專題1.3集合的基本運(yùn)算

?.理解交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算的含義，會利用定義求簡單集合的交集、并集和補(bǔ)集;

教學(xué)目標(biāo)(2)能夠用集合語言和圖形語言(Venn圖和數(shù)軸)表示交集、并集和補(bǔ)集；

(3)讓學(xué)生體會到圖形(數(shù)形結(jié)合思想)對理解抽象概念的作用；

(4)會利用數(shù)軸求無限集的交集、并集的運(yùn)算，體會數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用.

1重.點(diǎn)

(1)集合的交集、并集與補(bǔ)集概念的理解；

(2)求集合的交集、并集和補(bǔ)集.

教學(xué)重難點(diǎn)

2難.點(diǎn)

(1)對集合運(yùn)算概念的理解；

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合中的含參問題.

知識清單

知識點(diǎn)()1交集

1.交集的概念

知

識自然語言符號語言圖形語言(Venn圖)

點(diǎn)

交對于兩個集合A、B,由________的所有元

集Ar>B=__________

素組成的集合，叫做集合A與8的交集.記作

Ac5,讀作“A交B”.

2.交集的性質(zhì)

Ac8=8cA,AcBq,AcA=A,Ac0=0

【即學(xué)即練】

1.已知集合4={-4,0,1,2,8},4=313=4則4口8=()

A.{0,1,2}B.11,2,8)

C.{2,8}D.{0,1}

2.設(shè)集合4=卜卜2<%<3},8=卜|一34工42},則404=()

A.{x|-3<x<3}B.{x|-3<x<3}C.{x\-2<x<2^D.{x|-2<x<2}

知識點(diǎn)02并集

i.并集的概念

知

圖形語言(Venn

識自然語言符號語言

圖)

點(diǎn)

并對于兩個集合A、B,由___________組成的

集集合，叫做集合A與8的并集.記作A\JB=___________

讀作“A并B”.

AuB

2.并集的性質(zhì)

A,A=AUA=A，A<J0=A.

【即學(xué)即練】

-、f-^>0,

I.已知集合M={止2vxv3},N='H,則MJN=()

+3<0,

A.{x|-2<x<3}B.{x|-3<x<3}C.{x|-2<x<()}D.|x|-3<x<2|

2.已知集合仞={xwZ12Vx<5},N={1,2,3},則MDN=()

A.{3}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,3,4)

知識點(diǎn)03全集與補(bǔ)集

1.全集與補(bǔ)集的概念

知識點(diǎn)自然語言符號語言圖形語言（Venn圖）

（1）全集：如果一個契合含有我們研

U

究問題中涉及的______?那么就稱這

全集與個集合為全集，記作U.

5=____________

補(bǔ)集（2）對于一個集合A,由全集U中—

的元素組成的集合，叫做U中子集A

的補(bǔ)集（或余集）.

2.補(bǔ)集的性質(zhì)

（1）補(bǔ)集是全集的子集，即Cu（C"）=

(2)Au(Cb.A)=,Ac(Q,A)=,

【明學(xué)即練】

1.設(shè)全集U={x|x是小于9的正整數(shù)},集合A={1,3,5},則中元素個數(shù)為（）

A.0B.3C.5D.8

2.已知集合。=卜卜1《,1〈3/6”A={xwN[xv2},則()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,2}D.{1}

知識點(diǎn)04德?摩根定律（拓展）

（1）交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集：

4，（anB）=；.

（2）并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集：

0"U3）=.

利用這些性質(zhì)能簡化集合的交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算.

【即學(xué)即練】

1.設(shè)集合U={12345},A={1,3},8={2,3,4},則（gA）naB）等于（）.

A.{1}B.{5}C.{2,4}D.{1,2,4,5}

2.設(shè)集合。=&A={x\x>\},B={x\x<2],則（QJA）U（Q/）=.

知識點(diǎn)05容斥定理——求集合中元素的個數(shù)(拓展)

1.容斥定理

在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，我們常用Venn圖表示兩集合的交、并、補(bǔ),

如果用card表示有限集合中元素的個數(shù)，即card(A)表示有限集A的元素個數(shù)，則有如下結(jié)論：

(l)card(AuB)=;

(2)card(AUBuC)=.

這?結(jié)論被稱為容斥定理.

2.容斥定理的兩種重要變形

card(A)+card(B)=;

card(AflB)=_____________________________________.

【即學(xué)即練了

1共有5()名學(xué)生參加甲、乙兩項(xiàng)沐育活動，每人至少參加了一項(xiàng)，參加甲項(xiàng)的學(xué)生有30名，參加乙項(xiàng)的學(xué)

生有25名，則僅參加了一項(xiàng)活動的學(xué)生人數(shù)為

A.50B.45C.40D.35

2.高三1班有12名同學(xué)讀過《牡丹亭》，有8名同學(xué)讀過《醒世恒言》，兩者都讀過的同學(xué)有4名，則該

班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有()

A.16人B.18人C.20人D.24人

題型精講

題型01交集、并集或補(bǔ)集運(yùn)算

【典例1】已知集合A={1,2,3,4},區(qū)={巾=則Ac3=()

A.{1,2}B.{1,4}C.{2,3}D.{9J6}

【典例2】已知集合A={高，考，必，勝},8={四，中，必,勝},則AU八()

A.{四，中，必，勝}B.{必，勝}

C.{金，榜，題，名}D.{四，中，高，考，必，勝}

【典例3】設(shè)全集U={xeN|—l<x<5},集合A={1,3},則集合C*的子集的個數(shù)是()

A.16B.8C.7D.4

方法技巧

在進(jìn)行集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，需注意以下兩點(diǎn)：

(1)集合間的運(yùn)穿得到的新集合一定要滿足集合中元素的確定性、互異性、無序性，因此，在求解含參數(shù)

的問題時，注意隱含的條件.

(2)如果集合間的元素已知，或集合間的關(guān)系相對復(fù)雜，又涉及集合中的元素問題，解題過程中常借助于

Venn圖，這樣處理相對來說較形象、直觀，且解題時不易出錯.

【變式I】已知集合從={2,4},4={1,4,9},則AU8的子集的個數(shù)為()

A.4B.8C.15D.16

【變式2]已知集合A={X|X2—X=0},集合8={X￡N+|-1WX<3},則下列結(jié)論正確的是

A.y(Ac8)B.le(AnB)C.AcB=0D.=B

【變式3】若全集U=R.A={x|xvl},8={x|x>-l},則()

A.AaBB.C.8土為AD.BcA=0

題型02交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算

1.分步求解法

【典例1】已知全集〃={16川一2工工46},A={T0,l,2},B={2,3,4,5,6},則人口&8)=()

A.{1}B.{0,1,2）C.{0,1}D.{1,2}

方法技巧

解決解合的交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算時，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分，如求（QA）rw）時，可先求出（CuA）,再求

交集;求C/AUB）時，可先求出AUB,再求補(bǔ)集，即將集合的混合運(yùn)算分成多步分別進(jìn)行.

【變式I】設(shè)集合S={x|x為平行四邊形},A={x|x為菱形）,8={x|x為矩形}，則?解。8）=（）

A.{%|x為正方形}B.{X|A?為菱形或矩形}

C.{x|x為不是正方形的平行四邊形）D.{x|x為不是平行四邊形的四邊形}

【變式2】已知全集。=卜卜=&b+JE,XEZ},集合A={1,2,3},4={-2,0,1,2},則

6(入8)=()

A.{11}B.{-3,—2,—1,0,3,4}C.{—3,4}D.{—3,—1,4}

2.數(shù)形結(jié)合法

[5'

【典例2】已知全集U=R,A={x|-4Wxv2},3={x|-l<x?3},P=[xX4)或夜￡

求(CuB)uP,(AAB)A(CuP).

方法技巧

求涉及含不等式的集合的混合運(yùn)算時，借助于數(shù)軸是常用的方法.交集找數(shù)軸上折線重疊的區(qū)域，并集

找數(shù)軸上折線掃過的所有區(qū)域.

【變式】已知全ifeU=R,p={x|-l<x<ll,Q={0<xv2y則6（PUQ）=（）

4.(x|-1<x<2)R.{r|r<—1,或x>2)

C.{x|-l<x<0}D.{x|x<-l,s!cx>2}

題型03由Venn圖給出的集合混合運(yùn)算

,則圖中陰影部分表示的集合為()

C.{2,5.8}D.{3,4,5}

方法技巧

對f給出Venn圖的集合混合運(yùn)算，求解的關(guān)鍵是：通過觀圖將陰影部分對?應(yīng)的集合轉(zhuǎn)化為已知集合

間的混合運(yùn)算，再進(jìn)一步求其結(jié)果.

【變式1］已知全集"=%集合例={X￡Z|-1<X<3},N=(O,+8),則圖中陰影部分表示的集合為

C.{-1,0}D.(-1,0)

【變式2］已知全集U=A,集合人={0,1,2,3},5={-2,-L0,l)則圖中陰影部分表示的集合為()

C.{2,3}D.{-2,-1}

題型04構(gòu)造Venn圖破解集合的混合運(yùn)算

【典例】已知全集U={x|x取不大于9的正整數(shù)),A、B是U的兩個子集，且4n(S)={2,4,8),(CM

AB={1,3},(CuA)A(CUB)={69},求集合A,B.

方法技巧

對于元素是離散型的兩個有限集，如果集合間的關(guān)系相對繁雜又牽扯到集合中的元素問題，解答過程中

常常借助于Venn圖來求解，這樣處理起問題來，相對來說較形象、直觀，且解答時不易出錯.

【變式】已知全集U={x|x取不大于30的質(zhì)數(shù)},A、B是U的兩個子集，且API(CuB)={5,13,23},(CUA)

AB={lb19,29},(CuA)A(Cufi)={3,7),求A,B.

題型05利用集合的運(yùn)算結(jié)果求參

【典例】(1)設(shè)集合A={x2,2X-1,-4),B={x-5,I-X,9},若ACB={9},求實(shí)數(shù)x的值及AUB；

(2)已知全集。={2,3,5,7,11},4={2,|。-5|,7},電乂={5,11},求實(shí)數(shù)。的值.

方法技巧

對于已知集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)值的問題，可直接根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算的概念得到不同集合中元

素之間的關(guān)系，再列方程組求解.這類有時也可借助數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化求解.

【變式1]己知集合A=3aS?}.6=31j<2},且Af)也6)=A,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是：)

A.(2,+8)B.l2,+oo)C.(5)D.(5]

【變式2】集合A={x|—1VxVl},B={x|x<a}.

(1)若ACB=0,求a的取值范圍；

(2)若AuB=(x|x<1),求a的取值范圍.

題型06利用集合的運(yùn)算性質(zhì)求參

【典例】己知集合/4={2丁+4工=0},8={工|/+2(。+1)%十。2—1=0}.

(1)若4口呂=民求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若AU3=8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

方法技巧

利用集合的交、并集運(yùn)算，容易推得以卜.性質(zhì)成立：

(1)AU8=8。A=田(2)A口8=8。8工人

合理運(yùn)用上述性質(zhì)，可以把AUB=8(An8=5)轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系A(chǔ)口=A)，便轉(zhuǎn)化為上一

節(jié)我們所學(xué)習(xí)過的題型,最后再化歸為常見的方程、不等式問題.

【變式1】已知集合4=國?25^7},8={MM+1SE2〃L1}.

(1)當(dāng)用機(jī)=5時，求4n8,AUB；

（2）若Af!8=B,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【變式2】已知集合A={M-3人2},B={x\2m-l<x</n+3}.

（I）當(dāng)機(jī)=0時，求CR（AAB）；

（2）若4UB=A,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

題型07利用補(bǔ)集思想求參

【典例】已知集合A=34x+6—2a=0},B={x\x<0}t若則實(shí)數(shù)a的取值范圍為—.

方法技巧

對于一些比較復(fù)雜、抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難于從正面入手的問題，在解題時，應(yīng)及時調(diào)

整思路，從問題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這時能化難為易，化隱為顯，從而將問題解決..

【變式】若集合A={x|ax2+3x+2=O}中至多有1個元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

題型08求集合中元素的個數(shù)

【典例】在開秋季運(yùn)動會時，某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加徑賽，有8人參加田賽，有14人

參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的有3人，同時參加徑賽和球類比賽的有3人，沒有同時參加三項(xiàng)比

賽的同學(xué)，問：同時參加田賽和球類比賽的有多少人？只參加徑賽的同學(xué)有多少人？

方法技巧

對于這類問題，一般有兩種策略：一是畫出Venn圖，設(shè)出天知數(shù)，借助Venn圖列出方程（組）求解;

二是利用容斥定理速解?.

【變式1】為了豐富學(xué)生的課余生活，某校開設(shè)了籃球社團(tuán)、A1社團(tuán)、圍棋社團(tuán)，高一某班學(xué)生共有30

人參加了學(xué)校社團(tuán)，其中有15人參加籃球社團(tuán)，有8人參加A1社團(tuán)，有14人參加圍棋社團(tuán)，同時參加

籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，沒有人同時參加三個社團(tuán)，只參

加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為（）.

A.10B.9C.7D.4

【變式2】某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、化學(xué)講座，其中有70人聽了數(shù)學(xué)講座，62人聽了歷史講座，

58人聽了化學(xué)講座，記A={x|x是聽了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生},8=是聽了歷史講座的學(xué)生},C={x|.r是

聽了化學(xué)講座的學(xué)生}.用card（M）來表示有限集合M中元素的個數(shù)，若card（An"）=17,

card（AnC）=13,card（^DC）=5,Ap^r|C=0,則（）

A.card（7\r|BnC）=35B.card（AU8）=115

C.card（8UC）=120D.card（A|J￡?U^）=190

題型09與集合運(yùn)算有關(guān)的開放題

【典例】己知集合4={1|一5<%<2},8={工|勿—3<%<。+1}.

（1）若。={3,4方+加一3},0￡（即|。），求實(shí)數(shù)。的值；

（2）從條件①②③中選擇一個作為已知條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

條件：①4nA='②8c電力=0；③AIJ低8）=R.

方法技巧

與集合運(yùn)算有關(guān)的開放題常以結(jié)構(gòu)不良型解答題的形式出現(xiàn)，對于這類問題，要注意從中挑選一個不易

出錯甚至得滿分的條件進(jìn)行作答.

【變式】設(shè)全集為0=口，集合力=卜,_7工一8>0},I3={x\a+\<x<2a-3}.

(1)當(dāng)〃=6時，求和Ac08

(2)在①Bca4=0；②4口8=8：③4UB=A這三個條件中任選一個作為已知條件，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

題型10與集合運(yùn)算有關(guān)的新定義題

【典例】任意兩個集合M、N,定義新運(yùn)算“一”，M-N其運(yùn)算結(jié)果為Venn圖中陰影部分表示的集合，定

義新運(yùn)算“△”，且MAN=(M-N)D(N-M),若知={而=//￡/?},N={x|-3W3},則

M\N=.

方法技巧

與集合的運(yùn)算有關(guān)的新定義題求解的關(guān)鍵是：通過讀題、審題，充分挖掘問題中所隱含的信息，弄懂運(yùn)

算的規(guī)律，進(jìn)而求解.

【變式1】已知集合A={1,2,3},?={1,2},定義集合間的運(yùn)算A+8={x|x=x+工2，%￡A芻《8},則

集合A+8中元素的最大值是.

【變式2】已知4,B是非空集合，若aeA,bwB,且滿足〃后AU8,則稱〃，力是集合A,8的一對

“基因元”.若集合4={2?3,5,9},8={1,3,6,8},則A,8的“基因元”的對數(shù)是.

【變式3】集合為進(jìn)入高中數(shù)學(xué)的第一章節(jié)，在高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識中占據(jù)一定的地位.已知集合A為非空數(shù)

集，我們根據(jù)數(shù)學(xué)知識和定義，規(guī)定如==a+,T=[x\x=\a-h\,aJ)GA}

⑴若集合4={1,3},直接寫出集合S,T(請寫出計(jì)算過程)；

XX

(2)若集合A={N，*2,巧，1<2<Xy<X4,且丁=4求證：為1為=%2-3；

⑶若集合4q{x|0?x?2021,xeN},Sc丁=0,記|4|為集合A中元素的個數(shù)，求|川的最大值.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.已知集合A={R-2Vx<2},8={My=ln（l-x）},則AU4=（）

A.{x|x>-2}B.{x|x<2}C.{目-2Vx<1}D.{x|-2<x<2}

2.已知集合人={0,1,2,3},?=則Af16=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{0,3}D.{3}

3.設(shè)全集"={1,2,3,4},>4={1,3},8={2},則AU（“/）等于（）

A.{1,2,3,4}B.{1,3,4}C.{1,3,5}D.{1,3}

4.設(shè)集合S="lx<-l或x>5},7={xla<x<a+8}.SU7=R,則實(shí)數(shù)〃的取值范闈是（）

A.(-3,-1)B.[-3,-1]C.(f,-3)U[T/)D.(-00,-3)5T田)

5.設(shè)全集U=Z,集合A={x|x=3N&wZ},B={x\x=3k-Uei}t①.(AU〃)=()

A.0B.{x[x=3Z+l,攵eZ}

C.{x|x=3k+2,keZ}D.{x|x=3A+3,AcZ}

6.已知全集"=%集合A={0J2,3,4,5},8={ieN*|3vxW8},則圖中陰影部分所表示的集合為

()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,123}

7.若全集U=AU3={1,2,3,4,5},集合Acq/={1,2},楸U14={1,2,4,5},則集合A=（）

A.{1,2}B.{1,2,4,5}C.{123,4,5}D.{1,2,3}

8.學(xué)校統(tǒng)計(jì)某班30名學(xué)生參加音樂、科學(xué)、體育3個興趣小組的情況，已知每人至少參加了1個興趣小

組，其中參加音樂、科學(xué)、體育小組的人數(shù)分別為19,19,18,只同時參加了音樂和科學(xué)小組的人數(shù)為

4,只同時參加了音樂和體育小組的人數(shù)為2,只同時參加了科學(xué)和體育小組的人數(shù)為4,則同時參加了3

個小組的人數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

二、多選題

9.下列集合表示圖中陰影部分的為（）

B.名⑷從

C.AUQBD.8“A

10.已知集合4={布2一h+/_1=0},8={*—1|=0},且An8=AU8,若實(shí)數(shù)〃的取值集合為

例，則（）

A.-yfiwMB.◎更M

C.0=MD.0任“

11.由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出

發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)