專題1:集合與簡單邏輯用語

思維導圖

e.

1.集合中元素的性質

知識梳理

知識點一集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號￡或/表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數(shù)集的記法與關系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*（或N+）ZQR

NQN

知識點二集合間的基本關系

\表示

文字語言符號語言圖形語言

關系、X

?

集合力的所有元素都是集合4的元素(xwA則AqB或

子集

xeB)

基或

本

存8或

真子集合A是集合8的子集，且集合8中至少有一個元

關

集素不屬于力

系B拈/

相等集合48的元素完全相同A=B

空集不含任何元素的集合.空集是任何集合力的子集0

若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2"—1個，非空真子集的個數(shù)有2”一2個

知識點三集合的基本運算

1、集合交并補運算的表不

集合的并集集合的交集集合的補集

圖形語言Q020_

符號語言A\^B=卜A或Me耳AB=|x|xeAJ=LrGCvA={x|xGU,且xeA)

2、集合運算中的常用二級結論

(I)并集的性質：/lU0=/f；AUA=A；/A^B=A<^>BQA.

(2)交集的性質：Jn0=0；AQA=A；4ACyB=A^AQ3.

(3)補集的性質：AU(CuA)=[/；ACl(CuA)=0.Cu(CuA)=A；

Cu(4UB)=(CuA)n(CuB)；Cu(AClB)=(CuA)U(CuB).

知識點四充分條件與必要條件

1、充分條件、必要條件與充要條件的概念

若D=q,則P是q的充分條件，q是勺必要條件

P是q的充分不必要條件pnq且q#p

P是q的必要不充分條件p由q且qnp

P是q的充要條件poq

P是q的既不充分也不必要條件p豐＞q且q/p

2、從集合的角度：

若條件P，q以集合的形式出現(xiàn)，即人=">&",B={x|q(x)J,

若AGB,則p是q的充分條件，若A&B,則p是q的充分不必要條件;

若A3B,則p是q的必要條件；若A拈弓，則p是q的必要不充分條件;

若八=8,則p是q的充要條件；

若ACB且時B,則p是q的既不充分也不必要條件.

知識點五全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題

全稱量詞存在量詞

量詞所有的，任意一個至少有一個，存在一個

符號V

命題含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題含有存在量詞的命題是存在量詞命題

“對M中任意一個x,p(x)成立”，可用“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符

命題形式

符號簡記為“VXEM,p(x)”號簡記為匕xWM,p(x).”

2、含有一個量詞的命題的否定」

P結論

VxGM,p(x)3xGM,-p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題

3xGM,p(x)Vx￡M,-'p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題

?重要結論：

命題P與下真假性相反；

全稱量詞命題可轉化為恒成立命題，存在量詞命題可轉化為存在性問題

滿分技巧

一、集合中常見的參數(shù)求法

1、已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值.

（I）確定性的運用：利用集合中元索的確定性解出參數(shù)的所有可能值；

（2）互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗.

2、利用兩個集合之間的關系確定參數(shù)的取值范圍

第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若ARB,且A中含參數(shù)應考慮參數(shù)使該集合為?空集的情形；

第三步：將集合間的包含關系轉化為方程（組）或不等式（組），求出相關的參數(shù)的值或取值范圍.

常采用數(shù)形結合的思想，借助數(shù)軸解答.

3、根據(jù)集合運算的結果確定參數(shù)的取值范圍

法'：根據(jù)集合運算結果確定集合對應區(qū)間的端點值之間的大小關系，確定參數(shù)的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；

（3）根據(jù)集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.

【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“=”；

（2）千萬不要忘記考慮空集。

二、充分必要條件與集合的關系

充分必要條件判斷精髓：

小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；

若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；

三、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

1、判斷全稱量詞命題真假：

若為真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素X,驗證p（x）成立；

若為假命題，只要能舉出集合M中的一個工=/，使〃（與）不成立即可；

2、判斷存在量詞命題真假：

只要在限定集合M中，至少能找到一個x=%，使〃（加）成立，則這個命題為真，否則為假。

考點突破

考點一集合

【例1?1］若集合A={x|lnx>l,”cN},集合8={X|X2-6X-7<0},則4cB的子集個數(shù)為（）

A.5B.6C.16D.32

【例1?2】已知集合下={。-2,4+匠⑵,且—3eA,則。等于()

A.-3或TB.-1C.3D.-3

【例1?3】設集合A={Xa+l)*-3)W0},B={X\a-5<X<a},若A。8,則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.[3,4]B.13,-KO)C.(-00,4]D.(3,4)

【例1?4】已知集合4=卜,2一2工一3<0卜8={41〈X〈一6},若4。8=4,則實數(shù)，〃的取值范圍為()

A.(—3,-Kc)B.(—00,-3]C.[3,+cc)D.(-1,3]

【例1?5】集合A={x|y=lg(，4)},集合5={y|y=42-2_￥-3卜全集U=R,則(”38為()

A.[-2,2]B.[-2,+oo)C.{2}D.(^2]O[3,-FW)

【變式1?1】設集合A={01/},若“TwA,則實數(shù)。=.

【變式1?2】(多選題)已知集合4=卜；,；},B={x|at+l=0),且則實數(shù)〃的取值可能為()

A.-3B.-2C.0D.3

【變式1?3】設集合A={dx<2或x"},4={x|aKxKa+1},若(\力。4=0,則。的取值范圍是()

A.或a>4B.a<1或“24C.a<1D.a>4

【變式1-4】已知集合4={(小丁)?=/},8={(尤)可>7=4%},則8=()

A.{-2,0,2}B.{(0,0)}C.{(0,0),(2,8)}D.{(-2,-8),(0,0),(2,8))

考點二常用邏輯用語

【例2-1]“/=/”是“/+〃2=2加，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

M2-2]已知集合。=卜2,5],e=[m+l,2m-l].若。e8”是“xeA”的充分不必要條件，則機的取值

范司是（）

A.（2,3]B.（-oo,3]C.0D.[2,3]

【例2?3】使±21成立的一個充分不必要條件是（）

x

A.l<x<3B.x<2C.0<x<2D.0<x<2

M2-4]命題+.”的否定是（）

A.3.v>0^r+l<l.B.3x>(),av+l<l.C.<0,6/'+1<1.D.Vx<(),aA+i<l.

【變式2?1】已知aeR,則“a=—1”是i+g—2）i為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2?2】己知尸>3（x-m）”是“4：人+31-4?0”成立的必要不充分條件,則實數(shù)，〃的取值范

圍為（）

A.7）l（l,+oo）B.+oo）C.（-7,1）D.[—7,1]

2-X

【變式2.3】若〃：丁產。,則〃成立的一個必要不充分條件是（）

A.-l<x<2B.|x|>lC.N>2D.2<x<5

【變式2-4]若命題〃:或sinxvl,則為.

課后鞏固

1.（2025年全國福考I卷2）設全集U={也是小于9的正整數(shù)}，集合A={1,3,5},則Q/中元素個數(shù)為（）

A.0B.3C.5D.8

2.QU25年全國?高考II卷3）已知集合4={-4,0,1,2,8},6=卜|丁=工},則八［5=（）

A.{0.1,2}B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{（）,1）

3J2025年全國?天津1）己知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},3={23,5},則①（Au3）=（

A.{123,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{4}

4.[2025年全國?天津2）設xeR,則“x=0”是“sin2x=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024年全國.高考I卷）已知集合4=口-5</<5}1={-3,-1,0,2,3},則AfW=（）

A.{-1,0）B.{2,3}C.{-3-1.0}D.{-1,0,2）

6.（2024?全國?高考甲卷義）若集合A={1,2,3,4,5,9},6={.中十leA},則=）

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

7.（2024.全國?高考甲卷理）已知集合人={1,2,3,4,5,9},3=卜卜Geg,則?（Ac8）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

8.（2024?北京?高考真題）已知集合知={1|一3<_￥<1},N={x\-l<x<4},則MuN=（

A.{x|-l<x<l（B.{x|x>-3}C.{x|-3<x<4}D.{x|x<4}

9.（2024?天津?高考真題）設。/三1<,則"/="''是"3"=3"'’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.(2023年全國甲卷理科)設全集U=Z,集合M={Nx=3&+wZ},N={xlx=3%+2?eZ},

%,，(MuN)=()

A.{x\x=3k,keZ]B.{jdx=3k-\,keZ)

C.{x\x=3k-2,keZ}D.0

11.(2023年新課標全國I【卷)設集合A={0,—〃},8={1,々-2,加一2},若則。=().

2

A.2B.1C.—D.—1

3

12,(2023年新課標全國I卷)已知集合知={-2,-1,(),1,2},^=|X|X2-X-6>0},則MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

13.(2023年全國乙卷理科)設集合U=R,集合M={乂x<l},N={H-lvx<2},則Wx22}=()

A.4.(MUN)B.NUQJM

C.d(MQN)D.

14.(2023年新課標全國I卷)記S”為數(shù)列{”“}的前〃項和，設甲：{q}為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)

列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

6(2022?全國?高考真題)已知集合人={-1,1,2,4},哈卜卜-1區(qū)1},則()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.(-1,4)

16.(2022?全國?高考真題)若集合M={xl6<4},N={x|3Ml},則N=()

A.1x|0<x<2|B.C.{x|3<x<16}D.

17.(2022?全國?高考真題(理))設全集U={123,4.5},集合M滿足。,用={1,3},則()

A.26MB.3GMC.4^MD.

18.(2022?全國?高考真題(理))設全集U={-21,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={.Hf_4x+3=0},則

Q/Au8)=()

A.{1,3）B.{0,3）C.{-2,1}D.{-2,0}

19.（2022?上海?高考真題）已知A=（-L2）,B=（l,3）,則=

20.（2021.湖南.高考真題）已知集合A={1,3,5},B={1,2,3,4},且44=（）

A.{1,3}B.{1,3,5}

C.{123,4}D.{123,4,5}

2L（2021?江蘇?高考真題）已知集合加={1,3},N={l-?3},若MjN={l,2,3},則。的值是（）

A.-2B.-IC.0D.1

22.（2021?天津?高考真題）設集合A={T（）,1},8={l,3,5},C={0,2,4},則（Ac8）uC=（）

A.{0}B.{0,135}C.{03,2,4}D.{0,2,3,4}

23.（2021?天津?高考真題）已知OGR,則是“『A36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

24.（2021.全國.高考真題）設集合。={1,2,3,4,5,6}4={1,3.6},8={2,3,4）,則4:倡用）=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}