安徽省黃山市屯溪區(qū)第一中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列說法或運(yùn)算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角”時(shí)需設(shè)“一個(gè)三角形沒有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切2．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.3．實(shí)數(shù)且，，則連接，兩點(diǎn)的直線與圓C：的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定4．空間直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)t點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B.C. D.6．已知F是雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸近線上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的面積為（）A.1 B.C. D.7．已知直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣28．已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，橢圓C上有一點(diǎn)P，則的周長(zhǎng)為（）A.8 B.10C. D.129．設(shè)是兩個(gè)非零向量，則“”是“夾角為鈍角”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知點(diǎn)，，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.11．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為8，且一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，則該橢圓的左頂點(diǎn)為（）A B.C. D.12．過橢圓+=1左焦點(diǎn)F1引直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)是（）A.20 B.18C.10 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸：反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線，經(jīng)C上點(diǎn)P反射后交C于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)度為______.14．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________15．已知5件產(chǎn)品中有2件次品、3件合格品，從這5件產(chǎn)品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______.16．橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面中心，，為中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值18．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）證明：平面平面19．（12分）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，且，求的最小值.20．（12分）已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）在中內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且（1）求角A（2）若，，求的面積22．（10分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，且（1）求拋物線的方程；（2）經(jīng)過焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)．若，分別是線段，的中點(diǎn)，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】對(duì)于A：可以解決；對(duì)于B:“一個(gè)三角形至少由兩個(gè)銳角”的反面是“只有一個(gè)銳角或沒有銳角”；對(duì)于C：全稱否定必須是全部否定；對(duì)于D：需要觀察出所給直線是過定點(diǎn)的.【詳解】A：，故錯(cuò)誤；B：“一個(gè)三角形至少由兩個(gè)銳角”的反面是“只有一個(gè)銳角或沒有銳角”，所以用反證法時(shí)應(yīng)假設(shè)只有一個(gè)銳角和沒有銳角兩種情況，故錯(cuò)誤；C：的否定形式是，故錯(cuò)誤；D：直線是過定點(diǎn)（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點(diǎn)（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故正確；故選：D.2、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A3、B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點(diǎn)的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D.5、D【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，，令，解得或，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D6、B【解析】根據(jù)給定條件求出，再利用余弦定理求出即可計(jì)算作答.【詳解】雙曲線C：中，，其漸近線，它與x軸的夾角為，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面積為.故選：B7、B【解析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，計(jì)算求得a的值【詳解】∵直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，故選：B8、B【解析】根據(jù)橢圓的定義可得：，所以的周長(zhǎng)等于【詳解】因?yàn)椋?，所以，故的周長(zhǎng)為故選：B9、B【解析】因?yàn)闀r(shí)，夾角為鈍角或平角；而當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，成立，所以“”是“夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選B考點(diǎn)：1向量的數(shù)量積；2充分必要條件10、B【解析】由可求出直線過定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點(diǎn)，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：B11、D【解析】根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，即c=3，又橢圓的短軸長(zhǎng)為8，即b=4，所以橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的左頂點(diǎn)為，故選：D12、A【解析】根據(jù)橢圓的定義求得正確選項(xiàng).【詳解】依題意，根據(jù)橢圓的定義可知，三角形的周長(zhǎng)為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、####【解析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)以及拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得所在直線方程，聯(lián)立其與拋物線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線交拋物線于點(diǎn)，故對(duì)，令，則可得，也即的坐標(biāo)為，又拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標(biāo)為，則.故答案為：.14、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)15、##【解析】列舉總的基本事件及滿足題目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)5件產(chǎn)品中的次品為，合格品為，則從這5件產(chǎn)品中任取2件，有共10個(gè)基本事件，其中2件都是合格品的有共3個(gè)基本事件，故2件都是合格品的概率為故答案為：.16、【解析】根據(jù)橢圓定義求出其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可計(jì)算作答.【詳解】因橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，而半焦距，于是得短半軸長(zhǎng)b，有，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）（i）利用空間向量法可求得直線到平面的距離；（ii）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接，則為的中點(diǎn)，且，在正四棱錐中，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，因?yàn)?，則，又因?yàn)槠矫妫?，平?【小問2詳解】解：（i），所以，直線到平面的距離為.（ii），則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連結(jié)，易證，再利用線面平行的判斷定理即可證得答案；（2）利用線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判斷定理即可.【小問1詳解】連接交于，連接因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以為中點(diǎn)，因?yàn)樵谥?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面【小?詳解】側(cè)棱底面底面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?19、（1）（2）8【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，求得，同理求得，從而可求得的值，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)，則，等價(jià)于，曲線為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為，故曲線的方程為：；【小問2詳解】解：由題意可得直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，所以，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.20、（1）（2）【解析】(1)由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；(2)由題可得，利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【小問1詳解】三點(diǎn)共線，【小問2詳解】①②①—②得21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】，由正弦定理知，，即又，且．所以，由于．所以；【小問2詳解】由余弦定理得：，又，所以所以.22、（1）；（2）8.【解析】(1)寫出拋物線E的準(zhǔn)線，利用拋物線定義求出p即可作答.(2)由(1)求出焦點(diǎn)坐