2025年新版應(yīng)用題考試題及答案一、新能源科技公司產(chǎn)品定價(jià)與利潤問題某新能源科技公司研發(fā)了一款新型家用儲能電池，成本由固定成本和可變成本組成。已知2024年第一季度固定成本為480萬元，每生產(chǎn)100臺電池的可變成本為12萬元。市場調(diào)研顯示，當(dāng)該電池單價(jià)定為1.8萬元/臺時(shí)，月銷量為600臺；單價(jià)每降低0.1萬元，月銷量增加100臺；單價(jià)每提高0.1萬元，月銷量減少80臺。（注：月銷量以整數(shù)臺計(jì)算，成本與銷量均按月統(tǒng)計(jì)）（1）若2024年1月單價(jià)定為1.7萬元/臺，求該月的總成本與利潤（利潤=銷售收入-總成本）；（2）為提升市場占有率，公司計(jì)劃2025年將單價(jià)控制在1.5萬元至1.7萬元之間（含端點(diǎn)）。設(shè)2025年某月單價(jià)為x萬元/臺（1.5≤x≤1.7），月銷量為y臺，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若2025年某月固定成本上漲15%，可變成本降至每100臺10萬元，求該月利潤最大時(shí)的定價(jià)及最大利潤。二、城市綠化工程中的幾何計(jì)算問題某市計(jì)劃在新開發(fā)的生態(tài)小區(qū)內(nèi)修建一處圓形中心花壇，花壇外圍需鋪設(shè)一條寬2米的矩形環(huán)形步道（步道外沿為矩形，內(nèi)沿與花壇外切）。已知花壇直徑為20米，步道的東、西兩側(cè)各有一個(gè)邊長為3米的正方形休息區(qū)（休息區(qū)與步道外沿相連，且位于步道南北兩側(cè)的中軸線上）。（1）求步道的占地面積（含休息區(qū)）；（2）為增強(qiáng)景觀效果，需在步道內(nèi)沿（與花壇相切處）每隔0.5米安裝一盞地?zé)簦ǖ責(zé)舫叽绾雎圆挥?jì)），求至少需要安裝多少盞地?zé)?；?）小區(qū)規(guī)劃要求步道與休息區(qū)的總鋪裝面積不超過1200平方米。若調(diào)整花壇直徑為D米（D≥18），步道寬度仍為2米，休息區(qū)邊長調(diào)整為a米（a≤4），求當(dāng)D=22米時(shí)，a的最大整數(shù)值。三、智能交通系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與概率問題某城市為優(yōu)化交通信號控制，在主干道安裝了智能監(jiān)測設(shè)備，連續(xù)30天記錄早高峰（7:00-9:00）的車流量（單位：千輛），數(shù)據(jù)如下：18.219.520.121.322.022.823.524.124.725.225.826.326.927.428.028.529.129.630.230.831.331.732.232.633.133.534.034.435.035.5（1）將數(shù)據(jù)按組距3千輛分組，完成頻數(shù)分布表（含頻數(shù)、頻率）；（2）計(jì)算這30天早高峰車流量的平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）和中位數(shù)；（3）若車流量超過32千輛時(shí)，該時(shí)段需啟動(dòng)交通疏導(dǎo)預(yù)案?，F(xiàn)從這30天中隨機(jī)抽取2天，求至少有1天需要啟動(dòng)疏導(dǎo)預(yù)案的概率。四、新能源汽車?yán)m(xù)航里程的函數(shù)模型問題某品牌新能源汽車的實(shí)際續(xù)航里程（單位：公里）與電池剩余電量百分比（單位：%）、環(huán)境溫度（單位：℃）相關(guān)。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，得到如下經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)環(huán)境溫度t≥10℃時(shí)，續(xù)航里程L=1.2B+0.8t-15；當(dāng)環(huán)境溫度t<10℃時(shí)，續(xù)航里程L=0.9B+0.5t+20；其中B為電池剩余電量百分比（0<B≤100）。（1）若某車主在25℃環(huán)境下駕駛，電池剩余電量為60%，求實(shí)際續(xù)航里程；（2）若環(huán)境溫度為5℃，車主需要行駛200公里，至少需要電池剩余電量多少（結(jié)果保留整數(shù)）；（3）當(dāng)電池剩余電量為80%時(shí)，求續(xù)航里程L關(guān)于環(huán)境溫度t的函數(shù)關(guān)系式，并分析t在什么范圍時(shí)，溫度每升高1℃，續(xù)航里程增加量超過0.6公里。五、鄉(xiāng)村振興背景下的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)優(yōu)化問題某村合作社種植兩種經(jīng)濟(jì)作物：A作物和B作物。已知種植A作物每畝需投入種子費(fèi)200元、肥料費(fèi)300元、人工管理費(fèi)400元，畝產(chǎn)量為800公斤，收購價(jià)為3元/公斤；種植B作物每畝需投入種子費(fèi)300元、肥料費(fèi)400元、人工管理費(fèi)500元，畝產(chǎn)量為600公斤，收購價(jià)為4.5元/公斤。合作社共有可耕地120畝，總投入資金不超過12萬元，且A作物的種植面積不少于B作物的1.5倍。（1）設(shè)種植A作物x畝，B作物y畝，列出滿足條件的不等式組；（2）在（1）的條件下，求合作社的最大月利潤（利潤=銷售收入-總投入）；（3）為提高抗風(fēng)險(xiǎn)能力，合作社計(jì)劃將A、B作物的種植面積比例控制在3:2至2:1之間（含端點(diǎn)），調(diào)整后總投入資金上限提高至15萬元，求此時(shí)最大利潤的可能范圍。答案一、（1）單價(jià)1.7萬元，較1.8萬元降低0.1萬元，月銷量增加100臺，即600+100=700臺?？偝杀?固定成本+可變成本=480+（700÷100）×12=480+84=564萬元；銷售收入=1.7×700=1190萬元；利潤=1190-564=626萬元。（2）當(dāng)1.5≤x≤1.7時(shí)，單價(jià)從1.8萬元降低了（1.8-x）萬元，每降低0.1萬元銷量增加100臺，故降低（1.8-x）萬元對應(yīng)增加的銷量為100×（1.8-x）÷0.1=1000×（1.8-x）臺。因此y=600+1000×（1.8-x）=2400-1000x（1.5≤x≤1.7）。（3）2025年固定成本=480×（1+15%）=552萬元；可變成本=（y÷100）×10=0.1y萬元；總成本=552+0.1y=552+0.1×（2400-1000x）=552+240-100x=792-100x萬元；銷售收入=x×y=x×（2400-1000x）=2400x-1000x2萬元；利潤P=銷售收入-總成本=（2400x-1000x2）-（792-100x）=-1000x2+2500x-792。該二次函數(shù)開口向下，對稱軸x=2500÷（2×1000）=1.25，但x∈[1.5,1.7]，故在區(qū)間內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=1.5萬元時(shí)利潤最大。最大利潤P=-1000×（1.5）2+2500×1.5-792=-2250+3750-792=708萬元。二、（1）花壇直徑20米，半徑10米。步道內(nèi)沿為圓形，外沿為矩形，矩形的長=花壇直徑+2×步道寬度=20+4=24米，寬=20+4=24米（因步道為環(huán)形，外沿矩形的長和寬均等于花壇直徑加兩倍步道寬）。步道面積（不含休息區(qū)）=矩形面積-花壇面積=24×24-π×102=576-100π≈576-314=262平方米；兩個(gè)休息區(qū)面積=2×3×3=18平方米；總占地面積=262+18=280平方米。（2）步道內(nèi)沿周長=π×20≈62.8米，每隔0.5米安裝一盞地?zé)簦璋惭b62.8÷0.5≈125.6，故至少需要126盞。（3）當(dāng)D=22米時(shí)，步道外沿矩形長=22+4=26米，寬=26米；步道面積（不含休息區(qū)）=26×26-π×(22÷2)2=676-121π≈676-380.13=295.87平方米；總鋪裝面積=295.87+2a2≤1200，即2a2≤904.13，a2≤452.06，a≤21.26，但題目限制a≤4，故a的最大整數(shù)值為4。三、（1）分組區(qū)間為[18,21)、[21,24)、[24,27)、[27,30)、[30,33)、[33,36]，頻數(shù)分別為3（18.2,19.5,20.1）、4（21.3,22.0,22.8,23.5）、5（24.1,24.7,25.2,25.8,26.3）、5（26.9,27.4,28.0,28.5,29.1）、6（29.6,30.2,30.8,31.3,31.7,32.2）、7（32.6,33.1,33.5,34.0,34.4,35.0,35.5）；頻率分別為3/30=0.1，4/30≈0.133，5/30≈0.167，5/30≈0.167，6/30=0.2，7/30≈0.233。（2）平均數(shù)=（18.2+19.5+…+35.5）÷30≈（計(jì)算總和：18.2+19.5=37.7；20.1+21.3=41.4；22.0+22.8=44.8；23.5+24.1=47.6；24.7+25.2=49.9；25.8+26.3=52.1；26.9+27.4=54.3；28.0+28.5=56.5；29.1+29.6=58.7；30.2+30.8=61；31.3+31.7=63；32.2+32.6=64.8；33.1+33.5=66.6；34.0+34.4=68.4；35.0+35.5=70.5。總和=37.7+41.4=79.1+44.8=123.9+47.6=171.5+49.9=221.4+52.1=273.5+54.3=327.8+56.5=384.3+58.7=443+61=504+63=567+64.8=631.8+66.6=698.4+68.4=766.8+70.5=837.3）837.3÷30≈27.9千輛；中位數(shù)為第15、16個(gè)數(shù)的平均值，排序后第15個(gè)數(shù)是28.0，第16個(gè)數(shù)是28.5，中位數(shù)=（28.0+28.5）÷2=28.25千輛。（3）車流量超過32千輛的天數(shù)有7天（32.6,33.1,…,35.5），記為事件A。至少1天啟動(dòng)預(yù)案的概率=1-P（兩天都不啟動(dòng)）=1-C(23,2)/C(30,2)=1-(23×22)/(30×29)=1-506/870=364/870≈0.418。四、（1）t=25≥10，L=1.2×60+0.8×25-15=72+20-15=77公里。（2）t=5<10，L=0.9B+0.5×5+20=0.9B+22.5≥200，解得0.9B≥177.5，B≥197.22，但B≤100，矛盾，說明公式可能適用于B≤100時(shí)的實(shí)際情況，可能題目中存在筆誤，假設(shè)正確公式應(yīng)為當(dāng)t<10℃時(shí)，L=0.9B+0.5t+20（B≤100），則200=0.9B+0.5×5+20→0.9B=177.5→B≈197.22（不合理），可能正確公式應(yīng)為L=0.9B+5t+20（調(diào)整系數(shù)），則200=0.9B+25+20→0.9B=155→B≈172.22（仍不合理），原題可能數(shù)據(jù)設(shè)置問題，假設(shè)正確公式為L=9B+0.5t+20（單位錯(cuò)誤），則200=9B+2.5+20→9B=177.5→B≈19.72，取20%。（注：可能題目中系數(shù)單位應(yīng)為“公里/%”，即L=1.2B（公里）+0.8t（公里）-15（公里），則當(dāng)B=60%時(shí)，L=1.2×60+0.8×25-15=72+20-15=77公里，合理；第二問t=5℃，L=0.9×B+0.5×5+20=0.9B+22.5≥200→B≥(200-22.5)/0.9≈197.22%，顯然超過100%，說明實(shí)際中當(dāng)t<10℃時(shí)，續(xù)航里程無法達(dá)到200公里，需至少滿電（B=100%），L=0.9×100+0.5×5+20=90+2.5+20=112.5公里<200，因此題目可能存在數(shù)據(jù)調(diào)整，假設(shè)正確公式為L=9B+0.5t+20（B為剩余電量，單位：%），則L=9×60+0.8×25-15=540+20-15=545公里（更合理），第二問L=9B+0.5×5+20=9B+22.5≥200→B≥(177.5)/9≈19.72%，取20%。此處按原題數(shù)據(jù)，可能為筆誤，暫按原題公式解答，結(jié)果為“無法達(dá)到，需滿電”，但可能正確數(shù)據(jù)應(yīng)為L=12B+0.8t-15（B為10%時(shí)L=120+20-15=125公里），則第二問L=9B+0.5t+20=9B+25≥200→B≥19.44%，取20%。（3）當(dāng)B=80%時(shí)，若t≥10℃，L=1.2×80+0.8t-15=96+0.8t-15=81+0.8t；若t<10℃，L=0.9×80+0.5t+20=72+0.5t+20=92+0.5t；溫度每升高1℃，續(xù)航增加量：t≥10℃時(shí)為0.8公里，t<10℃時(shí)為0.5公里。要求增加量超過0.6公里，即當(dāng)t≥10℃時(shí)，0.8>0.6，恒成立；t<10℃時(shí)，0.5≤0.6，不滿足。因此t≥10℃時(shí)，溫度每升高1℃，續(xù)航增加量超過0.6公里。五、（1）不等式組：x+y≤120（耕地限制）；200x+300y+300x+400y+400x+500y≤120000（總投入=（200+300+400）x+（300+400+500）y=900x+1200y≤120000→3x+4y≤400）；x≥1.5y（A≥1.5B）；x≥0，y≥0，x,y為整數(shù)。（2）銷售收入=3×800x+4.5×600y=2400x+2700y；總投入=900x+1200y；利潤=2400x+2700y-(900x+1200y)=1500x+1500y=1500(x+y)。需最大化x+y，在約束條件下：由x≥1.5y，得x=1.5y時(shí)，x+y=2.5y；3x+4y=4.5y+4y=8.5y≤400→y≤47.06，取y=47，x=70.5（非整數(shù)），取y=46，x=69（1.5×46=69），x+y=115；檢查3x+4y=3×69+4×46=207+184=391≤400，滿足；x+y=115，利潤=1500×115=172500元。（3）種植比例3:2≤x:y≤2:1，即1.5≤x/y≤2→y≤x≤2y；總投入900x+1200y≤150000→3x+4y≤500；x+y≤120（可能放寬，因總投入提高）；利潤=1500(x+y)，需最大化x+y。當(dāng)x=2y時(shí)，x+y=3y，3x+4y=6y+4y=10y≤500→y≤50，x=100，x+y=150≤120？不，x+y=150>120，故受耕地限制x+y≤120，此時(shí)x=2y，x+y=3y=120→y=40，x=80，檢查3x+4y=240+160=400≤500