與z正相關(guān)

答案A

解析因為所以x與y負相關(guān)，

又因為變量y與z正相關(guān)，所以二與z負相關(guān).

3.（蘇教選修二Pl69Tl改編）某小吃店的日盈利興單位:百元）與當天平均氣溫x（單位:℃）之間有如下

數(shù)據(jù):

x/℃-2-1012

元54221

甲、乙、丙3位同學(xué)對上述數(shù)據(jù)進行了分析，發(fā)現(xiàn)》與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，下列回歸方程正

確的是（）

A介-x+2.8B.y=-x+3

C.y=-1.2x+2.6D.y=x-0.8

答案A

解析計算得W（-2T+0+1+2）=0,

歹=a5+4+2+2+1尸2.8,

回歸直線必過（0,2.8）,故只有A項滿足.

4.（人教A選修三P139T3改編源據(jù)分類變量x與），的觀測數(shù)據(jù),計算得到上=3.974.依據(jù)廿0.05的獨

立性險驗,結(jié)論為x與y.（填獨立、不獨立）,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過.

附:

a=P(/2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案不獨立0.05

解析因為3.974>3.841,即認為X/不獨立,

這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05.

考點聚焦突破

考點一相關(guān)性檢驗

例1（1）（2024?上海卷）已知沿海地區(qū)氣溫和海水表層溫度相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正

確的是（）

A.沿海地區(qū)氣溫高,海水表層溫度就高

B.沿海地區(qū)氣溫高,海水表層溫度就低

C.隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

答案C

解析因為沿海地區(qū)氣溫和海水表層溫度相關(guān),且樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，

所以隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高,海水表層溫度呈上升趨勢,故選C.

⑵Q025?石家莊質(zhì)檢)某興趣小組研究光照時長Mh)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量p(顆)之間的關(guān)系，采集

5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖.若去掉。(10,2),則下列說法正確的是()

E(8.11)

8(2,6)

/*C(3.5)

A(l,4).

____________Q(10,2)

~o\_______________Z

A.相關(guān)系數(shù)廠變小

B.決定系數(shù)笈變小

C.殘差平方和變大

D.解釋變量x與預(yù)報變量》的相關(guān)性變強

答案D

解析可知點D偏離程度較大,去掉點D后,相關(guān)系數(shù)〃變大,決定系數(shù)W變大,殘差平方和變小,

解釋變量x與預(yù)報變量歹的相關(guān)性變強.故選D.

思維建模判定兩個變量相關(guān)性的方法

(1)畫散點圖:點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān);點的分布從左上先到右下角，兩個變量

負相關(guān).

(2)樣本相關(guān)系數(shù):當r>0時,正相關(guān);當/<0時，負相關(guān)州越接近于1,相關(guān)性越強.

(3)決定系數(shù)法:利用決定系數(shù)判定,上越接近1,模型的擬合效果越好,相關(guān)性越強.

訓(xùn)練1(1)(2023?天津卷)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)

-0.8245,下列說法正確的是()

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性

B.花瓣長度和花萼長度呈負相關(guān)

C.花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

答案C

解析因為相關(guān)系數(shù)尸0.8245〉0.75,所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較強,并且呈正相關(guān)，所以

A,B錯誤,C正確；

因為相關(guān)系數(shù)與樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以當樣本發(fā)生變化時，用關(guān)系數(shù)也會發(fā)生變化,所以D錯誤.

⑵在一組樣本數(shù)據(jù)（XI,yi）,（X2，歹2）,…,（X〃，V”）（〃22,X1,X2,…不全相等）的散點圖中，若所有樣本點

（幾詡（口1,2,）都在直線產(chǎn)一夕+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A-lB.0

egD.1

答案A

解析因為樣本點在直線尸3+1上，呈現(xiàn)完全負相關(guān),樣本相關(guān)系數(shù)為-1.

教考銜接相關(guān)系數(shù)與散點圖的聯(lián)系

1.教材母題（1）（人教A選修三P101例2）有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的

總和）與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù),如表所示.

第〃年12345678910

居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

畫出故點圖,推斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān),并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷A商品銷售額與居民年收

入的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.

（2）（湘教選修二P166T1）對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,獲得以下散點圖（如圖），將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)

進行比較，正確的有（）

相關(guān)系數(shù)為Q

A/2,4〈0V門〈門B.r4<r2<0<n</*3

C/4<r2<0〈r3〈門D.r2<r4<0</*i<n

2.散點圖與樣本相關(guān)系數(shù)在反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)關(guān)系及相關(guān)程度時具有相同的作用才

的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性,在散點圖中則表現(xiàn)為上升或下降;|”的大小反映了線性相關(guān)的強

弱程度，在散點圖中的表現(xiàn)為數(shù)據(jù)點集中于一條直線附近的程度.

典例（2024?天津卷）下列圖也線性相關(guān)系數(shù)最大的是（）

解析選項A中的散點有明顯的從左下角到右上角沿直線分布的趨勢，且散點集中在一條直線的

附近,故選項A中的線性相關(guān)系數(shù)最大,故選A.

考點二回歸分析

角度1線性回歸分析

例2（多選）（2025?廈門質(zhì)檢）為了預(yù)測某地的經(jīng)濟增長情況,某經(jīng)濟學(xué)專家根據(jù)該地2025年1?6月

的GDP數(shù)據(jù)y（單位:百億元）建立了一元線性回歸模型，根據(jù)最小二乘法得到的線性回歸方程為

y=0.42x+a,其中解釋變量x指的是1?6月的編號,其中部分數(shù)據(jù)如表所示：

時間1月2月3月4月5月6月

編號X123456

億元歹211.107

66

(參考數(shù)據(jù):2久=796,￡8-歹)2=70)

*=1/=1

則下列說法正確的是()

A.線性回歸直線經(jīng)過點(3.5,11)

B.6=10.255

C.根據(jù)該模型，該地2025年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元

D.第4個樣本點(&/4)的殘差為0.103

答案AC

解析對于A,%=1x(1+2+3+4+5+6)=3.5,

666

??N才=796,廠歷2=￡*一61=70,

；=i?=i?=i

:.796-6/=70,則產(chǎn)11,

?,?該線性回歸直線經(jīng)過樣本點的中心(3.5,11),???A正確；

對于B,11=0.42X3.5+6,則6=9.53,???B錯誤；

對于C,y=0.42x+9.53,當x=12時,夕=14.57,

???該地2025年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元.,?C正確；

對于D,當尸4時,夕=11.21,相應(yīng)于點(x“4)的殘差為11.107-11.21=-0.103,...D錯誤.

角度2非線性回歸分析

例3(2025?湖州質(zhì)檢)一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品,通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本.為了調(diào)查

年技術(shù)創(chuàng)新投入M單位:千萬元)對每件產(chǎn)品成本為單位:元)的影響,對近10年的年技術(shù)創(chuàng)新投入汨

和每件產(chǎn)品成本2,3,…，10)的數(shù)據(jù)進行分析,得到如下散點圖,并計算

101010

得:歹=6.8,歹=70,￡-=3,￡才16￡班350.

i=lXii=l貨i=lXi

每件產(chǎn)品成本/元

250

200,

150.

100?

5。???,???..

2468101214

年技術(shù)創(chuàng)新投入/千萬元

（1）根據(jù)散點圖可知,可用函數(shù)模型擬合y與X的關(guān)系，試建立y關(guān)于X的回歸方程；

⑵已知該產(chǎn)品的年銷售額〃7（單位:千萬元）與每件產(chǎn)品成本N的關(guān)系為〃尸-介2+黑+1。0?該企業(yè)

的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入,還要投入其他成本10千萬元,根據(jù)（1）的結(jié)果回答:當年技術(shù)創(chuàng)

新投入X為何值時,年利潤的預(yù)報值最大？

（注:年利潤=年銷售額-年投入成本）

））

參考公式:對于一組數(shù)據(jù)V|,U/2,V2,（un,丹）,其回歸直線沃企的斜率和截距的最小二乘估

計分別為

n

Y.UjVi-iiuv

------，a=v-pu.

￡葭｝-疝2

解⑴令則y關(guān)于〃的線性回歸方程為9=6+而，

依題意,得

10

10uy

350-210

p=^---------=200,

1.6-0.9

Suf-10u2

f-i

a=y-^u=70-200X0.3=10,

則9=10+200”，

所以y關(guān)于x的回歸方程為9=10喋.

（2）由尸10號，得x湍，

年利潤M=m-x~l0

=_八2曠+2。。衛(wèi)”

50025y-10y-10

二一嬴一20）2+90.8

當尸20時,年利潤"取得最大值,

,Lizn-4.200200

此時，二】。一2?！?一20,

所以當年技術(shù)創(chuàng)新投入20千萬元時，年利潤的預(yù)報值最大.

思維建模1.求線性回歸方程

(1)當兩個系數(shù)均未知時,可利用公式法求解；

(2)當兩個系數(shù)已知一個求另一個時，可利用回歸直線過樣本點的中心求解.

2.非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的方法

⑴若9=a+8a,設(shè)片反則夕=。+她

⑵若滿足對數(shù)式:夕=。+川nX,設(shè)HnX,則#=。十幾

⑶若滿足指數(shù)式：夕=口。。2「兩邊取對數(shù)得jngmci+o,設(shè)z=lnyfa=\nc\,b=C2,則z=a+〃x.

3.模型擬合效果的好壞可由殘差平方和、殘差圖、決定系數(shù)k等進行判斷.

訓(xùn)練2(1)(2025?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，對表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)y與x之

間具有線性相關(guān)關(guān)系,利用最小二乘法,計算得到線性回歸方程為9=0.8升4,據(jù)此模型預(yù)測當x=10

時5＞的值為.

X56789

y3.54566.5

答案7.4

解析由題表數(shù)據(jù),得5-5+6+；8+力7,

因為戔性回歸直線夕=08什6過樣本點的中心(7,5),

所以5=0.8X7+a,解得a=—0.6,

當x=10Kt,y=0.8X10-0.6=7.4.

⑵已知X和V的散點圖如圖所示，在相關(guān)關(guān)系中，若用片門所21擬合時的決定系數(shù)為后，用g放+&擬

合時的決定系數(shù)為膨,則好,賬中較大的是.

3()0()，

2500,

2(XK),

15(M)?

1(MX)*.

5(M)............：2??一

01234567?91()x

答案培

解析由散點圖知，用戶CM》擬合的效果比

5＞=標+6擬合的效果要好，

所以解＞腐，故較大者為朋.

考點三獨立性檢瞼

例4(2024?全國甲卷改編)某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造.升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車

間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗,數(shù)據(jù)如下：

不合格

優(yōu)級品合格品總計

品

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

(1)填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

依據(jù)小概率值。=0.050的獨立性檢驗,能否認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異?依據(jù)小概率

值a=0.010的獨立性檢驗,結(jié)果又如何呢？

(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5.設(shè)萬為升級改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如

果萬＞P+1.65/耍,則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為

生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工「產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了?(再之12.247)

叫獷(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'〃a°ca-

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Xa

解⑴填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間2624

乙車間7030

完整的2X2列聯(lián)表如下:

優(yōu)級品非優(yōu)級品總計

甲車間262450

乙車間7030100

總計9654150

作出零假設(shè)兒：甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率沒有差異.

2hl50x(26x30-70x24)2797、

才96x54x50x100,

所以XO,O5O=3.841<Z2=4.6875<6.635=XO.OIO,

那么依據(jù)小概率值所0.050的獨立性檢驗,可推斷，。不成立,

甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率有差異,

這種犯錯誤的概率不超過0.05.

而依據(jù)小概率值。=0.010的獨立性檢驗,我們沒有充分證據(jù)準斷〃。不成立,

即認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率沒有差異.

（2）由題意可知力嗜;0.64,

又p+1.65/詈=0.5+1.65XJ史奇瑪）.5+1.65X溪尸）.57,

所以戶叩+L65正耍，所以能認為生產(chǎn)線智能化升級改造后,該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.

思維建模獨立性檢驗的一般步驟

⑴根據(jù)樣木數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表.

（2）根據(jù)公式三n(ad-bc)2咨

(a+bXc+dXa+c)(b+d)ir舁'

（3）比較三與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷.

訓(xùn)練3某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次,

整理數(shù)據(jù)得到下表（單位:天）:

鍛煉人次

空氣質(zhì)量等級

[0,200](200,400](400,600]

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;

(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱

這天“空氣質(zhì)量不好”根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2x2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,能否有99%的把握,認

為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)。

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不

好

附片■然抵兩…心源.

o.=P(/2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解(1)由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計值如表:

空氣質(zhì)量等級1234

概率的估計值0.430.270.210.09

(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為原100X20+300X35+500X45)=350.

(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2X2列聯(lián)表：

人次＜400人次＞400

空氣質(zhì)量好3337

空氣質(zhì)量不好228

根據(jù)列聯(lián)表得於嘿鬻登匕5.82。，

因為尸0在3.841尸0.05,因為P(z*.635)=0.0L由于5.820＜6.635,所以沒有99%的把握認為一天中到

該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).

課時對點精練

一、單選題

1.某機構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異,通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計:在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游,

在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游.若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時，用下列最適合的統(tǒng)計方法

是（）

A.均值B.方差

C.獨立性檢驗D.回歸分析

答案C

解析由題意可知，“愛玩網(wǎng)游”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨立性檢臉判斷.

2.已知某校50名學(xué)生的身高與體重的散點圖如圖所示,則下列說法正確的是（）

A.身高越高，體重越重

B.身高越高，體重越輕

C.身高與體重成正相關(guān)

D.身高與體重成負相關(guān)

答案C

解析由題圖可知，身高越高的體重不一定就越重或越輕,但總體上來說,樣本學(xué)生的身高和體重之

間具有明顯的相關(guān)性,個子高的學(xué)生往往更重一些,所以身高與體重成正相關(guān).故選C.

3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對a〃兩個變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得

樣本相關(guān)系數(shù)〃與殘差平方和也如下表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

m106115124103

則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A,B兩個變量有更強的線性相關(guān)性?（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案D

解析丫的絕對值越大,〃7越小,線性相關(guān)性越強.

4.（2025?黃岡模擬）在一組樣本數(shù)據(jù)（xi,川）,（工2，歹2）,…,（X〃,%）（〃22E,X2,…,x〃互不相等）的散點圖中,

若所有樣本點8,“）（i=i,2,…,〃）都在直線尸點~5上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

c.-lD.l

答案D

解析由題意可知，所有樣本點（無,〃）（i=l,2,…,〃）都在直線尸9-5上，

則這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，且祥本相關(guān)系數(shù)為1.

5.（2025?濟寧質(zhì)檢）根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù),計算得到上=6.147.依據(jù)犯錯誤的概率不超

過0.01的獨立性檢驗,具中次.635）=0.01,下列結(jié)論正確的為（）

A.變量x與y不獨立

B.變量x與〉不獨立,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01

C變量x與〉獨立

D.變量x與y獨立,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01

答案C

解析按照獨立性檢驗的知識及比對的參數(shù)值，

當爐=6.147,我們可以下結(jié)論變量x與y獨立.故排除A,B;

依據(jù)犯錯誤概率不超過0.01的獨立性檢驗,次.635尸0.01,6.147V6.635,所以我們不能得到“變量

x與J獨立,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01”這個結(jié)論,故C正確,D錯誤.

6.根據(jù)如表樣本數(shù)據(jù)：

X23456

y42.5-0.5-2-3

得到的線性回歸方程為分法+6,則（）

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,S>0D.a<0,6<0

答案B

解析由表中的數(shù)據(jù)可得，變量y隨著-r的增大而減小,則&0,5一2+3+：+5+6—4,

—4+2.5-0.5-2-3八△

y=-----；-----=0.2,

又線性回歸方程9=加+a經(jīng)過樣本點中心（4,0.2）,可得a>0.

7.某醫(yī)院為了提高服務(wù)水平和病人滿意度,對一周前出院的病人進行電話回訪,主要涉及住院期間

護士的服務(wù)態(tài)度、醫(yī)生是否收取紅包、對醫(yī)阮有什么建議等問題.某天上午回訪的5人中，通話時

間（單位:秒）如表所示：

序號X12345

時間y376521m32

根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程g加+40.9.據(jù)此求出（5,32）殘差為-7.4,見〃?=（）

（殘差=實際值-觀測值）

A.45B.25

C.37D.7

答案A

解析由題知，當尸5時，

5>=5加40.9=32+7.4=39.4,

解得分=-0.3,

所以y關(guān)于x的回歸方程為夕=-（）.3%+40.9.

當x=x=3時，

y=y=-0.3X3+40.9=40,

所以1X（37+65+21+〃z+32戶40,

解得45,故選A.

8.（2025?成都診斷）設(shè)兩個相關(guān)變量x和y分別滿足表:

Xi2345

yi28816

若相關(guān)變量x和y可擬合為非線性經(jīng)驗線性方程夕=26叱則當x=6時，歹的估計值為（）

附:對于一組數(shù)據(jù)（"I,V|）,（Z/2,V2）,???,（liny%）,其線性回歸直線方=6+&"的斜率和截距的最小二乘估計

n

2UlVj—HUP

公式分別為

a=v-^u;1.155~2.

A.33B.37

C.65D.73

答案B

解析因為非線性經(jīng)驗回歸方程為夕=2〃叫

則有l(wèi)og2y=Z>x+a,

令log2y=v,S^v=bx+a,

列出殂關(guān)變量xj,n關(guān)系如表:

X12345

y128816

V01334

5

所以EXM=0+2+9+12+20=43,

i=l

-1+2+34-4+5

X=-------------

5

0+1+3+3+411

v=~~5F

5

2靖=1+4+9+16+25=55,

?=1

￡勺%—5又萬43-5x3x4

所以B上——=---------------2,=|

ixj-Sx255-5x9

1=1

所以今=萬-B兄邛-3=-1

所以宏=X-^

即1。82夕=廠［即5>=2"飛，

因為1.155=2,所以2%.15,

,4261

當x=6時,y=26~=2V=25-2=25X2況23XI.15=36.8-37.

二、多選題

9.（2025?唐山模擬）為研究光照時長x（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量興顆）之間的關(guān)系,某課題研究小組采集

了10組數(shù)據(jù),繪制散點圖如圖所示,并進行線性回歸分析,若去掉點。后，下列說法正確的是（）

A.相關(guān)系數(shù)廠變小

B.經(jīng)驗回歸直線斜率變小

C.殘差平方和變小

D.決定系數(shù)必變小

答案BC

解析由散點圖可知,x與y呈正相關(guān)，

所以殂關(guān)系數(shù)/>0,

點P相對于其他點來說比較異常，

所以去掉點月后相關(guān)性更強，

所以相關(guān)系數(shù)〃變大，所以A錯誤；

因為點。相對于其他點來說比較靠上，

所以去掉點P之后經(jīng)驗回歸直線的斜率變小，所以B正確：

去掉點尸后，其他點均在一條直線附近，所以殘差平方和變小,決定系數(shù)代變大，所以C正確,D錯

誤.

10.（2025?青島調(diào)研）為研究混凝土的抗震強度y與抗壓強度x的關(guān)系,某研究部門得到卜.表的樣本

數(shù)據(jù):

140150170180195

y2324262828

若p與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為5M）.lx+a,則下列說法正確的是（）

A.a=9.i

B.當x增加1個單位時,y增加約0.1個單位

C.y與x正相關(guān)

D.若抗壓強度為220時,抗震強度一定是33.1

答案ABC

140+150+170+180+195

解析由題意可得土==167,

5

23+24+26+28+28

=25.8,

y5

所以25.8=0.1X167+a,解得6=9.1,

所以線性回歸方程為5>=0.lx+9.1,A正確；

對于B,由9=0.lx+9.1,可知當x增加一個單位時,歹增加約0.1個單位,B正確;

對于C,因為0.00,所以），與x正相關(guān),C正確；

對于D,當尸220時,夕=0.1X220+9.1=31.1,抗震強度約為31.1,D錯誤.

11.（2025?南昌模擬）為了解中學(xué)生喜愛足球運動與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機抽

取了本校部分學(xué)生進行調(diào)查,得到如下兩個表格：

甲校樣本

喜愛足球運動不喜愛足球運動合計

男性15520

女性81220

合計231740

乙校樣本

喜愛足球運動不喜愛足球運動合計

男性7030100

女性4555100

合計11585200

則下列判斷中正確的是（）

A.樣本中，甲校男學(xué)生喜愛足球運動的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運動的比例

B.樣本中，甲校女學(xué)生喜愛足球運動的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運動的比例

C對于甲校樣本，依據(jù)犯錯誤的概率不超過0.01的獨立性檢驗，能認為中學(xué)生喜愛足球運動與性別

有關(guān)

D.對于乙校樣本，依據(jù)犯錯誤的概率不超過0.01的獨立性檢驗，能認為中學(xué)生喜愛足球運動與性別

有關(guān)

參考公式及數(shù)據(jù):/7+盛篝片〃+人H"?

a=P(/2>k)0.10.010.001

k2.7066.63510.828

答案AD

解析對于A,甲校男學(xué)生喜愛足球運動的比例為黑，乙校男學(xué)生喜愛足球運動的比例為親

quozuuzuo

故A正確;

對于B,甲校女學(xué)生喜愛足球運動的比例為黑，乙校女學(xué)生喜愛足球運動的比例為念宗,故B

不正確；

40x(15x12-5x8)2

對于C,因為必W013V6.635,

20x20x23x17

所以對于甲校樣本、依據(jù)犯錯誤的概率不超過0.01的獨立性檢驗，故C不正確;

對于D,必_200x(70x55-30x45)2

100x100x115x85

~12.788>6.635,

所以對于乙校樣本，依據(jù)犯錯誤的概率不超過0.01的獨立性檢驗，即認為中學(xué)生喜爰足球運動與性

別有關(guān).故D正確.

三、填空題

12.為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉,用簡單隨機抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生，得到

如下2X2列聯(lián)表:

男女合計

喜歡ab73

不喜歡C25

合計74

則a-b-c等于

答案9

解析根據(jù)題意,可得c=120-73-25=22,〃=74-22=52,6=73-52=21,

a-b-c=52-21-22=9.

13.咽拭子檢測是一種醫(yī)學(xué)檢測方法,用醫(yī)用棉簽從人體的咽部蘸取少量分泌物進行檢測,可以了解

患者病情、口腔黏膜和咽部感染情況.某地區(qū)醫(yī)院的醫(yī)務(wù)人員統(tǒng)計了該院近五天的棉簽使用情況，

具體數(shù)據(jù)如表所示：

r（單位:天）第1天第2天第3天第4天第5天

y（單位:袋）1524364456

根據(jù)以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)歹與Z呈線性相關(guān),其線性回歸方程為5>=10.2什6,則估計第8天使用的棉簽袋數(shù)

為.

答案86

解析因為沒1+2+3+4+5二3

5

-15+24+36+44+56”

y=------；-------=35,

所以4=35-10.2義3=4.4,

所以夕=102+4.4.

當/=8時,當10.2X8+4.4=86.

14.（2025?廣州模擬）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重做單位:克）與心率/（單位:次/

分鐘）的對應(yīng)數(shù)據(jù)（//）（i=l,2,…,8）.根據(jù)生物學(xué)常識和散點圖得出了與〃近似滿足尸女為參

8

數(shù)）.令x尸In憶/尸In/,計算得元=8,戶5,￡必=214.由最小二乘法得線性回歸方程為夕=認+7.4，則々

/=1

8

的值為；為判斷擬合效果,通過線性回歸方程求得預(yù)測值%（=1,2,…,8）,若殘差平方利E

/=1

￡（y~yi）2

3「盼乜）.28,則決定系數(shù)〃左.（參考公式:決定系數(shù)上=1+------）

E3一刃2

答案-0.30.98

解析將H8,歹=5代入線性回歸方程后私+7.4,

得5=8b+7.4,

解得$=-0.3,所以^=-0.3;

Z8廠歹產(chǎn)&廠1)2+&2一歹/+…+儂一1)2=於+於+???+嵬一2歹81七2十???+詞+8歹2=式+羽+???十城一

?=1

)8

2y-8y+8y=Syf_8y,

/=i

方(%-%)2f(7L%)2

0.28

所以收=上——-1^-------1-2=0.98.

t(y-y)2Eyf-8y2214-8x5

r=li=l

四、解答題

15.（2022?全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，己將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木

的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木