浙江省東陽市東陽中學2026屆高二數學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.2．已知直線與直線垂直，則實數a為（）A. B.或C. D.或3．若雙曲線一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.4．已知等差數列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.135．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.16．已知橢圓的左、右焦點分別是，焦距，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.7．在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當和的長度都為最短時，的值是（）A. B.C. D.8．若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數n的取值A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于59．是等差數列，，，的第（）項A.98 B.99C.100 D.10110．實數且，，則連接，兩點的直線與圓C：的位置關系是（）A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定11．已知數據的平均數是，方差是4，則數據的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.412．已知為拋物線上一點，點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，則（）A.1 B.C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線方程是________.14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是______.15．已知實數，，，滿足，，，則的最大值是______16．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，且在處取得極值.（1）求的值；（2）當，求的最小值.18．（12分）已知直線經過兩條直線和的交點，且與直線垂直（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程19．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權.新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數.（2）根據調查，本次物理測試成績不低于60分的學生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.20．（12分）國家助學貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學校經濟困難學生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學習和日常生活費.從年秋季學期起，全日制普通本專科學生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學生甲在本科期間共申請到元的助學貸款，并承諾在畢業(yè)后年內還清，已知該學生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，此后工資不再浮動.（1）學生甲參加工作后第幾個月的月工資達到元；（2）如果學生甲從參加工作后的第一個月開始，每個月除了償還應有的利息外，助學貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，第個月償還剩余的本金.則他第個月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數據：；；）21．（12分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點，，分別為，，的中點，平面棱（1）試確定的值，并證明你的結論；（2）求平面與平面夾角的余弦值22．（10分）已知點A（，0），點C為圓B：（B為圓心）上一動點，線段AC的垂直平分線與直線BC交于點G（1）設點G的軌跡為曲線T，求曲線T的方程；（2）若過點P（m，0）（）作圓O：的一條切線l交（1）中的曲線T于M、N兩點，求△MNO面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列的通項公式和前項和公式，屬于基礎題.2、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.3、A【解析】根據（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），求解出的關系式，結合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線，因為（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關系.4、B【解析】根據等差數列下標的性質，，進而根據條件求出，然后結合等差數列的求和公式和下標性質求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數列，所以，又，又，聯立方程組解得：.于是，.故選：B.5、A【解析】利用兩直線垂直斜率關系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點睛】本題考查兩直線垂直間的關系，屬于基礎題.6、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點，得到直角和直角，設，則，根據橢圓的定義轉化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點，可得直角和直角，設，則，根據橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.7、A【解析】根據給定條件確定點M，N的位置，再借助空間向量數量積計算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點M在平面內，又，即，于是得點N在直線上，棱長為1的正四面體中，當長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，，而，，所以.故選：A8、B【解析】先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關系，即可判斷解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構成等邊三角形，成立；4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個點兩兩距離相等，構成一個正四面體，成立；若n＞4，由于任三點不共線，當n=5時，考慮四個點構成的正四面體，第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點評：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點的距離相等的情況，注意結合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關系，屬于中檔題和易錯題9、C【解析】等差數列，，中，，，由此求出，令，得到是這個數列的第100項【詳解】解：等差數列，，中，，令，得是這個數列的第100項故選：C10、B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據兩點式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了計算求解能力，屬于基礎題.11、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數據的方差為：.故選：B12、B【解析】先求出點的坐標，然后根據拋物線的定義和已知條件列方程求解即可【詳解】因為為拋物線上一點，所以，得，所以，拋物線的焦點為，因為點P到拋物線C的焦點的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，所以，化簡得，因為，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出函數的導函數，把代入即可得到切線的斜率，然后根據和斜率寫出切線的方程即可.【詳解】解：由函數知，把代入得到切線的斜率則切線方程為：，即.故答案為：【點睛】本題考查導數的幾何意義，屬于基礎題14、【解析】根據充分性和必要性，求得參數取值范圍，即可求得結果.【詳解】因為p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.15、10【解析】采用數形結合法，將所求問題轉化為兩點到直線的距離和的倍，結合梯形中位線性質和三角形三邊關系可求得答案.【詳解】由，，，可知，點在圓上，由，即為等腰直角三角形，結合點到直線距離公式可理解為圓心到直線的距離，變形得，即所求問題可轉化為兩點到直線的距離和的倍，作于于，中點為，中點為，由梯形中位線性質可得，，作于，于，連接，則，當且僅當與重合，三點共線時，有最大值，由點到直線距離公式可得，由幾何性質可得，，此時，故的最大值為.故答案為：10.16、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）對函數求導，則極值點為導函數的零點，進而建立方程組解出a,b，然后討論函數的單調區(qū)間進行驗證，最后確定答案；（2）根據（1）得到函數在上的單調區(qū)間，進而求出最小值.【小問1詳解】，因為在處取得極值，所以，則，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，時，，單調遞減，故為函數的極值點.于是.【小問2詳解】結合（1）可知，在上單調遞減，在上單調遞增，在單調遞減，而，所以.因為，所以.綜上：的最小值為.18、（1）（2）【解析】（1）由題意求出兩直線的交點，再求出所求直線的斜率，用點斜式寫出直線的方程；（2）根據題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標準方程【小問1詳解】解：由題意知，解得，直線和的交點為；設直線的斜率為，與直線垂直，；直線的方程為，化為一般形式為；【小問2詳解】解：設圓的半徑為，則圓心為到直線的距離為，由垂徑定理得，解得，圓的標準方程為19、（1），中位數為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數a，根據直方圖及中位數性質求中位數即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數分布情況，再應用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學生成績在的頻率為；學生成績在的頻率為.設這100名學生本次物理測試成績的中位數為，則，解得，故估計這100名學生本次物理測試成績的中位數為.【小問2詳解】由（1）知，學生成績在的頻數為，學生成績在的頻數為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績在的學生被抽取人，分別記為，，成績在的學生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.20、（1）；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）設甲參加工作后第個月的月工資達到元，根據已知條件可得出關于的不等式，結合參考數據可求得結果；（2）分析可知從第個月開始到第個月償還的本金是首項為為首項，以為公差的等差數列，計算出甲前個月償還的本金，再由甲第個月的工資可得出結論.【小問1詳解】解：設甲參加工作后第個月的月工資達到元，則，可得，，解得，所以，學生甲參加工作后第個月的月工資達到元.【小問2詳解】解：因為甲前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，所以，從第個月開始到第個月償還的本金是首項為為首項，以為公差的等差數列，所以，前個月償還的本金為，因為第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，所以，第個月的工資為元，因為，因此，甲第個月的工資不能足夠償還剩余的本金.21、（1），證明見解析（2）【解析】（1），利用線面平行的判定和性質可得答案；（2）以為原點，所在直線分別為的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夾角公式可得答案.【小問1詳解】.證明如下：在△中，因為點分別為的中點，所以//.又平面，平面，所以//平面.因為平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因為點為的中點，所以點為的中點，即.【小問2詳解】因為底面為正方形，所以.因為底面，所以，.如圖，建立空間直角坐標系，則，，，因為分別為的中點，所以.所以，.設平面的法向量，則即令，于.又因為平面的法向量為，所以所以平面與平面夾角的余弦值為.22、（1）（2）1【解析】（1）可由題意，點G在線段AC的垂直平分線上，，可利用橢圓的定義