第二十三章解直角三角形（舉一反三講義）全章題型歸納

【滬科版】

題型歸納

【培優(yōu)篇】

【題型1設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】

【題型2網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】

【題型3靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】

【題型4解雙直角三角形】

【題型5在四邊形中解直接三角形】

【拔尖篇】

【題型6構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值】

【題型7等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】

【題型8巧設(shè)未知數(shù)解直角三角形】

【題型9構(gòu)造直角三角形進(jìn)行線段或角的計(jì)算】

【題型10解直角三角形的應(yīng)用】

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1銳角的三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如圖所示，在RLU8C中.ZC=90°,我們把銳角力的對(duì)邊與斜邊的比叫做的正弦,

記作sinA,即sinA=—,

c

把銳角力的鄰邊與斜邊的比叫做//的余弦，記作cos4,即cos4=2.

c_

把銳角力的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/力的正切，記作tanA,即tan/=￡.

b

2.銳角力的正切、正弦、余弦都是銳角力的三角函數(shù).

3.由于直角三角形的斜邊大于任意一條直角邊，所以有0<sin力<1且0<cos力<1,

試卷第1頁，共18頁

tanJ>0.

知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)的值

1.根據(jù)銳角的三角函數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)可得下表:

三角函數(shù)。30°45°60°

y/2

sina

2V

cosa近也

2T2

tana正iG

3

知識(shí)點(diǎn)3銳角的三角函數(shù)間的關(guān)系

在中,ZC=90°,/A,NB,/C的對(duì)邊分別為m力,c.由勾股定理可得a2+b2=c2.

(1)同角三角函數(shù)間的關(guān)系：sinz4+8S~=9J+(mJ=d^=l.

sinA(i

(2)tan力與sin4,cos,4間的關(guān)系：----=—=—=tanA

cosA^b

7

知識(shí)點(diǎn)4解直角三角形的概念

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中

的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)5解直角三角形的依據(jù)

在中，ZC=90°,/4NB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c.

(1)三邊之間的關(guān)系：H+V(勾股定理)；

(2)兩銳角之間的關(guān)系：//+/8=90。(兩角互余)；

(3)邊角之間的關(guān)系：smA=-tcos/=°,tan4=：.

￡￡￡

知識(shí)點(diǎn)6解直角三角形的基本類型及解法

解直角三角形有四種基本類型：①已知斜邊和一直角邊；②已知兩直角邊；③已知斜邊和

一銳角：④已知一直角邊和一銳角.其解法步驟列表如下：

已已知條件解法步驟圖示

試卷第2頁，共18頁

知

類

型

：1)b=4c?-a，；(2)由

斜邊C、一直角

sinJ=—,求/力；

邊（如c

兩3)=

邊

⑴c=y/a2+b2；⑵由

兩直角邊（4,

tanA=f,求/力；

b）h

3)/8=90。一//RL/5C中,/C=90。，

/4/B,NC的對(duì)邊分?別為a，

：1)/4=90。一/4；(2)由

3

sinJ=—,得a=c?sin/；

斜邊C、一銳角cb,c.如圖所示：a

（如如）：3)由cos/l=2,得

4Ab（

c

b=c-cosA

邊

Cl)=；(2)由

角a

一直角邊、一tanA/,彳導(dǎo)br—a?

htanA

銳角（如

3)由sin/l=q,得

ZA）c

a

c=-----

sinA

知識(shí)點(diǎn)7解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

1.利用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟:

（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題;

（2）根據(jù)問題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；

（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案：

（4）得到實(shí)際問題的答案.

2.常見類型

試卷第3頁，共18頁

（1）仰角、俯角

當(dāng)視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線所成的角叫做仰角；當(dāng)視線在水平線卜.方時(shí)，視線與

水平線所成的角叫做俯角.

如圖（I）所示，OC為水平線，為鉛垂線，OA,OB為視線，我們把24。。稱為仰角,

。稱為俯角.

圖（1）圖（2）

（2）方位角

正北方向或正南方向與目標(biāo)方向所形成的小于90。的角叫做方位角.

如圖（2）所示，04所表示的方位角是北偏東55。，OB所表示的方位角是南偏東45。，OC

所表示的方位角是南偏西70。，OO所表示的方位角是北偏西30。.

（3）坡度、坡角

坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作八即］二/,坡度通常寫

成人：/的形式.

坡面與水平面的夾角叫坡角（或傾斜角），記作于是有'星.

【培優(yōu)篇】

【題型1設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】

［例I］（24-25九年級(jí)上?甘肅天水?期末）

1.如圖，在菱形力中，DEJ.AB交AB于點(diǎn)、E,連接40,若BE=；AB,則cos/OBE

試卷第4頁，共18頁

【變式1-1]（2025?河南平頂山?三模）

2.如圖，在矩形"C。中，AB=3,4）=5,點(diǎn)E在。C上，將矩形力阮刀沿力E折疊，點(diǎn)

。恰好落在8c邊上的點(diǎn)F處，那么lan/￡＞尸C=.

【變式1-2]

3.如圖，在等邊中，CDLAB,垂足為。，以4。,S為鄰邊作矩形/OCE,連接

BE交CD邊于點(diǎn)、F,則cos/C5f的值為（）

A.MC.—y/lA

14

【變式1-3]（2025?四川南充?一模）

4.如圖，把矩形沿對(duì)角線力。翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)8,處，力8'交CD于點(diǎn)E,若

Ani

—?jiǎng)tsinND4E的值為（）

B.T

.5

【題型2網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】

【例2】

5.如圖，網(wǎng)格中的點(diǎn)力、8,C、。都在小正方形頂點(diǎn)上，連接48、CO交于點(diǎn)P,則N8PC

的正切值是（）

試卷第5頁，共18頁

A.2B.1C.在D.空

223

【變式2-1］

6.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)力,B,C均在格點(diǎn)上，D是4B

與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則初〃岑G的值是.

【變式2-2］（2025?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）

7.如圖是由6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知菱形

的一個(gè)角/力。8=60。，點(diǎn)4從C都在格點(diǎn)上，則C0S//8C的值是.

【變式2-3］（2025?江蘇無錫?二模）

8.如圖，在4x3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)力、B、C、。都在小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CO相交于點(diǎn)

則sin/或。的值是.

【題型3靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】

【例3】（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）

試卷第6頁，共18頁

9.如圖，在△4?C中，ZC=45°,4=60。，AD=\.按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8和

點(diǎn)C為圓心、大于;8c的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；②作直線MN交4C

c.G+1D.百

【變式3-1]（24-25九年級(jí)下?陜西西安?期中）

10.如圖，在&4BC中，AB=5,=；,tan/8=g,則SC的長(zhǎng)為（）

A.2亞B.3C.2D.V10

【變式3-2]（2025?黑龍江大慶?中考真題）

11.如圖，Rta/IBC中，48C=90。，NA4c=60。，AB=2.在力8和力。上分別截取

AM,AN，使AM=AN.分別以例,N為圓心、以人于;MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/BAC

內(nèi)交于點(diǎn)凡作射線片尸交4c于點(diǎn)。，則點(diǎn)。到力。的距離為一.

【變式3-3]（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）

12.如圖，在△/8C中，Z5=45°,5C=3,tanC=-?則中線力。的長(zhǎng)為（）

2

A.75B.2C.]D.—

22

試卷第7頁，共18頁

【題型4解雙直角三角形】

【例4】（24-25九年級(jí)上?山東青島?期中）

13.如圖，將三角尺/8C和三角尺。E/疊放在一起，直角邊4C與。石完全重合，已知力3

長(zhǎng)為16cm,若三角尺。所沿C8方向移動(dòng)，此時(shí)測(cè)得08長(zhǎng)是6cm,則移動(dòng)距離CO是

（）

A.2cmB.56cmC.（5。-3）cmD.（8百一5）cm

【變式4-1]（24-25九年線卜?陜西西安?期末）

14.如圖，在RtZ\/18。中，ZJCB=90°,48的垂直平分線交4C與點(diǎn)區(qū)若

【變式4-2]（2025?山東青島?中考真題）

15.如圖，在三角形紙片。中，N8=57。，ZC=38°,將紙片沿著過點(diǎn)力的直線折疊,

使點(diǎn)8落在4C邊上的點(diǎn)￡處，折痕力。交BC于點(diǎn)。；再將紙片沿著過點(diǎn)E的直線折疊，

使點(diǎn)。落在8C邊上的點(diǎn)G處，折痕EF交BC于息F.下列結(jié)論成立的是（）

A.DG=EGB.GE1AE

C.ZDAE=42°D.DE=IGF

試卷第8頁，共18頁

【變式4-3]（2025?安徽宣城?一模

16.如圖，在中，AB=AC=\2,4C=10,點(diǎn)Z）為5c中點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位

的速度從“出發(fā)沿4fC運(yùn)動(dòng).當(dāng)△尸CO為等腰三角形時(shí)，，的值為（）

行或18B.或18或19

6

C.L或18或19或二-D.二或18或19或20

66

【題型5在四邊形中解直接三角形】

【例5】（2025?湖南婁底?三模）

17.如圖，在矩形44CQ中，4。=248=8,瓦尸分別為/1。,8。邊上的點(diǎn)，且8b=3,將矩

形/4CD沿直線"折疊，得到四邊形以點(diǎn)48的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)（點(diǎn)"落在

力。上方），連接CN,當(dāng)CM"三點(diǎn)共線時(shí)，力E的長(zhǎng)為（）

【變式5-1]（2025?山東聊城?三模）

18.如圖，在四邊形力8c。中，AE=BE,DF=FB,DF1CE,AF//DC,

tan/48O=l，EF=2,則8c的長(zhǎng)為（）

A.372B.472C.2百D.4>/5

試卷第9頁，共18頁

【變式5-2］（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）

19.如圖，四邊形為邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)￡為力。的中點(diǎn)，連接引T并延長(zhǎng)至點(diǎn)R

4

連接力尸，連接尸。并延長(zhǎng)交8C延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若，則CG的長(zhǎng)為

【變式5-3］（2025?河南商丘?二模）

20.已知：如圖，在a/lS。中，/胡。二90。,。為線段力。上一點(diǎn)，且4B=AD,E為線段BC

的中點(diǎn)，連接80、ED,延長(zhǎng)“力到點(diǎn)尸，使得力尸=切，連接。尸，過點(diǎn)8作。尸的平行線

交。力的延長(zhǎng)線干點(diǎn)G.

（I）四邊形8DFG是正方形嗎？請(qǐng)說明理由；

（2）若tan/8C/l=|,CO=2,求線段。七的長(zhǎng)度.

【拔尖篇】

【題型6構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值】

【例6】（2025?黑龍江綏億?模擬預(yù)測(cè)）

21.在平行四邊形488中，尸是力。的中點(diǎn)，點(diǎn)E在射線8c上，且CE=；4C,連接

EF.若48=4,4D=6,NB=60。,則tanN尸EC的值為.

【變式6?1］（24-25九年級(jí)上?山東淄博?期末）

22.如圖，在△力中，4cs=90。，40=20，8C=6,8是45邊上的中線，則cosN/OC

的值是（）

試卷第10頁，共18頁

A

D

-----------------------

A20下「5c3亞

A.-B.C.-D.

7777

【變式6-2]（24-25九年級(jí)上?四川資陽?期末）

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0/4。的邊OC在x軸上，。力在y軸上且

AB//OC,線段。力，力5的長(zhǎng)分另IJ是方程/一9》+20=0的兩個(gè)根（0A<AB）,P、。分別

為04、0C上兩點(diǎn)，。。=5,將△尸。。翻折，使點(diǎn)。落在邊力8上的點(diǎn)。處，則

【變式6-3]（2025?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）

24.如圖，正方形力班?。中，將邊4c繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至即，連接CE,DE,若

ZCED=90°,則sin/ECD的值是（）

【題型7等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】

【例7】（2025?四川樂山?一模）

25.如圖，點(diǎn)E是矩形ABC。中8邊上的一點(diǎn)，ABCE沿BE折疊為4BFE,點(diǎn)尸落在力。

上.若NDFE的大小為a,且滿足=」，則tan/8EC的值為______.

cosa+2sina10

試卷第11頁，共18頁

【變式7-1]（2025?山西呂梁?三模）

26.如圖，在四邊形49CQ中，AB=BC,ACLCD,B。平分/ZQC,4c與8。相交于

點(diǎn)E,若CQ=3,JC=4,則線段8f的長(zhǎng)為.

【變式7-2]

27.如圖，在RlZ\/8C中，/。力8=90。,力8=力。，點(diǎn)。為斜邊4C上一點(diǎn)，且BD=3CD,

將△48。沿直線力。翻折，點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8',則sin/C9。二.

【變式7-3]（2025?湖南岳陽一模）

28.如圖，已知點(diǎn)C是直線/外一定點(diǎn)，48是直線/上的動(dòng)線段，AB=5,連接4C、BC,

*以=15.求當(dāng)力C+8C取最小值時(shí)sin/C歷1的值.小聰在解題過程中發(fā)現(xiàn)：“借助物理學(xué)

科的相對(duì)運(yùn)動(dòng)思維，若將48看作靜線段，則點(diǎn)。在平行于直線/的直線上運(yùn)動(dòng)”.請(qǐng)你參考

小聰?shù)乃悸非螽?dāng)/1C+5C取最小值時(shí)sin/C%=.

C

試卷第12頁，共18頁

【題型8巧設(shè)未知數(shù)解直角三角形】

【例8】（2025?廣東深圳?噢擬預(yù)測(cè)）

29.在等腰中，AB=AC,。是4c上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作OEX力。交力C延長(zhǎng)線于點(diǎn)

74RD?AC

E,若tanN84C=§,胃=g則痣的值為_______

7AB5CE

【變式8-1]（2025?四川廣元?中考真題）

30.四邊形力8。。中，4C與8。交于點(diǎn)0,0是4c的中點(diǎn)，80=2。。，已知48=4,力。=2,

tanZJCD=—,則/C的長(zhǎng)為.

5

r

【變式8-2]（24-25八年級(jí)下?北京?期末）

31.如圖1,在中，/8。/=90。，/B=5,將其分割成I、II、HI三部分，然后再拼

成如圖2的菱形P0MN（不重疊、無縫隙），若NH-PGA,則?！ǖ拈L(zhǎng)為.

【變式8?3]（24-25九年級(jí)下?貴州貴陽?期中）

32.如圖，在菱形48C。中，過頂點(diǎn)。作。E_L18,DF上BC,垂足分別為，F(xiàn),連結(jié)

EF.若8s4=；,△血沖的面積為4,則菱形力AC'。的面積為.

試卷第13頁，共18頁

D

【題型9構(gòu)造直角三角形進(jìn)行線段或角的計(jì)算】

【例9】（24-25九年級(jí)上?重慶?期中）

33.如圖，點(diǎn)。是外一點(diǎn)，DB=DC,44與相交于點(diǎn)E,/BDC=NBAC,連

接。力，若4C=4,DA=后,tanADBA=^,則。8=.

【變式9?1】

34.如圖，在△力8c中，AB=AC=4,cosB=-8。是中線，將△/8C沿直線8。翻折

4f

后，點(diǎn)、A落在點(diǎn)、E,那么CE的長(zhǎng)為.

【變式9-2]

35.如圖，在中，ZABC=90°,48=3,AC=5,。和的平分線相交

于點(diǎn)Q,過點(diǎn)、D作DE"AC交BC于點(diǎn)、E,那么?！甑拈L(zhǎng)為.

試卷第14頁，共18頁

A

【變式9?3】

36.如圖.在AABC中，ZACB=6O°,AC=1,D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn).若

DE平分aABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是.

【題型10解直角三角形的應(yīng)用】

【例10】（2025?重慶?中考真題）

37.為加強(qiáng)森林防火，某林場(chǎng)采用人工瞭望與無人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測(cè)森林情況.如圖，

A,B,C,。在同一平面內(nèi).4是瞭望臺(tái)，某一時(shí)刻，觀測(cè)到甲無人機(jī)位于力的正東方向

10千米的4處，乙無人機(jī)位于/的南偏西30。方向20千米的。處.兩無人機(jī)同時(shí)飛往。處

巡視,。位于C的正西方向上,8位于。的北偏西30。方向上.（參考數(shù)據(jù)：&"41，6"73,

（I）求8。的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）:

（2）甲、乙兩無人機(jī)同時(shí)分別從8,D出發(fā)沿BC,往C處進(jìn)行巡視，乙無人機(jī)速度為甲

無人機(jī)速度的2倍.當(dāng)兩無人機(jī)相距20千米時(shí)，它們可以開始相互接收到信號(hào).請(qǐng)問甲無

人機(jī)飛離8處多少千米時(shí)，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號(hào)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？

試卷第15頁，共18頁

【變式10-1](2025?河南?模擬預(yù)測(cè))

38.舉高滅火機(jī)器人是一種可代替消防救援人員進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域進(jìn)行滅火作業(yè)的特種機(jī)器

人.如圖1是一款舉高滅火機(jī)器人的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖，機(jī)器人底座可看作矩形

ABCD,=伸縮臂M=R7=3m,點(diǎn)G和點(diǎn)E在同一鉛垂線上(即_L力。)，

ZF=110°,伸縮臂G”的最大長(zhǎng)度為9m,圖中的點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，GH//EF.當(dāng)

伸縮臂G〃達(dá)到最大長(zhǎng)度時(shí)，求舉高滅火機(jī)器人的最高點(diǎn)〃到地面的距離.(參考數(shù)據(jù)：

sin350?0.57,cos35°0.82,tan35°?0.70)

39.如圖是某地下車庫的剖面圖，某綜合實(shí)踐小組將無人機(jī)放在坡道起點(diǎn)力處，讓無人機(jī)

飛到點(diǎn)。處，力。與底板群平行，測(cè)得力。=11.6米，此時(shí)在點(diǎn)。處乂測(cè)得坡道48上的點(diǎn)C

的俯角為26.6。.接著讓無人機(jī)飛到點(diǎn)E處，DEJ.AD,CE與底板8H平行，測(cè)得QE=1.8

米.

(1)求坡道48的坡度；

(2)已知地面。4、地下車庫的頂板尸G都與底板群平行且它們到底板群的距離相等，無人

機(jī)從點(diǎn)/飛到點(diǎn)P處，AP1AD,測(cè)得力。=16.4米，此時(shí)在點(diǎn)尸處測(cè)得點(diǎn)尸的俯角為45。,

在不考慮其他因素的前提卜.，有一輛高度為3米的貨車能否進(jìn)入該地下車庫？請(qǐng)說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin26.60*045,cos26.6°*0.89,tan26.6°?0.5)

試卷第16頁，共18頁

【變式10-3]

40.為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過程如下:

(1)測(cè)量坡角

如圖1,后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡48,BC,CD,山的高度即為三段坡面的鉛直高度

BH,CQ,。/?之和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小.

如圖2,同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端力處，直桿沿坡面方向

放置，在直桿"N另一端N用細(xì)線系小重物G,當(dāng)直桿MN與鉛垂線NG重合時(shí)，測(cè)得兩桿

夾角。的度數(shù)，由此可得山坡48坡角夕的度數(shù).請(qǐng)直接寫出/夕之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)測(cè)量山高

同學(xué)們測(cè)得山坡48BC,CZ＞的坡長(zhǎng)依次為40米，5()米，40米，坡角依次為24。,30。,45。：

為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含24。角的RtATKS(如圖3),量得

KT^5cm,TS?2cm.求山高。尸.(&=1.41，結(jié)果精確到1米)

(3)測(cè)量改進(jìn)

由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法.

圖4圖5

如圖4,5,在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于MN的頂端，當(dāng)與鉛垂線NG重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)

直桿NP,使點(diǎn)N,P,。共線，測(cè)得乙WVP的度數(shù)，從而得到山頂仰角4，向后山方向前

進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角⑸；畫一個(gè)含4的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另

一直角邊分別為卬厘米，A厘米，再畫一個(gè)含△的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角

試卷第17頁，共18頁

邊分別為。2厘米，4厘米.已知桿高M(jìn)N為1.6米，求山高力/工（結(jié)果用不含昂兒的字母

表示）

試卷第18頁，共18頁

1.如

6

【分析】本題可先根據(jù)菱形的性質(zhì)設(shè)出邊長(zhǎng)，再結(jié)合已知條件得出線段長(zhǎng)度，最后利用三角

函數(shù)的定義求解C0S/Q82的值.本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的定

義，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)"=3x,

四邊形月6C。是菱形，

二.AD=AB=3x,

BE=gAB,

BE=x,

DE1AB,

在Rt△/DE中，AE=AB—BE=3x—x=2xt

由勾股定理可得DE=JAD?-AE?=J（3?-（2?=6,

在RS8OE中，BD7DE2+BE2=J（逐+白=瓜,

,/npr_BE-%_娓

..cos/DBE==―=—9

BDV6x6

故答案為：業(yè).

6

41

2.y##l-

【分析詵根據(jù)矩形的性質(zhì)得8C=4。=5,CQ=48=3,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得肝=力。=5,

EF=DE,在RtA/18”中，利用勾股定理計(jì)算出8產(chǎn)=4,則C/=8C—8尸=1,設(shè)CE=x,

則。E=E/=3-x,然后在RsEb中根據(jù)勾股定理得到Y(jié)+I2=（3-X）2,解方程即可得到

x,進(jìn)一步得到EE的長(zhǎng)，再根據(jù)正切數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形48C。為矩形，

：.BC=AD=5,CD=AB=3,NB=NC=90。,

?.?矩形48C。沿直線4E折疊，頂點(diǎn)。恰好落在8c邊上的歹處，

AF=AD=5,EF=DE.

.?.在RtdBF中，BF=ylAF2-AB2=4，

.-.CF=5C-5F=5-4=1,

答案第1頁，共47頁

設(shè)CE=x,則"*=OE=CO-CE=3-x

?.?在RSECF中，CE2+FC2=EF2，

.4

.,.x2+l2=(3-x),解得x=3，

:.C*E=—4,

CE4

tanZEFC=—=-.

FC3

4

故答案為：§

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形

狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，正切的

定義.

3.A

【分析】設(shè)等邊△力8c的邊長(zhǎng)為。，則48=8C=/lC=a.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

AD=BD=^a,從而可由勾股定理求出。。=且〃.根據(jù)矩形的性質(zhì)又可得出

22

AE=CD=^-a,4D=CE=ga,/歷IE=90。，即又可利用勾股定理求出BE=^a.過

222

點(diǎn)。作CG_L8E于點(diǎn)G,由Sa8a：=gBECG=!cEME,可得出。6=叵。，進(jìn)而由勾

2214

股定理可求出BG=^a,最后由余弦的定義即可求解.

14

【詳解】解：設(shè)等邊△48。的邊長(zhǎng)為小則44=8C=4C=。.

-CDLAB,

：.AD=BD=-AB=-a,/ADC=/BDC=90。，

22

-CD=^AC2-AD-=—a.

2

???四邊形力力8是矩形，

-?AE=CD=—a,AD=CE=-a/BAE=90。，

22t

???BE=dAB'+AE?=-a.

2

如圖，過點(diǎn)C作。G_L4E于點(diǎn)G,

答案第2頁，共47頁

SAoctj=-2BECG=2-CEAE,

.@1V3

??——axCG=-。a?

222

V21

??CG=-----a>

14

_________S萬

:.BGM/BC^CG2=±a,

14

5手

%s/C8d也=五二4?

BCa14

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考杳等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，求角的余弦值.正確作出輔

助線是解題關(guān)鍵.

4.C

【分析】本題考查矩形與折疊，解直角三角形，根據(jù)折登的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，得到

AE=CE,設(shè)4)=x,CO=2x,AE=CE=y,則：DE=2x-y,勾股定理求出KN之間的

數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)銳角三角形的定義，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?.?矩形Z8CZ),懸=，

.-.ZD=90°,AB//CD,設(shè)力。=乂。=2工，

:.ZACD=NBAC,

???折疊,

.*.ZEAC=ZBAC,

ZEAC=ZECA,

:.AE=CE,

ig;AE-CE-y,則：DE=2x-y,

在RS/QE中，AE2=AD2+DE2，

答案第3頁，共47頁

.-./=x2+（2x-y）2,

4

解得：x=0（舍去）或x=W

:.DE=2x-y=^y,

3y人

,■,sinZDJ￡=—=^-=-;

AEy5

故選C.

5.A

【分析】本題考查了正切函數(shù)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等，連接跖、AE,

ZBDC=ZDBE=ZBED=AAED=45°,由平行線的性質(zhì)得N3PC=N/1BE,由勾股定理求出

AE、8E的長(zhǎng)，由正切函數(shù)求出tanNW8E的值；掌握正切函數(shù)的定義，作出輔助線使得

/BPC=/ABE、構(gòu)建百角二角形求解是解題的關(guān)鍵.

由正方形的性質(zhì)得：

Z.BDC=Z.DBE=/.BED=Z.AED=45°,

/.BE//CD,NAEB=900,

/BPC=NABE,

：.AE=yl22+22=272?

BE7nc=V2，

.?.tan/"E=M=平=2,

BEV2

tanZ.BPC=2；

故選：A.

6.在

5

答案第4頁，共47頁

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得A48C是直角三角形，再根據(jù)直角三角斜邊上的中線等于

斜邊的一半可得。結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可得

NB’NADC,由此可得sin幺型=sin4.

22

【詳解】解：根據(jù)題意由勾股定理得:

AC=y/22+\2=A/5,J^=732+42=5,=>/42+22=2^,

??.AB2=AC2+BC2,

：.ACLBC,zC=90°,

結(jié)合網(wǎng)格可知D分別為AB的中點(diǎn)，

:?CD=AD=DB,

:.乙B=(DCB,

又乙DCB=cADC,

.,"B’NHDC,

2

.ZADC.nAC也

???sin---------=sin8=-----=——

2AB5

故答案為：I.

5

【點(diǎn)睛】本題考杳解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性

質(zhì).關(guān)鍵是得出NB=g//lOC.

72件

/?---

7

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)、特殊三角形邊角關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加

輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題.

如圖，連接￡力，EC,證明/力月。=90。，E、。、8共線，再根據(jù)cos/48C=r解題即

AB

可.

【詳解】解：如圖，連接￡4,EC,

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為。，由題意得4E/=30。，NBEF=60°,AE=&i,EB=2a,

答案第5頁，共47頁

/.Z/IEC=90°,

則4B=J7a,

???/ACE=ZACG=2BCG=60°,

：.NECB=180°,

???E、C、A共線，

在Rl△月后6中，

cos/ABC=些=華=也

ABy/7a7

故答案為:

o76

10

【分析】本題考杳了解百角二角形及勾股定理,根據(jù)題上的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.連接。/，CF,過點(diǎn)尸作/G_LCQ,垂足為G,先利用勾股定理求

出C。和。尸的長(zhǎng)，再利凡面積法求出WG的長(zhǎng)，然后在RL^QPG中，利用銳角三角函數(shù)的定

義求出sin"DG的值，最后根據(jù)題意可得：AB//FD,從而可得NBED="DG,即可解答.

【詳解】解：如圖：連接。尸，CF,過點(diǎn)〃作/G_LCQ,垂足為G,

由題意得：CQ=6+22=5DF=Vl2+32=VlO?

△DCF的面積=3x3」x3x2-」x2xl」x3xl

222

/.-CDFG=-,

22

???4SFG=7,

?FC-1^

?*Ft/一$，,

答案第6頁，共47頁

述/-

在中，“曲=”=三=逑，

DFV1010

由題意得：AB//FD,

4BED=Z.FDG,

sinABED=sinNFDG=—,

10

故答案為：述.

10

9.D

【分析】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.由作圖過程可知，直線MN為線段8c的垂直平分線，可得8。=。。,

則NC=NQ8C=45。，得出乙4。8=NC+ND8C=90。，在RtZ\48。中，可得

8O=4D?tan600=JJ，即可得CZ)=JJ.

【詳解】解：由作圖過程可知，直線MN為線段8C的垂直平分線，

BD=CD,

AZC=ZD5C=45°,

:"ADB=NC+NDBC=90°.

在RtAABD中，tanZJ=tan60°==\[3,

AD1

???二百，

???0)=6

故選：D.

10.D

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，過點(diǎn)。作于點(diǎn)。，設(shè)4。=》，則

80=5—x,根據(jù)tan//=4，tan^5=-,得到CO='x=L(5-x),求出x=2,進(jìn)而

2323

得到。。=1,4。=3,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CD148于點(diǎn)O,

C

設(shè)=貝|J8"=3-X,

答案第7頁，共47頁

vtan/力=—tan/B=—

23

CD_1CD_1

??茄》/一§，

CD=—x=—（5-x）,

x=2,

CD=1,BD=3,

???BC=4BD2+CD?=VlO，

故選：D.

11.漢

33

【分析】本題考查了角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn).由作圖可

知，平分/歷1C,求得DG=DB,ZBAD=-ZBAC=30°解直角三角形即可求解.

2t

【詳解】解：作OG_L4C于點(diǎn)G,則點(diǎn)。到4。的距離為QG的長(zhǎng)，

A

由作圖可知，力。平分4C,

???//8。=90。，

DG=DB,

???RtZ\48C中，ZJ5C=90°,Z5/fC=60°,

.?.ZBAD=-ZBAC=30°

2f

AB=2,

???DB=ABtanNBAD=.

3

2VT

???DG=DB=—.

3

故答案為：也.

3

12.D

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)犍.

過點(diǎn)力作月EL8C于點(diǎn)七，得到=然后解Rt△4EC,得至UCE=24E,然后根據(jù)線

答案第8頁，共47頁

段和差以及三角形中線得到8。=。。=1則再對(duì)Rt"。石運(yùn)用勾股定

理求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)4作于點(diǎn)E,

???/8=45°,

.??△/也七是等腰直角三角形，

BE—AE，

'：tanC=—,

2

AE\

----=—,

CE2

:.CE=2AE,

BC=3AE=3,

：.AE=RE=]

??F。是中線，

3

BD=CD=-,

2

:.DE=BD-BE=-

2

.?.Rh/o七中，AD=>1AE2+DE2=—.

13.C

【分析】由題意知，EF/!BC,則/尸=45。，如圖，作。M_L于〃，則

8c=48cos30°,8〃=O8-cos30°,=(95sin30c,DM="",根據(jù)

tan450

CD=BC-DM-BM,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知，EF//BC,

.??/8。。="=45。，

如圖，作OWJ_8C于M,

答案第9頁，共47頁

??-5C=J5-cos30°=16x—=8A/3cm,=O5cos30c=6x—=3>/3cm,

22

OM=OB-sin300=3cm,

OM

:.DM=------=3ocm?

tan45°

.?.CO=8C-OM-8M=8VJ-3-3G=（5G-3）cm,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正切，正弦，余弦等知識(shí).熟練掌握平移

的性質(zhì),平行線的性質(zhì)，正切.正弦,余弦是解題的關(guān)犍.

14.2

4

【分析】本題主要考查了解直角三角形及線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出N8=ND",

進(jìn)而得出的正切值，再結(jié)合8c的長(zhǎng)即可求出4C的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出48的長(zhǎng)度，進(jìn)而得

出4。的長(zhǎng)，最后在RS/QE中，求出力￡的長(zhǎng)即可解決問題.

【詳解】解:由題知,

vZJC5=90°,DEIAB,

???NB+N4=ZDEA+//=90°,

:.NB=ZDEA,

4

tan5=lanZDEA=—,

又?:BC=6,

???AC=8,

???"=府+82=10,

???DE?垂直平分48,

.-.AD=-AB=5,NEON=90。，

2

AD

在RtZi。"中，lanZDEA=—,

答案第10頁，共47頁

54

:.---=—

DE3

：.DE=—

257

：.CE=AC-AE=8——=-.

44

故答案為：—.

4

15.A

【分析】本題考查了三角形的翻折問題，垂直的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三

角形中正弦值的求解，在翻折過程中由邊長(zhǎng)和角度不變，可求解翻折前后的角度是解決本題

的關(guān)鍵.根據(jù)△力?！晔怯伞?8。翻折得到可求解/D4E的度數(shù)，由此判斷C選項(xiàng)；根據(jù)翻

折前后角度的求解，可求解/EDG與NOEG的度數(shù)，由“等角對(duì)等邊”可判斷A選項(xiàng)，求解

乙4EG的度數(shù)可判斷B選項(xiàng)；假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角三角形中的正弦值求解邊長(zhǎng)即可判

斷D選項(xiàng).

【詳解】解：C選項(xiàng)，在△48C中，N8=57。，ZC=38°,

ZBAC=180。-57。一38°=85°,

???LADE是由4ABD翻折得到，

￡DAE=ADAB=—=42.5°,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

A選項(xiàng)，???△4QE是由翻折得到，ND4E=NDAB=42.5。,

:.ZAED=N8=57°,

???ZADE=Z.ADB=180°-57°-42.5°=80.5°,

：.4EDG=1800-NADE-AADB=180°-80.5°x2=19°,

???&EFG是由&EFC翻折得到，

.?.NEGF=NC=38。，

."EGD=180°-NEGF=180°-38°=142°,

在AEGD中,Z.DEG=180°-142°-19°=19°,

?:NEDG=NDEG=\90,

:.DG=EG,故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng),vZAED+Z.DEG=57°+19°=76°,

答案第11頁，共47頁

BP乙4EG=76°,

.?.GE與力￡不垂直，故B錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，過點(diǎn)6作6加_1,?！杲籓E于點(diǎn)“，如圖,

假設(shè)OE=2G/,

???&EFG是由&EFC翻折得到，

.?"EFC=NEFG=90。,

???DG=EG,

???△QGE為等腰三角形，

-GMIDE,

；.DM=EM,BPDE=2E.W,

:?GF=EM,

w，

在RaEMG中，sinZD￡：G=sinl9o=--,

EG

EP

在Kt△上/G中，sinZEGF=sin38°=——，

EG

???sin19”sin38。，

:.MG手EF,

又。EM=dEG?-MG，=GF=(EG?-EF2，與已知不符，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

16.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形應(yīng)用等知識(shí)，分點(diǎn)P在山上和力。

上討論，然后根據(jù)等腰三侑形的性質(zhì)和解直角三角形的應(yīng)用求解即可.

【詳解】解：連接4。，

答案第12頁，共47頁

A

二AD-LBC,BD=CD=5,

①當(dāng)點(diǎn)。在歷