空間向量與立體幾何練習(xí)題

一、選擇題

I.已知空間向量△=(1,0,0),B=(0/,0)，則下列向量可以與M，B構(gòu)成空間向量的一

組基底的是()

A,c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C.c=(l,l,0)D?=(l,2,0)

2.如圖，在長方體ABC。-44CQ中,M為棱CG的中點(diǎn)?若麗石，而，麗=2,則

說等于()

A.6/4-5+—cB.t7-5+—CC.—67+—5+—CD.—^-―^+―C

22222222

3.如圖，空間四邊形Q4BC中,3=鬲礪=瓦元=小點(diǎn)”在方上，且滿足兩=2礪,

點(diǎn)N為8。的中點(diǎn)，則麗=()

A1-231一口2一1K1一

A.—。--b+—c0.-----〃+一。+—C

232322

C.—a---/?--cD.—a+—b--c

322322

4.如圖，在四棱臺ABC。-AgCQ中，底面A3CD是菱形,平面ABC。，

例=gA3=l,NA8C=1,則點(diǎn)B到直線AQ的距離為()

C,巫D.2

55

5.設(shè)x,.veR,N二（1,）,,2）]=（乂-4,2）,且己J_e，B//三，則x+y+z=（）

A.-lB.OC.1D.2

6.在四面體ABC。中,點(diǎn)尸在4力上，且Ab=2/7），七為8c中點(diǎn)，則訪等于（）

____1___2__,__,?___i___9__

A.EF=AC+-AB一一ADB.￡F=——AC——AB+-AD

23223

--1___1__2__、__1__1__2___

C.EF=-AC--AB-^--ADV）.EF=--AC+-AB--AD

223223

7.在直三棱柱ABC-A4G中,A3_L3C，84=\/^AB=y/^BC，M,N分別是Bg,AM的

中點(diǎn)，則直線8M與直線NC所成角的余弦值（）

A.竺1BLMIIr2713n_2>/5

13?1313?IF

二、多項(xiàng)選擇題

8.三棱錐A-8C￡>中，麗?麗=麗?礪=0,48=3,8￡>=2，。。=4,平面480與平面

BCQ的夾角為巴，則AC的長度可以為（）

3

A.5B.RjC.5y^TD.6

9.以下能夠判定空間中四點(diǎn)A,B,C,。共面的條件是（）

^AB=AC+3ADB.9二9+/+J歷

244

CCDAB=ODAB=2CD

io.已知平行六面體ABCD-A/CQ的各個面均為菱形，設(shè)通=2而=瓦麗=小且

同=1方石忑兩兩之間的夾角為則（）

3

A.（Z+"）.（萬+2）=gB.AC；?=0

C.|Xq|=>/6D./BpAD]v百萬

三、填空題

11.已知空間向量3=(2,-2,1),萬=(3,0,4),向量］在向量B上的投影向量坐標(biāo)為

12.如圖，PD上平面ABCD，AD工CD，ABI/CD?PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,M為3Q的中點(diǎn)，N為QC上一點(diǎn)，若5配,

則點(diǎn)N到平面CPM的距離為.

13.如圖，在正方體ABCD-A片CQ中，點(diǎn)用為棱AA的中點(diǎn)，若N為底面A片G。內(nèi)一

點(diǎn)(不包含邊界)，且滿足MN〃平面8/)0.設(shè)直線MN與直線CG所成的角為a，則

tana的最小值為.

四、解答題

14.如圖,正方體ANCO-aqG"的棱長為2,E是8G的中點(diǎn).

(1)求證：8G_L平面CDE；

(2)求直線與平面8DE所成角的正弦值.

15.如圖,在三棱柱八3。一4與6；中,3出_1平面4q。1,4。=。3=。。1=2,

ZACB=90°,D,E分別是4/，CC、的中點(diǎn).

(1)求證:G?！ㄆ矫鍭8E；

(2)求平面A3C與平面A8E所成角的正弦值.

16.如圖，在四棱錐E-A3CO中，底面是直角梯形ABC。，ABHDC，/。=90。，

A8=2，CD=1，AD=5AE=R△BCE為正三角形?

(1)求證：平面8CE_L平面ABC。；

(2)求平面ADE與平面BCE夾角的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)T是三棱錐石—ACD外接球上一點(diǎn)，求點(diǎn)/到平面AOE?距離的最大值.

17.如圖，在三棱臺ABC-4BC中,叫平面A8C,ABJ_AC，A8=AC=2,4禺=1,

A4,=&、M為BB1的中點(diǎn).

(1)證明：8與_1,平面AMC；

⑵求平面A.MC和平面AMC夾角的余弦值.

18.如圖，在三棱錐P-ABC中,為半圓O的直徑力是弧BC上異于氏。的點(diǎn)?點(diǎn)。在

直線AC上,DE〃平面其中七為尸。的中點(diǎn).

⑴證明：0D〃平面RW；

(2)若24=必=?！?gt;=回=4)=4，求直線PC與平面所成角的正弦值.

參考答案

1.答案：B

解析：對于A,由于基底向量不能是零向量，故A錯誤，

對于B,由于2=(0,0/)與五，方不共面，符合基底要求，故B正確，

對于C,c=(l,l,0)=2+次故M，萬，"共面，不符合要求，C錯誤，

對于D,C=(1,2,0)=6/+2^?故h?"共面，不符合要求，D錯誤,

故選：B

2.答案：A

解析：由題意得，麗=福+反+?=通+而+工麗=Z+B+

故選:A.

3.答案：C

解析：由兩=2就，點(diǎn)N為3c的中點(diǎn)，

可得麗=麗-麗=一麗-一（OB^OC\=-OA--OB——OC.

32、7322

-2]_]

又OA=a,OB=b,OC=c?--NM=-a--b--c-

J乙乙

故選:c.

4.答案：D

解析：以A為原點(diǎn)，分別以A8,過A垂直于CQ,AA方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系如圖所示，

因?yàn)锳4,=入片=gAB=l,乙48c=1且四邊形ABCO是菱形，

所以笈(2,0,0),A(0,0,1),且2sinH,2cos7l,0，即。(1,百,0卜

所以而=(一1,6,-1),邛=(2,0,-1),

設(shè)點(diǎn)B到直線A。的距離為“，

所以小1常卜兩=嚶

故選:D.

解析：?.?打小坂〃忑，

，少J_5，

a-c=O

??一，

a-b=0

11+y+z=0

1x-4+2=0'

.，.x+y+z-l=0,即x+y+z=1.

故選:C.

6.答案：B

解析：連接AE,如下圖所示:

因?yàn)镋為8c的中點(diǎn)，則荏=而+屁=而+!配=通+’（正—通）=，而+」正，

22、722

因?yàn)辄c(diǎn)歹在人力上，且AF=2FDJWAF=-AD,

3

因?yàn)樗?一瓶二^人心一^八分一,4。，

322

故選:B.

7.答案：C

解析：由題意以8為原點(diǎn),B4,BC,B片所在直線分別為為x軸、y軸、z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AA=8C=2,則四=2及，

則8（0,0,0）,加（0,1,2及）,40,2,0）,41,0,2夜卜

則的=（0,1,2&）,函=（1,-2,20,

麗.西__2+8_2后

則cos,CN）=

忸叩國曲至—13'

故直線BM與直線NC所成角的余弦值為跡.

13

MG

4

A

2

故選:c

8.答案：BC

解析：三棱錐A-BCD中，由而.而=麗.而=（）可得ABJL8￡），CD_L3D，

則例，反）是二面角A-加-C的平面角，如圖，

怎:=不+邱+灰=-麗十麗+反,

而A8=3,8O=2，CD=4,

AC2=BA+BD2+DC2-2BA-DC

=9+4+16-2x3x4cos（麗灰）=29-24cos（麗灰）,

因?yàn)槠矫鍭3O與平面BCD的夾角為烏，

3

則當(dāng)例，反時，時卜47,

當(dāng)例，成卜空時，時卜歷，

3

所以AC的長度可以為所,"L

故選：BC.

9.答案：ABD

解析：對于A,因?yàn)楦?工+3而，所以刀，衣，M共面，

又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)A，所以四點(diǎn)A,B,C,。共面；

對于B,因?yàn)開L+_L+_L=i，所以四點(diǎn)4,B,C,。共面；

244

對于C，因?yàn)辂?而=()，所以A3_LC。，

即直線AB和CO可能異面，四點(diǎn)4,B,C,。不一定共面；

對于D,因?yàn)閆B=2CD，所以AB〃CD，所以四點(diǎn)A，B,C,。共面.

故選：ABD.

10.答案：ACD

解析：對A,因?yàn)槠叫辛骟wABCD-AgGR的各面均為菱形，所以口卜W=R=I，

且￡,反之兩兩之間的夾角均為所以7石=7"=尻2=1X1X』=L

322

故(a+Z)?伍+c)=al+〃."+".6+H=；+；+；+1=g,故A正確；

對B,AC1?BD]=(4+萬+01(—4+石+，=一44+萬石+00+25-。=2,故B錯誤；

對C,|AC||=|t?+6+c=p+b+/|+2a?Z?+2〃?c+2Z??c=6,故卜G卜#，故C止確;

-j|-—?—?/—?2—?—?—?2，

四D，4+C=0+C=V。+2〃?c+c+2xg+l=\J3

A4.AD、51

則cos/B/R=—>—

福AD,62

乂cosM,B=；，故N4AD]v/,B，故D正確.

故選:ACD.

解析：由投影向量的定義可知,

〃,----J_2-----(3o4)=--(304)=f-0§、

\b\\b\(3、()2+42)354)5('U,為口人引

故答案為：.

12.答案：旦

3

解析：因?yàn)镻Z)_L平面43c。，ADICD^以。為原點(diǎn)，

分別以萬，DC'赤的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，則3(2,1,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),2(0,1,2)，M(l,l,l).

兩二(1,1,-1)，eC=(OJ-2)，定=(0,2,-2)，

T=°’即x+y-z=0,

設(shè)元=(x,y,z)為平面PMC的一個法向量，則?

斤PC=0,2y-2z=0,

不妨設(shè)Z=l，可得M=(OJ1)，

因?yàn)辂?g阮，所以Nd=|Qe=|(0,l,-2)=(0,g,-4

33

則點(diǎn)N到平面PMC的距離為4="°色=巳」=也

\n\3yli3

故答案為；叵

3

13.答案：叵

2

解析：分別取線段AA，4圈的中點(diǎn)RP，連接MQ,MP『Q,如圖所示.

連接人用,易知人用〃OG，ABJ/MP，所以MP//DC、.

因?yàn)槿势矫鍮DC,,DC；u平面BOG,所以MP〃平面BDC「

同理可得MQH平面BDC「

又MAPIMQ=",MRMQu平面MP0,故平面MPQH平面30G，

故點(diǎn)N在線段PQ上,且不與P,Q重合.

以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，反，甌的方向分別為x軸、)，軸、z軸的正方向,建立空間直角

坐標(biāo)系.

令正方體棱長為2,設(shè)兩=2而廁M(2.0.1).P(1.0.2).Q(2.1.2),C(0.2.0).

C}(0,2,2),MN=MP+PN=MP+APQ=(-1,0,1)+(42,0)=(2-1,2,1),CC^=(0,0,2)，

2

所以cosa=cos

2yJ（入-+1

當(dāng)x=J"時,cos。取得最大值，為近，此時tan2a=--1取得最小值L故tana的最

23cos'a2

小值為它.

2

故答案為:1.

2

14.答案：(1)證明見解析

21

3-

解析：(1)連接CE，在正方體A8CO-48CQ中有OC_L平面8CG%又8C|U平面

BCqB],

所以。C_LBG，又因?yàn)樗倪呅蜝Cq片是正方形,￡是BC.的中點(diǎn)，

所以CE_LBG，又CEna)=c，CE,C￡>U平面CDE,

所以BC1■!?平面COE；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。A。。,。'為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由棱長為2,

則。(0,0,0),昭2,0)C(02,2)，A(0,0,2),E(L2,l),

所以麗=(-2,-2,2),D^=(2,2,0),DE=(l,2,l),

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),

.[n-DB=2x+2y=0./日/、

所以《_J，令x=l得日=(1,一1,1),

n-=x+2y+z=0

設(shè)直線與平面BDE所成角為e,

_/_..nBD\21

所以sin夕=COS(H,ADJ=——---=—5=---f==-,

'1/\\n\BD,73x2733

所以直線BD,與平面3DE所成角的正弦值為;.

15.答案：（1）證明見解析

（2）旦

3

解析：（1）取的中點(diǎn)M連接。

因?yàn)椤Ｊ茿M的中點(diǎn)，

所以DM〃〃用，且DW=』RB、,

'2

在三棱柱ABC-A4G中，

因?yàn)镋是CG的中點(diǎn)，所以GE"BB\，且G￡二—明,

所以GE//0M且C,E=DM,

所以四邊形GOME為平行四邊形，所以CQ//EM,

又CQa平面平面ABE,

所以CQ〃平面

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系

則8（02。），E（0,0J）＞A（2。,2），甌=（2,0,1）,EB=（0,2,-1）,

設(shè)平面\BE的一個法向量為萬=（x,y,z）,

2x+z=0

2y-z=0

令x=l，則z=—2,y=—1,.,.n=（l,—I,—2）,

易知平面48c的一個法向量為（（）,（）」），

設(shè)平面A8C與平面\BE所成角為a（aG[0,叫,

(1,-1,-2)(0,0,1)2

則cosa-

Jl2+(-l)2+(-2)2xl飛'

則sina=>/l-cos2a=—

3

即平面ABC與平面ABE所成角的正弦值為正.

3

7

⑶士萬

7

解析：（1）設(shè)。為3C的中點(diǎn)，連接AC，Q4，0E，

由題得，4c=8C=2，所以△43C為正三角形，則0A_L3C，0E上BC，

所以ZEOA為平面BCE與平面ABCD的夾角，

又OA=OE=5AE=a，^^O^-i-OE2=AE2'

所以N￡OA=90。，所以平面3CE_1_平面A3CZ）.

（2）由（1）得：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04，OB，0E所在直線為—y,z軸建立空間

W30

直角坐標(biāo)系，則A（6,0,0）,8（0,1,0），C（0,-l,0），D5T

則方=,通二卜6,0,6），設(shè)平面ADE的法向量為沅=（x,y,z），

段22。

__.CO__

則歷?￡)?(=——x+—y=0?th-AE=-y/3x4->/3z=0?

22“

令X=g，則而=(6—1、6)，平面3CE的一個法向量為比=(1,0,0)，

mn_V3_5/21

所以cos（而萬）=

麗—萬一〒

所以平面AOE與平面8CE夾角的余弦值為立L

7

（3）設(shè)外接球的球心為。，則Q在AC的中垂線上，設(shè)Q

22

工,」,/，QE=5，"，

則而二

2222

312

又|QA|=|Q￡|,所以▲+，+產(chǎn)++化簡得一考

4-4-

所以則外接球的半徑R=|QA|=等，（直接給出點(diǎn)。坐標(biāo)也給分）

又湎=（一立所以點(diǎn)0到平面A/）/的距離二」湎.歷1=J=行.

V222>|^|"V7-14

所以點(diǎn)7到平面4OE距離的最大值為C/+R=E+也，5.

1427

17.答案：（1）證明見解析

2

⑵M

5

解析:⑴如圖，連接曲,由題意知A4,_L平面ABC，所以441d_4四,

又44=1,然=6,所以A耳=2=AB,

因?yàn)镸是84的中點(diǎn)，所以_LAM.

因?yàn)镴.平面ABC,所以，AC，又MJ_AC，ABnAA二A,

所以八C_L平面AAgB,所以AC_L

因?yàn)锳C。AM=A，所以BBi_L平面AMC.

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線4A分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，

8(2,0,0),4(1,0,6)，A(0,0,G),C(0,2,0),

所以M4二-|,O,

設(shè)平面AMC的法向量為弁=(x,y,z),

則.?=-》+冬=。,取為=Q,3,2⑹，

AlC-n=2y-y/3z=0

由(1)知平面AMC的一個法向量為函=(-1,0,73),

因?yàn)閏os(而")二4_2

-275-5

所以平面\MC和平面AMC夾角的余弦值為|.

18.答案：(1)證明見解析

⑵至