第十五章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形

單元重點(diǎn)綜合測試

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，共40分.每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求，答案涂在

答題卡上）

1.下列運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D.不軸對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選B.

2.已知&b,。為△ABC的三邊長，且C石+|b—c|=0,則△48C的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】本題考查了絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定；根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)及

算術(shù)平方根的性質(zhì)求出a、b,c的關(guān)系，即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，a-b=O,b-c=O,

解得a=b,b=c,

所以，a=b=c,

所以，△48。的形狀是等邊三角形.

故選：B.

3.等腰三角形的兩邊長分別為4和8,則這個(gè)三角形的周長為（）

A.16B.20C.12I）.16或20

【答案】B

【分析】本題考查等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，分腰長為4和腰長為8兩種情況進(jìn)行討論求解

即可.

【詳解】解：當(dāng)腰長為4時(shí)，4+4=8,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)腰長為8時(shí)，三角形的周長為：8+8+4=20：

故選B.

4.如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線.若力B=5/C=8,則△ABD的周長是（）

A

\E

A.13B.5C.8I）.2?6

【答案】A

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),得到BD=CD,進(jìn)而推出△ABD

的周長是A8+4C,計(jì)算即可.

【詳解】解：???/）￡1是BC的垂直平分線，

:.BD=CD,

：,△43。的周長是/IB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=13.

故選A.

5.如圖，比'平分zAOB,在比'上取一點(diǎn)R過點(diǎn)產(chǎn)作PQ10B,若PQ二5cm,則點(diǎn)尸到OA的距離為

()

B

Q

AO

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】B

【分析】過點(diǎn)產(chǎn)做PMLOA于點(diǎn)亂根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)〃做PM10A于點(diǎn)M

：?PM=PQ=5cm,

故選：D.

6.如圖，在。中，“=90。，力8邊的垂直平分線0E交8C于點(diǎn)〃交AB于點(diǎn)E,連接力0,4。將a

分成兩個(gè)角，且乙。402840=2:5,則乙4DC的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)4&40=2%,則48/1。=52再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出40=80,再根據(jù)

等邊對(duì)等角，得出48=4840=5%,再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得出乙4DC=NB40+48=10，再根

據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出關(guān)于刀的方程，解出即可得出答案.

【詳解】解：??NG4D:MAD=2:5,

，i^Z-CAD=2x,則4BAD=5x,

???DE是線段A8的垂直平分線，

：.AD=BD,

:.乙B=/.BAD=5x,

/.LADC=/.BAD+Z.B=10x?

在中，2x4-10x=90°,

解得：x=7.5。，

Az/lDC=10x=75o.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形的外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角立余,

解本題的關(guān)鍵在熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

7.如圖，在△ABC中，BD平分，ABC,以點(diǎn)力為圓心，以任意長為半徑畫弧交射線4B,AC于兩點(diǎn)，分別

以這兩點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)亩ㄩL為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)￡,作射線4E,交BD于點(diǎn)、I,連接S,以下說法

錯(cuò)誤的是（）

A.1到gAC邊的距離相等B.CI平分乙ACB

C./到4B,C三點(diǎn)的距離相等D./是三角形三條角平分線的交點(diǎn)

【答案】C

【分析】本題考查尺規(guī)作圖，三角形的角平分線的性質(zhì)，根據(jù)作圖先判斷4E平分匕84a再由三角形角平分

線的性質(zhì)解答即可，解題的關(guān)鍵是掌握基本的尺規(guī)作圖和角平分線的性質(zhì).

【詳解】解：由作圖可知，4E是ZB4C的平分線，

到48,4C邊的距離相等，故選項(xiàng)A正確，不符合題意：

平分乙48C,三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確，不符合題意：

???C/平分乙AC3,故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

到邊力&AC,8。的距離相等，不是到兒B,。三點(diǎn)的距離相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；

故選：C.

8.如圖，4ABe的平分線BF,與△4BC的外角〃CG的平分線相交于點(diǎn)孔過點(diǎn)?'作DFIIBC交于點(diǎn)〃

交AC于點(diǎn)、E,若8。=8cm,DE=2.5cm,則CE的長為（）cm.

【答案】C

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明等腰三角形；

根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明△BDF和△CEF為等腰三角形即可求解.

【詳解】???〃"的平分線8產(chǎn)，與△力BC的外角“CG的平分線相交于點(diǎn)片

:.乙DBF=2CBF,乙FCE=LFCG,

VDFIIBC,

???乙DFB=LCBF,乙EFC=^FCG,

二人DBF=(DFB,乙FCE=(EFC,

BD=FD,EF=CE,

：.△BDFfll△CEr為等腰三角形，

:.BD-CE=FD-EF=DE,

???EF=DF—DE=BD—DE=5.5cm，

???EC=5.5cm

故選：C.

9.如圖，已知人。平分4fM8,CELAB^E,AB=AD+2BE,則下列結(jié)論：①/1B+4D=24E；②

。。；；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

40/18+408=180@CD=CB?S^ACE-2S^RCE=S^ADC;

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握角

平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

如圖，在4B上取點(diǎn)尸使4尸=4>證明△凡4c三△O/1C(SAS),如CO=Cr,ZD=Z.AFC,由

AB=AD+2BE=AF+FE+BE,可得=進(jìn)而可得C〃=BC,則CD=C8,NCFB=4B,可判斷③

的正誤：由乙CFB+乙4尸C=180。，可得48+，。=180。，進(jìn)而可■得+/DC8=180。，可判斷②的正

誤；AB4-AD=2AF+2EF=2AEt口『判斷①的正誤：由Sa8CE=S2xc“，S△力兒=59廣。，可得S4/CE-S4HCE

=S△ACE-S^CEF=S&AFC=5△ADC，可判斷④的正誤?

【詳解】解：如圖，在上取點(diǎn)F使4尸=力。，

：.^FAC=z.DAC,

9：AC=AC.Z.FAC=Z.DAC,AF=AD,

：,r\FAC=ADi4C(SAS),

：.CD=CF,LD=LAFC,

a：AB=AD+2BE=AF+FE+BE,

:.FE=BE,

?：CE1ABt

.??CF=BC,

；.CD=CB,4CFB=NB、③正確，故符合題意；

VZCF^+Z/1FC=180°,

???/B+4。=180°,

/.LDAB+^DCB=360°-+4D)=180°,②正確，故符合題意；

：.AB+AD=AF+EF+BE+AF=2AF+2EF=2AE,①正確.故符合題意；

,:$4BCE=S^CEF，S^ADC=S^AFC，

:?SAACE-SABCE=S^ACE-S&CEF=S&AFC=S^ADC，④錯(cuò)誤，故不符合題意；

綜上：正確的有①@③，共3個(gè)，

故選：C.

10.如圖，在△/8C中，/比1C=6O。，BE、CD為△48C的角平分線.8七與CD相交于點(diǎn)EFG平分乙

有下列四個(gè)結(jié)論：①N8FC=120。；②8D=CE；③BC=BD+CE；④若8E1力C,4BDF王&CEF.其中

正確的是()

A

A.①③B.②③④C.①③④D.????

【答案】C

【分析】本題主要考直了三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)/8FC=180。-QE8C+4DC8）可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形全等的判定方法中必須有邊的參與可對(duì)

②進(jìn)行判斷；根據(jù)“ASA”證明△8CF三可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)等邊三角形的判定及性質(zhì)得出

乙BDF=MEF,BD=CE^DBF=^ECF,利用ASA證明△被修△皮尸可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：VABAC=60°,BE、C。為二.角形力旗的角平分線.

???&EBC+乙DCB=\z-ABC+^ACB=1(180°-/-BAC)=60°,

.\Z5FC=180°-(ZEBC+ZDCF)=120°,故①正確；

在△/?/)尸和尸中，NBFD=/CFE=60。，但沒有相等的邊，則△BD尸和△CEF不一定全等,

:?BD手CE,故②錯(cuò)誤;

???乙DFB=乙EBC+乙DCB=60°,乙BFC=120°,

?：FG平分乙BFC,

???LBFG=/BFC=60°=乙DFB,

在aBD/7和△"小中，

乙DFB=iBFG,BF=BF,乙DBF=LGBF,

:.^BDF=△FGF(ASA),

：.BD=BG,

同理可得：△CEFWACGF,

：.CE=CG,

：,BC=BG+CG=BD+CE,故③正確，符合題意;

若BE1AC,

*：^BAC=60°,

：,￡ABE=30°,

???""=60°,

???△ABC是等邊三角形,

：,CDA.AB,

：.BD=^AB=^AC=CE,

在dBOF和△(：￡1小中，ABDF=￡CEF=90°,BD=CE,ZDBF=ZFCF=30°,

A￡\BDF=ACFF(ASA),故④正確：

綜上，正確的結(jié)論是①③④.

故選：C.

二、填空題（本大題共4個(gè)小題，共20分，答案寫在答題卡上）

11.如圖,4。垂直平分8c于點(diǎn)〃,EF垂直平分力B于點(diǎn)F,點(diǎn)E在AC上,BE+CE=20cm,則=

【答案】20cm/20厘米

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出4E=BE,AB=AC,求出

AC=20cm即可.

【詳解】???￡/垂直平分88于點(diǎn)E

???AE=BE,

*：BE+CE=20cm,

.'.AE+CE=20cm>

即4c=20cm,

??3D垂直平分8c于點(diǎn)〃，

?'?AB=AC=20cm>

故答案為：20cm.

12.已知等腰三角形的一邊長為4cm,且它的周長為15cm,則它的底邊長為cm.

【答案】7或4

【分析［本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用.熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形三

邊關(guān)系的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

分腰長為4cm,底邊長為4cm兩種情況，計(jì)算求解，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷作答即可.

【詳解】解:當(dāng)腰長為4cm時(shí)，底邊長為15-4-4=7(cm),

4、4、7滿足三角形三邊關(guān)系；

15-4

當(dāng)?shù)走呴L為4cm時(shí)，腰長為一^一=5.5(cm),

4、5.5、5.5滿足三角形三邊關(guān)系;

綜上所述，它的底邊長為7或4cm,

故答案為：7或4.

13.如圖，乙408=20。，M,N分別為。408上的點(diǎn)，0M=0N=3,P,Q分別為0408上的動(dòng)點(diǎn)，則

MQ+PQ+PN的最小值為.

【答案】3

【分析】本題考查軸對(duì)稱一最短路線問題，能用一條線段的長表示出三條線段的和的最小值是解題的關(guān)鍵.

作點(diǎn)M關(guān)于。8的對(duì)稱點(diǎn)M',點(diǎn)N關(guān)于。力的對(duì)稱點(diǎn)N1連接交0A于點(diǎn)P,交0B于點(diǎn)Q,連接PM、QM，,

PN,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到MP+PQ+QN的最小值為推出△ATOM為等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)

果.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)M',點(diǎn)N關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MW'交。4于點(diǎn)P,交。8于點(diǎn)

Q',連接PM、QM',P'N,

：,MQ+PQ+PN=M'Q+PQ+PN'>M'N',

的最小值為WM的長.

???OM=OM',ON=ON',MM'1OB,NN'1OA,

ZMVB=Z.AOB=20°,ZN'OA=4AOB=20。,

NM'ON'=60。，

???AM，ON為等邊三角形，

.??MW=0M，=3,

即MP+PQ+QN的值最小為3；

故答案為：3

14.如圖，△AZ)8,A8CD都是等邊三角形，E,尸分別是A8,AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=。凡BF與DE交于

點(diǎn)、G,連接CG.

(2)若DG=3,BG=5,則CG=

答案】60。/60度8

【分析1本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確理解

題意是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/4=4O=4Q,4C=&)=CDN<=N/lQA=60。，進(jìn)而證明

△4ED三△。尸氏得出乙4DE=NFBO,然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案.

(2)延長8G到點(diǎn)〃，使GH=G。，連接OH,先證明都是等邊三角形，再得出4斤08=4GOC,證

明△QHB三△DGC,得出CG=BG+DG即可得出答案.

【詳解】解：(1)???△4DB,4BCD都是等邊三角形，

AB=BD=AD,BC=BD=CD/A=乙ADB=60°,

在和△DFB中，

(AD=BD

UA=乙FDB,

(AE=DF

.??△4EO三△DFB(SAS),

???LADE=乙FBD,

(2)解：延長8G到點(diǎn)〃，使GH=G。,連接。H,

:.DH=DG/HDG=60%

??,aBco都是等邊三角形，

:.BC=BD=CD.Z-BDC=60°,

:.乙HDG+乙BDE=乙BDC+乙BDE,故乙HDB=乙GDC,

:ADHBw△DGC(SAS),

：＜G=BH=BG+GH=BG+DG=5+3=8,

???CG的長為8.

故答案為：60°；8.

三、解答題(本大題共9個(gè)小題,15?18小題各8分，19?20小題各10分，21?小題12分，23小題14分,

共90分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.如圖，△48C中，Z.ACB=90°,4E平分4BAC,DELAB^D.

(2)求證:AELCD.

【答案】(1)乙。氏4=66。

(2)見詳解

【分析】(D在中,求出"AD即可解決問題;

(2)利用等腰二角形的性質(zhì)得出AO=AC,ED=EC,根據(jù)線段垂直平分線的判定即可證明.

本題考查了線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性

質(zhì).

【詳解】(1)解：???△BAC=48°,AE平分NBAC,

二ZE/1D=-Z^C=24°,

2

DELAB,

:.乙A0E=9O。，

NO"=90。-24。=66。；

(2)證明：-DELAB,

/.=90°=Z/iCZ?,

又HE平分iBAC,

???LDAE=Z.CAE,

在△4。?和△?!(?￡1中，

UADE=乙ACB

\z-DAE=^.CAE，

(AE=AE

ADE^△△CE(AAS),

???AD=AC,ED=EC,

???點(diǎn)E在CD的垂直平分線上，點(diǎn)A在CD的垂直平分線上，(兩點(diǎn)確定一條直線)，

???AE1CD.

16.等腰三角形周長為10cm,底邊BC長為ycm,腰88長為xcm.解答下列各題：

⑴直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)腰長48為4cm時(shí)，求底邊8C的長；

⑶請(qǐng)直接寫出小y的取值范圍.

【答案】⑴y=10-2x；

⑵當(dāng)腰長48為4cm時(shí)，底邊BC的長為2cm；

⑶自變量x的取值范圍是：2.5<x<5,y的取值范圍是：0VyV5.

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用.

(1)根據(jù)：底邊長+兩腰長=周長，建立等量關(guān)系，變形即可;

(2)將x=4代入函數(shù)關(guān)系式，即可求解；

(3)根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，即可確定自變量的取值范圍，根據(jù)函數(shù)解析式，可得y的取值范圍.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，得：2x+y=10,則y=10—2x.

故y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式為y=10-2%；

(2)解：當(dāng)％=4時(shí)，y=10-2r=10-2x4=2；

故當(dāng)腰長48為4cm時(shí)，底邊8C的長為2cm；

(3)解:根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：｛%不：=%.

,.,>?=10-2x,

.(2x>10—2x

,,(10-2x>0'

解得：2.5<x<5,

**?-10<―2.x<—5,0<10—2.x<5,

即0vy<5.

故自變量x的取值范圍是：2.5<工<5,y的取值范圍是：0vy<5.

17.已知，如圖，在△力8c中，AB=AC,48=30。，AD1.AB,交BC于點(diǎn)D,AD=1,求△48C的面積.

【答案】逑

4

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形.過點(diǎn)力作垂足為￡利

用等腰三角形的性質(zhì)可得n8=乙。=30。，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得乙847=120。，再根據(jù)垂直定義

可得40/18=90。，從而可得乙。力。二30。，進(jìn)而利用等角對(duì)等邊可得40=。。=1,然后在RtA/W。中，利

用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BD和48的長，從而可得BC的長，最后在RiZk/WE中，利用含30度

角的直角三角形的性質(zhì)可得4E的長，從而利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)A作4E18C,垂足為E,

/.Z.BAC=1800-ZB-ZC=120°,

-DALAB,

，LDAB=90°,

ZDAC=ZBAC-Z.DAB=30°,

/.ZC=ZDJC=30°,

：.AD=CD=\,

在中，ZF=3O°,

???BD=2AD=2,AB=y/^AD=V3?

???BC=8D+CD=2+1=3,

在ABE中，48=30°,

/.AE=—AB=-,

22

???△麗的面積二匏小力七

1W

=-x3x—

22

_3V3

4-,

18.如圖，在乙4。8的內(nèi)部找出一點(diǎn)只使得PM=PN,且滿足點(diǎn)〃到。4與。8的距離相等.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查的是角平分線和線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖，根據(jù)角平分線和線段的垂直平分線

的尺規(guī)作圖方法作圖即可.

【詳解】解：連接MN,作線段MN的垂直平分線G”,作乙4。8的平分線。E交G”于點(diǎn)A如圖所示，點(diǎn)尸即

為所求.

19.如圖，△/1//（；中，AD1BC,“垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交8C于點(diǎn)E,且8。=。七，連接A從

A

(1)求證：AB=ECx

(2)若△ABC的周長為18cm,AC=8cm,求OC長.

【答案】(1)見解析

(2)5cm

【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，運(yùn)用了恒等變換的思想，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線

段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到力E=EC，AB=AE,等量代換證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的周長公式得到A8+8C+力C=18,根據(jù)力8=EC,8。=DE計(jì)算，得到答案；

【詳解】(1)證明：?“產(chǎn)垂直平分力C,

：.AE=EC,

'：ADLBC,BD=DE,

AB=AE，

：.AB=EC,

(2)解：V△ABC的周長為18,

：.AB+BC+AC=1S,

??"C=8,

：,AB+BC=W,

AB=EC,BD=DE,

???DC=DE+EC==^AB+BC)=5(cm),

???DC的長為5cm.

20.在等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中線8。將這個(gè)等腰三角形的周長分成12和6兩部分，求這個(gè)等

腰三角形的腰長.

【答案】8

(分析】設(shè)=AC=2x,BC=y,,根據(jù)題意可的4。=CD=^AC=x,然后分當(dāng)48+40=12、BC+CO=6

和48+40=6、8。+。。=12兩種情況討論，分別列方程組并求解，結(jié)合二角形二邊關(guān)系即可狄得答案.

【詳解】解：設(shè)力B=4C=2x,BC=y,

???BD為一腰上的中線，

：.AD=CD=^AC=x,

???中線8。將這個(gè)三角形的周長分成12和6兩部分，

，有兩種情況：

①當(dāng)AB+/10=12,BC+CD=6時(shí)，則有

C，解得

，三邊長分別為8,8,2,且8+2>8,

???此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意

???等腰三角形的腰長為8；

②當(dāng)48+4D=6,8C+CD=12時(shí)，則有

(3x=6C%=2

tx4-7=12,解封ly=10'

???三邊長分別為10,2,2,且2+2<10,

???此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的腰長為8.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中線、二元一次方程組的應(yīng)用、三角形三邊關(guān)系等知

識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論的思想分析問題，避免遺漏.

21.在△4BC中，AB=BC,8E平分N4BC,CD_L力B于D,CO=BO,點(diǎn)〃是BC邊的中點(diǎn)，連接D，，交.BE

于點(diǎn)G,連接CG.

C

(1)求證：CE=^BF,

⑵求心FGD的度數(shù).

【答案】(D見解析

(2)67.5°

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得8E_LAC,再證==然后利用ASA證明

△4DC空△FDB,得AC=FB,由等腰三角形的性質(zhì)得4E=C￡得CE=，1C,即可得出結(jié)論；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)得ABC=45。，DH1BC,則乙8HG=9。。，再由直角三角形的性質(zhì)得dGO的度數(shù).

【詳解】(1)證明：?.?(B=8C,4平分乙48C,

：.BE1AC,

VCD1AB,

：.^CAD+^ACD=90°,^CAD+^ABE=90°,

：.LACD=z.ABE=Z-FBD,

在△ADC和△FOB中,

UADC=乙FDB

CD=BD,

UACD=乙FBD

△408△尸。例ASA)

AAC=FB,

'：AB=BC,8E平分/ABC,

：,AE=CE,

：.CE=^AC,

：.CE=^BF；

(2)解：yCDLAB,

.\zBDC=90°,

*：CD=BD,

???乙巴。。是等腰三角形，

.\Z?!FC=45°,

???BE分ZABC,

：.￡CBE=^ABC=22.5°,

???CD=BD,點(diǎn)〃是BC邊的中點(diǎn)，

：.DHIBC,

???/84G=90。，

???LBGH=90°-乙CBE=90°-22.5°=67.5°,

AZ.FGD=Z.BGH=67.5°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握

等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在△力BC中，點(diǎn)〃在BC邊上，KBAD=110。,乙48。的平分線交AC于點(diǎn)￡過點(diǎn)￡作￡/148,

垂足為尸，且，AE尸=55。，連接DE.

⑴求證：DE平分—DC；

⑵若718=8,AD=5,CD=9,SLS^ACD=28,求△/18E的面積.

【答案】（1）見解析

(2)16.

【分析1本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的高.熟練掌握：角平分線

上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵.

（1）過點(diǎn)/作EG_L/W于G，EHLBC于H,先通過計(jì)算得出"4E==40,根據(jù)角平分線的判定與

性質(zhì)得E/=EG,EF=EH,則EG=EH,由到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上結(jié)論得證；

（2）設(shè)/?G=x,I0IJEF=EH=EG=x,根據(jù)=SAA。？+S4CM=28.即：；xgx=28.求

得，％=4,根據(jù)S△小E=3B?EF,計(jì)算求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)5作EG_L/W于G,EH1BC于H,

BC

DH

EFLAB,AAEF=55°,

???/F4E=90°-55°=35。,

??"AD=110。，

:.LCAD=180°-4BAD-Z.FAE=35°,

：.￡FAE=Z.CAD=35°f

???C4為4DAE的平分線，

又EFlAB,EG1AD,

:?EF=EG,

8E是/ABC的平分線，

:?EF=EH,

:.EG=EH,

???點(diǎn)/在乙4OC的平分線卜，

???DE平分4/WC；

(2)設(shè)EG=x,WJFF=EH=EG=x,

ACD=28